线代论文

华北水利水电学院

矩阵对角化及其应用

课程名称：线性代数

专业班级：应用化学2011123

成员组成：姓名李国庆学号201112314

姓名姜林强学号201112325

联系方式：132********

2012年10月29日

摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一

类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.

关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换

英文题目

Matrix diagonolization and its application

Abstract:This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and

using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized;

Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation

1

具体内容：

1、矩阵可对角化的条件：

1）设δ是n 维线性空间的一个线性变换，δ的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是δ有n 个线性无关的特征向量。

2）方块矩阵 A 被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P ?1AP 是对角矩阵。

3）设A 是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在F 上n 阶可逆矩阵T ，使得 T 1-AT=∧,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。 可对角化矩阵的基本性质和结论：

1）

数域F 上n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

2）

数域F 上n 阶矩阵A 在F 内有n 个不同的特征根，那么A 可以对角化。

3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。

4）

如果在n 维空间V 中，线性变换δ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即δ有n 个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形

的。

5） 任一n 阶实对称矩阵都可以对角化。

6）

对任一n 阶实对称矩阵A ，必存在n 阶正交矩阵T 使得T 1-AT=diag(1λ,2λ,...,n λ)，其中（1λ,2λ,...,n λ为A 的特征根)。

5）实对称矩阵的任一个特征值都是实数。

6）实对称矩阵

对应于不同特征值的实特征向量是正交的。

2、矩阵对角化的方法及实例解析：（以实对称矩阵为例）

实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角矩阵。

设A 是一个n 阶实对称矩阵，α , β 是任意的n 维实向量，那么

(A α,β)=(α,A β)

2

设A 是一个n 阶实对称矩阵，T=[]n X X X ...

2

1

是一个正交矩阵使得

，则1λ,2λ,…n λ是A 的所有特征值，而X 1,X 2,…X n 是

A 的n 个相互正交的单位特征向量。

例1 设A=????

?

?

???

???--------2111121111211112，求正交矩阵T ，使得T 1-AT 为对角阵。 解：由A E -λ=

2

1

1

1

1

2

1111

2

11112

---------λλλλ=)5()1(3--λλ

得

的特征值为1λ=2λ=3λ=1（三重特征值）,4λ=5.

当1λ=1时，由(1λE-A)=0，即： ????

?

????

???--------1111111111111111????????????4321x x x x =????

?

???????0000 得基础解系为1α=????????????0011， 2α=????????????0101，3α= ????

?

???????-1001 ，把它正交化，

得1β=1α=????????????0011，2β=2α-11112,,ββββα=????????????-012121，3β=3α-22223,,ββββα-11113,,ββββα=?????

?

??????---113131

3

再将其单位化得：1η=??

?

??

??

???????002222，2η=??????????????-

03

66666，3η= ??????

????????---2336363

当4λ=5时，由(1λE-A)=0即：?????????

???----3111131111311113????????????4321x x x x =?????

?

??????0000， 得基础解系为4α=?

?

??

????????--1111,将其单位化得：4η=?????

?

??????--21212121 则1η,2η,3η,4η是A 的一组单位正交的特征向量，令

T=[]43

21ηηηη=??????

????????-

-----

212

321633

62163662

2

2

13

36

6

220

0 则T 是一个正交矩阵。且T 1-AT ?

????????

??

?5111 例2 设A=????

?

?????522242224 ，求正交矩阵T ，使得T 1-AI 为对角阵。

解：由λE-A=4

2

24

2

224

----

-----λλλ=(λ-2)2(λ-8)

得的特征值为1λ=2λ=2（二重特征值），3λ=8。=

当1λ=2λ=2时，由(1λE-A)X=0，即：???

??

?????---------222222222??????????321x x x =????

?

?????000

4

得基础解系为1α=??????????-011，2α=?????

?????-101，把它正交化得：

1β=1α=??????????-011,2β=2α-11

112,,ββββα=????

??????--12121。 再将其单位化得：1η=?

??

??

?????-02222,2η=????

??????--366666。

当3λ=8时，由（3λE-A ）X=0，即：??????????------422242224??????????321x x x =?????

?????000

得基础解系为3

α

=??

???

?????111，将其单位化得：3η=???

?????

?

?3

33333。则1η,2η,3η是的一组单位

正交的特征向量，令T=[]32

1ηηη=??????

???????

?-

--333

633

6622

3

322

06

6 则T 是一个正交矩阵，且T 1-AT=?????

?????822.

3、可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的 意义，例如其在求特征值、特征向量方面有着重要的应用，可以简化计算。 1）求方阵的高次幂

一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A 能相似于对角矩阵(A 可以对角化),即若存在可逆矩阵P ,使得P 1-AP=B,其中B 是对角阵.则A =PBP 1-,A n =

5

（PBP 1-)n =PBP 1- PBP 1-…PBP 1-=PB n P 1-,而对角阵B 的n 次幂是由各对角元 素的n 次幂组成,所以可通过A 的相似对角阵来求A n 。

例1 作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:

设某城市共有3 0 万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:

(1)在这30 万就业人员中,目前约有15 万人从事农业,9 万人从事工业,6 万人经商;(2)在从农人员中,每年约有20% 改为从工,10% 改为经商;(3)在从工人员中,每年约有20% 改为从农,10% 改为经商;(4)在从商人员中,每年约有10% 改为从农, 1 0 % 改为从工。

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。

解:若用3 维向量X i 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数, 则已知

X o = ???

?

? ??6915,而欲求X 1,X 2并考察在n →

X n 的发展趋势,引进 3 阶矩阵

A =[a ij ]用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a 23 =0.1 表明每年有10%的从工人员改去经商。于是有A = ?????

?????8.01.01.01.07.02.01.02.07.0, 由矩阵乘法得

X 1 =A T X 0= AX 0=????? ??2.79.199.12 ,X 2 = A X 1= A 2X 0

=????

?

??04.823.1073.11

所以X n = A X 1-n =A n X 0 要分析X n 就要计算A 的n 次幂A n ,可先将A 对角化

即E A λ- =λ

λλ

---8.01

.01

.01.07.02.01.02.07.0=(1- λ)(0.7- λ)(0.5-λ )

特征值为1λ=1, 2λ=0.7, 3λ=0.5 6

分别求出对应的特征向量q 1,q 2,q 3 并令Q=[ q 1,q 2,q 3 ],则有A = Q BQ 1-

从而有A n =Q BQ 1- ,再由X n =A n X 0，B = ??????????5.00007.0000

1,B n

????

?

?????n n 5.00007.00001

可知n →∞时B n 将趋于??????????000000001,故知A n 将趋于Q ?????

?????000000001Q 1-,因而X n 将

趋于一确定常量X * , 因而X 1-n 亦必趋于X * , 由X n =AX 1-n 知X* 必满足

X*=AX*, 故X* 是矩阵A 属于特征值1λ= 1 的特征向量, X * =????? ??111t=???

??

??t t t ,t +t

+t =3 =30,t =10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等, 均为10 万人。

2 利用特征值求行列式的值

例1 设n 阶实对称矩阵A 满足A 2=A ,且A 的秩为r, 试求行列式的值。 解: 设AX =λX , X ≠ 0,是对应于特征值λ的特征向量, 因为A 2 = A , 则

λX = A X =A 2X =2λX ,从而有(2λ-λ )X =0,因为X ≠ 0所以λ( λ-1)=0,即λ=1 或0,又因为A 是实对称矩阵,所以A 相似于对角矩阵,A 的秩为r, 故存在可逆矩阵P , 使得P

1

-AP = ??

?

?

??000r

E =B , 其中E r 是r 阶单位矩阵, 从而A E -2=112---PBP PP =B E -2=2r n -

3 由特征值与特征向量反求矩阵

若矩阵A 可对角化,即存在可逆矩阵P 使P 1-AP = B , 其中B 为对角矩阵,则A =PBP 1-

7

例1 设3 阶实对称矩阵A 的特征值为1λ=-1, 2λ=3λ=1,对应于1λ 的特征向量

为P 1=???

?

? ??110,求矩阵A 。

解:因为A 是实对称矩阵,所以A 可以对角化,即A 有三个线性无关的特征向量,

设对应于2λ=3λ=1的特征向量为P =???

?

? ??321x x x ,它应与特征向量P 1正交

, 即[P ,P 1]= 0X 1+X 2+X 3=0,该齐次方程组的基础解系为P 2=???

?? ??001,

P 3=???

?

? ??-110,它们即是对应于2λ=3λ=1 的特征向量。

取P =(P 1,P 2,P 3 )=??????????-101101010,B=?????

?????-100010001

则P 1-AP = B , 于是

A =PBP 1-=??

????????-101101010??????????-100010001??????????-2/12/100012/12/10=????

?

?????--010100001 4 判断矩阵是否相似

例1 下述矩阵是否相似

A 1= ??????????300020002, A 2=??????????300120012,A 3=??

??

?

?????300020102 解: 矩阵A 1,A 2,A 3的特征值都是1λ=2(二重), 2λ=3,其中A 1已是对角阵,所以只需判断A 2,A 3是否可对角化

8

先考查A 2,,对于特征值1λ=2 ,解齐次线性方程组(2E - A 2)X =0 得其基础

解系为α1=???

?

? ??001,由于1λ=2 是A 2 的二重特征值,却只对应于一个特征向量,故A

2

不可对角化或者说A 2 与A 1不相似。

再考查A 3,对于特征值1λ=2,解齐次线性方程组(2E - A 3,)X =0 得基础解系;

对于特征值2=3 解齐次线性方程组(3E - A 3,)X =0,得基础解系由于A 3,有三个线性无关的特征向量,所以A 3, 可对角化, 即A 3,与A 1 相似。 5 求特殊矩阵的特征值

例1 设A 为阶实对称矩阵,且A 2=2A,又r(A)= r

解:(1)设λ为A 的任一特征值, ξ为A 的对应于特征值的特征向量,所以A λ =λξ ,有A 2λ=A λξ = ξλ2 , 又因为A 2=2A,所以A 2λ=2A λ =2λξ ,所以

2λ=2λ ,由此可得 λ=2 或0,因为A 是实对称矩阵,所以A 必能对角化即A ∽

B =???

??

?

?

?

??002

...2 ,且r(A )=r(B ),故2 的个数为A 的秩数,即A 的特征值为r 个2 及( n- r)个0。

9

(2)因为由(1)可得A ∽B ,即存在可逆矩阵C ,使得C 1-AC = B ,故有A = CBC 1-

A E -= 1--CBC E =11---CBC CEC =C

B E -1-

C =B E -

=1

011

01

---(-1)r

结论：矩阵的对角化问题在线性代数中扮演着很重要的角色，在很多方面都有

着非常重要的作用。（例如求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值与特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、求特殊矩阵的特征值）

参考文献：

[1] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18

[2] 刘九兰,张乃一,曲问萍主编.线性代数考研必读.天津:天津大学出版社,2000,5.

第一部分（1—5): 李国庆 第二部分（6—10）：姜林强

10