讲义1 转化的思想方法

讲义1 数学思想方法

做任何事情都要讲究方法，方法对头，事半功倍，方法不当，事倍功半。因此，古往今来人们十分重视方法的研究，力图运用正确的方法来认识世界和改造世界。

数学解题过程中，注意总结方法，就能抓住一类问题的实质，使解题效率更高，不注意方法和研究，往往会陷入题海之中，不得要领。

现在我们就常用的方法进行研究、举例。这些方法之间并不是完全独立的，它们之间互相联系，但又有差异，因此，学习的过程中要区分它们的异同，在不同情况下，正确使用不同的方法，使数学问题的解决变得简洁、准确！

§1.转化的思想方法

数学知识有一个由简单到复杂，由初等到高等的发展过程，这足以表明复杂的问题是由许多简单的问题组成的。因此数学的解题过程也是一个不断的转换问题的过程。经过这种转化，问题不断被简化，将一个陌生的复杂的题目，逐步转化成我们所熟悉的、简单的题目，进而解之。这种解题的思想方法称之为转化的思想方法，下面我们以例题和练习来说明和学习这种思想方法。

例1：2003减去它的

21，再减去余下的31，再减去余下的41，依次类推，一直到最后减去余下的20071，求最

后剩下的数。

例2：计算 2008×20072007-2007×20082008

例3：1967，1977，1987，1997，2007这五个数的总和是多少？

例4：在初一年级的学生中，随意挑出6个人，这6个人中必有这样3个人：他们要么互相认识，要么互相不认识，试说明理由。

例5：（1）甲校和乙校有同样多的学生参加数学竞赛；

（2）学校用汽车把学生送往考场。甲校车15人∕车；乙校车13人∕车；

（3）结果乙校比甲校多派一辆车。后来各校增加一人参加竞赛，这样两校需要的车就一样多了；

（4）最后又决定每校各增加一人参加竞赛，乙校又比甲校多派了一辆车；

（5）问最后两校共有多少人参加竞赛？

例6：鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，多少鸡来多少兔？

例7：九头鸟和九尾狐共有84个头，116条尾，请问，九头鸟和九尾狐各有几只？

练习：

1.先看甲乙的一段对话：

甲：请你写一个四位数（要求百位数字不是0）。

乙：已经写好了。

甲：现在把你写的四位数的千位数字移到这个数的最后，得到一个新的四位数。

乙：已经移好了。

甲：把这两个四位数加起来，把和告诉我。

乙：3565.

甲: 不对！你在骗我。

乙：对不起，报和数时，我把十位数字修改了。

试问：十位数字是几？

2. 宝宝出生时是星期三，那么百日之后是星期几？

3. .计算： 1)

1021()921(10

)4321()321(4

)321()21(3

)21(12+++?+++--+++?++-++?+-+?-

4.如果整数A 的末两位数字组成的数能被4整除时，那么A 就能被4整除。试说明理由。

5.有一种电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点，它既响铃又亮灯。那么它下次既响铃又亮灯时，应该是几点钟？

6.求下面的一列数中第2009个数：

1，3，6，10，15，…….

7.观察下面两列数：

3，7，11，15，19，23，27，31，…；

2，5，8，11，14，17，20，23，….

求①它们中第20对相同的数；②求前20个相同的数的和。

8.把一张三角形的纸剪去一个角（边对边地剪），再剪去这张纸上新产生的角，按此规律剪下去，剪到第十次后，这张纸共有多少个角？

等价转化思想方法

等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 2.设f(x)＝3x－2，则f-1[f(x)]等于______。 A. x+8 9 B. 9x－8 C. x D. 1 32 x- 3. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。 A. a b + 2 B. ab C. a b 22 2 + D. ab a b +

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

数学转化思想

转化思想 转化思想就是解决数学问题得一种最基本得数学思想，在研究数学问题时，我们通常就是将未知问题转化为已知得问题，将复杂得问题转化为简单得问题，将抽象得问题转化为具体得问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同得数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎就是无处不在得。 例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=?? ?1351444524 2 分析：从表面上瞧此题属于二元三次方程组得求解问题，超过我们所掌握得知识范围，但仔细分析可将方程组变形为 ()()()()x x x y x x x y 22 35144 3524 ++=+++=?????，再利用换元法，问题就迎刃而解了。 解：设x x u x y v 2 35+=+=， 原方程组可化为u v u v ?=+=?? ? 144 24 解之，得u v ==???1212即x x x y 212 3512 +=+=??? 解之，得x y 11448=-=?? ?.x y 223 06 ==?? ?. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572 35111 1m n p m n p ++=++=-+，，求 23511m n p +-++得取值范围。 分析：直接利用已知条件中得两个等式得到23511m n p +-++得取值范围不好下手，如果换个角度考虑2 35 111 1 m n p -+++=可变形为22 35511m n p ++?=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c a b c ++=++=??? ??72 511，进而找到a 、b 与c 得关系，可以确定所求式子得取值范围。 解：设2 35m n p a b c ===，，，则

转化与化归思想方法

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆

小学数学转化思想的论文

小学数学转化思想的论文 Prepared on 24 November 2020

窗体顶端 “随风潜入夜，润物细无声” -----“转化”思想在小学数学中的渗透 人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。由此我们必然联想到“转化”。转化思想是小学数学学习中一种重要的数学思想。转化思想就是化新为旧，即根据学生已有的知识来解决新知识，将复杂问题转化为易解问题。 “分数的初步认识”、“小数的认识”；整数的四则运算、小数的四则运算；三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形的面积推导；异分母分数加减法等等都是转化思想非常好的体现。由此可见，在小学数学教学中应交给学生一些转化思想，使他们能用转化思想学习新知识，分析问题，解决问题。那么，怎么用转化的方法来促进我们的教学呢 下面谈一些本人在教学实践中的一些做法： （一）在新课导入中渗透（复习旧知时）

如教学“分数的除法”时，采用复习导入法，先复习与本节课知识密切相关的“分数乘法”，建立了新旧知识的练习，渗透“转化”数学思想。每一种导入方法，都有其适用的课型。在这里，关注数学的内在联系。 （二）在新知的形成过程中渗透 在平行四边形的面积的学习中，引导学生回忆三角形的面积计算，即回顾以前的学习经验；把这些平行四形转化成会计算三角形的面积。通过让学生亲身经历公式推导的全过程，有助于学生更好地理解，同时为以后的学习、积累丰富的活动经验，促进学生的可持续发展。 再如教学“小数乘整数”时，是由这样一个问题展开的：“每个风筝元，买3个风筝多少元”学生以前只学过小数的加减法，对于新知“小数的乘法”他们会怎样计算通过编者的三中方法：①用3个连加②把元转化成3元5角③把元转化看成35角，也就是扩大到原来的10倍，最后再把积转化为原来的十分之一。在几何图形中，求平面图形的面积，将平行四边形通过剪拼转化为长方形，三角形通过剪拼转化为平行四边形，梯形通过剪拼转化为平行四边形，这些平面图形求面积公式都是运用了转化思想。同样，立体图形求体积也渗透了转化思想，如将圆锥的体积和圆柱联系在一起。这些课的

第一性原理计算方法讲义

第一性原理计算方法讲 义 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

第一性原理计算方法 引言 前面讲述的有限元和有限差分等数值计算方法中，求解的过程中需要知道一些物理参量，如温度场方程中的热传导系数和浓度场方程中的扩散系数等，这些参量随着材料的不同而改变，需要通过实验或经验来确定，所以这些方法也叫做经验或者半经验方法。而第一性原理计算方法只需要知道几个基本的物理参量如电子质量、电子的电量、原子的质量、原子的核电荷数、布朗克常数、波尔半径等，而不需要知道那些经验或半经验的参数。第一性原理计算方法的理论基础是量子力学，即对体系薛定额方程的求解。 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。量子力学的出现，使得人们对于物质微观结构的认识日益深入。原则上，量子力学完全可以解释原子之间是如何相互作用从而构成固体的。量子力学在物理、化学、材料、生物以及许多现代技术中得到了广泛的应用。以量子力学为基础而发展起来的固体物理学，使人们搞清了“为什么物质有半导体、导体、绝缘体的区别”等一系列基本问题，引发了通讯技术和计算机技术的重大变革。目前，结合高速发展的计算机技术建立起来的计算材料科学已经在材料设计、物性研究方面发挥着越来越重要的作用。 但是固体是具有～1023数量级粒子的多粒子系统，具体应用量子理论时会导致物理方程过于复杂以至于无法求解，所以将量子理论应用于固体系统必须采用一些近似和简化。绝热近似（Born-Oppenheimei近似）将电子的运动和原子核的运动分开，从而将多粒子系统简化为多电子系统。Hartree-Fock近似将多电子问题简化为仅与以单电子波函数（分子轨道）为基本变量的单粒子问题。但是其中波函数的行列式表示使得求解需要非常大的计算量；对于研究分子体系，他可以作为一个很好的出发点，但是不适于研究固态体系。1964年，Hohenberg和Kohn提出了严格的密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT）。它建立在非均匀电子气理论基础之上，以粒子数密度()r 作为基本变量。1965年，Kohn和Sham提出Kohn-Sham方程将复杂的多电子问题及其对应的薛定谔方程转化为相对简单的单电子问题及单电子Kohn-Sham方程。将精确的密度泛函理论应用到实际，需要对电子间的交换关联作用进行近似。局域密度近似（LDA）、广义梯度近似（GGA）等的提出，以及以密度泛函理论为基础的计算方法（赝

化归思想方法

化归思想方法 马明 一位日本的数学教育家曾经提出：无论科技工作者，教育工作者，或是社会的其他人才，最重要的是要有数学的精神与思想方法，而数学知识则是第二位的。这与我国古代教育家提出的“授之以鱼，不如授之以渔”的思想实质上是一致的。 在具体的数学思想方法中，“化归思想”又是世界数学家们都十分重视的数学思想方法，因为，在解决问题的过程中，数学家往往不是直接对问题展开攻击，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题，或容易解决的问题。匈牙利著名数学家P·罗莎曾用以下比喻十分生动地说明了化归思想的实质。她写道：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着，罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但罗莎却认为这并不是最好的回答，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了，而先前的问题

我已回答。” “把水倒掉”——这是多么简洁的回答呀！比喻有点夸张，但它的确表明了数学家思考与解决问题的一个特点，与其他应用科学家相比，他们更善于使用化归思想。 下面还是让我们用一些例题来说明。 例1 鸡兔同笼，笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？ 分析化归的实质是不断变更问题，这里可以先对已知成分进行变形。每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚，又要求每只兔悬起两只前脚。那么，笼中仍有头50，而脚只剩下70只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等——有一头兔，就多出一只脚，现在有头50，有足70，这就说明有兔20头，有鸡30头。 以上是从变更题设条件来寻找化归方法的。下例则是从变更任务来实现化归目的。 例2 有18瓶牛奶分放在4×6=24个方格内，每格只能放一瓶，在数牛奶瓶时要求横数的瓶数为偶数，竖数的瓶数也为偶数，这件事能办到吗？ 图1

五年级上册数学思想方法的梳理

人教版五年级上册数学思想方法的梳理 一、教材内容与思想方法的梳理： 序号内容页码蕴含数学思想方法 1 小数乘整数、乘小数：P2-5 转化思想、对比思想 2 整数乘法运算定律推广到小数：P12 类比思想、比较思想 3 循环小数：P33 极限思想 4 用字母表示数：P52-54 符号化思想 5 用字母表示数量关系：P52 对应思想、函数思想 6 方程的意义：P62 数形结合思想 7 等式的基本性质：P64 数形结合思想、变中抓不变思想 8 解简易方程：P67 数形结合思想 9 稍复杂的方程：P69 假设思想、整体思想 10 平行四边形的面积：P87 转化思想 11 三角形的面积：P91 转化思想 12 梯形的面积：P95 转化思想 13 数字编码：P134 符号化思想 二、各部分内容思想方法渗透的教学建议： 1.小数乘整数、乘小数：教材创设学生喜欢的”买风筝、放风筝“情景，引入小数乘整数的学习。转化思想的渗透：选择“进率是10的常见量”作为素材引入，利于学生根据熟悉的“元、角、分”之间的进率，将3.5元×3转化为“35角×3”来计算。比较思想的渗透：处理积中小数点的位置问题。教材在例3、例4中，均采用对比的方

法，引导学生分别观察因数和积中小数的位数，找出它们之间的关系，然后利用这一关系，准确找到小数点的位置。 2.整数乘法运算定律推广到小数：类比思想的渗透：在复习整数乘法运算定律的铺垫上，举出P12的例子，看看每组算式两边的结果是不是相等，与之前复习的知识进行类比，你能发现什么规律？从而得出整数的运算定律对于小数也适用。 3.循环小数：这是一个新知识，内容概念较多，比较抽象，是教学中的一个难点。极限思想的渗透：教学时，可以先让学生计算，多除出几位小数，让学生观察竖式看发现了什么。学生会发现商的小数部分总是不断商3，如果继续除下去能不能除尽？使学生注意到因为余数总是重复出现25，所以商就重复3，总也除不尽，体会3是无穷尽的极限思想。 4．用字母表示数：对于小学生来说，是比较抽象的内容。符号化思想的渗透：在教学中，要通过一系列的教学活动，让学生感受字母代数的优点。比如通过用字母表示运算定律，感受到数学的符号语言比文字语言更为简洁明了。 5.用字母表示数量关系：对应思想的渗透：首先引导学生完成个别情况，如小红1岁时，爸爸是1+30=31岁，小红2岁时，爸爸2+30=32岁，依次类推……让学生体会到小红和爸爸的年龄在任何一年都有一一对应的关系。函数思想的渗透：通过前面环节，由个别到一般的归纳得出a+30表示任何一年爸爸的年龄，然后再让学生代入求值，由一般到个别，进一步理解a是一个具体的岁数，a+30也是一

2018年中考数学方法技巧：专题五-转化思想训练(含答案)

2．[2016·扬州]已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为() 方法技巧专题五转化思想训练 转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等． 一、选择题 1．[2015·山西]我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而 得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x 1 ＝0，x 2 ＝2.这种解法体现的数学思想是() A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想 27 99 A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定 3．[2016·十堰]如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是() A．140m B．150m C．160m D．240m 图F5－1 4．[2016·徐州]图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是() 图F5－2 A．1或9B．3或5 C．4或6D．3或6 二、填空题 5．[2017·烟台]运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________． 图F5－3

2．A [解析] ∵N －M ＝a 2 － a －( a －1)＝a 2－a ＋1＝(a － )2＋ ＞0，∴M ＜N .故选 A . 6．[2016·达州] 如图 F 5－4，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结 BQ .若 PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形 APBQ 的面积为________． 图 F 5－4 7．[2016·宿迁] 如图 F 5－5，在矩形 ABCD 中，AD ＝4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的 点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为________． 图 F 5－5 三、解答题 8．如图 F 5－6①，点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点．分别延长 O D 到点 G ，OC 到点 E ，使 OG ＝2OD ，OE ＝2OC ， 然后以 OG 、OE 为邻边作正方形 OEFG ，连结 AG ，DE . (1)求证：DE ⊥AG ； (2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0°＜α ＜360°)得到正方形 OE ′F ′G ′，如图②. ①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求 α 的度数； ②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF ′长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果，不必说明理 由． 图 F 5－6 参考答案 1．A 7 2 1 3 9 9 2 4 注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负． 3．B [解析] ∵多边形的外角和为 360°，这里每一个外角都为 24°，∴多边形的边数为 360°÷24°＝15.

在教学中渗透转化与化归数学思想方法的实践意义

在教学中渗透转化与化归数学思想方法的实践意义 开封市第二十五中学杨瑞 【关键词】数学思想方法转化与化归解决问题数学的实践应用【摘要】对于高中学生来说，数学的学习一直都应是一种思维方式的训练，甚至也会是生活态度的学习，因此教师在数学教学中要渗透的就应该是数学思想方法，而不仅仅是知识的传授。 【正文】新课程改革后的人教版教材一直想传达给学生这样一种思想：数学是有用的，数学的学习可以提高能力。一直以来，都有一种数学无用论的声音，很多人觉得生活不需要数学，数学学得好远没有背几首诗词或者读几篇历史故事更能吸引别人的眼光，甚至不如懂得一些物理化学知识来得实用，这已成为数学教师的尴尬，仿佛教学仅仅是为了那张卷子上的一个分数。 实际上，学数学的人都知道在实践中，在理论中，在物质世界中，在精神世界中，数学处处都有。生活处处蕴含着数学的魅力。基本无论大到宇宙星系，小至生物微粒及人类所处事宜都散发着数学的气息。因此高中数学的教学活动中，教师就不能仅仅局限于推导数学公式，掌握公式的使用，教学中渗透思想方法会对学生进行思维方式的训练，甚至也会是生活态度的学习，因为，数学是科学的语言，是思考和解决问题的工具。 在教学中渗透化归与转化这一最重要的数学思想就对学生的思维方式和解决问题的能力有着巨大作用。高中学生要在高中阶段实现由经验型逻辑思维向理论型逻辑思维转化，最终初步形成辩证思维能力。而转化与化归思想的渗透恰恰可以在培养学生逻辑思维能力方面发挥作用。同学们都有这样的经验，解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题，通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。这种数学思想方法不仅可以解决数学问题，显然在生

用转化思想解决问题

《用转化思想解决问题》教学设计转化是解决问题时常用的方法，能把较复杂的问题简单化、新的问题变成较简单的、已经解决的问题。转化策略的应用非常广泛。教学以学生对转化策略的体验与主动应用为主要目的，进而可以用转化的策略解决问题。 教学目标： 1、通过仔细观出问题特点，培养学生的数感、图形感，在学习并运用转化的过程中，培养学生解决问题的主动意识和对问题解决过程的判断意识。 2、学生初步学会运用转化的策略分析问题，灵活确定解决问题的思路，并能根据问题的特点确定具体的转化方法，从而有效地解决问题。 3、学生通过回顾曾经运用转化策略解决问题的过程，从策略的角度进一步体会知识之间的联系，感受转化策略的应用价值。 4、学生进一步积累运用转化策略解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，主动克服在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。 教学重难点： 理解转化策略的必要性和价值，丰富学生的策略意识，初步掌握转化的方法和技巧。 设计理念： 转化法是数学解决问题时的一个重要技巧，它能分散难点，化繁为简，有迎刃而解的妙处。掌握转化策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。在设计本课教学时注意了以下几个方面： （1）突出转化策略的实际价值。通过观察、比较、猜测、合作交流等活动形式体会策略的实际价值。 （2）合理突破运用转化策略的关键。根据问题的具体情况具体分析，从不同的角度来理解转化，尝试多种不同的方法解决问题，既充分考虑学生的思维发展水平，又便于学生实实在在地掌握转化的策略。 （3）形成积极的策略体验。不能满足于学生对“策略”一词的理解，不能把解决某一具体问题作为目标，而应让学生在解决问题的过程中形成对策略的积极的情感体验。

数学的转化思想方法

数学的转化思想方法 数学的转化思想方法 特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和 方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。常见情形为：用字 母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。 整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需 要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。用整体思想解题时，是 把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理， 一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在 结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把 注意力和着眼点放在问题的整体上。常见的情形为：整体代入；整 式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整 体改造与合并；整体构造与操作等。分类讨论的数学思想：也称分 情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时， 我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设 分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种 情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是根据问题的不同情况 分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类 的标准。分类讨论的原则是：（1）完全性原则，就是说分类后各子 类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不 能遗漏；（2）互斥性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一 性原则，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象

计算方法作业第一章

习题二 1. 用二分法求方程0134=+-x x 在区间【0.3,0.4】内的根，要求误差不超过2102 1-?。 3.方程0123=--x x 在1.5附近有根，把方程写成4种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）231x x +=，32 11n n x x +=+ （2）211x x + =，=+1n x 211n x + （3）1 1 2 -= x x ，=+1n x 1 1-n x

（4）132-=x x ，= +1n x 13-n x 4.用迭代法求02.05 =--x x 的正根，要求准确到小数点后第5位 解：迭代公式:512.0+=+x x n 7.用迭代-加速公式求方程x e x -=在x=0.5附近的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：x n e x -+=1，n n x q q x q x ---= +1111 8用埃特金加速法求方程13 -=x x 在区间【1,1.5】内的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：13 1-=+x x n ，13 12-=++n n x x ，n n n n n n n x x x x x x x +--= ++-++122 1 212

9.用牛顿法求方程0133=--x x 在20=x 附近的根，要求准确到小数点后第3位 解：迭代公式：3 31 32 31 ----=+n n n n n x x x x x 11.分别用单点和双点弦截法求方程013 =--x x 在【1,1.5】内的根，要求 51102 1 ||-+?≤ -n n x x 解：单点：)111() 111()1(1 13 1--------- =+n n n n x x x x 双点：)1() 1()1(3 13 1311--------- =---+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x

转化思想

转化思想在低年级教学中的运用 曹冲称象的故事。· “曹冲称象”（图片）在中国几乎是妇孺皆知的故事。年仅六岁的曹冲，用许多石头代替大象，在船舷上刻划记号，让大象与石头等重，然后再一次一次称出石头的重量。这样就解决了一个许多有学问的成年人都一筹莫展的难题。曹冲既不懂得阿基米德浮力原理，也不懂得什么“等量代换”的数学方法。曹冲的聪明之处在于将“大”转化为“小”，将“大象”转化为“石头”，其实他是成功地运用了“转化的思想方法”。今天我们就一起沿着“转化”的道路来寻找我们小学数学教材中的“转化思想”。 什么是转化思想呢？我的理解是：在小学数学里，经常遇见将一个问题转化为另一个问题，将一些已知条件或数量关系转化为另外的条件或关系来解决问题的现象，简单的说就是：化生为熟、化难为易、化繁为简、化高为低、化曲为直，这就是转化的思想。 在我们的小学的数学教材中，编者特别重视转化思想的渗透，特别突出了转化思想的在解决实际问题中的应用。转化思

想是整个小学数学知识学习和能力培养的一条无形的线索，贯穿始终。 深入地分析小学数学教材中的转化思想，我们可以概括的把他们分为两种：自化和它化。 1.自化——数与数之间的转化。即，新知转化为旧知，也可以旧知转化为新知。 如：P93“20以内的进位加法”，教材中用了3种方法转化为前面学过的“10以内的加法”来学习。第一种，通过摆小棒（演示）先把9根和1根合起来，加剩下的5根，就是15根；第二种，通过摆小方块（演示）先让右边的小方块凑成10块，然后再与剩下的合起来就是15块，第三种，通过假设法，先把9假设成10，来算，最后再去掉1。这样把“20以内的进位加法”转化为前面学过的“10以内的加法”来学习，既降低了新知的难度，又让学生学习了一种解决问题的思想（转化思想）。 再比如：下册的“100以内的加法”（P48）（出示）也是转化为“10以内的加法”来学习的。解决“一共捉了多少只虾？”的问题，通过学具操作，把26+12的计算转化为2+1和6+2的计算。

思想方法 2.思维转化法

思想方法 2.思维转化法 思维转化法：在运动学问题的解题过程中，若按正常解法求解有困难时，往往可以通过变换思维方式、转换研究对象，使解答过程简单明了． 1．逆向思维法 将匀减速直线运动直至速度变为零的过程转化为初速度为零的匀加速直线运动，利用运动学规律可以使问题巧解． 【典例1】 一物块(可看作质点)以一定的初速度从一光滑斜面底端A 点上滑，最高可滑至C 点，已知AB 是BC 的3倍，如图所示，已知物块从A 至B 所需时间为t 0，则它从B 经C 再回到B ，需要的时间是( )． 即学即练1 做匀减速直线运动的物体经4 s 后停止，若在第1 s 内的位移是14 m ，则最 后1 s 内的位移是( )． A ．3.5 m B ．2 m C ．1 m D ．0 2．等效转化法 “将多个物体的运动”转化为“一个物体的运动”． 【典例2】 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m 的窗子的上、下沿，如图1－2－9所示，(g 取10 m/s 2)问： (1)此屋檐离地面多高？ (2)滴水的时间间隔是多少？ 即学即练2 从斜面上某一位置，每隔0.1 s 释放一个小球，在连续释放几颗小球后，对在斜面上滚动 的小球拍下照片，如图1－2－10所示，测得x AB ＝15 cm ，x BC ＝20 cm ，求： (1)小球的加速度； (2)拍摄时B 球的速度； (3)拍摄时x CD 的大小； (4)A 球上方滚动的小球还有几颗． 附：对应高考题组 1．(2010·天津卷，3)质点做直线运动的v -t 图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在 前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )． A ．0.25 m/s 向右 B ．0.25 m/s 向左 C ．1 m/s 向右 D ．1 m/s 向左 2．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s 听到石头落底声．由 此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g 取10 m/s 2)( )． A ．10 m B ． 20 m C ．30 m D ．40 m 3．(2011·安徽卷，16)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx 所用的时间为t 1，紧接着通过下一段位移Δx 所用的时间为t 2，则物体运动的加速度为( )． A.2Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2) B.Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2) C.2Δx (t 1＋t 2)t 1t 2(t 1－t 2) D.Δx (t 1＋t 2)t 1t 2(t 1－t 2) 4．(2012·上海卷，10)小球每隔0.2 s 从同一高度抛出，做初速度为6 m/s 的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰．第一个小球在抛出点以上能遇到的小球数为(取g ＝10 m/s 2)( )． A ．三个 B ．四个 C ．五个 D ．六个 5．(2013·广东卷，13)某航母跑道长200 m ，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s 2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )． A ．5 m/s B ．10 m/s C ．15 m/s D ．20 m/s 6．(2011·新课标全国卷，24)甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．

第一性原理计算方法讲义

第一性原理计算方法 引言 前面讲述的有限元和有限差分等数值计算方法中，求解的过程中需要知道一些物理参量，如温度场方程中的热传导系数和浓度场方程中的扩散系数等，这些参量随着材料的不同而改变，需要通过实验或经验来确定，所以这些方法也叫做经验或者半经验方法。而第一性原理计算方法只需要知道几个基本的物理参量如电子质量、电子的电量、原子的质量、原子的核电荷数、布朗克常数、波尔半径等，而不需要知道那些经验或半经验的参数。第一性原理计算方法的理论基础是量子力学，即对体系薛定额方程的求解。 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。量子力学的出现，使得人们对于物质微观结构的认识日益深入。原则上，量子力学完全可以解释原子之间是如何相互作用从而构成固体的。量子力学在物理、化学、材料、生物以及许多现代技术中得到了广泛的应用。以量子力学为基础而发展起来的固体物理学，使人们搞清了“为什么物质有半导体、导体、绝缘体的区别”等一系列基本问题，引发了通讯技术和计算机技术的重大变革。目前，结合高速发展的计算机技术建立起来的计算材料科学已经在材料设计、物性研究方面发挥着越来越重要的作用。 但是固体是具有?1023数量级粒子的多粒子系统，具体应用量子理论时会导致物理方程过于复杂以至于无法求解，所以将量子理论应用于固体系统必须采用一些近似和简化。绝热近似（Born-Oppenheimei 近似）将电子的运动和原子核的运动分开，从而将多粒子系统简化为多电子系统。Hartree-Fock 近似将多电子问题简化为仅与以单电子波函数（分子轨道）为基本变量的单粒子问题。但是其中波函数的行列式表示使得求解需要非常大的计算量；对于研究分子体系，他可以作为一个很好的出发点，但是不适于研究固态体系。1964年，Hohenberg和Kohn提出了严格的 密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT ）。它建立在非均匀电子气理论基础之上，以粒子数密度（『）作为基本变量。1965年，Kohn和Sham提出Kohn-Sham方程将复杂的多电子问题及其对应的薛定谔方程转化为相对简单的单电子问题及单电子Kohn-Sham方程。将精确的密度泛函理 论应用到实际，需要对电子间的交换关联作用进行近似。局域密度近似（LDA、广义梯度近似（GGA 等的提出，以及以密度泛函理论为基础的计算方法（赝势方法、全电子线形缀加平面波方法（FLAPW）等、的提出，使得密度泛函理论在化学和固体物理中的电子结构计算取得了广泛的应用，从而使得固体材料的研究取得长足的进步。 第一性原理计算方法的应用 1、体系的能量

常见的数学思想方法——转化思想

1 A F E B P C 图甲 D D （1） （2） A B D Q C E A B C D E M 常见的数学思想方法——转化思想 班级 姓名 学号 一、学习目标：了解转化思想的概念，能用转化思想解决有关问题． 二、内容解读： 1、遇到问题时，在作细微观察的基础上，展开联想，以唤起对有关旧知识的回忆，把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解决，将这种过程称为化归思想或转化思想． 2、转化思想的三个基本要求：（1）化归对象——把什么元素进行化归；（2）化归目标——化归到何处去；（3）化归途径——化归的方法． 3、转化思想的途径：（1）运用联想类比实现转化；（2）利用“换元”、“添线”进行构造变形实现转化；（3）数形结合实现转化；（4）简化条件实现转化；（5）把实际问题转化为数学问题． （6）、构造基本图形实现转化 三、例题分析： （一）运用联想类比实现转化 例1、三个同学对问题“若方程组?? ?=+=+222111,c y b x a c y b x a 的解是???==,4, 3y x 求方程组???=+=+2 22111523,523c y b x a c y b x a 的 解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是____________． 练习：关于x 和y 的方程组???????-=++=---=+-=+9 )210(5108)8(965543y n m x y x m n y x y x 有解，求2 2n m +的值． 例2、如图甲，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ． （1）说明：①AN=BM ； ②△CEF 是等边三角形； （2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第①、②两小题结论是否仍然成立（不要求说明理由）． （3）把△ACM 和△CBN 改成等腰直角三角形，其中∠ACM=∠BCN=90°，其余条件不变，还有类似的结 论吗？ 练习：（1）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC ． （2）如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD=120°， 说明：PA+PD+PC ≥BD ． （二）利用“换元”、“添线”进行构造变形实现转化 例3、解方程组???? ???=---=-+-01 21221136311 y x y x ． 例4、如图，在五边形ABCDE 中，∠B=∠E ，∠C=∠D ，BC=DE ，M 为CD 中点， 说明：AM ⊥CD ． 练习（1）、如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点D ，又在AC 的延长线上取一点E ，使CE=BD ， 连结DE 交BC 于Q ．试说明：DQ=QE ． 练习（2）、如图，在等腰Rt △ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角的两边分别与边AB ，AC 交于点E ，F ，连接EF ．当∠EPF 绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），△PEF 也始终是等腰直 角三角形，请你说明理由．

转化思想及统一思想

《数学解题思想专题讲解》 1、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，直线l经过点A且绕点A在△ABC 所在平面内转动，作BD⊥l，CE⊥l，D、E为垂足． （1）如图a，求证：DA+DB=2DE； （2）在图b和图c中，（1）的结论是否成立？ 若成立，请说明理由；若不成立？直接写出DE、DA、DB三条线段的数量关系． 思路：转移线段证全等 证等腰利用三线全一 归纳：1、转化思想。利用割补法，将线段转移 2、统一思想。遇到三个问的题目，思想方 法要统一。

2、如图,已知AD∥BC,EA平分∠DAB, EB平 分∠ABC,直线DC过E交AD于D,交BC于C,求证：AD+BC=AB （9分）

20170525（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD． 求证：EF=BE+FD； （2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【变式】如图①，在正方形ABCD中，E、F 分别是BC、CD上的点且∠EAF=45°。猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？并说明理由。

3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC 交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．