母函数课件
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基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0) ____a b +（ ） ——形式二： 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三：2 2a b ab +?? ≤ ??? （ ） (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +？ 用分析法证明：要证 2 a b + （1） 只要证 a b +≥ （2） 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等 思考：（1）已知y=x+x 1 ( x>0 ) ，求y 的范围. （2）已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ，求y 的范围.
例题拓展 【例1 】已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ） A ．xy y x 2≥+ B ．21 ≥+x x C ．xy y x 222≥+ D ． xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ） 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时，不等式取等号. 注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _ 【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋ 81 x ，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 （3）y x x =++23 122 的最小值是 （4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________ （5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ，y 为正数， 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=，则2x y +的最小值为________
专题讲解--对勾函数
读万卷书行万里路 学大教育个性化教学学案姓名年级性别 课题对勾函数 教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像 教学重难点 运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。 教学过程（内容可附后）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 (接下来写作f(x)=ax+b/x )。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0a<0 b<0 对勾函数的图像( ab 同号) 当a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。 )
对勾函数的图像（ab 异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ，b>0 。之后当a<0，b<0 时，根据对称就很 容易得出结论了。 （二）对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0 时， 错误!未找到引用源。。 当x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： （三）对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
专题：基本不等式与对勾函数
基本不等式与对勾函数 一、基本不等式 前提条件是：0,0>>b a 取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0
例5函数9 )(2+=x x x f 的最大值为 例6函数1 11)(-+ -=x x x f 的最小值为 例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围 例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求y x 1 1+的最小值 练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则b a 1 21+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围 练习7已知不等式（x y +） 1a x y +（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 例9若10< 练习8.若320< 1 专题对勾函数及其应用 1．对勾函数定义 对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。 2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质 (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． 3．y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a . 求分界点方法：令ax ＝b x ?x ＝±b a . 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x 的单调区间的分界点：±a . 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x ≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a 时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]． 变式训练 已知函数f (x )＝ x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值． 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2 (0≤x ≤3)的值域． 2 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1 ，x ∈[]2，5的值域． 强化训练 1．下列函数中最小值是4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x - D ．y ＝x 2＋1x 2 ＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x ，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5)C ．[133 ，4) D ．(4,5) 3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2 的最小值是________． 5．已知x >0，则2＋x ＋4x 的最小值是________． 6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________． 7．若函数y ＝x a x y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+ -a a 恒成立，求a 的取值范围． 9．已知函数f (x )＝x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12 时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a . 10 求函数()f x = 的最大值.（较难） 应用题综合复习----对勾函数 1、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。 ①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？2、某森林出现火灾，火势正以每分钟2 m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2 m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． （1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ 3、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元 (1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道 面积S 与r 的函数关系S(r ) (2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时, 运动场造价最低?（精确到元） 4、已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。 ⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率； ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值 原有价值 ；在切割过 程中的重量损耗忽略不计） 基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(< 此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0( 函数专题研究(一>------基本函数 一.知识归纳: 1.正反比例函数、一次函数。<略） 2．二次函数： (1>形式:①y=ax2+bx+c。②y=a(x-x1>(x-x2>。③y=a(x+>2+其中a≠0 (2>字母意义:①a表示开口方向和大小。②c表示在y轴上的截距(区别于距离>。 ③b与对称轴在关。 (3>二次函数、二次方程与二次不等式间的关系. (4>重要结论:①求根公式。②韦达定理(根与系数的关系,特别注意使用的前提条件>。 ③|x1-x2|= (5>列表讨论二次不等式解集的情况: (6>根的分布情况:(结合图形推导或借助于韦达定理归零处理>总结根的分布与哪些量有关 ①两根均大于k。②两根均小于k。③两根分别在k的两侧。④两根均在k1 (2>图象和性质：<结合图象把握性质） 第一象限从下至上底数渐大 过定点(0,1> 过定点(1,0> 对于函数值:同正异负(同异指真数与底数的区间> 4.幂函数:<结合图象把握性质） (1>过定点(1,1>。 (2>其它象限的图象结合函数的奇偶性来确定. 5.对勾函数:y=ax+ 当a,b同号时用对勾函数。当a,b 6.一次分式函数:y= (1>y=的对称中心为。 (2>y=中,若a=-d,则原函数和反函数是同一函数。 (3>常用做题方法:分离常数法. 7.二次分式函数:y= 常用做题方法:判别式法对勾函数或二次等熟悉函数 8.反函数: (1>y=f-1(x>和x=f-1(y>均为y=f(x>的反函数。(2>y=f(x>与y=f-1(x>的图象关于y=x 对 基本不等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义域:),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性:奇函数，函数图像整体呈两个“对勾” 的形状,且函数图像关于原点呈中心对称，即 0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a =), 即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x 〈0时,)(x f 在ｘ＝a b - 时,取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为( ∞+,a b )，(a b -∞-,） 减区间是(０，a b ),（a b -,0） 一、对勾函数的变形形式 类型一:函数b y ax x =+ )0,0(< 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0( 学 大 教 育 个 性 化 教 学 学 案 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 姓 名 年 级 性 别 课 题 对勾函数 教 学 目 的 了解对勾函数的概念、性质和图像 教 学 重 难 点 运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。 教 学 过 程(内容可附后) 一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 错误!未找到引用源。。 当x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 对勾函数的图像（ab异号） \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对 称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当x =， 即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ） ，（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(< ①0,0<>b a 作图如下 性质： ②0,0>++= ac x c bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++ =)(，则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解：11 )(1)(2++=?++= x x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到 专题：对数 教学目标 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题. 知识梳理 1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常 使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =?=. 4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = 典例精讲 【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）712128 -= ； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12 log 325=-； （5）lg 0.0013=-； （6）ln100=4.606. 解：（1）2 1log 7128 =-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-； （4）51 ()322 -=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e . 解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg 0.0013=-. （2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x = . 所以，43log 82=. （3）设ln e x =，则x e e = ，即1 2x e e =，解得12 x = . 所以，1ln 2 e = . 【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N -=. 证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =. 所以log n a a n =. （2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =. 因为 p p q q M a a N a -==，则log log log a a a M p q M N N =-=-. 所以，log log log a a a M M N N -=. 点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导. 【例4】试推导出换底公式：log log log c a c b b a = （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）. 证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =， 则m c b =，n c a =，p a b =. 第十二讲对勾函数的图像与性质探究 厦门二中唐文龙 一、实验内容 b 探究对勾函数y ax - （a 0且b 0，下同）的图像与性质，由三部分组成： x — 1）当a,b同号时，探究y ax -的图像与性质 x — 2）当a,b异号时，探究y ax —的图像与性质 x 3）探究对勾函数y ax —，与y=ax和y=—的图像的关系 x x 二、设计理念 通过用超级画板绘制y ax —的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾 x 函数在a,—符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法， 培养学生的探究能力 三、实验过程 仁探究问题 当a,—同号时研究对勾函数y ax -的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单 x 调性等等） 探究过程 — 1）当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数y ax 一的图像，借助函数的图像，研究它 x 的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等 2）打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,—对应的滑动块，让a,—分别从0慢慢增长到10, 仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3）观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值， 4）当a<0,—<0时，拉动参数a,—对应的滑动块，让a,—,分别从-10慢慢增长到0类似上述问题研究此函数的图像与性质 探究结果 当a,—同号时，从对勾函数y — ax 的图像上看可得到 x — y ax 一有如下性质 x 1..定义域：x |x R,x 0；值域y | y 2 a—或y2、a— 2. 整体图像呈“对勾”的形状，图像关于原点呈中心对称，是奇函数； 3. 当a>0,b>0时图像在一，三象限 当x 0时，由y ax - 2 ： ab（当且仅当x , b取等号） x y a 当x 0时，其性质可仿照x 0进行研究。故而得函数y ax -的递增区间是 x （十一，），（，讣一），递减区间是（0，），（*匚,0） ■. a■. a a '、a 当x>0时，在x= 时，取最小值2j0b， \ a 当x<0时，在x= 整时，取最大值2后 a 4. 当a<0,b<0时图像在二，四象限 递增区间是（°，｛—），（J —，0），递减区间是（J —, ），（，（-） ? a* a ■! a ■ a 当x>0时，在x= 时，取最大值2Uab， \ a 当x<0时在x= i—时，取最小值2Uab a 互动交流 当a,b同号时，很容易从函数的表达式判断该函数的定义域，奇偶性，但是从图像上更直观的观察出这些，尤其是最值与单调区间，但是同时要借助均值不等式来求得端点的数值。 2. 探究问题 当a,b异号时研究对勾函数y ax b的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性， x 单调性等等） 探究过程 b 1）当a>0,b<0时，请利用超级画板做出函数y ax -的图像，借助函数的图像，研究它 x 的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等 基本不等式与对勾函数 、 对勾函数y =ax +b (a 0,b 0)的图像与性质 x 性质： 1. 定义域：(-,0) (0,+) 2. 值域： (-,-2 ab ) (2 ab ,+) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对 称，即 f (x )+ f (-x )=0 4. 图像在一、三象限 当x 0时，由基本不等式知y = ax + b 2 ab (当且仅当x = b 取等号)， xa 由奇函数性质知： 当 x<0 时， f ( x ) 在 x= - 时，取最大值 - 2 ab a 即 f (x )在 x= b 时，取最小值 2 ab a 5. 单调性：增区间为( b ,+)， a - , - a ) 一、对勾函数的变形形式类型一：函数y=ax+b (a0,b0)的图像与性质 x 此函数与对勾函数y = (-a) x + (-b)关于原点对称，故函数图像为 x 性质： 类型二：斜勾函数y =ax +b (ab0) x 性质： ②a0,b0作图如下： 类型三：函数 f (x )= ax +bx +c (ac 0) x cc 此类函数可变形为 f (x )=ax + c +b ，则 f (x )可由对勾函数y =ax + c 上下平移得到 xx x 2 + x + 1 例1作函数 f (x )= x +x +1 的草图 x x 2 + x + 1 1 f (x )= x +x +1 f (x )= x +1 +1作图如下： xx a 类型四：函数 f (x )= x + a (a 0,k 0) x +k aa 此类函数可变形为 f (x )=(x +k + a )-k ，则f (x )可由对勾 函数y = x + a 左右平移， x + k x 上下平移得到 例 2 作函数 f ( x ) = x + 1 的草图 x -2 解： f (x ) = x + 1 f (x ) = x -2+ 1 + 2作图如下： x -2 x - 2 x +3 例3作函数 f (x )= x +3+x 的作图： x +2 f (x )= x +3+x f (x )= x +2+1+x =1+ 1 +x = x +2+ 1 -1 x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 解： 解： 练习： 1.求函数 f ( x ) = x + 1 2x -4 在(2,+)上的最低点坐标 对勾函数专题复习 函数x b ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。 在时且00≠≠b a 有如下几种情况： (1)0,0<>b a (2)0,0>>b a (4)0,0<b a 时，ax y =1，x b y =2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。 故x b ax y y y +=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递增函数。 (2)0,0>>b a 1当0>x 时，01>=ax y ，02>= x b y ab x b ax x b ax y y y 2221=?≥+=+=。 当且仅当x b ax =，即a b x =（因为0>x ，故舍掉a b x -=）取等号。 a b x =将),0(+∞分为两部分：),0(a b ，),[+∞a b (a)当), 0(21a b x x ∈<， 则212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=- 因为), 0(21a b x x ∈<，所以,021<-x x 021>x x对勾函数专题讲解
应用题专题训练--函数(对勾函数)
专题对勾函数
函数专题研究报告(基本函数)
专题：对勾函数.
专题讲解--对勾函数
专题：基本不等式与对勾函数
必修二对数函数对勾函数教案及训练题
对勾函数的图像与性质探究
专题：对勾函数
高中数学之对勾函数专题复习