近世代数计算题
计算题
1、在整数环Z 中，令I = {5k |k ∈Z } （1）确定商环Z /I 中的元素。
（2）Z /I 是不是一个整环？求Z /I 的特征。 2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。 3、求模6的剩余类环Z 6的所有理想。
4、在10次对称群S 10中，σ =???
?
??1968752431010987654321.
（1）将σ表成一些不相交轮换之积。 （2）求| σ|。
5、设G = {2m 7n |m ，n ∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f ：2m 7n |→7n 是G
到G 的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。
6、设（Z 16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z 16的所有理想，求Z 16的所有非零理
想的交。
7、在7次对称群S 7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。 8、在高斯整数环Z[i]={a + bi |a , b ∈Z,i 2
=-1}中,(1)求主理想(1+i )，(2)求
)
1(]
[i i Z +。
9、给出整数加群Z 的所有自同构。
10、设R=Z 4是模4的剩余类环,确定Z 4的所有理想。
11、设R=Z[i]={a + bi |a , b ∈Z ,i 2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。 12、设G={ 2m 3n | m, n ∈Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m 3n 2m (1)验证f 是G 到G 的同态映射， (2)确定Ker f 。 13、找出三次对称群3S 的所有子群；找出3S 关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。
14、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。 15、求出模6的剩余类加群Z 6的所有自同构。
16、（10分）求模12的剩余类加群（Z 12，＋）的所有自同构映射
17、设Z
[]i ＝{}1,,|2
-=∈+i
Z b a bi a 是高斯整数环，求Z []i 的商域。
18、求数环Z[5]={a+b 5a ,b ∈Z}的全部自同构映射。
19、求高斯整数环Z[i]={a +bi a ,b ∈Z,i 2=－1}的主理想(1-i ) 以及剩余类环
)
1(]
[i i Z -
20、设Z 8是模8的剩余类环,在Z 8中求x 3的根.
21、在3次对称群S 3中,令H={(1),(12)},试确定H 在S 3中的左陪集分解式。 22、确定高斯整数环Z [i ]的全部自同构映射.
23、试写出模12的剩余类加群G ＝（Z 12，＋）的所有子群及G 的所有
生成元。
24、设Z 是整数环，求（4，6）＝？ 25、找出模8的剩余类环)
8(Z
的一切非零理想，并求它们的交。
26、 设G={2m 5n m ,n ∈Q }是关于普通的数的乘法作成的群, f:2m 5n 5n 是
G 到G 的一个同态映射,求f 的核ker f 。
27、设(Z 12,+,?)是模12的剩余类环,求Z 12的一切理想,以及一切非零理想的交。 28、试写出三次对称群的所有不变子群。
29、已知I ＝{6k|k ∈Z}是偶数环R 的理想，求商环I R 的所有元素。 30、求数环{}
Z b a b a Z ∈-+=-,7]7[的所有单位。 31、确定模10的剩余类加群的所有子群。 32、设G 是一个阶为15的交换群。 （1） 证明G 是循环群。 （2） 求出G 的所有子群。
33、若S 3是3次对称群，{}yx xy S y S x x S C =∈?∈=,,|)(333 （1） 求C （S 3）。
（2） 当n ≥ 3时，C （S n ）呢 ?
34、在3次对称群S 3中，H =｛（1），（23）｝。
（1）试给出H 在S 3中的左陪集分解式 （2）H 是不是S 3的正规子群？
35、设G 是一个21阶交换群，H =｛x |x e x G =∈14,｝ (1) 证明：G H ≤。 （2）确定出H 。
36、设Z 是整数加群，求Z 的自同构群Aut (Z )。 37、设Z 是模6的剩余类加群，求Aut (Z 6)。 38、 在整数加群Z 中，S=｛2004,23,32｝，求。 39、设G =是一个20阶循环群，试求G 的所有生成元。 40、确定3次对称群S 3的所有正规子群。
41、设N G ，|N G |=12,N G g G g 在,14,=∈中求
43、在S 9中，σ=（1965）（1487）（1923），将σ表成一些不相交轮换之积，且求σ。
44、在S 8中，H =<σ>, σ=（1487）（1865）（134），试求[G ：H ]。 45、求Z 到Z m 的所有同态映射。 46、求Z m 到Z 的所有同态映射。 47、求Z 4到Z 6的所有同态映射。
48、设H G ，N G ，)(,,:,G g gN gH N G H G f N H ∈?→? 令。 （1）证明：f 是群H G 到N G 的一个同态映射。 （2）计算Kerf 。
49、设G=｛3m 5n |m,n Q ∈｝，G 对通常数的乘法构成群。令
Kerf Q n m G G f m n m 求),,(353,:∈→ 。
50、设G 与H 是两个群，|G |=100，|H |=21，f 是G 到H 的同态映射，求 f 。
51、求模12的剩余类环Z 12的全部子环。 52、求模8的剩余类环Z 8的全部理想。 53、若{}
1,,|][-=∈+=i Z b a bi a i Z （1） 求Z[i]的所有单位。 （2）)
(]
[i i Z 是不是域？
54、求模24的剩余类环Z 24的所有单位。 55、设{}Z n m m R n ∈?=,|3。 （1） 证明R 是有理数域Q 的子环。 （2）求R 的所有单位。
56、求环M 2（Z 2）中的所有可逆元。 57、求环M 2（Z 4）中的所有可逆元。
58、试求模18的剩余类环Z 18的可逆元与零因子。
59、设Z[i]为高斯整数环，I =（1+2i ）,试写出I 的元素的明显表达式，并求商环I
i Z ][。
60、试确定Z 12的所有商环。
61、设???
???∈???? ??=Z c b a c o b a R ,,|，R 对通常矩阵的加法与乘法构成环。令
?
??
???∈???? ??=Z x x I |000 （1） 证明I 是R 的一个理想。 （2） 求I 的所有理想。
62、求出整数环Z 的一切自同态，并求出它们的每一个同态核。 63、设{}Z k k Z R ∈==|33是环，I =（9） （1）求I R ， （2）I R 是不是一个域？ 64、在整环{}
Z b a b a Z ∈+=,|2]2[中， （1）求 (2)
（2）（2）是不是Z[2]的一个极大理想？
65、设{}Z b a bi a i Z ∈+=,|][是高斯整数环，试确定商环)
2(]
[i i Z -的元素。
66、在3次对称群S 3中，g =(23),g τ是由g 诱导的S 3的内自同构，求g τ。 67、设R 是整环，I 是R 的理想，举例说明I R 不一定是整环，给出I R 是整环的充要条件。
68、举例说明含2个元素的环不一定是域，给出一个2元素环为域的一个充要条件。
69、求模3的剩余类加群Z 3的自同构群。
70. 设 . 当 满足什么条件时,
关于剩余类的乘法
构成群?
71. 求剩余类加群
中每个元素的阶。
72.找出 的所有子群.
73. 找出 的所有生成元.
74. 找出群 的全部自同构映射, 即求出全部的 : , 使得
75. 设
计算乘积 ,
,
,
.
76. 设
(1) 试确定 和 的奇偶性;
(2) 分别将 和 与表示为不相交轮换之积; (3) 计算 , 并将之表为不相交轮换之积.
77. 设(1 3 5 2)(1 4 7 6), (2 5 6 4)(3 7).
(1) 分别确定和的奇偶性;
(2) 将和改写为一般置换的形式.
78.写出与的所有置换.
79. 在中找出所有不与(1 2 3)可交换的元素.
80. 在中, 找出所有与 (1 2 3 4)可交换的元素.
81. 设按顺序排列的13张红心纸牌
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
经2次同样方式的洗牌后牌的顺序变为
6 10 A Q 9 K J
7 4
8 3 2 5
试求出第一次洗牌后牌的顺序.
83. 设, , 求.
84. 设, , 求(这里和分别表示全体非零
复数及全体非零实数的集合).
85. 设是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群. 对下列映射, 哪些
是到的同态映射? 对于同态映射, 找出以及.
(1) ; (2) ; (3) ; (4)
.
86. 试决定三次对称群的所有同态象. (同构的同态象看作同一个同态象.)
87. 设. 是由六个置换
(1), (1 2 3)(4 5 6), (1 3 2 )(4 6 5)
(7 8), (1 2 3)(4 5 6)(7 8), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8)
所组成的群.
（1）写出的各元素的稳定子和轨道；
（2）写出的各元素的不动元素.
88. 计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.
89. 用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各8块可铺成多少种不同的大正方形塑料板？假定小正方形塑料板两面颜色相同.
90.试求中的所有零因子与可逆元, 并求每个可逆元的逆元素.
91. 求线性方程, 在环上的解.
92. 求线性方程, 在环上的解.
93. 求线性方程, 在环上的解.
94. 求线性方程, 在环上的解.
95. 分别求线性方程组
在, , , 中的解.
96. 求二次方程在环上的解.
97. 求二次方程在环上的解.
98. 求二次方程在环上的解.
99. 求二次方程在环上的解.
100. 计算多项式, ,在环上的乘积.
101. 计算多项式, , 在环上的乘积.
102. 计算多项式, , 在环上的乘积.
103. 计算多项式, , 在环上的乘积.
104. 在四元数体中, 设
(1) , .
(2) , .
求, , , , .
105.设集合
(1) 求的所有理想.
(2) 求的极大理想与素理想.
106. 试求的所有理想与极大理想.
107. 设, 都是整数环的理想, 试求
(1) .
(2) .
(3) .
108. 理想 (15,24) 是怎样的主理想?
109. 在中, , 求的元素个数.
110. 3. 下列映射哪些是环同态 (1) : , ;
(2) : , ; (3) : , ;
(4)
, :
, .
111. 对 , 求 , 使得 .
(1) , . (2)
,
.
112. 对多项式 ,
, 求 , 使得
(1) , , . (2) , , . (3)
,
,
.
113. 对 , 求 , 并求
, 使得 .
(1) , . (2) ,
.
114. 判别集合
在
上是否线性相关?
115. 构造模2的高斯整数环 的乘法表. 这个环是域吗?
116. 设 是4阶有限域, . 确定下列系数在 上的多项式
在域 中是否可约.
(1)
(2)
117. 设 是九个元素的域. 求
中的矩阵
的逆矩阵
.
118. 构造含４个元素的有限域，并写出它的加法和乘法运算表。 119. 给出下列四个四元置换
???
?
??=???? ??=???? ??=???? ??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ
组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及1
4131211,,,----ππππ和G 的
所有子群。
120. 设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果
[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和
)()(x g x f 以及它们的次数。
121.设M 是一个非空集合，2M 是M 的幂集（M 的子集的全体称为M 的幂集），问
2M 关于集合的并∪是否构成群？为什么？
122.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.
123.设
??
?
???∈?
??? ??=Z b a b a R ,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I
=????
??∈???? ??Z x x 000证明：I 是R 的理想，问商环R/I 由哪些元素组成？ 124. 假定R 是模8的剩余类环，在[]x R 里计算)()()()(x g x f x g x f 与+并求出它们
的次数，其中[][][]
[][]34)(453)(23+-=-+=x x x g x x x f ，。 125．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。
126. 设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．21I I +； 2．21I I ?； 3．21I I ?
127. 设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；
2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
128. 求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。
129. 设A ，B ，C 是G 的子群,下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。
1) ;2) ;3) ;4) ()A B A C B C A B A C B C AB AC B C A B C AB AC
?=??=?=??==?=?=?
130.
写出Q
元素形式，并找出Q 所有子域。
131. 设G 是6阶循环群，找出G 的全部生成元，并找出G 的所有子群. 132. 求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？
133. 设Z 是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z 的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z 的理想吗？为什么？ 134.设
为整数加群, ,求 ?]:[=H Z 135. 找出3S 的所有子群。 136. 求 18Z 的所有子群。 137. 将
表为对换的乘积.
138. 设按顺序排列的13张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的? 139. 在 6Z 中, 计算:(1)
;(2)
; (3)
; (4)
.
140. 试求高斯整环 的单位。
141. 试求12Z 中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 142. 找出模6的剩余类环6Z 的所有理想。 143. 在 12Z 中, 解下列线性方程组:
144. 求 18Z 的所有子环. 145. 试求
的所有理想.
146. 数域F 上的多项式环[]F x 的理想253(1,1)x x x +++是怎样的一个主理想。
147. 在 中, 求 的全部根.
148. 试举例说明，环[]x R 中的m 次与n 次多项式的乘积可能不是一个m+n 次多项式.
149. 求出域3Z 上的所有2次不可约多项式. 150. 指出下列哪些元素是给定的环的零因子.
(1) 在)(2F M 中.设??
????=??????=??????=2421011-0B ,0012
， C A . (2) 在12Z 中,它的全部零因子是哪些.
(3)
11Z 中有零因子吗?
151. 求二阶方阵环)(2R M 的中心.
152. 举例说明，非零因子的象可能会是零因子. 153. 设R 为偶数环.证明：
{}
.4R R r r N ∈=
问：4=N 是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？ 154. 举例说明，素理想不一定是极大理想。
155. 设{(1),(12)}H =,求3S 关于H 的所有左陪集以及右陪集.
156. 设H ＝｛（1），（12）｝是对称群S 3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S 3的不变子群？为什么
157. 求模12的剩余类加群(Z
,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
12
158. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）
近世代数期末考试试卷与答案
一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。
近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
近世代数试卷
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
近世代数复习试题2010级
《近世代数》复习试题 一 填空题 1．12,,n A A A L 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A L 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+=ο 证明：),(οZ 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G <，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H < 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
自考《数学教育》专业-近世代数习题指导
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自考《近世代数》练习1及答案 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 （ ） 2、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且（ ） 3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 4、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21Λ和D 都是非空集合，而f 是n A A A ???Λ21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同； ②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换； ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a +=ο； ②在有理数集Q 上，ab b a =ο； ③在正实数集+R 上，b a b a ln =ο；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=ο。 3、设ο是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax =ο（即取a 与b 中的最大者），
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
近世代数试题库
近 世代数 一、单项选择题 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ） A C 2A C 3A C 4A 、 对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH = B 、 以上都对 答案：D 5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a→10a ??a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ） A 、单射 B 、满射
C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A 7A C 8A C 9A C 答案：B 10、偶数环的单位元个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案：A 11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）
A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同； B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换； C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A B C D 13 在Z A C 14那么群 ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） A 、0和x -； B 、1和0； C 、k 和k x 2-； D 、k -和)2(k x +-。 答案：D 15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。 答案：A
近世代数证明题
证明题 1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：C G （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈ H }。证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。 4、设R = ???? ??c o b a ，a ，b ，c ∈Z ，I = ???? ??o o x o x ∈Z 。 （1）验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。 （2）证明I 是R 的一个理想。 5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证明 （G ， o ）构成一个群. 6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域?I 是由R 的一个素元生成 的主理想. 7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 8、设G 是群，H ≤G 。令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，?h ∈ H ，hx = xh }.证明： （1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ） 9、证明数域F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的 一个素元. 11、设G 与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈ H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中，证明： （1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n |a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素. 13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群． 14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公 因数是一个素数。 f f
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
近世代数练习题题库
近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
近世代数复习题
近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 (一)填空题 1.剩余类加群Z 12有_________个生成元. 2、设群Ｇ的元a 的阶是n,则ａk 的阶是＿____＿_＿. 3. 6阶循环群有_＿_＿_____个子群. ４、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为———。 5． 模８的剩余类环Z 8的子环有____＿____个. 6.整数环Z 的理想有＿________个． ７、ｎ次对称群S ｎ的阶是——————。 ８、９-置换??? ? ??728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z 6的子环Ｓ={[0］,［2]，［4］},则Ｓ的单位元是_＿_＿＿___＿___. 1０. 24中的所有可逆元是：＿＿_＿＿__________＿__＿_＿＿__＿_. 1１、凯莱定理的内容是:任一个子群都同一个___＿___＿同构。 12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于_____＿＿_＿__,(2）若a 的阶为n ，则G 同构于＿_____＿＿____。 １３． 在整数环中，23+=___＿_____________＿； １４、n 次对称群S ｎ的阶是_____. 1５. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___＿__＿___＿。 １6、除环的理想共有____＿______＿个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__＿_＿__＿＿_.
18、在整数环Ｚ中，由｛2,3}生成的理想是______＿_＿. 1９． 剩余类环Ｚ7的可逆元有_______＿＿＿个. 20、设Ｚ11是整数模11的剩余类环，则Z １1的特征是_________. 21. 整环Ｉ={所有复数a+ｂi(a,b 是整数）},则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Ｚn 是域?n 是＿_＿_＿____． 23、设Ｚ7 ＝{0，1,2,3，４,５,6}是整数模７的剩余类环,在Z 7 [ｘ]中, (5x-4）(3x+2)=________. 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =__＿_______＿____。 2５、设群G ＝{e,a 1，a 2，…,a n -１}，运算为乘法,e 为G 的单位元,则ａ1ｎ =___. 26． 设A ＝{a ，b,c},则Ａ到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是_______＿. 28． 整数加群Z 有__＿___＿___个生成元. 2９、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且仅当I 是————————。 30． 已知1234531254σ??= ???为5S 上的元素，则1σ-=___＿_＿____。３1. 每一个有限 群都与一个_＿＿＿＿_____群同构。 32、设I 是唯一分解环，则I[ｘ]与唯一分解环的关系是——————。 二、基本概念的理解与掌握。 (二）选择题 １．设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素，那么，Ａ与Ｂ的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
近世代数试题库
近世代数一、单项选择题 A?=（） 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、 2 A C 3 A、 C 4 A、 B、 5、设 是从A到B的（） A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（） A、有限 B、无限
C 、为零 D 、为1 答案：A 7、整环（域）的特征为（） A 、素数B 、无限 C 、有限 D 、或素数或无限 答案：D 8、若S 是半群,则() A C 9A 、C 、10A 、C 、11 A B 、A 1 C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（） A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ；
B 、在有理数集Q 上，ab b a = ； C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ； D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 答案：D 13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（） A C 14() ,G A 、015A 、bc 16（） A 、61721A 、f 的同态核是1G 的不变子群； B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群； C 、1G 的子群的象是2G 的子群； D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 答案：D
18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（） A 、若a 是零元，则b 是零元；B 、若a 是单位元，则b 是单位元； C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子； D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换。 答案：C 19、下列正确的命题是（） A 、欧氏环一定是唯一分解环； B 、主理想环必是欧氏环； C 20A 、(E C 、(I :12、设答：3．设21Rl l 4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n =的充要条件是（）。 答：n m 5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（）。 答：,,H b a ∈?有H ab ∈-1 6、n 次对称群n S 的阶是（）。
近世代数考试复习
<近世代数复习题> 一、定义描述（8’） 1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。 2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ， 则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。 3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用 乘号表示，如果： （1）R对加法作成一个加群； （2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它 理想，则称N为环R的一个极大理想。 5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能 惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在； （2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。------------- 7、素理想：设R是一个交换环，P ?R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则 称P是R的一个素理想。 显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。 8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且 是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > . 9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有
《近世代数》模拟试题1及答案
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟） 二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （）循环群的子群是循环子群。 2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. （）存在一个4阶的非交换群。 4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。 5. （）无零因子环的特征不可能是2001。 6. （）无零因子环的同态象无零因子。 7. （）模97的剩余类环Z97是域。 8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （）域是唯一分解整环。 10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分） 1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中 有个单射，有个满射，有个双射。 2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。 3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。 4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。 5. 环Z6的全部零因子是。 6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分 三、解答题（共3０分） 1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3． （１）写出H＝< a>的所有元素． （２）计算H的所有左陪集和所有右陪集． （３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．
2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。 四、证明题（共30分） 1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明 （１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数； （２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。 2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。 3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-