离散数学习题
习 题 一
一、 将下列命题符号化：
1、蓝色和黄色可以调配成绿色。
2、蓝色和黄色都是常用的颜色。
3、52和之和是无理数。
4、52和都是有理数。
5、小丽一边吃苹果，一边看电视。
6、王大力不仅是百米冠军，而且是500米冠军。
7、李冰只能选学英语或只能选学法语。
8、种瓜得瓜，种豆得豆。
9、经一事，长一智，并且不经一事，不长一智。 10、 经一事，长一智，并且不长一智，不经一事。 11、 李和平是山西人或陕西人。
12、 王小红虽然没上过大学，但她自学成才。 二、 求复合命题的真值：
设p ：4是素数，q ：南京在北京的北边，r ：苹果树是落叶乔木。 1、()r q p ?∧∧?
2、()()r p q p ?→∧?
3、()()q p q p ???∨?
三、求下列公式的成真赋值和成假赋值： 1、)r q p ?∧∧? 2、()()r p q p ?→∧? 3、()()q p q p ∧?∨?∧ 四、判断公式的类型： 1、()p q r p →?∧∧
2、()()()r p q q p ∨?→?→→
3、()()r p q p →?→
4、()()()()()r q p q p q p ∨∧?∨?∧→??
5、()()r q r p ?→??
6、()()()q r p q p ∧∧→?∧
五、将下列复合命题符号化，并求真值：
1、若π是无理数，自然对数的底e 也是无理数。只有3是偶数，4才是素数。2是无理数，仅当5不是无理数。5是无理数。
2、若2和3都是素数，则5是奇数。2是素数，3也是素数，所以5或6是奇数。
3、设x y 2=，x 为实数。推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。 六、用等值演算法证明： 1、()1?∨?∨→r q p p
2、()()()()1?∧?∨?∧???q p q p q p
3、()()0?→?∧∨?q p q p
4、()()()q p q p q p ???∧?∧∨
5、()()r q p r p q →∧?→→
6、()()()()()()r p q r q p r q p q p ∧?∨∧∧∨?∧∧?∨∧ 七、求主析取范式和主合取范式，成真赋值和成假赋值：
()()()()()()()()()()()()()
()()()()q
p p q q p q p p q q p r q p r q p q r q p r p q r q p ?→?→∧∨?→?∨→???∧?∨∧∧→→?∧∨?∧?∨∧∧∨、
、
、、、
、
654321 八、将已知的命题公式等值地化成给定的联结词完备集中的公式：
(){}()}{()}{()}{}{(){}中的公式。化成中的公式。化成中的公式。化成中的公式。化成中的公式。化成中的公式。化成∧?=?∧=↓=?∧=↑=→=→?=∨?∧=∨?=?∧→?=∧?=∨→=,865544,33,22,11S r q p H S q p E S q p D S r q p C S r q p B S r q p A 九、判断推理是否正确：
1、若今天不下雨，我就不去图书馆。今天下雨了，所以我去了图书馆。
2、若今天不是星期六，明天就不是星期一。明天是星期一，所以今天是星期六。
3、n 不是偶数或m 不是奇数。n 是偶数，所以m 不是奇数。
4、一到晚上7点钟，我就去看电视新闻。没到晚上7点钟，所以我没看电视新闻。
5、如果王红学过英语和法语，则她也学过日语。可她没学过日语，但学过法语，所以她
也学过英语。
6、若小李是文科生，则他爱看电影。小李不是文科生，所以他不爱看电影。 十、在自然推理系统P 中证明推理：
1、()s
r q p r q p →?∧→→结论：前提：,
2、()q
p s s r r q p ?∧?→→∧结论：
前提：
,,
3、()r
s q p s r q p →∨?→∨?结论：前提：,, 4、s
r s
q q p r p →?→∨→结论：前提：
,,
5、
q
r q p r p →?∨→结论：前提：, 6、
p
r q r q p ?→?→结论：前提：,,
十一、在自然推理系统P 中，构造下面用自然语言给出的推理：
1、若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学。若小李喜欢数学，他也喜欢物理。小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理，所以小赵喜欢数学。
2、若张超与李志都是计算机系学生，则王红是中文系学生，若王红是中文系学生，则她爱看小说，可是王红不爱看小说，张超是计算机系学生，所以李志不是计算机系的学生。
3、若n 是偶数，并且n 大于5，则m 是奇数。只有n 是偶数，m 才大于6。n 是大于5，所以若m 大于6，则m 是奇数。
习 题 二
一、 用0元谓词符号化：
1、2是偶素数。
2、若2是素数，则4不是素数。
3、只有2是素数，6才能是素数。
4、除非6是素数，否则4是素数。
5、5是素数当且仅当6是素数。
6、5不是素数当且仅当6是素数。
7、小王学过英语和法语。
8、2或3是素数。
9、除非李健是东北人，否则他一定怕冷。 二、在一阶逻辑中将下列命题符号化：
1、人都生活在地球上。
2、有的人长着黑头发。
3、中国人都用筷子吃饭。
4、有的美国人不住在美国。
5、并不是所有的实数都能表示成分数。
6、没有能表示成分数的无理数。
7、说所有火车比所有汽车都快是不对的。
8、说有的火车比所有汽车都快是正确的。
9、不存在比所有火车都快的汽车。 三、判断下列公式的类型： ()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()
y G y G x F x F x y yG y yG x xF y yG x xF y yG x xF x G x F x F x x G x F x x G x F x ?∧→?∨??∧?→???→?∧?→?∨→?∧?→?、、、
、、、654321 四、将下列命题符号化，个体域为实数集合，并指出各命题的真值： 1、对所有的x ，都存在y ，使得x*y=0； 2、存在x ，对所有y 都有x*y=0； 3、对所有x ，都存在y 使得y=x+1； 4、对所有的x 和y ,都有x*y=y*x ； 5、对任意的x 和y ,都有x*y=x+y ；
6、对于任意的x ，存在y ，使得x 2+y 2<0。 五、在有限个体域内消去公式中的量词：
个体域{}c b a D ,,= 个体域{}b a D ,= 1、()()y yG x xF ?→? 4、 ()()()y G x F y x →??
2、 ()()()y G x F y x →?? 5、 y x ??（()()y x G y x F ,,→）
3、 ()()()()y H y yG x xF →?∧? 个体域{}4,3,2,1=D 。 6、 ()()()x G x F x ?→? 六、求前束范式：
()()()()()()()()()()()()()()
y yG x xF y yG x xF y yG x xF y yG x xF x G x F x x G x F x ?∧??∨??∨??∧?∧??→??、、、、、、654321
()()()()()()()()
()()()()
()()()()()()
()()()()3,2,132,122,1112,,,11,,,10,,,,9,,8,,7x x x H x x x G x x x F x z y x xG y x yF z y x zH y x yG x xF z y x zH y x yG y x xF y x H x G x y x xF y x H y x G y x xF ?∧?→??∧??→?→??→?∧?→?∧?∧?→?、
、、
、、、
习 题 三
一、 判断下列命题是否为真：
二、{}()，下列各题是否为真
设A PP B A =?=,：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}B B B B B B B
B ????????∈???∈???∈?,5,4,3,2,1、
、
、
、
、 三 、集合的基本运算题：
1、{}{}()。求：设B P A B B A B A ,,,6,4,2,6,5,4,3,2,1-==
2、设A 为任意集合，求()。A A A -⊕
3、求{}{},|R k k ∈ 其中R 为实数集合。
4、
{}{}{}{}{}()。
计算：设D B B A B A C C A B A D C B A E ⊕--=====,,,,,8,4,2,12,6,3,2,11,7,5,3,2,11,9,7,5,3,1,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
四、确定下述集合等式成立的充分必要条件：
1、B A B A =
2、()()C B A B C A -=-
3、()()?=-⊕-C A B A
4、A B A =
5、A B A =-
6、B B A =-
7、A B A =⊕
8、?=⊕B A
五、在1到300的整数中（1和300包含在内）分别求满足以下条件的整数个数： 1、同时能被3,5,7整除。
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}()()
()()
B P x B P A A x B P x B P A A x x
x x x x x x x x x x x x x x x ???∈∈∈?-∈?∈∈?则、若则、若、、，、
，、
、
、
,,8,,7654321
2、不能被3和5，也不能被7整除。
3、可以被3整除，但不能被5和7整除。
4、可以被3或5整除，但不能被7整除。 6、只能被3,5,7之中的一个整除。 六、化简下列集合表达式：
()()()B A -B B A 1 、
()()()A C B -C B A 2 、
()()()C B A C A -B 3 、
()()B -A B A 4 、
()()B -A -B A 5 、
习 题 四
1、{}?
??
???
≠∧∈∧
∈==y x A y x
A y x y
x R A ,,,8,7,6,5,4,3,2，用列元素法表示R 。
2、{}{}.,,,,,,c a b a R c b a A =
=设
（1）给出R 的关系矩阵； （2）说明R 具有的性质。
3、设A 中有n(n>0)个元素，R 为A 上的二元关系，且已知R 中有r 个有序对，问： （1）A 上有多少个不同的二元关系？ （2）I A 中有多少个有序对？
（3）E A 中有多少个有序对？ （4）E A -R 有多少个有序对？
4、}{}{}..,,,,3,2,,1,,1fldR ranR domR d c b a R 求设二元关系=。
5、{},123,,=+∈=y x N y x y
x R 且设
()()().
4;
)3(;
,213R R R ranR domR R 求求求的集合表达式；
求
6、{}{}{}{}{}.,,,,,,,,,,11--????=R R R R ranR domR b a b a R 求设二元关系
7、{}上的整除关系
是，，，，，，，，为偏序集，其中
设A R A R A 5424964321,=
{}的上界和下界。
，求，，）令（最大元，最小元；
中的极大元，极小元，
）求（的哈斯图；
）画出
（B B A R A 96432,1=
8、{}{},4,2,3,2,1,24,1,3,14,43,3,2,2,1,1,4,3,2,1==R A 设试画出它的哈斯图并指出该偏序集的极大元，极小元，最大元，最小元。 9、
{}{}*
/**),(*.
,,,,,,,,,,R A R A R R tsr R a d d c c a R A R f e d c b a A 的表达式和商集
上的等价关系。写出
是则设上的二元关系，且是设==
=
10、给定{}{}3,42,4,2,3,1,41,3R ,4,3,2,1==上的关系A A ,试画出R 的关系图并说明R 的性质。
12、设A={1,2,3,4},R 是A 上的等价关系，且R 在A 上所构成的等价类是{1}，{2,3,4}。 （1）求R; (2)求1-R R ; (3)求R 的传递闭包。
习 题 五
1、{}()()(){}().0,
,2/1,2/3,0,1sin )(,:1
1
--+∞+=→f
f
f x x f R R f π计算：设
2、设R 代表实数集合，针对给定函数f,判断R R f →:是否为单射，满射，双射的。如果不是说明理由。
??(
)
1
/2)()5(2)()4(1
01)
1/()12()()3()()2(2
)()1(2
+=+=??
?=≠--===x x x f x
x f x x x x x f x x f x f x
x
3、设R 代表实数集合，针对给定函数f,判断R R f →:是否为单射，满射，双射的。如果不是说明理由。
x
x f R
R x x R
x x x f x x x x x f x
x x f sin )()4(,2,
1)()3(0,00,
ln )()2()()1(2
3=????
?-∈∈+=??
?=≠=-=+
+
4、对于给定的函数f 和g,求复合函数g f ，如果f 与g 存在反函数，求出他们的反函数。
??(
)2
4
)(,:,(,:)3(1)(,:,,,:23/1)(,:,1)(,:)1(x
x x g R R g x x f R N f x x g R C g yi x y
x f
C R R f x x g Z R g x x f R R f -=→=→+=→+=
→?-=→+=→））（
5、设C,R,Z,N 分别代表复数集，实数集，整数集，自然数集。针对下述给定的集合A,B 与f,判断f 是否为从A 到B 的函数。如果不是，说明理由。
2
222
,)2(,)1(y
x xfy R B A y
x xfy R B A =?===?==+
6、设C,R,Z,N 分别代表复数集，实数集，整数集，自然数集。针对下述给定的集合A,B 与f,判断f 是否为从A 到B 的函数。如果不是，说明理由。
c
a xfy di c y bi a x C B A y
x xfy Z B N A y
x
xfy Z B N A =?+=+====?===?==,,,)3(,,)2(,,)1(2
3
32
习 题 十 四
1、以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足交换律、幂等律？
求出该运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
(){}为普通加法。
的最大公约数；
与即求，）正整数集
（自然数集有理数集+++===--=-====+=+
,*,)6(;
*,4,2,3,2,1)5(;*,)4(),,gcd(*3;2*,)2(;2/*,)1(xy y x y x Z A y y x A y x y x R A y x y x y x Z y x N y x y x Q xy
2、对于下列集合和二元运算，判断在A 上是否封闭，如果是封闭的，则指出他们是否满足交换律、幂等律，是否有单位元和零元。
{}{}{}().
*,,5,*,,,,4*,3,)2(;*),,()1(y x y x A y x B y x y x A y x b a P A n Z k nk
nZ A S S b a b a b a P A S
=∈?⊕⊕=∈?=∈====，上所有等价关系的集合
）非空集合
（为集合的对称差；）（为普通乘法；
是正整数，）（为函数合成运算；
为任意非空集合，运算其中
3、{}逆元。
零元和所有可逆元素的
求这些运算的单位元、
等律，
算是否满足交换律、幂如表所示，说明这些运，，运算设?= *,,,c b a A
4、确定子集是否构成子代数 （1）{}，哪些是真子代数。
说明其中哪些是平凡的
，
的子代数系统？如果是
是否为，问设V V Z Z V ,0,3,+=
（2）
{}代数，哪些是真子代数
并说明哪些是平凡的子
的所有子代数，
出为集合的对称差，试给其中
设V P A A V ⊕=⊕=),3,2,1(,,
5、判断正整数集合和下面的每一个二元运算是否构成代数系统。如果是，则说明这个运算是否满足交换律、幂等律，并求出单位元和零元。
b
a b a b a b a b a b a =?=*=),,min(),,max( 6、下表是一个关于{}∨=中f e d c b a L ,,,,,运算的运算表。请完成这个运算表并画出L 的哈斯图。
7、设1,0,',,,∨∧B 是布
尔代数，B c b a ∈,,,化简以下公式：
()()()()()()()()'
')3(')2('')1(b a b a c c b a b a b a b a b a ∨∨∧∨∧∧∨∧∨∨∧∨∧ 8、设{}{}{}{}为正整数n 2,54,18,6,3,2,1,36,24,12,6,3,2,30,15,10,6,5,3,2,1n T W Y X ====，这些集合中关于整除关系构成格的有（ ）。
9、判断下面集合和运算是否构成半群、独异点和群。如果不能构成说明理由。 （1）{}Z n n ∈2关于普通加法。
（2）{}Z n n m ∈+2关于普通乘法。
（3）实数集R 关于 运算，其中 运算定义为()b a b a +=2 。
（4）设R 为实数集，R R ?关于 运算，其中 运算的定义为d b c a d c b a ++=,,, 10、设{}3,2,1=s ，则S 上不同的二元运算有多少个？
11、设Z 为整数集合，*为Z 上的二元运算，x*y=x+y-3，则，Z 关于*运算构成群，已知5*x=4，则x=( )。
12、判断下面集合对于给定运算能否构成群，并简要说明理由。 （1）实数集合R 关于 运算，其中()b a b a +=2 （2）非零实数集合R *关于 运算，其中ab b a 2=
（3）所有实数对
离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学习题解答
习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
（2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表：
离散数学习题
第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r);
离散数学试题及答案精选版
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
离散数学习题三 含答案
离散数学习题三 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：p s r r q q ,,,p →∨?∨? 结论：s 证明：① p 前提引入 ②q ∨?p 前提引入 ③ q （①②析取三段论） ④r q ∨? 前提引入 ⑤ r （③④析取三段论） ⑥s r → 前提引入 ⑦ s （⑤⑥假言推理） 12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：s)(r q r),(q p →→→→ 结论：s q)(p →∧ 证明：①q)(p ∧ （附加前提） ② p （①化简规则） ③ q （①化简规则） ④r)(q p →→ 前提引入 ⑤r q → （②④假言推理） ⑥ r （③⑤假言推理） ⑦s)(r q →→ 前提引入 ⑧s)(r → （③⑦假言推理） ⑨ s （⑥⑧假言推理） 13、前提：s r ,q p q,q)p (→∨∧→? 结论1：r 结论2：s 结论3：s ∨r （1）证明从此前提出发，推出结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。 证明：（1）①r s))r (q)(p q)q)p (((→→∨∨∨∧→? 1r s))r (q)p (q)q)p ((?∨?∧∨?∧?∨?∨∨??
②s ∨ → ∨ → ? ((→ ∨ ∧ s)) p( q) r( q) q) (p ∧ ? ? ∨ ∨ ∧ ? ? ? ∨ ∨ ? q) r( q) ∨ s 1 p s)) p ( q) ((? ③s) ∨ ∨ → ∨ ?r → → ∧ (p q) s)) ((∨ ( r( q) q) p( ? ∧ ∨ ∧ ? ? ? ?r ∨ ∨ ? ∨ ∨ r( q) ∨ s 1 p s)) ((? p q) ( q) 即结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。 （2）s) ∨ ∧ ∧ ∧ → (→ ? r( p( (p q) q) q) ∧ ? ∨ ? ∧ ? ∨ ∧ ∧ ∧ ? ? ? ∨ ? ∨ ∧ ∧ (∨ (p q) p( q) ( s) r s) q r p ( q) q) ( q) (p ∨ ? ∧ 0? ? ∨ ∧ s) (p r ( q) 即推任何结论的推理都是正确的。 14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明： （1）前提：q → p， → (q r) p, r→ 结论：s 证明：①r) →前提引入 p→ (q ②p 前提引入 ③r) (q→①②假言推理 ④q 前提引入 ⑤r③④假言推理 r→⑤附加律 ⑥s 15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理： 前提：q → ， →s p→ (q p, r) s→ 结论：r 证明： ①s 附加前提引入 ②p s前提引入 → ③p①②假言推理 ④r) →前提引入 p→ (q ⑤r q→③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 即根据附加前提证明法，推理正确。
离散数学(本)复习题
离散数学（本）复习题 1.请给出公式G=（P→（Q→P））→（?P→（P→Q））的真值表。 2.设A={1，2，3，4，5，6}，其上一个划分为C={{1}，{2，4}，{3，5，6}}，请给出对应划分C的等价关系R C。 3.R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式： （1）(R?S)-1= S-1?R-1 （2）(R-1)-1= R （3）(R∪S)-1= R-1∪S-1 （4）(R∩S)-1= R-1∩S-1 4.设R是集合A上的关系，令 R+={(x, y)|x∈A，y∈A，并且存在n>0，使得xR n y}， 则称R+是R的传递闭包，证明：R+是包含R的最小具有传递性的关系。 5.若非空集合上的非空关系R是反自反的，是对称的，试证明R不是传递的。 6.设A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，R为A上的整除关系，请给出部分序集（A，R）的Hasse图。 7.设G是含有3个不同原子的命题公式，当G是恒假公式的时候，G的主析取范式中有多少极小项，主合取范式中有多少极大项？ 8.有人说：“等价关系中的反身性可以不要，因为反身性可以从对称性和传递性推出：由对称性，从a ? b可得b ? a，再由传递性得a ? a”。你的意见呢？ 9.若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R?S具有对称性的充要条件为R?S= S?R。 10.若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。 11.给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值： a) (P∧(Q∧R))∨?((P∨Q)∧(R∨S)) b) (?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S) c) (?(P∧Q)∨?R)∨((Q??P)→(R∨?S)) d) (P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S) 12.试将下列公式化成等价的前束范式： (1)?x(P(x)→?yQ(x，y))； (2)?x((??yP(x，y))→(?zQ(z)→R(x)))； (3)?x?y(?zP(x，y，z)∧(?uQ(x，u)→?vQ(y，v)))。 13.设S={G1，…，G n}是命题公式集合。试求出在不增加新原子的情况下从S出发演绎出的所有命题公式。 14.证明下面的等价式： (1) (?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)=R (2) P→(Q→P)=?P→(P→Q) (3) P→(Q∨R)=(P→Q)∨(P→R) (4) (P→Q)∧(R→Q)=(P∨R)→Q 15．找出下面公式的Skolem范式： (1)?(?xP(x)→?y?zQ(y，z))； (2)?x(?E(x，0)→(?y(E(y，g(x))∧?z(E(z，g(x))→E(y，z)))))。 16．G=(P，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m，n。证明：n≤2 C，其中2m C表示 m m中取2的组合数。
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
离散数学题目大汇总
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学复习题及标准答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q)）的真值表。 答案： 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： ４. 写出下列式子的主析取范式: 答案： )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧?
5． 构造下列推理的论证:p ∨q, ｐ→?r ， s →t, ?s →ｒ， ?t ? ｑ 答案: ①s →ｔ 前提 ②t 前提 ③ｓ ①②拒取式I12 ④s →ｒ 前提 ⑤ｒ ③④假言推理I １１ ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论Ｉ10 6. 用反证法证明:ｐ→(?(r ∧s ）→?q ）, p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨
７. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F （ x )：ｘ是鱼 Ｗ（ x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8． 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( ｘ ):x 是有理数 R （ x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令Ｍ(ｘ)：x 是人 Ｃ（x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 １０. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥ｘ。 答案: 令P(x):x 是正实数 Ｓ（ｘ,y): x+y ≥x １１． 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x ）:x 是人 Q （ｙ）: y 是课外活动 S(ｘ,ｙ）:ｘ参加y ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→??
离散数学课后答案
离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q
离散数学深刻复知识题(全)
离散数学复习资料 一、填空 1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。 2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不 但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。 3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集” 则A= 。 4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词 (()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使 该素数都能被整除 。 5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是 。 6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ???∧→?的前束范式为 。 7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ， ～Φ= 。 9. 设={256},{234},{134}A B C ==， ，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。 10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧?
5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →?r, s →t, ?s →r, ?t ? q 答案： ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →(?(r ∧s)→?q), p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??))(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨
7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： 令P(x):x 是人 Q(y): y 是课外活动 S(x,y):x 参加y )))()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)),()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→??
最新离散数学习题答案
离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
离散数学练习题及答案
离散数学试题 一、单项选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“如果天下大雨，他就．在室内运动”可符合化为 （B） A. P∧Q B. P→Q C. Q→P D. P∨Q 2.设G=(V , E)为任意一图（无向或有向的），顶点个数为n，边的条数为m， 则各顶点的度数之和等于（ D ）。 A.n B. m C. 2n D. 2m 3.下列命题为假．命题的是（A） A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一 B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一 C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一 D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一 4.谓词公式(?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x) 中变元x是（D） A.自由变元 B.约束变元 C.既不是自由变元也不是约束变元 D.既是自由变元也是约束变元 5.若个体域为整数域，下列公式中值为真的是（A） A.?x?y(x+y=0) B.?y?x(x+y=0) C.?x?y(x+y=0) D.??x?y(x+y=0) 6.下列命题中不．正确的是（D） A.x∈{x}-{{x}} B.{x}?{x}-{{x}} C.A={x}∪x,则x∈A且x?A D.A-B=??A=B 7.设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（C） A.P?Q B.P?Q C.Q?P D.Q=P 8.下列表达式中不．成立的是（A） A.A∪(B⊕C)=(A∪B) ⊕ (A∪C) B.A∩(B⊕C)=(A∩B) ⊕ (A∩C) C.(A⊕B)×C=(A×C) ⊕ (B×C) D.(A-B) ×C=(A×C)-(B×C) 9.半群、群及独异点的关系是（A） A.{群}?{独异点}?{半群} B.{独异点}?{半群}?{群}
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P