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分子动理论的新型反向差分演化算法(精)

小 型 微 型 计 算 机 系 统 2009年 月 第 期 Journal of Chinese Computer Systems V ol.30 No. 2009

收稿日期:2010-7-30作者简介:刘 罡,男,1982年生,博士研究生,研究方向为智能计算,演化硬件;李元香,男,1962年生,博士生导师,教授,研究方向为;智能计算,演化硬件,并行计算

分子动理论的新型反向差分演化算法

刘罡1,李元香1

1

(武汉大学 软件工程国家重点实验室 湖北 武汉 430072) (6书宋)

E-mail :lg0061408@https://www.wendangku.net/doc/b24059039.html,

摘 要:提出了一种新颖的分子动理论的反向差分演化算法。该算法把种群类比为分子系统。本文中引入了分子作用力的概念,同时类比于物理学中质心的概念本文定义了群质心。该分子作用合力控制粒子运动的方向。当粒子与质心间的距离比较近时,粒子远离质心,而在粒子离质心距离比较远时,粒子向质心方向飞行。同时应用了反向学习操作促使演化生成过程的跃变, 从而使算法具有较高的收敛速度和较好的种群多样性。本文算法与其他算法进行比较.实验结果证实了新算法的高效性、通用性和稳健性.

关键词: 差分演化;反向学习;分子动理论;多样性;群质心;分子力

中图分类号:TP 文献标识码:A 文章编号:1000-1220(2009)02--

Novel Oppositional Differential Evolution Algorithm

Based on Theory of Molecular Motion

LIU Guang 1,LI Yuan-xiang 1

1

(State Key Lab .of Software Engineering ,Wuhan University ,Wuhan 430072,China )

Abstract: A novel Oppositional Differential Evolution Algorithm based on theory of molecular motion is proposed, and the population is regarded as molecule system. The molecular force is introduced in the MMT-ODE as in theory of molecular motion. The centroid of the population is defined as in physics. This force controls the direction of particle motion. When the distance is near, the molecular forces control the particle away from the centroid. When the distance is far, the molecular forces control the particle to fly to the centroid. And the application of the opposition-based learning (OBL) operation to promote the process of evolution generation jump. Hence MMT-ODE is conducive to high convergence and good population diversity. Experiments are used to compare the MMT-ODE with other algorithms. The results show that MMT-ODE keeps the most rapid convergence rate of all techniques and obtains the global optima fo rmost benchmark problems.

Key words: differential evolution; opposition-based learning; theory of molecular motion; diversity; the centroid; molecular force

1 引 言

1.1 作者单位

差分演化算法(Differential Evolution,简称DE)是一种基于群体差异的演化计算技术,它最初由Rainer Storn 和Ken-neth Price[1,2]为求解有关切比雪夫多项式的问题于1995年提出.其基本思想是采用基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略来实现种群的全局搜索. DE 发展至今,己经有了很多不同的版本,最有影响力的有三个[2,3]。

由于在解决各种复杂优化问题时所展现的优越性能,DE 已经在许多领域得到了广泛地应用,譬如人工神经元网络、机器人、信号处理、生物信息、模糊系统控制等方面。 很多研究已表明DE 在诸多领域的有效性及优越性。然而,传统的DE 在表现出收敛速度快,计算复杂度相对较小的优点的同时,在优化时也会出现早熟现象。DE 和演化算法(EA ),粒子群算法(PSO )等其他元启发式优化算法一样都存在着早熟收敛的问题,早熟收敛现象极大地影响了算法的稳定性。鉴于这些元启发式算法本身都是计算机学科和其他学科

2 小 型 微 型 计 算 机 系 统 2007年

交叉研究的成果,所以为了避免算法的过早收敛,提高算法的性能,一些研究者通过将这些算法与物理,数学和生物等其他学科进行交叉研究,或者与其他计算智能方法相融合,以突破其自身局限,,提高算法总体性能。

为了保持种群的多样性,避免算法过早的陷入局部最优解,本文在文献[4]和文献[5]的基础上提出了将分子动力学和反向学习机制融合的基于分子动理论的反向差分演化算法(MMT-ODE)。类比于物理学中质心的概念本文定义了群质心。本文的算法把种群中类比成分子系统,分子之间存在分子力。根据粒子与种群目前的质心之间的距离,粒子与质心间的分子力同时包括引力和斥力,这些力的合力控制粒子的飞行方向以决定其是朝着群质心的方向飞行还是远离它,同时采用基于概率的反向学习机制进一步加强了种群的多样性,使算法能够更有效地进行全局和局部搜索。并且在算法中引入反向学习机制使算法更能保持较好的多样性,不容易陷入局部最优。MMT-ODE 算法不仅保留了DE 算法在维护群体多样性及搜索能力较强等方面的优势,而且在很大程度上提高了全局收敛速度。

2 背景研究

2.1 差分演化算法

差分演化算法是一种基于实数编码的演化算法,算法的基本思想及整体构架与遗传算法相类似,从一代种群到下一代种群都要经过变异、交叉、选择等操作,也一样有几个至关重要的参数必须事先确定。DE 主要有3个版本[2,3],它们的差别主要是在变异操作上。首先在D 维的问题搜索空间中随机产生一些候选解作为初始种群POP0={X 1,X 2,…,X N },其中N 为种群规模,个体成员X i =(x i1,…,x ij ,…,x iD )用于表示问题候选解。三种操作的公式表达如下:

变异操作:对种群中每个个体成员X i 实施变异操作,得到与其相对应的变异个体V i ,依据变异个体的不同生成方法,从而形成了多种不同的差分进化算法方案,其中DE/rand/1/bin, DE/current-to-best/1/bin 和折衷演化算法eDE 方案个体变异操作的方程分别为:

()i,j r1,j r2,j r3,j v x F*x x =+- (1)

()i,j i,j best,j i,j r1,j r2,j v x *x x F*x x ?λ=+-+-() ( 2)

()()r 1,j

i ,j

i ,j r 1,j i ,j r 2,j

r 3,j

x

x

v F*

x

x x x ?2

+=

+-+- (3)

其中:r1,r2,r3∈{1,2,…,N}互不相同且与i 不同,变异算子F ∈[0,2]是一个实常数因子,控制偏差变量的放大作用。λ是附加的一个控制参数, x best,j 是当前种群最好个体的第j 维分量。 2.2 分子动理论

分子动理论[6]是统计物理学的一个重要组成部分。它从物质的微观结构出发,对气体分子的热运动给出本质解释,并研究了宏观物理量与微观物理量之间的内在联系。它还初步揭示了气体的扩散,热传递和粘滞现象的本质,并从分子运动的观点解释和推证了一些基本的气体实验定律。分子运动论的成就促进了统计物理学的进一步发展。物质的微观结构学说主要内容有三点:①宏观物体都是由大量分子组成的,分子之间有空隙;②分子处于不停息地,无规则运动状态,这种运动称为热运动;③分子间存在着相互作用力。分子间的力即为范德华力,近似可用兰纳-琼斯位能函数式[6]表示如下:

6

12

F 4**()

(

)(

)

r

r

εσ

σ

=- (4)

其中σ,ε分别是尺寸参数和能量参数,r 为分子间距,12次项为斥力部分,6次项为引力部分。

分子间同时存在着相互作用的引力和斥力,其合力被称之为分子力(用F 表示)。当两个分子之间的距离增大时,它们之间的引力和斥力同时减小;当两个分子之间的距离减小时,它们之间的引力和斥力同时增大。如图1.

I) 当r < r0 时,引力和斥力随r 减小而增大,斥力增大得比引力快,分子力F 表现以斥力为主;

II) 当r > r0 时,引力和斥力随r 增大而减小,斥力减小得比引力快,分子力F 表现以引力为主。

图1分子力与分子间距的关系

Fig 。1 the relation of the molecular force and the distance

3 分子动理论的反向差分演化算法(MMT-ODE) 3.1 分子动理论与差分算法的结合

目前,一些研究者将物理学中的热力学部分与演化算法进行结合,提出了各种热力学演化算法,如文献[7] 基于统计物理提出了动力学演化算法,它通过驱动所有的个体运动和进化来保持种群的多样性;文献[8]从热力学和模拟退火算法得到启发,提出了一种基于自由能极小原理的热力学遗传算法,采用温度和熵的概念来系统地控制种群多样性;文献[9]根据统计物理的粒子输运理论中粒子相空间能量最小原理和熵增法则提出了一类粒子动力学演化算法。其中文献[4]提出了基于分子动理论的粒子群算法,本文即是在此基础上进一步将分子动力学理论,反向学习机制与差分演化算法进行结合,提出了基于分子动理论的反向差分演化算法(MMT -ODE)。本文按照分子力的定义,在粒子和群质心之间距离足够近时,分子力才起到作用,而当距离足够远时,分子力不起作用。在本文中分子力同时包括引力和斥力,并且计算出具体数值和力的方向。为了进一步提高DE 的精度和收敛速度,还引入了反向学习机制。算法中粒子在受到分子力作用时具有加速度性质,同时定义了加速度和群质

1 期 刘罡 等:分子动理论的新型反向差分演化算法 3

心。

定义1:群质心

群质心指种群所有粒子的质量集中于此的一个假想点。根据在一个N 维空间中的群质心计算公式为:

(*)/Ccenter i i i X X m m =∑∑ (5)

x i 表示种群中粒子i 的坐标,m i 表示群中粒子i 的的质量。为了简便起见,假设种群中粒子的质量m i 全部相等且等于1。 定义2:分子力

根据公式(4),定义分子力公式如下:

D D

4*rand(0,1)*)r r

F =-(

(6) r 为分子间距离,rand (0,1)为(0,1)内的随机数。D 为粒子的维数。

定义3:粒子加速度

分子间的间隔足够近时,分子受到分子力作用时,根据牛顿第二定律分子在分子力F 作用下产生的加速度a 为:

D

D 4*rand(0,1)*)r

r

F a m =

=-

( (7)

加速度a 的值表示大小,正负表示方向。当a 为正时,斥力起主要作用,当a 为负时,引力起主要作用。

DE3被称为折衷的差分演化算法(Eclectic Differential Evolution ,简称eDE )。本算法随机地从种群中选取一个不比目标向量的适应度低的向量作为变异对象。这样既能保持种群的多样性,又能兼顾收敛速度,是一种折衷的选取方法。在本文中,当粒子离质心足够远时,粒子不受到分子力的作用时,分子力没有对粒子产生加速度。此时采用DE3进行差分演化以使粒子向质心加速靠近。当粒子与质心之间的距离小于指定的阀值d 时,粒子受到分子力的作用,分子力对粒子产生加速度。此时采用DE1或者DE2进行差分演化以使粒子向种群最优解靠近。DE1和DE2在粒子向全局最优解靠近时,都会受到一个差分量的干扰以加大粒子的搜索最优解的能力。此时DE1的式子(1)变更为:

()ij aj bj cj V x F*x x * a =+- (8)

此时DE2的式子(2)变更为:

()()

ij ij best,j ij bj cj v x (λ*x x F*x x )*a =+-+- (9) 当加速度a 的正负表示当前粒子受到的合力是引力还是斥力。当粒子与质心之间的距离小于指定的阀值d 时,分子力驱使粒子远离群质心以保持种群的多样性,有利于算法的全局搜索;当粒子与质心之间的距离大于指定的阀值d 时,粒子不受到分子力作用。在演化初期不受分子力的粒子占多数,为了保证算法的收敛及多样性,加强算法的搜索能力和收敛速度,采用DE3进行演化操作。为了进一步加强算法的精度和收敛速度,在算法中引入基于反向学习机制的初始化。并且每代最优解以一定概率进行反向极值跃变操作,以便更进一步提高算法收敛速度和全局搜索能力。当种群演化陷入停滞的时候,需要对当前最优解和与到质心的距离超过阀值且适应值低于质心适应值的粒子进行动态突变,从而有效地促使演化过程跳离局部最优值。当全局极值的演化停泄步数大于指定的停泄步数阈值时,采用PSO 算法中的线性递减权重[10]进行动态突变。

()()max min min

T t w w w *w ?T

-=-+ (10)

其中,w 为突变幅度系数,[wmax, wmin]为突变幅度系数的调整区间,通常取值为[0.9,0.4]。这种动态调整根据演化的进度来调整。当演化初期,种群多样性大,陷入停滞次数少,调整的幅度不大,当种群演化后期,种群多样性减少,陷入停滞次数曾多,调整的幅度加大。有利于种群跳出局部最优解,加强了全局寻优的能力。 3.2 反向学习机制

演化算法在缺少已知的问题先验信息的前提下,一般情况采用

随机产生一些搜索空间内的候选解作为初始种群。在整个优化过程中,寻找最优解的计算时间与初始种群与最优解的距离有密切的联系。根据概率学原理,每个随机产生的候选解的反向解有50%的概率机会接近问题最优解,通过引入反向学习的机制[11],为每个初始候选解产生相对应的反向解, 并且从这两类解(候选解和相对应的反向解)中选择距离较近(即适应度较优)的解作为初始种群中的成员,将有助于改进优化过程的收敛速率。 以下几个步骤对基于反向的种群初始化过程进行了详细的描述。

(1)随机产生N 个位于搜索空间内的候选解个体组成随机种群R,个体成员可表示为X i =(x i1,…,x ij ,…,xi D ), i=1,2,…,N 且每一维分量都满足x ij ∈[a j ,b j ], j=1,2,…,D

(2)依据随机种群R 产生相对应的反向种群OP

, ∈OP 且i=1,…,N, 其中

=

,

),

=

从随

机种群和反向种群的合集{RP ∪OP},遵从适应度的大小选出N 个较优个体作为初始种群的成员。 MMT -ODE 算法流程如下:

Step1:采用基于反向学习机制的初始化策略产生初始化种群 (群体规模M), 指定阀值d ;

Step2:评价每个粒子的适应值;计算种群的群质心,每个粒子和质心的距离。

Step3:更新当前种群最优解;

Step4:如果算法收敛准则满足或达到最大迭代次数,执行Step7,否则执行Step5;

Step5:根据粒子到质心的距离length 选择不同的DE 进行演化操作

For(i=0;i

4 小 型 微 型 计 算 机 系 统 2007年

if(length

操作;

else

采用公式(3)对粒子进行演化操作;

}

Setp6:当前种群全局最优解采取基于概率JP 的反向极值跃变操作,即对当前种群求对应的反向种群的最优解,如果新全局最优解优于上代全局最优最优则保留,否则不替换全局最优解; Setp7:如果种群演化陷入停滞,则当全局极值的演化停泄步数大于指定的停泄步数阈值时,对选中的粒子进行突变同时对极值进行动态突变;

Step8:未满足结束条件则转Step2;

Step9:输出算法所找到的全局最优解,算法结束。

4 实验仿真与结果分析

4.1.测试函数

在本文的实验中,使用了9个经典的测试函数,这些函数经常被国内外很多学者用来测试优化算法的性能和可靠性。所有函数的维数均为30,测试函数如下: F1:Sphere Function

2

1

()D

i i f x x ==∑ (11)

其中x 取值区间为[-100,100],最优解为0; F2:Rosenbrock Function

()()

1

2

22i 1i i 1

f x (100*x x

(x 1)

)D i -+==-+-∑ (12)

其中x 取值区间为[-100,100],最优解为0; F3: Griewank Function

(

)2i 11x f x cos 1

4000D

D

i i ===-+∑∏ (13)

其中x 取值区间为[-600,600],最优解为0; F4:Rastrigin Function

()()()

2i i 1

f x x 10*coscos 2*π*x 10D

i ==-+∑ (14)

其中x 取值区间为[-600,600],最优解为0;

F5: Shubert Function

()()155

211()i*cos[i 1*x i]*{i*cos[i 1*x i]}

i i f x ==??=++++????∑∑(15) 其中x1和x2取值区间为[-10,10],最优解为-186.7309。 F6:

Schaffer Function1 12()0.5f x =+ (16)

其中x1和x2取值区间为[-100,100],最优解为0 F7: Six-hump Camel Back Function

42222

1111222()(4 2.1*)**(44*)*3x f x x x x x x x =-+

++-+ (17)

其中X1在[-3,3]之间取值,在[-2,2]之间取值,且最优解为-1.031628。

F8:

Ackley Function

(2**)()20*((

)20i cos x f x exp exp e D

π=---++ (18)

其中x 取值区间为[-32,32],最优解为0; F9:

Schaffer Function2

12()0.5f x =- (19) 其中x1和x2取值区间为[-100,100],最优解为-1 4.2.实验参数设置

本文选择了6种的算法同时求解优化问题,以对比考察各种算法的性能。6种算法包括3种DE 算法,文献[4]的MMT -PSO 算法,文献[5]的ODE-SI 算法和本文的算法MMT -ODE 。算法种群大小为60,最大迭代次数为3000,交叉概率CR=0.8,在DE1中,F=0.5,DE2中,F=1,λ=0.95,DE3中,F=0.5,对于函数F9,所有算法种群取为20,最大迭代次数为500,与文献[4]的MMT -PSO 种群

及最大迭代次数保持一致以便进行比较。阀值距离d 的取值主要依赖于具体的问题,通过前期的大量实验,分析实验数据发现d 在L*1E-10 ~ L*1E-5之间取值时,算法具有相对较好的性能(L 表示当前种群中最优解和最差解的长度),本文中d 取L *1E-5。MMT -ODE 中最优解反向跃变概率JP=0.4。对于每一问题,为了更好测试算法的鲁棒性, MMT -ODE 独立运行50次。其他DE 算法各独立运行50次。 4.3.实验结果和分析

表1是6种算法在测试函数集上运行50次得到的最优解的平均最优适应值和对应的标准差的统计结果。在表1中,MMT -PSO 和ODE-SI 的数据来自文献[4]与文献[5]。通过这些实验,我们可以观察到不同算法之间的各种性能差异。“——”表示在该算法文献中,该算法没有使用对应的测试函数。其中MMT -PSO 使用的

F3,F4函数的x 的取值区间为[-100,100]。为了更好的分析MMT -ODE 算法,在该算法中采用了DE1和DE2两种演化策略,分别与其他算法进行比较。即在算法流程中,当粒子到质心的距离小于指定阀值时,分别采用DE1即公式(9)和DE2即公式(10)进行演化。为了区别采用DE1和DE2的MMT -ODE 算法,现分别命名为MMT -ODE1和MMT -ODE2。

1 期刘罡等:分子动理论的新型反向差分演化算法5

表1. 各种算法对测试函数所得最优解的平均值和标准差

Table 1.A verage best fitness and standard deviations for each algorithm on the benchmark problems

从表1中可以看出,对于简单函数F1,同为基于分子动理论的MMT-PSO和MMT-ODE1,MMT-ODE2相比,MMT-ODE的2种版本得到的平均值和标准差都优于MMT-PSO。同时,MMT-ODE 也都优于采用相同反向学习机制的ODE-SI。MMT-ODE在精度上比2者在数量级上有2-6倍的提高。MMT-ODE得到的平均值与标准差也明显优于DE1,DE2和DE3。对所有测试函数的性能都优于DE2。对于经典的复杂优化函数F2,在该函数取值区间内走势平坦,为算法提供少量信息,要收敛到全局最优点机会微乎其微。MMT-ODE的2种版本在得到结果的平均值都劣于DE3,但标准差都优于DE3两个数量级。但MMT-ODE得到的结果优于ODE-SI,DE1得到的平均值比MMT-ODE略好,但标准差却差了2个数量级。这也反映出MMT-ODE的稳定性优于DE1,DE3。对于函数F3,F4,MMT-ODE都可以得到最优解,且非常稳定,优于其他所有算法。虽然MMT-PSO的x取值区间小于其他算法,但得到的最优解平均值和标准差依然低于MMT-ODE。对于函数F5,F6,F7,所有算法都可以得到最优解,但MMT-ODE稳定性也比较好,优于ODE-SI,且与其他DE稳定性相当或略好。对于函数F8,MMT-ODE的2种版本都可以得到较高精度的最优解,优于其他所有算法,且稳定性好。从表2中可以看出,对于函数F9,所有算法在种群大小为20,最大迭代次数为500的情况下,

6小型微型计算机系统2007年

MMT-PSO得到的最优解平均值略好于其他算法,其他算法则结果差别不大。

从以上可以看出,MMT-ODE在得到结果的平均值,与标准差方面,优于同样基于分子动理论的MMT-PSO,也优于同样采用反向学习机制的ODE-SI算法。与DE的3种版本相比,也优于DE 的3种版本。图2-图5展示了4个测试函数的收敛曲线趋势图。由于MMT-PSO最大迭代次数为5000次,为了方便进行比较,将其他算法达到其最大迭代次数终止时的最优解复制补足到5000次(不是演化到5000次),以便在同一图中进行比较。由于MMT-ODE1和MMT-ODE2得到的结果基本相近。所以为简便起见,MMT-ODE使用MMT-ODE1进行比较,以下对于MMT-ODE1简称为MMT-ODE。在图2中,对于函数F3,MMT-ODE和DE3收敛曲线都展现出类似的收敛趋势,所求结果在相同的数量级上。MMT-ODE得收敛速度明显高于其他算法。MMT-PSO在F3上的x取值区间为[-100,100],小于其他算法的取值区间。但对于函数F3,MMT-PSO收敛明显比较慢,且陷入局部最优。

图2.F3在6种算法上的收敛曲线图

Fig.2Convergence curve for Griewank Function 在图3中,对于函数F4,MMT-ODE在收敛速度,最优解都优于其他算法。ODE-SI,MMT-PSO及其他DE全部陷入了局部最优。其中MMT-PSO在F4上的x取值区间为[-100,100],搜索空间虽然缩小,但依然陷入局部最优。

图3.F4在6种算法上的收敛曲线图

Fig.3Convergence curve for Rastrigin Function

在图4中,MMT-ODE和其他算法都收敛到最优解,但MMT-ODE 得收敛速度高于其他算法。同时,MMT-ODE收敛精度也高于其他算法。其中,MMT-PSO没有函数F6的数据,故图4中只有5种算法进行比较。在图5中,ODE-SI没有函数F9的数据,故图5中只有5种算法进行比较。图5中所有算法最大迭代次数为500次,种群大小为20。在图5中,除了DE2没有收敛到最优解外,其他算法都收敛到最优解。MMT-ODE收敛速度明显高于MMT-PSO。

图4.F6在5种算法上的收敛曲线图

Fig.4 Convergence curve for Schaffer Function1

1 期刘罡等:分子动理论的新型反向差分演化算法7

图5.F9在5种算法上的收敛曲线图

Fig.5 Convergence curve for Schaffer Function2 从上表和图中可以看出,MMT-ODE在各个性能上优于MMT-PSO,ODE-SI,DE1,DE2,DE3。由于文献[12-13]已经验证了DE算法在处理不同优化问题时性能优于PSO,所以结合了各种DE的MMT-ODE优于MMT-PSO。又由于采用了分子动理论,所以MMT-ODE优于ODE-SI。对于MMT-ODE算法,该算法中的距离阀值d如果取的过大,则大量粒子都受到分子力作用,粒子受到的差分量干扰加大,导致无法有效的找到最优解。而如果距离阀值d如果取的过小,过于少量的粒子受到分子力作用,演化过程退化成了一般的DE,无法发挥基于分子动理论的改进作用。因此阀值距离d即不能取过大也不能取过小。

综上所述,MMT-ODE在收敛性和结果鲁棒性方面相比其他5种算法有很大提高,全局搜索能力得到很大提高,是种有效可靠的全局优化算法。

6.结论

本文提出了一种新颖的分子动理论的反向差分优化算法,算法引入分子作用力来控制粒子的飞行方向,使得每个粒子在离群质心足够近时,粒子受到分子合力的作用。而在离群质心较远时,粒子不受到分子合力作用。这种处理方式较好地平衡了局部“搜索”和“开拓”新领域之间的关系。同时,也引入了反向学习机制到种群初始化和最优解跃变中。实验结果表明,对于函数优化问题, ODE-SI算法的结果精度要高于MMT-PSO,ODE-SI和DE1,DE2,DE3;当所有算法的结果精度相似时,MMT-ODE算法在收敛速度和结果鲁棒性方面优于其他算法。

未来的工作将主要研究如何使用本文提出的算法有效的解决带有约束条件的问题,特别是要充分考虑可行解和不可行解之间的转变操作应该以何种方式实现。同时,还要研究MMT-ODE 算法在图像滤波中的应用。

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