求法向量的练习题
求法向量的作业化考试-----2014-11-28 一、选择题（每小题6分，共24分）
1、m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A
25
C.2
21 D.8 2、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ） A. 0
30 B.0
45 C.0
60 D.0
90
3、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则实数λ等于( )
A.627
B.637
C.607
D.65
7
4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ） A.
63 B.552 C.155 D.105
二、解答题（每小题15分，共计75分） 1.如图,已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。
2如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,
1CC 上的点，
2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA =
（1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2） 求平面1A ED 、1A ED F --的法向量。
3.如图，已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求平面ABC 1D 1的法向量。
4.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1、 平面ABCD 的法向量。
A 1
B 1
C 1
D 1 A
B C D
x y z
z y x
D 1
A 1
D B 1
C 1
C B
A F
E
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
x
o
z
y
E z x
D 1 y
A C 1
B 1
A 1
B
D C
探索空间平面法向量的求法与方向的判定
“ 量无论无论是 和具有规具有规律性。 时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定 问题，都离不开平面的 成角 ” ” 距离 “ 问题，还是 杨玉春 (铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300) 向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质 转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实 现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几 何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论 是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的 法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶 颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的 大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是 指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判 定。 一、平面法向量的求法 1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B， 则或即为平面α的一个法向量。 2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0 n ·b=0求出λ，μ即可。 （2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。 3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。 4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ） 则a ×b= =( ,| |,|) =(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---) 取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。 二、空间平面法向量方向的判定 1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。 2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
对法向量的透彻理解与灵活运用
对法向量的透彻理解与灵活运用 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12
(立体几何)法向量判断向量方向
用法向量求二面角时法向量方向的判断 （法一） 摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向 关键词：法向量二面角方向判断 借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角的大小与法向量的所成角（）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，（图1）；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指 向二面角的外部时，（图2）。 求二面角的方法——“一里一外” 为了计算方便，我们求得的法向量夹角最好大小等于二面角的大小。所以，要求一个法向量方向朝着二面角的内部，一个方向量方向朝着二面角的外部，简记为“一里一外”。
那么有没有判断法向量方向的方法呢？ 其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点来判断法向量 的方向，具体方法如下： 面A B C与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C三点,不 妨设A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,),坐标原点O在面A B C上的射影 为D点。 容易证明：是锐角三角形，而且D点为的垂 心1,也就可以知道D点在的内部。 设D（x,y,z）,也即向量=（x,y,z），则知x，y，z分别与，，同号，此时取平面A B C的一个法向量=（），若与向量的对应的一个坐标同号，则另外两个也必然对应同号，也即与，，对应同号，这样，只要与对应的，，有一个同号，则可知与同向，从而可进一步判断出的方向为指向平面A B C异于原点O的一侧，否则就指向原点所在的那一侧。 这样一来我们可以很容易地判断法向量的方向。 特别的，若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。 例.如右图在四棱锥P—A B C D中，底面A B C D是边长为2的 正方形，侧棱P D⊥底面A B C D，P D=D C，E，F分别是P C,P D的中点， （1）求二面角F—B E—C的大小； （2）求二面角D—B E—C的大小。 解析：（1）以D点为原点，D A所在直线为x轴，D C所在 直线为y轴，D P所在直线为z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系D-x y z， 依题意有P（0，0，2），F（0，0，1），E（0，1，1）， 1容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
整理法向量的快速求法
法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法 一、法向量定义 定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 二、平面法向量的求法 1、内积法 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]， 在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的 方程组，解此方程组即可得到。 2、 任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3 个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 3、外积法 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两 者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指 由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。 设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×= （注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。） Code public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3) { try { double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数
用法向量求面角时法向量方向的判断
用法向量求二面角时法向量方向的判断 贺年成 摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向 关键词：法向量 二面角 方向 判断 借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角θ的大小与法向量的所成角α（=α12<,>n n ）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，θπα=-（图1）；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时，θα=（图2） 。 对于法向量的方向的判断一直是个难点，其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点就可以判断法向量的方向，具体方法如下： 面ABC 与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C 三点,不妨设A(a ,0,0), B(0, b ,0), C(0,0, c ),坐标原点O 在面ABC 上的射影为D 点,容易证明：ABC ?是锐角三角形，而且D 点为ABC ?的垂心1,也就可以知道D 点在ABC ?的内部，设D （x,y,z ）,也即向量 OD =（x,y,z ），则知x ，y ，z 分别与a ，b ，c 同号，此时取平 面ABC 的一个法向量n =（111,,x y z ），若n 与向量OD 的对应的一个坐标同号， 1 容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。
则另外两个也必然对应同号，也即111,,x y z 与a ，b ， c 对应同号，这样，只要111,,x y z 与对应的a ，b ，c 有一个同号，则可知n 与OD 同向，从而可进一步判断出n 的方向为指向平面ABC 异于原点O 的一侧，否则就指向原点所在的那一侧，这样一来我们可以很容易地判断法向量到底指向二面角的内部还是外部。若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。 例. 如右图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E ，F 分别是PC,PD 的中点，（1）求二面角F —BE —C 的大小，（2）求二面角D —BE —C 的大小。 解析：（1）以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，依题意有P （0，0，2），F （0，0，1），E （0，1，1），B （2，2，0），C （0，2，0），BE =（-2，-1，1），FE =（0，1，0），EC =（0，1，-1），DE =（0，1，1），设1n =（111,,x y z ）, 2n =（222,,x y z ）, 3n =（333,,x y z ）分别为平面BEF ，平面BEC ，平面BDE 的法向量， 110 BE n FE n ?=??=???1111200x y z y --+=?? =? 可取平面BEF 的一个法向量 1n =（-1，0，-2） ， 220 BE n EC n ?=?? =???22222200x y z y z --+=??-=? 可取平面BEC 的一个法向量2n =（0，1，1），坐标原点D 在二面角的内部，平面BEF 与Z 轴交于F 点，F 点的竖坐标与0n 的竖坐标符号相异，可知1n 的方向指向坐标原点D 所在的一侧，也即1n 指向二面角的内部，同理，平面BEC 与Y 轴交于C 点，C 点的纵坐标与2n 的纵坐标符号相同，可知2n 的方向指向异于坐标原 A
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)学案苏
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一) 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题. 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 梳理(1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的________) 形式在直线l上取AB → ＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP → ＝________ 作用定位置点A和向量a可以确定直线的________ 定点可以具体表示出l上的任意________ (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向 量 确定平 面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量能平移到直线上的________向量a，叫做直线l 的一个方向向量 平面的法向量直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面α的法向量 (4)空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行l∥m?________?a＝k b(k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?________ 面面平行α∥β?μ∥v?________ 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
平面法向量的一种简单求法和在求角
平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用 云南李学元 一、法向量的定义： 与平面垂直的向量叫平面的法向量 （根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积 a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ
a×b的坐标计算 设a=(x1, y1, z1) b=(x2 , y2, z2) 则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc 习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下 作b×a时，把b写在上，把a写在下 练习：已知a=（2，1，0） b =（-1，2，1） （1）求a×b。（2）求b×a 解：a×b= b×a= 注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量 解：以D ∴A（ E（ F（ ∴AF=（ AE=（ ∴平面AEF的法向量n=( ) 四、法向量在求角中的应用。 1、用法向量求线面角。如图 Θ=1 2 π-
判断法向量的方向
构造三角形重心巧定两平面法向量的方向 安徽省五河县刘集中学 刘瑞美（邮编：233333） 利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，而学生不知道如何找二面角内的点P ，结果给解题带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点P ，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合近年的年高考题，写出来与大家同享。 为了解决问题的方便，现给出如下的两个定理： 定理1：向量是平面α的一个法向量，点O 在平面α内，点P 在平面α外。若0＞?，则向量m 与向量OP 指向平面α的同侧（如图1）；若0OP m ?，则向量m 与向量OP 指向平面α的异侧（如图2）。 证明：当0＞?时，∵θ =? ，∴θcos ＞0，∴2 0θ＜ ≤，∴向量与向量OP 指向平面α的同侧。同理可证当0OP m ?时，θcos ＜0，∴πθπ ≤＜2， ∴向量与向量指向平面α的异侧。 定理2：点P 是二面角βα--l 内一点，点O 是棱l 上一点，向量n m ,分别是平面βα,的一个法向量，二面角βα--l 大小为θ。若?与?同号，则><-=n m ,πθ；若 ?与?异号，则>=<,θ（如图3）
如何控制法向量的方向来求面角
控制法向量的方向求解二面角 向量法求证空间位置关系及其求解距离和角为大 家所知，但很多人在求解二面角时，法向量求出来后再利用夹角公式求出余弦值，但有时不能确定究竟是钝角还是锐角二面角，事实上，我们在设置法向量时是可以控制法向量的夹角就是二面角的大小的。 首先我们认识一下法向量夹角和二面角的关系： 如上图所示，当我们把法向量控制成“一进一出”是不难得出12,n n 的夹角就是二面角的大小，反之就不是。 其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”？ 我们知道在空间直角坐标系中，任何平面都会有 n n
法向量，仅且存在两个方向相反的方向，所以在空间直角坐标系中，你总是可以控制任何半平面的法向量的方向在二面角中的“进”与“出”的。 n 如图所示：平面ABC的法向量Array Array (1)若以“向上”可设n＝（x,y,1） (2)若以“向前”可设n＝（1,y,z） (3 )若以“向右”可设n＝（x,1,z） 若将1变成－1，那么将会变成与n方向相反的 法向量。 一般来说，总有一个明显的方向，因此我们
了解了这点，那么控制法向量的“进与出”可以做到随心所欲。 例如2005年高考题： 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ， ⊥=∠PA DAB ,90 底面 ABCD ，且PA=AD=DC=2 1AB=1，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值。 （Ⅰ）（Ⅱ）此处略。（Ⅲ）其他方法从略，下面就法向量法求解说明。 解（Ⅲ）：A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,M(0,1,1 2 ) , 1(0,1,),2AM =,(1,1,0),AC =1 (0,1,)2 MB =-(1,1,0)CB =- 设1n ＝(,,1)x y -,2n =(,,1)x y ,分别为平面AMC,平面BMC 的法向量， n
平面法向量的求法
平面法向量的求法 教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量 教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程： 1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法 （1）方程法 例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243 AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值； 【评析】 （2）含0速算法 如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，1A A = AB =，2AC =，111AC =． （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 【评析】 【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,( (3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α 【评析】 3、应用练习： 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．
经典习题平面法向量求法及应用
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于 ,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于 θs in ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采 取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向 量， )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
空间向量平面法向量
1．若异面直线l1，l2的方向向量分别是=（0，﹣2，﹣1），=（2，0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 （）A．﹣ B．C．﹣D． 2．已知点A（0，1，2），B（2，3，4），|AB|=（）A． 2B． 3C．D． 12 3．若=（2，2，0），=（1，3，z），＜，＞=60°，则z等于（）A．B．﹣C．±D．± 4.若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（） A． 17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D． 1 5．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90° 6．已知向量，则它们的夹角是（）A．0°B． 45°C． 90°D．135°7．空间向量=（1，1，1），=（0，1，﹣1），则，的夹角为（）A． 30°B． 60°C． 90°D． 120° 8．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），、的夹角的余弦值为，则λ的值为（）A．﹣B．C．D．﹣ 9．已知A（﹣1，﹣2，1），B（1，2，﹣1），O为坐标原点，则向量与的夹角是（） A． 0 B．C．D．π 10．已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（）A．3 B．C．D．5 11．若向量=（1，λ，0），=（2，0，0）且与的夹角为60°，则λ等于（） A．1 B．C．﹣或D．﹣1或1 12．已知=（1，0，﹣1），则下列向量中与所成夹角为120°的是（） A．（1，0，1）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，﹣1）D．（﹣1，1，0） 13．若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（） A． 0 B． 1 C．﹣1 D． 2 14．若向量=（﹣1，2，0），=（3，0，﹣2）都与一个二面角的棱垂直，且、分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_________． 15．若向量=（1，λ，2），=（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=_________． 16．在空间直角坐标系中，已知A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为_________．17．已知，则与的夹角等于_________．
巧求平面法向量(方程法)
巧求平面法向量 在空间直角坐标系中，平面的一般方程是0d cz by ax =+++（其中系数a,b,c 不同时为零），则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面0d cz by ax =+++的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。 定理1：若平面α不经过原点．．．．． ,，取平面α内不共线的三点A 、B 、C ，将其分别坐标代入关于z y x ,,的方程1cz by ax =++（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c 的一组值，则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量 定理2：若平面α经过原点．．．． ,取平面α内与原点不共线的两点A 、B ，将其坐标代入关于z y x ,,的方程0cz by ax =++，求出系数a,b,c 的一组值，则向量)c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量。 例1：已知如图正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。 解（1）因为平面BDC 1过原点D,将点B(1,1,0),C 1(0，1，2)代入0cz by ax =++得：0 20a b b c +=?? +=? 所以 2a b b c =-?? =-?。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以)1,2,2(n -=→是平面BDC 1的法向量 （2）因为平面A 1BC 1不过原点D,将点A 1(1,0,2),B （1，1，0）C 1(0，1，2)代入1cz by ax =++得： 21121a c a b b c +=??+=??+=?所以121214a b c ? =?? ? =? ? ? =?? 所以)4 1 ,21, 21(n =→ 为平面BDC 1的法向量 (3) 因为平面ABC 1D 1不过原点D,将A 1(1,0,2),B （1，1，0 C 1(0，0，2)代入1代入2ax by cz ++=得 22022221a c a a b b c c +==???? +==????==?? 即所以(0,2,1)n →=是平面ABC 1D 1的法向量。
快速求平面法向量
快速求平面的法向量 用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝(1 122y z y z ，－1 122x z x z ，1 1 22 x y x y )，这更便于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此 处略去），但你可以验证n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ①一定按上述格式书写，否则易被扣分. ②n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量 用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 112 2 y z y z ，－ 112 2 x z x z ， 112 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处 略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6
平面法向量的求法及其应用
叶超（四川省华蓥中学） 原创作品，严禁转载！ 第1/3页 平面法向量的 求法及其应用 四川省华蓥中学 叶超 本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。 1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。 (1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量?与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直?两向量的内积 为0”确定待定参数。 例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝ 90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝2 1AB ＝1，M 是PB 的中点。求面AMC 的一个法向量。 析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2） 列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2） 待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ） 于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终 点的向量，是图中的1n 。 说明：这种方法虽能求解，但是： ①要根据“两向量垂直?两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。 综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！ 这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看—— A B P M C D y ＝－x z ＝2x ?02 1=+=?z y AM n 0=+=?y x AC n