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截断展开方法和广义KBS方程的显式精确解

截断展开方法和广义KBS方程的显式精确解
截断展开方法和广义KBS方程的显式精确解

第24卷第5期丽水师范专科学校学报2002年10月V ol.24 No.5JOURNAL OF LISHUI TEACHERS COLLEGE Oct.2002

截断展开方法和广义KBS方程的显式精确解

郑春龙

(丽水师范专科学校物理系,浙江丽水,323000)

摘要:运用一种新的截断展开方法,求得了非线性广义方程:u1+uu x+p u x x+qu x xx+ru x xx x= 0,若干不等价的显式精确解,其中包括丰富的孤子解、行波解。文[19]中广义Kuramoto-Burgers-Sivashinsky方程的解为该文的特解。

关键词:截断展开方法;广义Kuramoto-Burgers-Sivashinsky方程;显式精确解

中图分类号:O322 文献标识码:A 文章编号:1008-6749(2002)05-0020-06

1 引言

求解非线性演化方程的显式精确解,特别是孤子解,是数学和物理工作者长期以来一直关注的事。人们已发现许多有重要物理背景的非线性演化方程有孤子解。如K orteweg de-V ries方程,Boussinesq方程,Burgers方程,K adomtsev-Petv iashv ili方程等都有孤子解,并在研究这些非线性演化方程中,提出了相应的求解这些方程的经典方法[1~5]。一些新方法亦不断提出,如相似约化法[6,7]、齐次平衡[8~10]、Weiss-T abor-Carnevale法[11]、T anh函数法[12]、截断展开方法[13]等,然而,尽管已有各种求解方法,要求得非线性演化方程的精确解,特别是要求出新的精确解或对不可积系统的求解,并非易事,如:具有重要物理背景的非线性广义Kuramoto-Burgers-Sivashinsky(G KBS)方程[14~16]:

u1+uu x+p u xx+q u xxx+r u xxxx=0。(1)其中p,q,r为任意实数。显然,当q=0时,即为Kuramoto-Burgers-Sivashinsky方程。方程(1)不具有Painlev 性质,是不可积系统,不能用逆散射方法求解,但可用其他方法[6~13]得到该方程的一些精确解[17~19]。本文借助T anh函数截断展开方法,用R iccati方程设解[19] 扩展双曲线函数截断展开方法,进一步研究非线性GKBS方程,得到了丰富的新的显式精确解,其中包括孤子解、行波解。

2 扩展双曲函数截断展开方法

下面先简述扩展双曲函数截断法的主要步骤。以(2+1)维非线性偏微分方程为例,设非线性偏微分方程(PD E)为P(x,y,t,u x,u y,u t,u xx,u xy,u yy )=0。(2)第一,对方程(2)进行行波约化,

令u(x,y,t)=U( ), =k(x+ y+ct)+ 0,(3)其中k,c, , 0均为常数。将(3)式代入方程(2)得常微分方程(O DE),

H( ,U ,U )=0。(4)第二,设方程(4)的形式解为

U( )= m i=0a i(T( ))i,(5)

收稿日期:2002-05-08

基金项目:浙江省自然科学基金资助项目(100039)

T ( )=b 0+b 1T ( )+b 2T 2( ),(6)

其中a 1,b 0,b 1,b 2为待定参量,T ( ) =

d T

d

。式(5)中的m 由(4)式线性最高阶导数项与非线性项平衡后决定。式(6)为一般形式的常系数Riccati 方程,对于不同的b 1=(i =0,1,2)取值,有不同的解。当b 2 0时,设b 2=1,这时方程(6)的一般解为

当b 21>4b 0时,T (

)=-1

2

[k tanh (z )+b 1],-1

2[k cot h (z )+b 1],k =b 21-4b 0,z =

1

2

k ,(7)

当b 21<4b 0时,T (

)=1

2

[k tan (z )-b 1],-12[k cot (z )+b 1],k =4b 0-b 21,z =12k ,(8)

当b 21=4b 0时,T (

)=-1

+b 12。(9)

显然,若b 0=0,b 21>0,对于不同的b 1值,方程(6)有不同的冲击波解,

T ( )=

-1

2

k [tanh (z )+1];-12k [coth(z)+1],k =|b 1|,z =12

k 。(10)

第三,利用(6)将式(5)中的所有U ( )的导数表示为T ( )的幂级数,代入方程(4),令T ( )的不同次幂的系数及常数等于零,得到关于a i ,b j (i =0 m ,j =0,1,2)的超定方程组,通过求解这些超定方程组,确定出a i ,b j (i =0 m,j =0,1,2)后,利用(7),(10)关系就确定出方程(2)的精确解。下面我们利用上述的扩展双曲函数级数截断展开方法,分析非线性GKBS 方程的精确解。

3 非线性GKBS 方程的显示精确解

设u(x ,t )=U( ), =x +ct,代入GK BS 方程得,c U +U U +p U +q U +r U =0。

(11)利用(5),(6)平衡上式中的U

,U U 项得m =3,所以可设方程(11)的解为U ( )=a 0+a 1T +a 2T 2+a 3T 3,

(12)其中T 满足(6)。将(12)代入(11),令T ( )的不同次幂的系数及常数等于零,用M aple 整理得

3a 23b 2+360r a 3b 42=0,

(13)60qa 3b 32+5a 2a 3b 2+3a 23b 1+1080r a 3b 32b 1+120r a 2b 42=0,

(14)

111qa 3b 21+54qb 1b 2b 22+114qa 3b 22b 0+6qa 1b 32+3ca 3b 2+3a 0a 3b 2+3a 1a 2b 2

+4a 1a 3b 1+2a 22b 1+5a 2a 3b 0+21p a 3b 2b 1+6p a 2b 22+525r a 3b 2b 31+330r b 21a 2b 2

2+1680r b 1a 3b 22b 0+60r b 1a 1b 32+240r b 0a 1b 32=0,

(15)

4a 3a 1b 0+2a 0a 2b 2+81r a 3b 41+1062r b 2b 0a 3b 21+440r b 0b 1a 2b 22+40qb 0a 2b 22

+38qb 21a 2b 2+12qb 1a 1b 22+19p a 3b 2b 0+10p b 1a 2b 2+576r a 3b 22b 2

0+40r b 0a 1b 32+50r b 22a 1b 21+130r b 2a 2b 31+27qa 3b 31+9p a 3b 21+2p a 1b 22

+3a 0a 3b 1+3a 1a 2b 1+2ca 2b 2+3ca 3b 1+a 21b 2+2a 22b 0+168qb 0a 3b 2b 1=0,(16)

3a 2a 1b 0+60r b 0b 1a 1b 22+a 21b 1+60qa 3b 2b 20+57qb 0a 3b 21+8p b 0a 1b 22

+7qb 2a 1b 21+136r b 20a 2b 22+195rb 0a 3b 3

1+8p b 0a 2b 2

+15p b 0a 3b 1+3p b 1a 1b 2+8qa 2b 31+a 0a 1b 2+2a 0a 2b 1+3a 0a 3b 0+16r a 2b 4

1+ca 1b 2+2ca 2b 1+3ca 3b 0+4p a 2b 2

1+52qb 0b 1a 2b 2

+660r b 20a 3b 2b 1+232r b 0b 21a 2b 2=0,

(17)

16qb 20a 2b 2+36q b 20a 3b 1+8qb 0b 1a 1b 2+14qb 0a 2b 21+qa 1b 31+a 0a 1b 1

21

第5期 郑春龙:截断展开方法和广义KBS 方程的显式精确解

+22r b0b2a1b21+30r b0a2b31+ra1b41=0,(18) 12a3p b22+24r a1b42+3a23b0+5a2a3b1+144qa3b22b1+816ra3b32b0

+24a2q b32+4a1a3b2+336r b1a2b32+2a22b2+1164r a3b22b21=0,(19) a0a1b0+ca1b0+6qa3b30+2p a2b20+2qb20a1b2+6qb20a2b1+qb20a1b21

+r b0a1b31+14r b20+a2b21+36r b30a3b1+16r b30a2b2

+8r b20b1a1b2+p b0a1b1=0(20)根据方程(13)~(20),借助M aple和吴文俊消元法解得

a3=-120r b32,a2= 180r b22-p

19r,a1=0,a0=-c

30p

19

-p

19r,

b1=-p

19r

,b0=0,q=0;

(21)

a3=-120r b32,a2= 120r b22p

r

,a1=0,a0=-c 6p

p

r

,

b1=p

r

,b0=0,q=4pr;

(22)

a3=-120r b32,a2= 60rb22

p

73r

,a1=0,a0=-c

90p

5329

p

r

,

b1=

p

73r

,b0=0,q= 16

p r

73

;

(23)

a3=-120r b32,a2= 180r b2211p

19r

,a1=-

720

19

p b2,

a0=-c 30p

19

11p

19r

,b1=

11p

19r

,b0=0,q=0;

(24)

a3=-120r b32,a2= 240b22p r,a1=-120p b2,a0=-c 6p p r ,

b1= p

r

,b0=0,q= 4p r;

(25)

a3=-120r b32,a2= 360b22p r

47

,a1=-

360

47

p b2,a0=-c

60p

2209

p

r

,

b1=

p

47r

,b0=0,q= 12

p r

47

;

(26)

a3=-120r b32,a2= 420r b22

p

73r

,a1=-

480

73

p b2,a0=-c

90p

5329

p

r

,

b1=

p

73r

,b0=0,q= 16

p r

73

;

(27)

a3=-120r b32,a2= 180r b22-p

57r

,a1=-

60

19

p b2,a0=-c

40

19

p

-p

57r

,

b1=-p

57r

,b0=

p

114r b2

,q=0;

(28)

a3=-120r b32,a2= 180r b2211p

57r

,a1=-

60

19

p b2,a0=-c

80

19

p

11p

57r

,

b1=11p

57r

,b0=-

11p

114r b2

,q=0;

(29)

a3=-120r b32,a2=-60(1 3)p r b22,a1= 203b2p,

p(30) 22丽水师范专科学校学报 2002年

a3=-120r b32,a2=-180r b22b1,a1=-90

19

b2(P+19r b21),

a0=-c-15rb31-45

19

p b1,b0=

p+19r b21

76r b2

,q=0;

(31)

a3=-120r b32,a2=-180r b22b1,a1=90

19

b2(3P-19r b21),

a0=-c-15rb31+135

19

p b1,b0=

-11p+19r b21

76r b2

,q=0;

(32)

a3=-120r b32,a2=-60rb22( p r+3rb1),a1=-30b2( 2p r b1+p+3r b21),

a0=-c-15rb1(r b21+p b1p r) 11p p

r

,b0=

p+r b21

4r b2

,q= 4p r;

(33)

a3=-120r b32,a2=-60rb22( p r+3rb1),a1=-30b2( 2p r b1-p+3r b21),

a0=-c-15rb1(r b21-p b1p r) 9p p

r

,b0=

-p+r b21

4r b2

,q= 4p r;

(34)

a0=-c 45p

47

p

47r

-

15b1

47

(47r b21+3p 347b1p r),

a1=-90b2

47

( 247p r b1+p+47r b21),a2=-180b22 p r

47

+3r b1,

a3=-120r b32,b0=-p+47r b21

188r b2

,q= 12

p r

47

;(35)

a0=-c 60p

73

p

73r

-

15b1

73

(75r b21+5p 473b1p r),

a1=-30b2 8p r

73b1+

5p

73

+

219r b21

73

,a2=-60b22 4p r

73

+3r b1,

a3=-120r b32,b0=-p+73r b21

292r b2

,q= 16

p r

73

。(36)

以上式(31)~(36)中的b2,b1为任意实数。下面我们根据(21)~(36)分别讨论。(1)式(21)~(28)中的b0=0,根据(2 ~9)得,方程(11)的精确解均为孤波解,分别为(考虑到tanh与coth双曲函数在(7)~(10)中成对出现,我们只写出其中t anh函数)

(i)当p r<0时,由(21)得,

u1(x,t)=-c 30p

19

k 45r k3[tanh(z)+1]3+15r k3[tanh(z)+1]3,

k=-p

19r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=0)。

(37)

(ii)当p r>0时,由(22)~(27)得,

u2(x,t)=-c 6pk 30r k3[tanh(z)+1]2+15r k3[tanh(z)+1]3,

k=p

r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=4p r);

(38)

u3(x,t)=-c

90p

7373

k 15r k3[tanh(z)+1]2+15r k3[tanh(z)+1]3,

k=p

73r ,z=

1

2

k(x+ct),q= p r

73

;

(39)

u4(x,t)=-c 30p

19

k+

360

19

k[tanh(z)+1] 45rk3[tanh(z)+1]2

+15rk3[tanh(z)+1]3,k=11p

19r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=0);

(40)

u5(x,t)=-c 6pk+60p k[tanh(z)+1] 60p k[tanh(z)+1]223

第5期 郑春龙:截断展开方法和广义KBS方程的显式精确解

u6(x,t)=-c

60p

4747

k+

180p

47

k[tanh(z)+1]

90p

47

k[tanh(z)+1]2

+15p

47k[tanh(z)+1]3,k=

p

47r

,z=

1

2

k(x+ct),q= 12p r

47

;

(42)

u7(x,t)=-c

90p

7373

k+240rk3[tanh(z)+1] 105r k3[tanh(z)+1]2

+15rk3[tanh(z)+1]3,k=p

73r ,z=

1

2

k(x+ct),q= 16pr

73

(43)

(2)式(28)~(30)是的b0,b1为非零定值,根据(7)~(9)关系得,方程(1)的精确解

(i)当p r<0时,由(28)得,

u8(x,t)=-c 40p

19

k+

30p

19

k[3tanh(z)+1] 45r k3[3tanh(z)+1]2

+15rk3[3tanh(z)+1]3,k=-p

57r ,z=

3

2

k(x+ct),(q=0);

(44)

(ii)当p r>0时,由(29)~(30)得,

u9(x,t)=-c 80p

19

k+

30p

19

k[3tanh(z)+1] 45pk[3tanh(z)+1]2

+15rk3[3tanh(z)+1]3,k=11p

57r,z=3

k(x+ct),(q=0);

(45)

u10(x,t)=-c+ 10

3

4pk 10p k[3tanh(z)+1]-5(1 3)p k[3tanh(z)+1]2

+5

3p k[3tanh(z)-1]3,k=

p

r

,z=

1

2

k(x+ct),(q= p r)。

(46)

(3)式(31)~(36)中,b0为定值,b1为任意实数,显然,对于不同的b1,方程(1)有不同的解。当取b1=0时,则得到文献

[19]给出的解,即

(i)当p r<0时,由(31)、(32)得方程(1)的精确解,

u11(x,t)=-c-45r k3tanh(z)+15rk3tanh3(z),

k=-p

19r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=0);

(47)

u12(x,t)=-c-135r k3

tan(z)-15r k3tan3(z),

k=-11p

19r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=0);

(48)

(ii)当p r>0时,由(31)~(36)得方程(1)的精确解, u13(x,t)=-c-45r k3tan(z)-15r k3tan3(z),

k=p

19r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=0);

(49)

u14(x,t)=-c-135r k3

11

tanh(z)+15r k3tanh3(z),

k=11p

19r ,z=

1

2

k(x+ct),(q=0);

(50)

u15(x,t)=-c 11r k3-15r k3tan(z) 15rk3tan2(z)-15r k3tan3(z),

k=p

r ,z=

1

2

k(x+ct),(q= 4p r);

(51)

u16(x,t)=-c 9rk3-15rk3tanh(z) 15r k3tanh2(z)+15rk3tanh3(z),

24丽水师范专科学校学报 2002年

u 17(x ,t )=-c 45r k 3+45r k 3tanh (z ) 45r k 3tanh 2(z )+15r k 3tanh 3(z ), k =

p

47r

,z =1

2

k(x +ct ),q = 12

p r 47

;(53)

u 18(x ,t )=-c 60r k 3+75r k 3tanh (z ) 60r k 3tanh 2(z )+15r k 3tanh 3(z ), k =p

73r

,z =1

2

k(x +ct ),q = 16

p r 73

。(54)

4 结果与讨论

本文通过截断展开方法,求得了广义Kur amoto -Burg ers -Sivashinsky (GK BS)方程丰富的显式精确解。在上述显式精确解(37)~(54)中,u 12,u 13,u 15为行波解,其余为孤波解,这里的特解(47)~(54)在文献[19]中已给出。另外,作为广义K ur amoto -Burgers -Sv iashinsky 方程特例q =0的情况,u 1,u 4,u 8,u 9,u 11,u 12,u 13,u 14满足K uramoto -Bur ger s -Siv ashinsky 方程。这一方法简单有效,相信能被推广运用于其他有重要物理背景的非线性方程。但是,在运用该方法求解,可能会遇到一些困难,如平衡演化方程中非线性项和最高阶导数项时,求得的m 值出现负数或者分数的情况。这时我们可作适当变换后再分析,如m =1,引入新变量w ( ),并作w ( )=U( )-1变换代换;如m =1

2

,则可作w ( )=U 2( )变换代换,然后作类似分析。关于这方面的研究将在后文中进一步讨论。

参考文献

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16 T opper J,Kaw ahara T.Nonli near surface w aves on viscous fluid moving dow n on inclined plane [J].J Phys Sco Japan,1978,44:663~66717 Conte R,M usette M.Painleve analysis and Backludk transformation in the Kuramoto-Sivashinsky equation [J ].J Phys M ath Gen,1989,

A22:159~265

18 Kudryashov N.Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation [J ].Phys Lett,1990,A147(5,6):287~29319 Fan E G.Extended tanh-function method and i ts application to nonlinear equations [J].Phys lett A.2000,277(4):212~218

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第5期 郑春龙:截断展开方法和广义KBS 方程的显式精确解

一元一次方程应用题类型与解题技巧

列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点,而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学 后第一次接触到用代数的方法处理应用题。因此,认真学好这一知识,对于今后学习整个中学阶段的列方程(组)解应用题大有帮助。因此将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来,如下: (1)和、差、倍、分问题。 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几” 或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关 键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。 (2)等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为: ①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。 (3)调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问 题要搞清人数的变化,常见题型有: ①既有调入又有调出; ②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 (4)行程问题。 要掌握行程中的基本关系:路程=速度X时间。 相遇问题(相向而行),这类问题的相等关系是:各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等 量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题(同向而行),这类问题的等量关系是:两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。 ①同时不同地:甲的时间=乙的时间甲走的路程- 乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 ②同地不同时;甲的时间=乙的时间- 时间差甲的路程=乙的路程 环形跑道上的相遇和追及问题:同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等 量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 船(飞机)航行问题:相对运动的合速度关系是: 顺水(风)速度=静水(无风)中速度+水(风)流速度;逆水(风)速度=静水(无风)中速度—水(风)流速度。 车上(离)桥问题: ①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程,所走路程为一个车长。 ②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程,所走路成为一个车长+桥长 ④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程,所行路成为桥长-车长 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点。 (5)工程问题。 其基本数量关系:工作总量=工作效率X工作时间;合做的效率=各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体 数量时,常设总工作量为“1” ,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 ( 6 )溶液配制问题。

丢番图方程整数解方法

实用标准文档 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数,整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百钱百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括: (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果中整数部分分离出来,则剩下部分仍为整数,则令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能直接观察出特解的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数,所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1,-1,3,-3,即 x=-1,-3,1,-5, 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下: 第一步,化简方程,尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步,缩小未知数的范围,就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内,便于下一步讨论; 第三步,用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?

列方程解应用题的四种方法

列方程解应用题的四种方法 列方程(组)解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式,通过解方程(组)求出未知量的过程. 其目的是考查学生分析问题和解决问题的能力. 如何解决这类问题,其方法很多,现结合实例给出几种解法,以供参考. 一、直译法 设元后,把元看作未知数,根据题设条件,把数学语言直译为代数式,即可列出方程组. 例1(2007年南京市)某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000kg ,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60 000kg ,求南瓜亩产量的增长率. 分析:若设南瓜亩产量的增长率为x ,则南瓜种植面积的增长率为2x .由此可知今年南瓜的亩产量为2000(1)x +kg ,共种植了10(12)x +亩南瓜,根据总产量是60 000kg 即可列出方程. 解:设南瓜亩产量的增长率为x .根据题意列方程,得 10(12)2000(1)60000x x ++= . 解得10.550%x ==,22x =-(不合题意,舍去). 答:南瓜亩产量的增长率为50%. 二、列表法 设出未知数后,视元为未知数,然后综合已知条件,把握数量关系,分别填入表格中,则等量关系不难得出,进而列出方程组. 例2(2007年沈阳市)甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数 是甲队单独完成此项工程所需天数的45 ,求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天? 分析:解工程问题的关键是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者间的关系,工作总量通常看作单位1. 根据题意,将关键数据分别填入表格即可列出方程. 解:设甲队单独完成此项工程需要x 天,则乙队单独完成此项工程需要45x 天. 由题意得1012145 x x +=.解得25x =. 经检验,25x =是原方程的解. 当25x =时,4205 x =. 答:甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天. 三、参数法

小学五年级列方程解应用题步骤和方法

列方程解应用题 1、列方程解应用题的意义 ★用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。 2、列方程解答应用题的步骤 ★弄清题意,确定未知数并用x表示; ★找出题中的数量之间的相等关系; ★列方程,解方程; ★检查或验算,写出答案。 3、列方程解应用题的方法 ★综合法:先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。 ★分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。 4、列方程解应用题的范围 a一般应用题; b和倍、差倍问题; c几何形体的周长、面积、体积计算; d 分数、百分数应用题; e 比和比例应用题。 5、常见的一般应用题? ? ? ? ? ? ? ?? 以总量为等量关系建立方程 以相差数为等量关系建立方程 以题中的等量为等量关系建立方程 以较大的量或几倍数为等量关系建立方程根据题目中条件选择解题方法

一、以总量为等量关系建立方程 例1:两列火车同时从距离536千米的两地相向而行,4小时相遇,慢车每小时行60千米,快车每小时行多少小时 解:设快车小时行X千米 解法一:快车 4小时行程+慢车4小时行程=总路程解法二:快车的速度+慢车的速度) 4小时=总路程4X+60×4=536 (X+60)×4=536 4X+240=536 X+60=536÷4 4X=296 X=134一60 X=74 X=74 答:快车每小时行驶74千米。 练一练: ①降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落,与此同时有一热汽球从地面升起,20分钟后伞球在 空中相遇,热汽球每秒上升多少米 ②甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水,甲管每分钟注水400千克,要想在8分钟注满水池, 乙管每分钟注水多少千克 ③两城相距600千米,客货两车同时从两地相向而行,客车每小时行70千米,货车每小时行80千米, 几小时两车相遇

丢番图方程整数解方法

.. . … 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如要有理数,整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百钱百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括: (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果中整数部分分离出来,则剩下部分仍为整数,则令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能直接观察出特解的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++= x x x x x x x x y 因为y 是整数,所以23+x 也是整数. 由此 x+2=1,-1,3,-3,即 x=-1,-3,1,-5, 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下: 第一步,化简方程,尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步,缩小未知数的围,就是利用限定条件将未知数限定在某一围,便于下一步讨论; 第三步,用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-? 所以 25)259(107)2526(37=??+?-? 则特解为 ???=?=-=?-=225 259650252600y x 通解为 Z t t t y t t x ∈? ??++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为 .,3731078Z t t y t x ∈? ??+=--=

列方程解应用题的一般步骤是

列方程解应用题的一般步骤是:(1)审(2)找(3)设(4)列(5)解(6)答,而最关键的是第二步找等量关系,只有找出等量关系才可列方程,下面我来谈谈怎样找相等关系和设未知数。 一、怎样找等量关系 (一)、根据数量关系找相等关系。 好多应用题都有体现数量关系的语句,即“…比…多…”、“ …比…少…”、“…是…的几倍”、“ …和…共…”等字眼,解题时只要找出这种关键语句,正确理解关键语句的含义,就能确定相等关系。 例1:某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生 相等关系: 女生人数-男生人数=80 例2:合唱队有80人,合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人,则舞蹈队有多少人 相等关系: 舞蹈队的人数×3+15=合唱队的人数

例3:在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人 相等关系: 调动后甲处人数=调动后乙处人数×2 解:设调x人到甲处,则调(20-x)人到乙处,由题意得: 27+x=2(19+20-x), 解得 x=17 所以 20-x=20-17=3(人) 答:应调往甲处17人,乙处3人。 (二)、根据熟悉的公式找相等关系。 单价×数量=总价,单产量×数量=总产量,速度×时间=路程,工作效率×工作时间=工作总量,售价=原价×打折的百分数,利润=售价-进价,利润=进价×利润率,几何形体周长、面积和体积公式,都是解答相关方程应用题的工具。 例1:一件商品按成本价提高100元后标价,再打8折销售,售价为240元。求这件商品的成本价为多少元

相等关系: (成本价+100)×80%=售价 例2:用一根长20cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少 相等关系: 正方形的周长=边长×4 例3:一个梯形的下底比上底多2厘米,高是5厘米,面积是40平方厘米,求上底。 相等关系: 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 例4:商品进价1800元,原价2250元,要求以利润率为5%的售价打折出售,则此商品应打几折出售 相等关系: 售价-进价=进价×利润率 解:设最低可打x折。据题意有: 2250x-1800=1800×5% 解得 x=

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象,并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而,对于广大应用工作者来说,从偏微分方程模型出发,使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量,才能得到数值解。现在,MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能,能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来; 2) 具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化; 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言,使学者易于学习和掌握; 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,

列方程解应用题的方法

怎样找相等关系 列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的相等关系列出相应的方程,找相等关系基本可有如下几种方法: 一、根据数量关系找相等关系。 好多应用题都有体现数量关系的语句,即“…比…多…”、“…比…少…”、“…是…的几倍”、“…和…共…”等字眼,解题时只要找出这种关键语句,正确理解关键语句的含义,就能确定相等关系。 例1:某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生? 例2合唱队有80人,合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人,则舞蹈队有多少人? 例3:在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人? 解:设调x人到甲处,则调(20-x)人到乙处,由题意得: 27+x=2(19+20-x), 解得x=17 所以 20-x=20-17=3(人) 答:应调往甲处17人,乙处3人。 二、根据熟悉的公式找相等关系。 单价×数量=总价,单产量×数量=总产量,路程=速度×时间,工作总量=工作效率×工作时间,售价=基本价×打折的百分数,利润=售价-进价,利润=进价×利润率,几何形体周长、面积和体积公式,都是解答相关方程应用题的工具。 例1:一件商品按成本价提高100元后标价,再打8折销售,售价为240元。求这件商品的成本价为多少元? 例2:用一根长20cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少? 例3:一个梯形的下底比上底多2厘米,高是5厘米,面积是40c平方厘米,求上底。 例4:商品进价1800元,原价2250元,要求以利润率为5%的售价打折出售,则此商品应打几折出售? 相等关系:售价-进价=进价×利润率 解:设最低可打x折。据题意有:

丢番图方程

丢番图方程 丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程,是变量仅容许是整数的多项式等式;即形式如,其中所有的a j、b j和c 均是整数,若其中能找到一组整数解m1,m2...m n者则称之有整数解。 丢番图问题有数条等式,其数目比未知数的数目少;丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。 3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。 丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。 一次不定方程 一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + a n x n = c的方程,一次不定方程有整数解的充要条件为: (a1,...,a n)须是c的因子,其中(a1,...,a n)表示a1,...,a n 的最大公因子。 若有二元一次不定方程ax+ by= c,且(a,b) | c,则其必有一组整数解x1,y1,并且还有以下关系式: ?x = x1 + [b / (a,b)]t ?y = y1? [a / (a,b)]t t为任意整数,故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。 丢番图分析 经典问题 ?有解答吗? ?除了一些显然易见的解答外,还有哪些解答? ?解答的数目是有限还是无限? ?理论上,所有解答是否都能找到? ?实际上能否计算出所有解答? 希尔伯特第十问题

1900年,希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年,一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理(Matiyasevich's theorem)说明:一般来说,丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是,不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解,甚至,在任何兼容于 Peano 算数的系统当中,都能具体构造出一个丢番图方程,使得没有任何办法可以判断它是否有解。 现代研究 ?丢番图集是递归可枚举集。 ?常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。 ?丢番图逼近研究了变量为整数,但系数可为无理数的不等式。

偏微分方程数值解法

一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式,求出方程的变分形式 变分形式为:求()()21 00,;u L T H ∈Ω,使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω (*) 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散,得出半离散格式 对区域Ω进行剖分,构造节点基函数,得出有限元子空间:()12,,,h NG V span ???=???,则(*)的Galerkin 逼近为: []0,t T ?∈,求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω,使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ (**) 以及()0,0h h u u =,0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近,设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥,有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑,0,h u =01 N G i i i ξ?=∑,代人(**)即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散,得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -,其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ,0 h u 是0u 的近似.这里对(**)采用向后的欧拉格式,即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项,故相邻两时间步之间采用牛顿迭代,即:

列一元一次方程解应用题的一般步骤

?列一元一次方程解应用题的一般步骤: 列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是: ⑴审题:理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关 系是什么。 ⑵设元(未知数):找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系; ①直接未知数:设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,? 然后利用已找出的等量关系列出方程; ②间接未知数(往往二者兼用)。 一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一 般地,未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答题。 综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。 ?一元一次方程应用题型及技巧: 列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧: (1)和差倍分问题: ①倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……” 来体现。

②多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。 ③基本数量关系:增长量=原有量×增长率,现在量=原有量+增长量。 (2)行程问题: 基本数量关系:路程=速度×时间,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间, 路程=速度×时间。 ①相遇问题:快行距+慢行距=原距; ②追及问题:快行距-慢行距=原距; ③航行问题: 顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度, 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 例:甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。 慢车先开出1小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇? 两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里? 两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里? 两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车? 慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。) 例:一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?

丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数,整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百钱百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括: (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果中整数部分分离出来,则剩下部分仍为整数,则令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能直接观察出特解的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解. 例1求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解已知方程可化为 因为y 是整数,所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1,-1,3,-3,即 x=-1,-3,1,-5, 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下: 第一步,化简方程,尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步,缩小未知数的范围,就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内,便于下一步讨论; 第三步,用辗转相除法解不定方程. 例2求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 从最后一个式子向上逆推得到 所以 则特解为 通解为 或改写为 (3)不等式估值法 先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式,再解这些不等式得到未知数的取值范围.

微分方程几种求解方法

第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统,参数如下: M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统 假设初始条件为:00=t 时,将m 拉向右方,忽略小车的摩擦阻力,m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解:系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。

将上式写成一个一阶方程组的形式,这是函数ode45调用规定的格式。 令: x x =)1( (位移) )1()2(? ?==x x x (速度) 上式可表示成: ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’)

经典解方程技巧.doc

一元一次方程解题技巧 ⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。 ⒉去括号一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。 ⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。 ⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。 ⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。 ⒍得出方程的解。 同解方程:如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。 方程的同解原理: ⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。 ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 做一元一次方程应用题的重要方法: ⒈认真审题 ⒉分析已知和未知的量 ⒊找一个等量关系 ⒋设未知数 ⒌列方程 ⒍解方程 ⒎检(jian三声)验 ⒏写出答

一元一次方程应用题解题方法论初探 方程的应用问题的教学可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段,在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位(整个初中段方程及其应用题的教学学时为41学时,约占整个初中数学学时的11.5%),而一元一次方程应用题的教学,又是所有方程应用题教学中最基础的起始部分,因此,这一部分内容的教学成功,对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的教学有着至关重要的作用。但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强,分析能力却相对仍然较弱,因此,要提高初一年级数学应用题教学效果,除了要逐步提高学生的数学分析能力,及时地给学生以解题方法论的指导,也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的问题。 显然,列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的等量关系列出相应的方程。笔者通过多年的教学实践,认为初中数学应用题的教学基本可有如下几种方法: 一、直列法。即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼,直接列出相关的方程。 例1 在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人? 分析:显然,人员调动完成后,甲处人数=2×乙处人数。 解:设调x人到甲处,则调(20-x)人到乙处,由题意得: 27+x=2(19+20-x), 解之得x=17 ∴20-x=20-17=3(人)

丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数,整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百钱百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括: (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果中整数部分分离出来,则剩下部分仍为整数,则令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能直接观察出特解的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数,所以2 3+x 也是整数. 由此 x+2=1,-1,3,-3,即 x=-1,-3,1,-5, 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下: 第一步,化简方程,尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步,缩小未知数的范围,就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内,便于下一步讨论; 第三步,用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-?

列方程解应用题的常用方法

列方程解应用题常见分析法 什邡洛水中学王瑞益(618401) 代数方程应用题是初中代数中贯彻始终的一个重要内容,是培养学生思维能力、应用能力和实践能力的重要内容,是教学的重点,也是教学难点,在学期统考和毕业会考中是一项重要的考查内容。初中列方程解应用题的教学大致分为三个阶段,即代数第一册(上)第一章《代数初步知识》中的形成概念阶段;代数第一册(上)第四章《一元一次方程的应用》中形成方法阶段;代数第一册(下)到代数第三册是列方程解应用题方法的应用和提高阶段,并用以解决各类实际问题。其中方法形成阶段是关键,这里涉及的应用题类型多,应用范围宽,并且是解决日常生活中利息、利润和生产中增长率的计算等数学问题的重要方法。需然它没有统一的模式,方法也难于统一概括,但它有一定的规律可循,能形成技能技巧,从而掌握列方程解应用题这一重要的数学方法江泽民总书记说:“教育是培养创新精神和创新人才的摇篮”。由于代数应用题与实际生产、生活紧密联系,又强调题意和方法,所以学好列方程解应用题有利于培养学生的社会实践能力和分析问题解决问题的能力。列方程解应用题的分析的总体过程是:理解题意,找出相等关系,然后把相等关系转化为方程。显然关键是非要找出代表整个题意的相等关系,难点是涉及间接未知数时就竟应该选取那一个量为未知数,即如何选设间未知数。奥加涅相认为,培养学生的思维能力在于揭示数学过程,从心理学上讲抽象思维在方法上要发散得开,选取准方法后的逻辑思维要以定势思维为基础,通过直观的方法、分析的手段来寻找解题的途径。根据教材内容和列方程解应用题的数学实质,列方程解应用题可以概括为如下三个基本的方法: 一、相等关系展开分析法 例1:某车间生产一批零件,原计划10天完成,加工时采用了新方法,提前三天完成任务;又知道原计划每天生产零件个数比采用新的操作方法每天生

列方程解应用题的方法

列方程解应用题的方法 从近几年的中题看,列方程解应用题型的出现在上,其目的 是考查分析问题和解决问题的。列方程解应用题就是将量与未知量的关系列成等式,通过解方程求出未知量的过程。如何解决这类题目其很多,现结合实例给出几种,以供参考。 .直译法 设元后,视元为数,根据题设条件,把语言直译为代数式,即可列出方程初中英语。 例1. 〔2019年山西省〕甲、乙两个建筑队完成某项工程,假设两队同时开工,12天就可以完成工程;乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天。问单独完成此项工程,乙队需要多少天? 解:设乙单独完成工程需x天,那么甲单独完成工程需〔10〕天。根据题意,得 去分母,得 解得 经检验,都是原方程的根,但当时,,当时,,因时间不能为负 数,所以只能取。 答:乙队单独完成此项工程需要30天。 点评:设乙单独完成工程需x天后,视x为,那么根据题意,原原本本的把语言直译成代数式,那么方程很快列出。 二.列表法

设出未知数后,视元为数,然后综合条件,把握数量关系,分别填入表格中,那么等量关系不难得出,进而列出方程〔组〕 例2. 〔2019年海淀区〕在某校举办的足球比赛中规定:胜 场得3分,平一场得1分,负一场得0分。某班足球队参加了12 场比赛,共得22分,这个队只输了2场,那么此队胜几场?平几场? 解:设此队胜x场,平y场 由列表与题中数量关系,得 解这个方程组,得 答:此队胜6场,平4场。 点评:通过列表格,将题目中的数量关系显露出来,使人明白, 从胜、平、负的场数之和等于12,总得分22分是胜场、平场、负场得分之和。建立方程组,利用列表法求解使人易懂。 .参数法 对复杂的应用题,可设参数,那么往往可起到桥梁的作用。 例3.从A、B两汽车站相向各发一辆车,再隔相同时间又同时发出一辆车,按此规律不断发车,且知所有汽车的速度相同, B间有骑自行车者,发觉每12分钟,后面追来一辆汽车,每隔 分钟迎面开来一辆汽车,问A、B两站每隔几分钟发车一次? 解:设汽车的速度为x米/分;自行车的速度为y米/分,同 车站发出的相邻两辆汽车相隔m米。A、B两站每隔n分钟发一次车。那么从A站发来的两辆汽车间的距离为12〔〔汽车行进速度〕 —〔自行车行进速度〕:,从B站发来的两辆汽车间的距离为:4 〔〔汽车行进速度〕+〔自行车行进速度〕]。由题意,得 得:

偏微分方程求解方法及其比较

偏微分方程求解方法及其比较 发表时间:2008-12-11T09:32:01.530Z 来源:《科海故事博览科教创新》2008年第10期供稿作者:曹海洋吕淑娟王淑芬 [导读] 近些年来,无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高,使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法,它具有无穷阶收敛性.因此,谱方法也就引起人们更多的关注. 摘要:近些年来,无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高,使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法,它具有无穷阶收敛性.因此,谱方法也就引起人们更多的关注. 关键词:谱方法;偏微分;收敛;逼近; 1偏微分方程及其谱方法的介绍 偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上,对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理,力学,几何学等方面的具体问题,其经典代表是波动方程,热传导方程和位势方程(调和方程)。通过对这些问题的研究,形成了至今仍然使用的有效方法,例如,分离变量法,fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上,而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为:有限差分法,有限元法,谱方法。 谱方法起源于Ritz-Galerkin方法,它是以正交多项式(三角多项式,切比雪夫多项式,勒让得多项式等)作为基函数的Galerkin方法、Tau 方法或配置法,它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法(配点法),通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看.谱方法可分为Fourier方法.Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题,后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。 下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。 1) Chebyshev-Gauss: 2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1, 3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1, 4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且 5) Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且 6) Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且 下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为: 其中: Jacobi正交多项式满足正交性: 而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式,另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。 2 几种典型的谱方法 谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看.谱方法可分为Fourier方法.Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题,后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看,谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法,以及先在物理空间离散求积,再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题.Galerkin法适用于线性问题,而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度;以较少的网格点得到较高的精度;无相位误差;适合多尺度的波动性问题;计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展,迄今已有各种的谱方法计算格式被提出.并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。 下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法: 1)以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程 以一阶波动方程为例: 其中u(x,t)为方程的解,L是包含u和u关于空间变量的导数的算子,除了方程以有初始条件和适当的边界条件。 故可设其中为试探空间的基函数,ak(t)为展开系数,对于傅立叶谱方法中的共轭有: 其中从而利用其正交性和周期性可以减少工作量,另外再结合边界条件就可以求出来。 2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法,但还有其局限性,而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中,并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法,则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程Petrov-Galerkin谱方法。 3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论,在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法,从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法,此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。 4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论,提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。 5)有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非

列方程解应用题——设元的技巧

列方程解应用题——设元的技巧 知识要点 恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一,设什么为元,需要根据具体问题的条件来确定. 对未知数的选择,有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么),称此为直接设元;有时需要将要求的量以外的其它量设为未知元(即所设的不是所求的,则更易找出符合题意的数量关系),称此为间接设元;有些应用题中隐含一些未知的常量,这些量对于求解无直接联系,但如果不指明这些量的存在,则难求其解,因此需把这些未知的常量设为参数,以便建立等量关系,称此为辅助设元. 例题讲解 (1)直接设元 例1:两袋什锦糖,甲袋由8千克奶糖和12千克水果糖混合而成,乙袋由15千克奶糖和5千克水果糖混合而成.如果要使混合成21千克的什锦糖中,奶糖和水果糖各占一半,需从甲、乙两袋里分别取出多少千克的什锦糖. (2)间接设元 例2:如果四个数中,其中每三个数的和分别是21,28,29,30,求这四个数. 思路点拨这四个数中,其中每三个数的和是已知的,所以,只要能求出这四个数的和,再用这四个数的和分别减去每三个数的和就可求得这四个数. 例3:如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个长方形色块图的面积为. 吨货物,则最后一辆卡车只装了3吨货物就装完了这批货物.那么,这批货物共有多少吨?

例5: 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时,水流速度增加一倍后,再从甲港到乙港航行需3小时,水流速度增加后,从乙港返回甲港需航行( ). A .0.5小时 B .1小时 C .1.2小时 D .1.5小时 例6: 甲、乙、丙、丁4个数之和等于90-,甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等,问4个数中最大的一个数比最小的一个数大多少? (3)辅助设元 例7: 某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率. 例8:某裁缝做一件童装、 一条裤子、一件上衣,所用时间之比为3:2:1.他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣.则他做2件上衣、10条裤子、14件童装需几天. 例9: 甲、乙两地相距24千米,某人从甲地到乙地,步行一半路程后改骑自行车,共用4小时到达,返回时,一半路程步行,一半路程骑助动车,若返回时步行,速度是去时速度的4 3,助动车速度是自行车速度的2倍,结果返回时比去时多用了30分钟,求去时步行的速度与自行车的速度.

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