6-4不等式的应用.题库教师版
一、结果确定型（不等式）
【例1】 如图所示，天平向左倾斜，当天平中的x 取__________时天平会向右倾斜．( )
A ． 4x >
B ． 4x ≥
C ． 4x <
D ． 4x ≤
8g
xg xg
【考点】结果确定型（不等式）
【难度】1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】A
【例2】 甲、乙两人到某特价商店买商品，商店的商品只有两种单价8元和9元．已知两人购买商品的件数
相同，且两人购买商品一共花费了l72元．求两人共购买商品各多少件？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设两人共购买8元商品x 件，9元商品y 件，两人购买商品件数均为n 件，
则有289172
x y n x y +=??+=?，解得1817217216x n y n =-??
=-?，由于00x y ≥??≥?，即181720
172160
n n -≥??-≥?
解得53
91094
n ≤≤，所以10n =，从而8x =，12y =
故甲乙两人共购买8元商品8件，9元商品12件．
【答案】甲乙两人共购买8元商品8件，9元商品12件．
【例3】 某一出租车的起步价为2千米5元，不足2千米按2千米收费，以后每增加l 千米增加2元，不足l
千米按1千米收费．现某人乘出租车从甲地到乙地共付费35元．如果他从甲地到乙地，先步行800
中考要求
不等式的应用
米，然后再乘出租车，车费也是35元．问从甲乙两地的中点乘出租车到乙地应付费多少元？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】根据已知条件确定甲乙两地之间距离的取值范围，再按要求计算车费．
设甲乙两地相距x 千米，k 为超过2千米后增加1千米的次数，依题意有3552k =+， 解得15k =，于是214215x +<≤+，即1617x <≤，
又160.817x <-≤，即16.817.8x <≤，综合得16.817x <≤
所以8.48.52x <≤，即2 6.42 6.52
x
+<≤+
故从甲乙两地中点到达乙地应付费52719+?=元．
【答案】19元
【例4】 某出租车的收费标准是：5千米之内起步价为10.8元，往后每增加1千米，增收1.2元。现在从A 地
到B 地共支出车费24元，如果从A 地到B 地先步行460米，然后乘车也是24元，求从AB 中点C 到B 地需支付多少车费？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】1998年，湖南长沙市初中数学竞赛
【解析】设A 地到B 地的路程是x 千米，由2410.8
111.2
-=，
则510511x +<+≤，且5100.46511x +<-+≤。 即1516x <≤， ① 且15.4616.46x <≤ ②
取不等式①，②的公共部分得15.4616x <≤。
于是7.7382
x
<≤。
即求得了C 地到B 地的路程在7.73千米至8千米之间，在5千米以外部分应收3个1千米车费，故从C 地到B 地应付车费10.8 1.2314.4+?=元。 答：乘车从AB 中点C 到B 地需支付车费14.4元。
【答案】14.4元
【例5】 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行
走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ≠，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是1t ，2t
则1122t t m n S +=，222S S t m n +=，可得12S t m n =+，2()2S m n t mn
+= 22
12[4()]()02()2()
S mn m n m n t t S mn m n mn m n -+--==-<++，120t t -<，即12t t <
【答案】甲先到达
【例6】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多．若
把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球与红球各有多少个？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设白球有x 个，红球有y 个，依题意有22360x y x
x y <
，解得7.512x <<
又由26033(20)x y y =-=-，知x 是3的倍数．故白球共有9个，红球共有l4个．
【答案】白球共有9个，红球共有l4个．
【例7】 某生产小组展开劳动竞赛后，每人每天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个；后来
改进技术，每人每天又多做27个，这样他们4人一天所做零件就超过劳动竞赛中8人一天所做零件．问他们改进技术后的效率是劳动竞赛前的几倍？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】 【题型】解答 【关键词】
【解析】设劳动竞赛前每人每天做x 个零件，
则有8(10)2004(1027)8(10)x x x +>??++>+?，解得1517x x >??
，因为x 为整数，所以16x =
于是(1637)16 3.3125+÷=，改进技术后的效率是劳动竞赛前的3.3125倍．
【答案】3.3125倍
【例8】 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个
苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设有x 人， 则苹果有(512)x +个
由题意得5128(1)85128(1)0x x x x +--?
解得：20
43x <<
∵x 为正整数 ∴5x =或6
当5x =时，51237x +=人；当6x =时，51242x +=人
【答案】37人或42人
【例9】 花城中学初二(A)班的女同学计划制作200张贺年卡，如果每人做8张，任务尚未完成，如果每人做
9张，则超额完成任务．后来决定增派4位男同学参加制作，任务改为300张，结果每人做了11张，超额完成了任务，那么，初二(A)班女同学共有( )人．
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】第十三届“五羊杯”竞赛题
【解析】设有x 位女同学．题设条件相当于82009x x <<，()114300x +>．
因x 为整数，由82009x x <<知2324x ≤≤;由()114300x +>知24x ≥，24x =
【答案】24
【例10】 在某校有住校男生若干名，若每间宿舍住4名，则还剩下20名未住下；若每间住宿8名，则一部分
宿舍没注满，且无空房。该校共有男生____名。
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】1992年，第3届“希望杯”全国数学邀请赛试题
【解析】设该校有男生宿舍x 间，那么住校的男生有()420x +名。因为每间宿舍住8名，一部分未住满且无空房，所以x 间宿舍中必有一宿舍住的人数至少为1人，最多为7人。 则()()()()420811420817
x x x x ?+--??+--??≥≤，解得135644x ≤≤。
∵x 为整数，∴6x =，42044x +=。 故该校共有住校男生44名。
【答案】44
【例11】 王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次
性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设她在甲商场购物x 元()100x >，就比在乙商场购物优惠，
由题意得：()()1000.8100500.950x x +-<+- ∴150x >
答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠．
【答案】150元
【例12】 “六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意
买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套，那么欲5套;如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，湖北省襄樊市中考试题
【解析】设该小学有x 个班，则奥运福娃共有()105x +套．
由题意，得()()1051314
105131x x x x ?+<-+??+>-??
解之，得14
63
x <<．
∵x 只能取整数，
所以5x =，此时10555x +=．
【答案】5个班级，55套福娃
【例13】 某企业为了适应市场经济需要，决定进行人事结构的调整，该企业现有生产性企业人员100人，
平均每人全年可创产值a 万元，现欲从中分流出x 人去从事服务性行业，假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20％，而分流从事服务性行业的人员平均每人可创造产值3.5a 万元，如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后
从事服务性行业的人数．
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】依题意得 (100)(120%)1001
3.51002
x a a ax a -+≥??
?≥??? 解这个不等式组，得 22
141673
x ≤≤
因为x 为正整数，所以x 取值为15或16
答：从事服务性行业人员为15人或16人．
【答案】从事服务性行业人员为15人或16人．
【例14】 某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，
此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人？
【考点】结果确定型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2000年，河北省初中数学竞赛
【解析】共有22人．设x 人得3分，y 人得4分，则得5分的共有26x y --人，则可知： ()34526 4.82613x y x y x y ++--???
???≥≥≥
解得13x y ==，
，所以2622x y --= 即得5分的共有22人．
【答案】得5分的共有22人．
二、范围探索型（不等式）
【例15】 据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t(℃)的范
围是( )
A ．17t <
B ．25t >
C ．21t =
D ．1725t ≤≤
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】C
【例16】 动物园来了两位新成员大象和小象，大象的体重为3x ，小象的体重为80x -，求x 的范围． 【考点】范围探索型（不等式） 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】
【解析】依题意列不等式组，3800x x >->，解得2080x <<． 【答案】2080x <<
【例17】 某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，选手
至少要答对( )道题，其得分才会不少于95分？
A ．14
B ．13
C ．12
D ．11
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】B
【例18】 一次数学竞赛共有16道选择题，评分办法是：答对一道得6分，答错一题倒扣2分，不答得0分，
小明有一题没答，问他至少答对几题，成绩才能在60分以上？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设他到少答对x 题，成绩才能在60分以上，
根据题意可得方程6(161)260x x ---?>，解得2
118
x >，
故至少答对12道题目．
【答案】至少答对12道题目
【例19】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s ， 引爆员点着导火索
后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】3m/s
【例20】 小王家鱼塘有可出售的大鱼和小鱼共800千克，大鱼每千克售价10元，小鱼每千克售价6元，若
将这800千克鱼全部出售，收人可以超过6800元，则其中售出的大鱼至少有多少千克？若设售出的大鱼为x 千克， 则可列式为：_____________________．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略
【答案】()1068006800x x +->
【例21】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞
赛中，小明获得优秀(90分或 90分以上)则小明至少答对了 道题．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星
【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】24
【例22】 在一次“人与自然”的知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答
案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少是对了( )道题．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2001年，河北省初中竞赛题
【解析】设他选对了x 道题，则()422560x x --≥，1
6110183
x x ≥，≥． x 为大于18的整数．
∴至少选对19道题．
【答案】19
【例23】 小强和小林共下了10盘棋，小强胜一盘记1分，小林胜一盘记3分．当他俩下完第9盘后，小强的得
分高于小林；下完第10盘后，小林的得分高过小强．小强胜 盘，小林胜 盘？
【考点】 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】
【解析】设下完第9盘时，小强胜了x 盘，而第10盘一定是小林胜．依题意得
>3(9)
<3(10)x x x x -??
-?，解得6.75<<7.5x ．所以小强胜7盘，小林胜3盘． 【答案】所以小强胜7盘，小林胜3盘．
【例24】 足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1?场得0分，一支足球队在某个赛季
中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问： (1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
(2)这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？
(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，?就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】(1)设这支球队胜x 场，则平了()81x --场，
依题意得：()38117x x +--=，解得5x =． 答：前8场比赛中这支球队共胜了5场．
(2)最高分即后面的比赛全胜，因此最高得分为：
()17314835+?-= (分)． 答：这个球打完14场最高得分为35分．
(3)设胜x 场，平y 场，总分不低于29分，可得
173
29x y ++≥，3126x y x y ++≥，≤ ∵x y ，为非负整数，
∴4x =时，能保证不低于12分；
33x y ==，
时，也能保证不低于12分．
所以，在以后的比赛中至少要胜3场才能有可能达到预期目标． 【答案】（1）5；（2）35；（3）3
【例25】 阿龙4次测验都是80多分，阿海前3次测验分别比阿龙多出1分、2分和3分，那么，阿海第4次
测验至少应得( )分，才能确保4次测验平均成绩高于阿龙至少4分．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第十三届“五羊杯” 竞赛题
【解析】阿海总分高于阿龙至少4416?=分，故阿海第4次测验高于阿龙至少()1612310-++=分．阿龙第4次测验最多考89分，故阿海第4次测验至少要考99分．
【答案】99
【例26】 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，第6，第7，第8，第9次射击中，分别得了9．0
环，8．4环，8．1环，9．3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8．8环，那么他在第10次射击至少要得多少环(每次射击所得环数都精确到0．1环)？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2001年，全国初中竞赛题
【解析】第6，7，8，9次射击的成绩和为：9.08.48.19.323.8+++=．其平均值为34.8
8.74
=．
∵他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击的平均环数，∴前5次的平均成绩8.7<环． ∴前5次成绩最多可得8.750.143.4?-= (环) 设第10次射击中了x 环， 则43.434.88.810
x ++>，8878.2x >-，9.8x >．
第10次射击至少得9.9环．
【答案】9.9环
【例27】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，
安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )
A ．4辆
B ．5辆
C ．6辆
D ．7辆
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】C
【例28】 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来
他又以每条2
a b
+元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是( )
A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．与a 和b 的大小无关．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】2000年，山东省竞赛题
【解析】由题意知，5条鱼的进价为()32a b +元，
售价为
()
5
2
a b
+
，
()
()
5
32
22
a b b a
a b
+-
-+=又 0
2
b a
-
<，所以b a
<
【答案】B
【例29】我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房．如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略
【答案】该校可能有5间或6间住房，当有5间住房时，住宿学生有37人；当有6间住房时，住宿学生有42人
【例30】初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片
0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，?这张照片上的同学最少有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】选择
【关键词】
【解析】略
【答案】C
【例31】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设后几天每天平均完成x土方，根据题意，
得：60(612)300
x
+--≥，解得80
x≥，
每天平均至少挖土80土方．
【答案】每天平均至少挖土80土方
【例32】小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设他行走剩下的一半路程的速度为x，则12
2.4 1.2
60
x-
≥所以6
x≥．
∴他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时．
【答案】6千米/小时．
【例33】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1．5元，
要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设有x位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4
x x
+-≤，解得 6.8
x≥，
所以至少应有7名同学参加照像．
【答案】7
【例34】某工人9月份计划生产零件180个，前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】这个工人改进技术后平均每天至少生产零件x个，根据题意得：
610(30102)180
x
?+-->，
2
6
3
x>，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件7个．
【答案】7个
【例35】八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元，西瓜每个8元，请问八戒至多能买几个西瓜？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设八戒买了x个西瓜，则35845
x
?+≤，解得
15
4
x≤，故八戒至多买3个西瓜．
【答案】3个
【例36】某钢铁企业为了适应市场竞争的需要，提高生产效率，决定将一部分钢铁生产一线员工调整去从事服务性工作．该企业现有钢铁生产一线员工1000人，平均每人全年可创造钢铁产品产值30万元．根据规划，调整出去一部分一线员工后，生产一线员工平均每人全年创造钢铁产品产值可增加30％，调整到服务性工作岗位人员平均每人全年可创造产值24万元．如果要保证员工岗位调整后，它们全年的总产值至少增加20%，并且钢铁产品的产值不能超过33150万元．怎样安排调整到服务性工作岗位的人数？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略．
【答案】安排调整到服务性工作岗位的人数不低于150人，不超过200人
【例37】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】2008年，永州市中考试题
【解析】设需要B型车x辆，由题意得20515300
x
?+≥，解得
1
13
3
x≥．由于x是车的数量，应为正整数，
所以x的最小值为14．答：至少需要14台B型车．
【答案】14辆
【例38】为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电．若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设学校每天用电量为x度，依题意可得
110(2)2530
110(2)2200
x
x
+>
?
?
-≤
?
整理，
得
1102310 1102420
x
x
>
?
?
≤
?
，
解得：2122
x
<≤，即学校每天用电量应控制在21度～22度范围内．
【答案】学校每天用电量应控制在21度～22度范围内
【例39】某景点的门票是10元/人，20人以上(含20人)的团体票8折优惠，现在有18位游客买了20人的团体票．
(1)问这样比买普通个人票总共便宜多少钱？
(2)问：当不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】依题意得：(1)181020100.820
?-??=(元)
(2)可设x人买20人的团体票才比普通票便宜，则
1020100.8
x>??
解这个不等式得：16
x>，即17、18、19人时买20人的团体票才比普通票便宜．
【答案】(1)20元；(2) 17、18、19人时买20人的团体票才比普通票便宜
【例40】在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)．
⑴设初三⑴班有x名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x的代数式表示)．
⑵初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009年，桂林市、百色市中考试题
【解析】⑴242
x+；
⑵()
1242315
x x
+--<
≤，则4044
x
<≤，至少有41名同学；最多有44名同学．
【答案】⑴242
x+；
⑵至少有41名同学；最多有44名同学．
【例41】暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比
原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设原计划每天的行程为x 公里，由题意，应有：
8(19)22008(19)9(12)x x x +>??
+>-?
，解得256
260x x >??
【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．
【例42】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125％．现计划节日期间按原售价让利l0％，至
多售出l00件商品；而在销售淡季按原定价的60％大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设进价为a 元，按原定价售出x 件，节日让利售出y 件(0100y <≤)．
依题意有125%125%(1a x a y ??+???-10%)(1000)125%60%1000x y a a +--???>，
整理得432000x y +>，由于0100y <≤，所以425x >，因此按原定价至少销售426件．
【答案】426件
【例43】 今有浓度分别为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、35克，现要配制浓度
为7％的盐水l00克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】华罗庚金杯培训试题
【解析】设甲，乙，丙三种盐水分别取x ，y ，z 克，可配成浓度为2％的盐水l00克，
则1005897100x y z x y z ++=??++=??％％％％，即100589700x y z x y z ++=??++=?
由题目中的限制，可知060x ≤≤，060y ≤≤，035z ≤≤ 由方程组得2004y x =-，3100z x =-，
代人到约束条件中，有0200460
0310047x x ≤-≤??≤-≤?
解这个不等式组，得3545x ≤≤，甲盐水最多用45克，最少用35克．
【答案】甲盐水最多用45克，最少用35克．
【例44】 宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，?其中面向全省招收的“宏志班”学
生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20%，?“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名．
由条件得：550
10%20%100x y x y +=??+?
≤
将550y x =-代入不等式，可解得100x ≥．
于是()110%110x +≥，
答：今年最少可招收“宏志班”学生110名． 【答案】110名
【例45】 在车站开始检票时，有a 名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排
队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人，检票速度为每个检票口每分钟检票y 人，5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口
依题意得3030(1)10210(2)55(3)a x y
a x y a x n y +=??
+=???+≤??
(2)×3－(1)，得15a
y =
代入(1)便得30
a
x =
再把所求的x 、y 代入(3)便有
63
a a
a n +≤?
因为0a >，所以11
163
n +≤?
即 3.5n ≥
n 取最小的整数，所以4n =
答：至少需要同时开放4个检票口．
【答案】至少需要同时开放4个检票口
【例46】 为加强公民的节水意识，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立
方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1．5元并加收0．4元的城市污水处理费，如果某单元共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的最多有多少户？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】若月用水量恰为7立方米，则应交费7(10.2)8.4?+=(元)，因为541.6
8.450
>，即每户平均用水超过7
立方米，所以设有x 户用水未超过7立方米，要使x 取值最大，则需另外(50)x -户用水量尽可能大，故若这x 户每户用水均为7立方米及另外(50)x -户每户用水为10立方米，则总水费应不少于541.6，
即：8.4(50)[8.4(107)(1.50.4)]541.6x x +-?+-?+≥，解得：2
283
x ≤，所以这个月用水未超过7立
方米的最多有28户．
【答案】28户
【例47】某城市平均每天产生生活垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理．若甲厂每时可处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每时可处理垃圾45吨，需费用495元．
(1)甲、乙两厂同时处理该城市的生活垃圾，每天需多长时间才能处理完？
(2)如果规定该城市每天用于处理生活垃圾的费用不超过7260元，那么甲厂每天至少应处理垃圾多长
时间？
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】(1)设每天需x小时才能处理完垃圾，由题意，得()
5545700
x
+=
∴7
x=，答：每天需7小时才能处理完垃圾
(2)设甲厂每天至少处理x小时，乙厂每天处理垃圾y小时，
则
5545700 5504957260
x y
x y
+=
?
?
+≤
?
解得：8
x≥
答：甲厂每天至少处理垃圾8小时
【答案】8小时
【例48】海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20
【考点】范围探索型（不等式）
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】付款总额不超过2万元即购买羽绒被的钱+购买羊毛被的钱＜2万元，故得不等式．设购买羽绒被x条，则购买羊毛被()
80x
-条，根据题意，得
()
4151508020000
x x
+-≤．
整理，得2658000
x≤．
解之，得
10
30
53
x≤．
∵x为整数，∴x的最大整数值为30．
答：最多可购买羽绒被30条．
【答案】30条
【例49】2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
⑴若全部资金用来预订男篮和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
⑵若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中
男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2007年，江西省中考试题
【解析】⑴设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10)x -张．
由题意，得1000500(10)8000x x +-=，解得6x =，∴104x -=． ⑵设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(102)a -张．
由题意，得1000800500(102)8000500(102)1000a a a a a
++-??-?≤≤，解得13
2324a ≤≤．
由a 为正整数可得3a =．
∴他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．
【答案】男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．
【例50】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球
类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票：
(1)若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
(2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，湖南省株洲市中考试题
【解析】(1)设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票()15x -张．
得：()10005001512000x x +-=，解得：9x =
∴
(2)设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为()152y -张，得：
，
解得：25
45714
y ≤≤．
由y 为正整数可得51525y y =-=，
【答案】（1）男篮门票9张，则乒乓球门票6张；（2）乒乓球、足球门票、男篮门票各5张。
【例51】 义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．己知2005年底全市
汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：
(1)2005年底至2007年底我市汽车拥有量的年平均增长率？(结果精确到0．1％)
(2)为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4％，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？(假
定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位)
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，义乌市中考数学试题
【解析】(1)设年平均增长率为x ，根据题意得：()2
728931114508x +=
解得120.2526 2.2526x x ≈≈-， (不合题意，舍去) ∴所求的年平均增长率约为25.3%． (2)设每年新增汽车为x 辆，根据题意得： ()()11450814%14%158000x x -+-+????≤
解得26770.12x ≤
∴每年新增汽车最多不超过26770辆
【答案】每年新增汽车最多不超过26770辆
【例52】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装
20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年,永州是中考试题
【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得
20515300x ?+≥解得1
133
x ≥，∴14x =．
【答案】14
【例53】 某人到花店买花．他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合．发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百
合．这样他还剩了2元多钱．请你算一算，2支玫瑰和3支百合哪个价格高？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设一支玫瑰x 元，1支百合y 元，则63244522x y x y +>??+
121566x y x y +>??+
∴918y <，2y <，同理3015120
121566x y x y +>??+
∴1854x >，3x >，于是263x y >>．故2支玫瑰的价格高于3支百合．
【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合．
【例54】 某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上(含100张)
门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．
⑴ 若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？
⑵ 当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜．
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2007年，广东中考试题
【解析】⑴ 当两班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56100.8448??=(元)；乙班购买门票的费用为
54100.8432??=(元)，甲、乙两班分别购买门票共需花费880元．当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费(5654)100.7770+??=(元)．
⑵ 当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意得 30100
0.8101000.710x x <
?>???解得87.5100x <<． 答：当多于30人且不足100时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜．
【答案】⑴ 770元；⑵ 当多于30人且不足100时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张
门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜．
【例55】 福林制衣厂现有24名制作服装工人，?每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件
或裤子5条．
(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？ (2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，?若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】（1）设应安排x 名工人制作衬衫，由题意得：
()3524x x =?- ∴15x =
∴2424159x -=-=
答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子． （2）设应安排y 名工人制作衬衫，由题意得： ()330516242100y y ?+??-≥
∴18y ≥
答：至少应安排18名工人制作衬衫． 【答案】（1）应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子；（2）至少应安排18名工人制作衬衫．
【例56】 某零件制造车间有工人20名，?已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造
一个甲种零件可获利150元，?每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，?其余工人制造乙种零件．
(1)请写出此车间每天所获利润y (元)与x (人)之间的关系式；
(2)若要使每天所获利润不低于24000元，?你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】（1）依题意，得
()()150626052040026000020
y x x x x =?+?-=+≤≤． （2）依题意得，4002600024000x -+≥．
解得5x ≤，2020515x -=-=．
答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 【答案】（1）()()150626052040026000020y x x x x =?+?-=+≤≤
（2）至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．
【例57】 某童装加工企业今年五月份，?工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平
均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．?改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．
(1)为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)？
(2)根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．?工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？
【考点】范围探索型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】(1)设企业每套奖励x 元，由题意得：20060%150450x +?≥．
解得： 2.78x ≥．
因此，该企业每套至少应奖励2.78元；
(2)设小张在六月份加工y 套，由题意得：20051200y +≥， 解得200y ≥．
【答案】（1）2.78元；（2）200
三、方案决策型（不等式）
【例58】 某大商场，在国庆期间举行商品大酬宾销售活动，准备分两次降价．现有三种方案，甲：第一次
降价%p ，第二次降价00q ；乙：第一次降价00q ，第二次降价00p ，丙：两次都降价0
02
p q +．试
问哪一种方案受顾客欢迎．()p q > 【考点】方案决策型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】第一次和第二次最后是一样的，价格都是原来的()()1%1%p q A --=
第3次的价格是原来的1%1%22p q p q B ++?
???--= ???????
()2
2
%%%%%%022p q p q B A p q -??+??
-=-=>???????? 所以A 的价格比B 便宜，
而由于甲方案第一次降价比乙方案第一次降价的多 所以相对来说甲方案最受欢迎．
【答案】相对来说甲方案最受欢迎．
【例59】 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A
种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过
5000元的情况下，购买A B ，两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若
设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：
(1)共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； (2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱？
【考点】方案决策型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，山东省青岛市中考试题 【解析】(1)由题意：
()()6001201550001
152
x x x x +-??
?-??≤≥ 解得：20
53
x ≤≤
∵x 为整数，∴56x =，
∴共两种购票方案：
方案一：A 种船票5张，B 种船票10张 方案二：A 种船票6张，B 种船票9张
(2)因为B 种船票价格便宜，因此B 种船票越多，总购票费用少． ∴第一种方案省钱，为5600120104200?+?= (元) 【答案】（1）共两种购票方案：
方案一：A 种船票5张，B 种船票10张 方案二：A 种船票6张，B 种船票9张 （2）第一种方案省钱
【例60】 某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价
40元．
(1)若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？
(2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润(利润=售价-进价)不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案．
【考点】方案决策型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，遵义市中考试题
【解析】(1)商品进了x 件，则乙种商品进了80x -件，依题意得
()1080301600x x +-?=
解得：40x =
即甲种商品进了40件，乙种商品进了804040-=件．
(2)设购买甲种商品为x 件，则购买乙种商品为()80x -件，依题意可得： ()()()6001510403080610x x -+--≤≤
解得： 38≤x≤40
即有三种方案，分别为：
第一种方案：甲38件，乙42件； 第二种方案：甲39件，乙41件； 第三种方案：甲40件，乙40件．
【答案】（1）甲种商品进了40件，乙种商品进了40件．
（2）有三种方案，分别为：
第一种方案：甲38件，乙42件； 第二种方案：甲39件，乙41件； 第三种方案：甲40件，乙40件．
【例61】 某饮料厂开发了A B ，
两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B ，两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，
解答下列问题：⑴ 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；⑵ 如是A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并
【考点】方案决策型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，生产B 种饮料100x -瓶．则
()()20301002800
40201002800x x x x ?+-??
+-??≤≤，解得2040x ≤≤，由x 为整数，共有21组解，所有符合题意的生产方案共有21种．
⑵ ()2.6 2.8100y x x =+-，整理得0.2280y x =-+，∵x 的系数为0.2-，∴y 随x 的增大而减小．当40x =时，成本总额最低．
【答案】（1）21；（2）0.2280y x =-+，当40x =时，成本总额最低．
【例62】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用
31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴ 求每支钢笔和每本笔记本的价格；
⑵ 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【考点】方案决策型（不等式） 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2009年，益阳市中考试题
【解析】⑴ 设每支钢笔x 元，每支笔记本y 本．
3182531x y x y +=??+=?，∴3
5x y =??
=?
． ⑵ 设购买钢笔a 支，笔记本b 个．
48
35200a b a b b a
+=??
+???
≤≥，∴2028a b ??
?≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24a b =??=?． 【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．
（5）五种方案：20,21,22,23,24
28,27,26,25,24a b =??=?
【例63】 严肃中学初三(1)班计划勤工俭学收入的66元钱，同时购买单价分别为3元，2元，1元的甲、乙、
丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲、乙、丙三种纪念品各多少件？
【考点】方案决策型（不等式） 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2000年，黑龙江省初中竞赛题
【解析】设购买的甲，乙，丙三种纪念品分别为x 件，y 件， z 件，则依题意可得：
猎狗追兔问题题库教师版
猎狗追兔问题 教学目标 1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一； 2．追及问题在分数应用题的理解与应用； 3．能够理解比例及相关知识的初步引入； 4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合； 5．统一及转化思想的应用。 知识精讲 一、猎狗追兔的出题背景 猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。 解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。 通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！
二、猎狗追兔问题 问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。 例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比， 相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步) 进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步) 关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。 【例 1】猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获此时猎狗 跑了多少步 【解析】方法一：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……”和“兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.兔跑72步的时间狗跑45步，兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时
用基本不等式解决应用题
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. N T M H G F E D C B A 用基本不等式解决应用题 例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35 k p x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值． 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．． 为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值． 17．解：（1）由题设，得 ()9007200822916S x x x x ??=--=--+ ??? ，()8,450x ∈． ………………………6分 （2）因为8 450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分 例2．某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ?中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交,AB DF 于N M ,，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设()DN x m =． （1）将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值
基本不等式应用-解题技巧归纳
基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
经济问题.题库教师版.
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。 2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。 3. 用解方程的方法求解。 4. 利用分数应该题的方法进行解题 一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本利润率利润成本成本 ； 1=?+售价成本（利润率），1= +售价成本利润率 其它常用等量关系： 售价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 二、经济问题的一般题型 (1)直接与利润相关的问题： 直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。 (2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题： 涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。 知识点拨 教学目标 6-2-2经济问题
三、解题主要方法 1．抓不变量(一般情况下成本是不变量)； 2．列方程解应用题． 【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店 从这60个皮箱上共获得多少利润？ 【解析】 6300-60×80=1500（元） 【例 2】 李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出， 卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？ 【解析】 经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可． 1元钱3个苹果，也就是一个苹果13元；1元钱2个苹果，也就是一个苹果12 元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个 27元． 在前一半的每个苹果可以挣111236 -=(元)，而后一半的每个苹果亏1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得 27元，就会共赚取2247元钱． 如果从前、后两半中各取一个苹果，合在一起销售，这样可赚得11562142 -=(元)，所以每一半苹果有2524204742 ÷=个，那么苹果总数为2042408?=个． 【巩固】 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱 25%，求原价是多少元？ 【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以 原价为：20054254+=（元） 【例 3】 (2008年清华附中考题)王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5 后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚， 那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个． 例题精讲
高考不等式经典例题
高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .
(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.
火车问题_题库教师版
火车问题 教学目标 1、会熟练解决基本的火车过桥问题. 2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系. 3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题 知识精讲 火车过桥常见题型及解题方法 （一）、行程问题基本公式：路程=速度?时间 总路程=平均速度?总时间； （二）、相遇、追及问题：速度和?相遇时间=相遇路程 速度差?追及时间=追及路程； （三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间； 2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度， （1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间； （3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）； 4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， （1）错车问题：相当于相遇问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间； 老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。 模块一、火车过桥（隧道、树）问题 【例 1】一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？
基本不等式经典例题精讲
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.
基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)
专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值
【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果
高中不等式所有知识及典型例题(超全)
一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带
2019教师招聘考试试题库和答案(最新完整版)45825
一、选择 1. 1903年,在美国出版第一本《教育心理学》的心理学家是(1.1) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[A] 2. 20世纪60年代初期,在美国发起课程改革运动的著名心理学家是(1.2) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[D] 3. 已有研究表明,儿童口头语言发展的关键期一般在(2.1) A．2岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[ A] 4. 儿童形状知觉形成的关键期在(2.2) A．2-3岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[B ] 5. 人格是指决定个体的外显行为和内隐行为并使其与他人的行为有稳定区别的 A．行为系统B．意识特点C．综合心理特征D．品德与修 养[ C] 6. 自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的(2.4) A．控制B．基本看法C．改造D．意识[ D] 7. 广义的学习指人和动物在生活过程中,（凭借经验）而产生的行为或行为潜能的相对(3.1) A．地升华B．发挥C．表现D．持久的变化[ D] 8. 桑代克认为动物的学习是由于在反复的尝试—错误过程中,形成了稳定的 A．能力B．技能C．兴趣D．刺激—反应联结[D ] 9. 提出经典条件反射作用理论的巴甫洛夫是 A．苏联心理学家B．美国心理学家C．俄国生理学家和心理学
家D．英国医生[C ] 10. 先行组织者教学技术的提出者是美国著名心理学家 A．斯金纳B．布鲁纳C．奥苏伯尔D．桑代克[C ] 11. 根据学习动机的社会意义,可以把学习动机分为(4.1) A．社会动机与个人动机B．工作动机与提高动机C．高尚动机与低级动机D．交往动机与荣誉动机[ C] 12. 对学习内容或学习结果感兴趣而形成的动机,可称为 A．近景的直接动性机B．兴趣性动机C．情趣动机D．直接性动机[ A] 13. 由于对学习活动的社会意义或个人前途等原因引发的学习动机称作 A．远景的间接性动机B．社会性动机C．间接性动机D．志向性动机[A ] 14. 由于个体的内在的需要引起的动机称作 A．外部学习动机B．需要学习动机C．内部学习动机D．隐蔽性学习动机[C] 15. 由于外部诱因引起的学习动机称作 A．外部学习动机B．诱因性学习动机C．强化性动机D．激励性学习动机[ A] 16. 学习迁移也称训练迁移,是指一种学习对(5.1) A．另一种学习的影响B．对活动的影响C．对记忆的促进D．对智力的影响[ A] 17. 下面的四个成语或俗语中有一句说的就是典型的对迁移现象。
基本不等式应用题
基本不等式应用题 最值问题 一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题； 2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。 二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 三．教学过程： （一）复习：1．均值不等式： 2．极值定理： （一）练习题 1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ，且211=+y x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。 7 1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。 变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。
3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ，且 求的最小值 （二）新课讲解： 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 例3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？ 例4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ?的最大面积及相应的x 值。 例5．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/ 时，已A
高中基本不等式经典例题教案
全方位教学辅导教案
例1：(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二：凑系数 例1.当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：1、设2 3 0<
时钟问题.题库教师版
时钟问题 教学目标： 1．行程问题中时钟的标准制定； 2．时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算； 3．时钟的周期问题. 知识点拨： 时钟问题知识点说明 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为分。 例题精讲： 模块一、时针与分针的追及与相遇问题 【例1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？ 1【解析】 闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快 那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时 手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1
第课基本不等式经典例题练习附答案
第9课基本不等式 ◇考纲解读 ①了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． ◇知识梳理 1．常用的基本不等式和重要的不等式 ①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当，②22,______,2a b a b ab ∈+≥则 ③,_____a b ∈，则ab b a 2≥+，④222)2 (2b a b a +≤+ 2．最值定理:设,0,x y x y >+≥由 ①如积(xy P x y =+定值），则积有______②如积2(2S x y S x y += 定值），则积有______（） 运用最值定理求最值的三要素： ________________________________________________ ◇基础训练 1．若1a b +=，恒有 （） A ．41 ≤ab B ．41≥ab C ．1622≤b a D ．以上均不正确
2．当1 2x >时，821 y x x =+-的最小值为. 3．已知01x <<，则(12)y x x =-的最大值为. 4．实数,a b 满足22a b +=，则39a b +的最小值为. ◇典型例题 例1．求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++= >-+的最小值. 例2．已知+∈R b a ,，且191,a b +=求a b +最小值. ◇能力提升 1．若+∈R b a ,，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（） A ．222+ B.25+ C.222- D.22 2.下列命题中正确的是() A .x x y 1+=的最小值是2 B .2 322++=x x y 的最小值是2 C .45 22++=x x y 的最小值是25D .x x y 432--=的最大值是342- 3.若+∈R b a ,满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________________. 4.若1x >时，不等式11x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221 x x x -+-的最大值.
基本不等式及其应用
2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最
- 典型应用题分类题库
- 6-2-1-分数应用题综合-题库教师版
- 比例应用题 题库教师版
- 人教版新课标五年级数学上册应用题分类专项练习题[1]讲解
- 浓度问题题库教师版
- 和差问题题库教师版
- 浓度问题.题库教师版
- 人教版小学四年级上册数学应用题专项练习题
- 233列不定方程解应用题题库教师版
- 6-1-7_盈亏问题[1].题库教师版.doc
- 【小学奥数题库系统】1213 等差数列应用题.教师版
- 小升中的数学应用题题库
- (完整版)6-2-4比例应用题.题库教师版
- 五年级上册应用题练习题
- 人教版六年级上册数学应用题分类练习题.docx
- 和差问题.题库教师版
- 人教版小学四年级上册数学应用题专项练习题
- 小学奥数 经典应用题 和倍问题(二).题库版
- 233列不定方程解应用题题库教师版
- (完整word版)和差问题.题库教师版.doc