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2016届辽宁省大连八中、大连二十四中高三联合模拟考试数学(理)试题解析

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中,只有一项 是符合题目要求的.

1.已知集合}032|{2

<-+=x x x M ,}2,1,0,1,2,3{---=N ,则集合=N M ( ) A .}1,0,1,2{-- B .}0,1,2,3{--- C .}0,1,2{-- D .}1,2,3{--- 2.若

i b i

ai

+=++12,则复数bi a +在复平面内表示的点所在的象限为( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知条件p : 1)(2

++=mx x x f 在区间),2

1(+∞上单调递增,条件q :3

4

-≥m ,则p 是q 的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

4. 已知向量a ,b ,1||=,3||=b ,>=

5.函数)6

cos(

)3

sin()(x x x f -+

π

的最小正周期是( )

A .π2

B .π

C .

2

π

D .π4

7.我国古代秦九韶算法可计算多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 的值,当多项式为

1464234++++x x x x 时,求解它的值所反映的程序框图如图所示,当1=x 时输出的结果

为( )

A .15

B .5

C .16

D .

11

8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的表面积为( ) A .π)244(+ B .π)246(+ C .π)248(+ D .π)2412(+

9.设y x ,满足约束条件??

?

??≥≥-≥+≤0,0121

y x x y x y ,则目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为11,

则b a +的最小值为( )

A .2

B .4

C .6

D .8

10.已知实数m a ,满足?-=

22

cos π

πxdx a ,

7722107)1()1()1()(+++++++=++x a x a x a a m a x ,且727531264203)()(=+++-+++a a a a a a a a ,则=m ( )

A .1-或3

B .或3-

C .1

D .3

11.过抛物线x y 42

=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,分别过A 、B 两点作准线的垂线,垂足分别为'A ,'B 两点,以线段'A 'B 为直径的圆C 过点)3,2(-,则圆C 的方程为( )

A .2)2()1(2

2

=-++y x B .5)1()1(2

2

=-++y x C .17)1()1(2

2

=+++y x D .26)2()1(2

2

=+++y x 12.已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 满足x f x e f x f x )0(22

)1(')(22

2-+?=

-,且0)(2)('<+x g x g ,则下列不等式成立的是( )

A .)2017()2015()2(g g f <

B .)2017()2015()2(g g f >

C .)2017()2()2015(g f g <

D .)2017()2()2015(g f g >

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.若函数???≥+<+=)

1)(2(log )

1(23)(3x x x x f x ,则=+)6(log )7(3f f .

14.已知)(x f 是定义域为R 的偶函数,当0≤x 时,x x x f 2)(2

+=,那么,不等式

3)2(<+x f 的解集是 .

15.已知正三角形ABC 边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为3,此时四面体ABCD 的外接球的表面积为 .

16.设数列}{n a 前n 项和n S ,且11=a ,}{2n n a n S -为常数列,则=n S .

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.在ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且满足

C

B

c b a cos cos 2=

-.

(1)求角C 的大小;

(2)设函数2

3sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f ,求函数)(x f 在区间]2,0[π

的值域.

18.某市为了了解高二学生物理学习情况,在34所高中里选出5所学校,随机抽取了近千名学生参加物理考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示.

(1)将34所高中随机编号为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次取两个数字,则选出来的第4所学校的编号是多少? 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06

(2)求频率分布直方图中a 的值,试估计全市学生参加物理考试的平均成绩;

(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名同学中考试成绩在80分以上(含80分)的人数记为X ,求X 的分布列及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率)

19.四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面⊥SBC 面ABCD ,已知

45=∠ABC ,2=AB ,22=BC ,3==SC SB .

(1)设平面SCD 与平面SAB 的交线为,求证:AB l //; (2)求证:BC SA ⊥;

(3)求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值.

20.已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b

y a x 是离心率为22

,顶点)0,(a A ,),0(b B ,中心O

到直线AB 的距离为

3

2.

(1)求椭圆C 方程;

(2)设椭圆C 上一动点P 满足:ON OM OP μλ2+=,其中N M ,是椭圆C 上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为21

-,若),(μλQ 为一动点,)0,23(1-E ,)0,2

3(2E 为两定

点,求|||21QE QE +的值.

21.设函数)2ln()(2

+-=x a x x f ,x

xe x g =)(,且)(x f 存在两个极值点1x 、2x ,其中

<1x 2x .

(1)求实数a 的取值范围; (2)求)(21x x g -的最小值; (2)证明不等式:0)(21>+x x f .

请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图所示,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A ,B 两点,过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线,分别交⊙1O ,⊙2O 于点E D ,,DE 与AC 相交于点P . (1)求证:EC AD //;

(2)若AD 是⊙2O 的切线,且3=PA ,1=PC ,6=AD ,求DB 的长.

23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知曲线1C :θρcos 2=,将曲线1C 上的点向左平移一个单位,然后纵坐

标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C ,又已知直线:???

???

?

=+=4sin 4cos 2ππt y t x (是参

数),且直线与曲线交于B A ,两点.

(1)求曲线C 的直角坐标方程,并说明它是什么曲线; (2)设定点)0,2(P ,求||||PB PA +. 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数m x x x f --++=|1||1|)(.

(1)当4=m 时,求函数)(x f 的定义域M ; (2)当M C b a R ∈,时,证明:|4|||2ab b a +<+.

一、选择题

1. C

2.A

3.A

4.C

5.B

6.C

7.B

8.D

9.D 10.B 11.B 12.D 二、填空题

13.5 14.(-3,3) 15.π5 16. )

1(2

+n n

三、解答题 17.解:(Ⅰ)

.

的内角,

.………………………………………………6分

(Ⅱ)由(1)可知,

………………………………………………………8分

函数的值域为.……………………………………12分

18.解:

(Ⅰ)A组学生历史成绩的中位数为84,B组学生历史成绩的中位数为83…………2分

A组学生历史成绩的平均分为

B组学生历史成绩的平均分为…………………………………………………………………………………………5分

分别设为,因此两个学习小组历史成绩优秀的学生共有5人。

从这5人中抽取2人共包含10种情况,分别为

记“至少有一人来自B学习小组”为事件,则事件共包含7种情况,分别为

…………………………9分

因此.

所以至少有一人来自B学习小组的概率为………………………………12分

19

.解:(Ⅰ)证明:底面为平行四边形,.

,,

又平面SCD与平面SAB的交线为,.………………………6分

(Ⅱ)证明:连接AC,,

由余弦定理得,…………………………………… 8分

取中点,连接,则.

面………………………………………………12分

20.解:(Ⅰ)因为直线的方程为,所以,

由已知得,故可解得;

所以椭圆的方程为…………………………………………4分

(Ⅱ)设,,则由得,

因为点在椭圆上,所以,故

………………………………6分

设分别为直线的斜率,由题意知,,

因此,所以……………………………………8分

由点是椭圆上的点,而恰为该椭圆的左右焦点,所以由椭圆的定义,

.…………………………………………12分

21.(Ⅰ)由题:

∵存在两个极值点、,其中.

∴关于的方程即在区间内有不等二实根。令、,则

由图像可得∴实数的取值范围是………………………………3分

(Ⅱ)由得

∴当时,,即在单调递减;当时,

,即在单调递增∴.…………………………………………………………6分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,

令,则且

令,

∵∴即在(0,1)上是减函数∴

∴在上是增函数

∴,即.……………………………………12分

22.解:(Ⅰ)证明:连接AB,∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,

又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.…………………………4分

(Ⅱ)设,

∵PA=3,PC=1,

∴,①

∵AD∥EC,

∴,

且.

由AD是⊙O2的切线,,②

由①②可得,,,…………………………10分

23.解:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为:即。

曲线C的方程为.

曲线C表示焦点坐标为,长轴长为4的椭圆.……………………4分(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线C的方程:中,

得。

设A、B两点对应的参数分别为,则.

…………………………10分24.(1)当时,,由

原不等式等价于或或

则不等式的解集为 (5)

(2)当时,即,

所以

,所以,即

………10分

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