指数性质及运算

一、 指数性质及运算

知识要点:

1．指数概念的扩充

当n ∈N 时，

a

n n a a a a 个???= 当n ∈Q 时，⑴零指数 a 0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a –n =1 (a≠0)；

⑶分数指数 n m

a = (a>0，m 、n 为正整数)

①根式

如果有x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．

当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，用符号

3=–2．

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数． 用符号表示．例

2

负数没有偶次方根． =0表示．

叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

根据n 次方根的意义，可得n =a ．例如2=5，3= –2

a ．当n ，例如3= –2．但当n 为偶

数时，如果a ，例如4=3，但如果a –a

= –(–3)=3．这就是说，

当n ；当n 为偶数时，

{

a (a 0)a a (a 0)

≥==-<

②分数指数幂

当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被

根指数整除一样写成分数指数幂的形式．例如23

a =，

54

b =．

我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n

a =(a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定

n

m n

m a a

1=- (a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以

后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则

⑴a m ?a n =a m+n (m ，n ∈Z); ⑵(a m )n =a m ?n (m ，n ∈Z); ⑶(ab)n =a n b n (n ∈Z)． 注:因为a m ÷a n 可以看作a m ?a –n ，所以a m ÷a n =a m –n 可以归入性质⑴．

例题分析：

例1．求下列各式的值

； ； (a

解: ⑴33)8(-= –8；

⑵2)10(-=|–10|=10； ⑶44)3(π-=|3–π|=π–3；

⑷2)(b a -=|a –b |=b –a (a

例2．求下列各式的值：32

8，21

100-，3)

8116(-

解: 422)2(8233222====?

；1)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(33334433====----．

例3．计算下列各式

⑴)3()6)(2(6561311132b a b a b a -÷-； ⑵8

)(8341-q p ． 解: ⑴a ab b a b a b a b a 444)3()6)(2(0511

1

12

511112===-÷--+-+；

⑵3

23

28

8

8

)()()(834

1

834

1q

p q p q p q p =

==---．

例4．计算下列各式

⑴107

532a a a a ??； ⑵435)1255(÷-；

⑶332)(xy xy ．

解: ⑴

57107

215310

7213

2210753

2a a a a a a a a a a ==??=??--+； ⑵45

1214

12

3

1

1

4123155555)55(5)1255(43-=-=÷-=÷---；

⑶67

65

31

27

25

23

23

21

21

)()()(32332332y x y x y x xy y x xy xy xy ==?==．

指数的性质

四、指数函数和对数函数 （一）、指数 1、n 次方根和分数指数幂 一般地，如果a x n =，那么x 叫作a 的n 次方根，其中*∈>N n n 且,1。 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数。正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。 负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0，记作.00=n 0的0次方根没有意义。 式子n a 叫做根式，这里n 叫作根指数，a 叫做被开方数。 根据n 次方根的意义，可得 ()a a n =n 。 可以得出： 当n 是奇数时，()a a n n =； 当n 是偶数时，???<-≥==. 0,,0,a a a a a a n n 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。 整数指数幂的运算性质仍然适用于分数指数幂。 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 )1,,,0(>∈>=n N n m a a a n m n m . 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 )1,,,0(11 ->∈>==n N n m a a a a n m n m n m 。 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，幂a x 中指数x 的取值范围就从整数扩展到了有理数。 有理数整数幂的运算性质： （1）);,,0(Q s r a a a a s r s r ∈>=+ （2） );,,0(Q s r a a a rs s r ∈>=）（ （3）).,,0()(Q s r a b a ab r r r ∈>= 类似地，从有理数的指数幂来认识无理数指数幂。

指数与指数幂的运算优秀教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时） 第一课时 根式 教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教案方法：学导式 教案过程： （I ）复习回顾 引例：填空 （1）*)n n a a a a n N =?∈个（； a 0=1（a )0≠； n n a a 1 = -)N n ,0a (*∈≠ (2)m n m n a a a +?= (m,n ∈Z)； ()m n mn a a = (m,n ∈Z)； ()n n n ab a b =? (n ∈Z) （3）_____9=； -_____9=； ______0= （4）)0a _____()a (2≥=； ________a 2= （II ）讲授新课

1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=；又因为n b a )(可看作 m n a a -?，所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)）,这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 22=4 ，（-2）2=4 ?2，-2叫4的平方根 23=8 ? 2叫8的立方根；（-2）3=-8?-2叫-8的立方根 25=32 ? 2叫32的5次方根 … 2n =a ?2叫a 的n 次方根 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义：（板书） 一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ）,其中1n >，且n N *∈。 问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程： 例1．根据n 次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a 6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）

高一数学讲义-指数运算与指数函数

指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲

2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．

指数运算的性质

指数运算的性质 【学习目标】 1.掌握指数的运算性质，会进行幂的运算; 2.感受数学推理的合理性与严谨性。 【学习重点】 指数的运算性质 【学习难点】 指数的运算性质的应用 【课前预习案】 一、预习问题设置 认真阅读课本P66—67的内容，完成下面的问题。 1.正整数指数幂的运算性质： (1)=?n m a a _______ (2)()n m a =______ (3)()n ab =_________ (4)当0≠a 时，有n m a a =?????<=>;_______,,_______,,_______,n m n m n m (5)n b a ??? ??=________(0≠b ) 其中∈n m ,+N . 2. 当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.我们将上述五条归纳为三条： (1)=?n m a a _______ (2)()n m a =_______ (3) ()n ab =_________ 二、预习自测 1.化简： （1） ;432 2? （2）);3(23 13 1 - -x x （3）2 346 22516- -???? ??r t s . 2.已知 ,210=α 310=β .求β α+10 ，β α-10 ，α 210 -，5 10β. 【课堂探究案】 一、探究问题

1.计算： （1）2 13 1 2 132 343161125??????? ?+? ?? ??+- ；（2）2 14 3 320016.050027.041- ????? ??????? ???+. 2.计算：（式中各字母均为正数） （1）;1 2112 12 121 -- +---a a a a （2）.22 22 2---+-b b b b 3.已知()031 >=+-x x x ，求下列各式的值： （1）;2 12 1- +x x （2）2 12 1- -x x ； （3）;2 32 3 -+x x （4）.2 32 3- -x x 二、课堂检测 1.课本68页A 组3（1）、（3）、（5）、（7）。 2.课本68页练习2。 【课后检测案】 1. 课本68页A 组3（2）、（4）、（6）、（8）。 2.已知 ,310,210==β α把下面的数写成底数是10的幂的形式： 49 ； （2）12； （3）72； （4）26. 3.比较大小 554433 3,4,5.a b c === 4．设,αβ是方程2 101x x ++=0的两根，则 22αβ?=____________；( ) 2 β α=_______________.

指数性质及运算

高一数学衔接教学一 指数性质及运算 知识要点: 1．指数概念的扩充 当n ∈N 时， a n n a a a a 个???= 当n ∈Q 时，⑴零指数 a 0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a –n =n 1a (a≠0)； ⑶分数指数 n m a = (a>0，m 、n 为正整数) ①根式 如果有x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数． 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，用符号 3=–2． 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数． 用符号表示．例 2 负数没有偶次方根． =0表示． 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 根据n 次方根的意义，可得n =a ．例如2=5，3= –2 不一定等于a ．当n =a ，例如3= –2．但当n 为偶 数时，如果a =a ，例如4=3，但如果a = –a –(–3)=3．这就是说， 当n =a ；当n 为偶数时， { a (a 0)a a (a 0) ≥==-< ②分数指数幂 当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被 23 a =，54 b =． 我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n a =(a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定 n m n m a a 1=- (a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以 后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则 ⑴a m ?a n =a m+n (m ，n ∈Z); ⑵(a m )n =a m ?n (m ，n ∈Z); ⑶(ab)n =a n b n (n ∈Z)．

指数运算及指数性质超经典

知识点回顾 1. 根式的性质 (3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零 2. 幕的有关概念 ⑴ 正整数指数幕：a n =a a a ................... a(n? N ) n 1 ⑵ 零指数幕a 0∕(a=0) (3) 负整数指数幕 a"=A(a = 0?p? N ) a p m (4)正分数指数幕 a n =n a m (a . 0,m, n N I 且 n . 1) (6)0的正分数指数幕等于 3. 有理指数幕的运算性质 0, 0的负分数指数幕无意义 (1) a r a s =a r s ,(a 0,r,s? Q) ⑵ ⑶(ab)r ≡a r a s ,(a 0,b 0,r Q) 4. 指数函数定义：函数y =a x (a ■ 0且a = 1)叫做指数函数 5.指数函数的图象和性质 X y =a 0 < a V 1 a > 1 图 象 N 、y 1 [y --- ---------- A ^~~?—才 X X 性 质 定义域 R 值域 (0 , + ∞) 定点 过定点(0, 1),即X = 0时，y = 1 (1) a > 1 ,当 X > 0 时，y> 1 ；当 X V 0 时，0 VyV 1。 (2) 0 V a V 1 ,当 X > 0 时，0< y V 1 ；当 X V 0 时， y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 1 对称性 y =a X 和y =a^关于y 轴对称 (5)负分数指数幕 m (a 0, m, n N I 且 n 1) (1) ⑵当n 为奇数时，有n . a n = a , 当n 为偶数时，有：a n = a a (azo ) a,(a ￡ 0) (a r )s =a rs ,(a ?0,r,s? Q)

指数运算法则

指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提 是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0， 则单调递减。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无 穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过定点（0，1） （8）指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是 偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂，运算法则要记住。 指数加减底不变，同底数幂相乘除。 指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数，换底乘方再乘除。 非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂，指数转正求倒数。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 乘方指数是分子，根指数要当分母。 看到分数指数幂，想到底数必非负。

分式指数幂的运算与性质

分式指数幂的运算与性质 例1：用分数指数幂的形式表示下列各式：（其中a >0） (1)3a a (2)322a a ? (3)3a a ? (4)532a a a ?? 例2：已知,,9,12y x xy y x <==+且则2 1212 1 21y x y x +-的值 例3：计算下列各式（字母都是正数） （1）) 65 )(41(56 1 3121121 32----?-y x y x y x （2）31 343114 132)()(---?????z y x z y x （3）0121 32)32()25(10)002.0()827 (-+--+---- （4）313373329 a a a a ?÷?-- 例4：已知321 21=+-a a ，求下列各式的值： （1）1-+a a ；（2）22-+a a ；（3）2 1212 3 23----a a a a

例5：已知122+=x a ，求x x x x a a a a --++33的值。 例6：已知a ,b 是方程0462=+-x x 的两根，且0>>b a ，求b a b a +-的值 例7：（1）已知122-=n a ，求n n n n a a a a --++33的值。 （2）若),0(212121>=+-a x a a 求x x x x x x 424222 ----+-的值。 例8：解下列关于x 的方程： （1）22)91(381+=?x x （2）0123222=-?++x x

例9：若02252>--x x ，求221442-++-x x x 的值 例10：化简（1）22312523+++ （2）26112611-++ （3）102-7302-11+ 例11：已知2323+-=x ，232 3-+=y .求2222 3103y y x x +-的值 例12：分数指数幂的运算与化简 （1）01-43 2-31-1-23-25671 --027.0）（）（++ （2）)3()6)(265 6131212132b a b a b a -÷-（ （3）))((21 2101x x x x x -++-- （4）xy xy xy ??-312

指数与对数的性质和运算及答案详解

指数与对数的运算 （1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n m k ∈>= ，m n n m n k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n m 的是次方根，即：n m n m a a = （2）同样规定：)1*,,0(1 >∈>= - n N n m a a a n m n m 且；0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义。 （3）指数幂的性质： ) ,0,0()() ,,0()() ,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ （2）基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； ③1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。 （3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。 （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 两个非常有用的结论①1log log =?a b b a ；②b m n b a n a m log log =。 1、已知3234+?-=x x y 的值域为[1，7]，则x 的取值范围是 （ ） A.［２，４］ B.)0,(-∞ C.]4,2[)1,0( D.]2,1[)0,( -∞ 2、若,310 ,210 ==y x 则=-2 310 y x 3、【08重庆卷13】已知1 249 a = (a>0) ，则23 log a = .

指数的运算性质

课题 §3.2.2 指数的运算性质 第8周第3课时 编写人：白瑞龙 审核人：宁安强 审批人：李军平 编写时间：2012年10月8 高一____班____组 姓名______ 组评_ _ 师评____ 使用说明： 1、根据学习目标，课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上认真思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、A 、B 、C 代表试题的难易程度，A 级题普通班学生必做，A 、B 级题实验班学生必做， A 、B 、C 级题栋梁班学生必做。 5、本学案使用1课时 学习目标：1、通过A1，A2、B3题理解指数运算性质。 2、通过B1、A 3、C3题学会化简。 3、通过C1、A4，B2、C2学会简单的指数运算性质应用。 学习重、难点：1、重点：指数运算性质 2、难点：利用性质进行计算和化简。 学习过程： 一、自主学习 【知识梳理】 1、 预习课本第67页内容写出指数运算的基本性质： 2、思考指数运算的5条性质是如何归纳为3条的？ 【预习检测】 A1、下列计算正确的是（ ） A.x x x =÷3132 B. x x =4554)( C. x x x =?5 445 D. x x x =÷- 5 45 4 A2、化简=-+-+))(()(2 1212121b a b a b a （ ） A.b a + B.a 2 C.b 2 D.2 2 b a -

B1、下列化简结果错误的是（ ） A.115 13 15 2=??- -a a a B.y y x y x y x 24)4)(3)(2(3 241322 13 14 1=?-?-- - C. ac c b a c b a 5 32515453 12 14 33 12 1-=????--- D.6432 9 6)(b a b a ?=?--- C1、(20062005)23()23(-?+= . 二、合作探究 A3.化简下列各式 （1）、48 373)27102(1.0)972(0 32 25.0+-++--π （2）、)4()3()2(3 54 13 2 3 - ----÷-?b a b a b a 题型二：条件求值 B2、已知310,210==n m ，则=-2 310n m （提示：课本例5,要求写出求解过程） C2.已知31 =+-a a （a ﹥0）求下列各式的值 ①2 12 1- +a a ②2 2-+a a

指数运算法则

指数运算法则 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，要想使得x能够 取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0 且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递 减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程 中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调 递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点 （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1， 所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x 在R上是减函数1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数 的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常 用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数 叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 () () ) ,0(1 010* Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 2．运算法则 （1）n m n m a a a +=?； （2）() mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为 n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个， 记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零， 0=. 2．两个等式 （1）当1n >且* n N ∈ 时， n a =；

指数运算及指数性质

知识点回顾 1.根式的性质 （1）n a =（2）当n 为奇数时，有a a n n =，当n 为偶数时，有? ??<-≥==)0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n 4434421 (2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= -)1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质

指数运算同步练习 一．选择题 1．下列各式中成立的一项（）

A ．71 77)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．下列各式中正确的是（ ） （A a = （B =（C ）01a = （D ）= 3 ．下列各式（各式的,n R a R ∈∈）中，有意义的是 （ ） （A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ）(1)(2)(3)(4) （D ）(1)(3)(4) 4 ．把- ( ) （A ）25 2()a b --- （B ）52 2()a b --- （C ）225 5 2()a b - --- （D ）552 2 2()a b - - -- 5．化简211 5 113 3 662 2 1()(3)()3 a b a b a b -÷的结果是 （ ） （A ）6a （B ）a - （C ）9a - （D ）9a 6．计算1221 26 1 (2)()222n n n ++-g g *()n N ∈的结果是 （ ） （A ） 1 64 （B ）252n + （C ）2262n n -+ （D ）272n -+ 二．填空题 7 1a =-，则a 的取值范围是 ．

指数运算及指数性质超经典

知识点回顾 1.根式的性质 （1）()n n a a =（2）当n 为奇数时，有a a n n =，当n 为偶数时，有???<-≥==)0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠=-N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= -)1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。

指数运算同步练习 一．选择题 1．下列各式中成立的一项（）A．7 1 7 7 ) (m n m n = B．3 1243 )3 (- = - C．4 3 43 3) (y x y x+ = +D．3 33 9= 2．下列各式中正确的是（） （A a =（B=（C）01 a=（D）= 3．下列各式, n R a R ∈∈）中，有意义的是（）（A）(1)(2)（B）(1)(3)（C）(1)(2)(3)(4)（D）(1)(3)(4) 4．把-( ) （A） 2 5 2() a b- --（B） 5 2 2() a b- --（C） 22 55 2() a b -- --（D） 55 22 2() a b -- -- 5．化简 2115 11 3366 22 1 ()(3)() 3 a b a b a b -÷的结果是（） （A）6a（B）a-（C）9a -（D）9a 6．计算 1221 26 1 (2)() 2 22 n n n ++ - * () n N ∈的结果是（）

指数对数运算经典基础题目题目

指数与对数运算 指数运算 教学目标： 1.掌握根式与分数指数幂的互化； 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 知识梳理 指数幂 1、根式：如果x n ＝a,，则x 叫做__________其中n>1, 且n ∈N*. 式子n a 叫做______,这 里n 叫做______,a 叫做_______. 2、根式性质：①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个_____, 负数的n 次方根是一个______. 这时n 次方根用符号n a 表示; ②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为_____数, 分别用____________表示. ③当n 为奇数时 (n a)n =____; ④当n 为偶数时， n a n =_______________.⑤负数没有____次方根; 零的任何次方根都是零. 3、分数指数幂的意义：a m n =________; a -m n =_______ (a>0,m,n ∈N*,且n>1). 4、有理数指数幂运算性质：a r a s =______; (a r )s =_______; (ab)r =___________;(a>0,b>0,r,s ∈Q). 5、无理数指数幂:a α (a>0,α是无理数) 是一个确定的实数.适合有理数指数幂运算性质。 例1：计算或化简 (1) 3(-6)3+ 4(5-4)4+3(5-4)3; (2) ()[]2 1 75.0343031 01.016222364++-+???? ??-----; 解：(1) 3(-6)3+ 4(5-4)4+3(5-4)3 =6446-++=- （2） ()[]21 75.034303101.016222364 ++-+???? ??----- =1 3434134(110(2))()42----+++ -=3780- 例2计算已知（1）,321 21 =+-a a 求221,--++a a a a 的值

指数函数的运算性质

指数函数的运算性质 教学目标：能用分数指数幂的运算法则解决一些数学问题. 教学重难点：重点 掌握分数指数幂的运算法则. 知识复习： 上一节课，学习了分数指数幂的概念，即 给定a 对于任意给定的,(,,(,)1),m n m n Z m n ∈=存在唯一的0,b >使得,n m b a =把b 叫作a 的m n 次幂，记作 (0).m n b a a => 正分数指数幂的根式形式，即 (0,,),m n a a m n Z +=>∈ 其中n 叫作根指数，m 叫幂指数. 负分数指数幂的意义，即 1 (0,,,m n m n a a m n Z a -+==>∈且1).n > 0的正分数幂等于零，0的非负分数幂无意义. 无理指数幂（可以用有理数的不足近似数和过剩近似数进行逼近） 一、正整数指数幂的运算法则 （1）同底数幂相乘 ;m n m n a a a +=同底数幂相除 (0).m m n m n n a a a a a a --==≠ （2）幂的乘方 ();m n mn a a = （3）积的乘方 ().m m m ab a b =商的乘方1()(0).n n n n a ab a b b b --??==≠ ??? 其中,.m n N ∈ 把它推广到分数指数幂也成立， 二、分数指数幂的运算法则 90对于,0,,a b m n >取任意数，有 （1）;m n m n a a a += （2）();m n mn a a = （3）().m m m ab a b =

三、例题 例1. . 例2. 化简 (1)3);x 1(2)()(4).a a a x y y - 例3. 已知103,10 4.αβ==求()()()(2)510 ,10,10,10.β αβαβα+-- 四、探究问题与作业 1. 函数y ex =与x y e =的交点个数. 课后作业:习题1、2、3. 五、课后小节 指数函数的性质