全微分方程与积分因子法

万方数据

万方数据

万方数据

全微分方程与积分因子法

作者：段志霞， 卫艳荣

作者单位：济源职业技术学院,河南·济源,454650

刊名：

宿州教育学院学报

英文刊名：JOURNAL OF SUZHOU EDUCATION INSTITUTE

年，卷(期)：2009，12(1)

被引用次数：0次

参考文献(4条)

1.同济大学数学教研室高等数学 2002

2.王高雄.周之铭常微分方程 1983

3.潘鼎坤高等数学习题详解 2000

4.陈小柱.陈敬佳高等数学习题全解 2002

相似文献(5条)

1.期刊论文徐安农.段复建全微分方程与积分因子法-桂林电子工业学院学报2002,22(2)

在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.

2.期刊论文马来焕.MA Lai-huan一类新复合型积分因子的存在定理及应用-科学技术与工程2010,10(7)

给出M(x,y)dx+N(x,y)dy=0复合类型积分因子的定义,得到了复合类型积分因子存在的充要条件和计算公式,为解决某些非全微分方程求解问题提供了更加快捷的工具,避免了传统求解方法的繁琐及盲目.

3.期刊论文赵冠华.陈海俊.ZHAO Guan-hua.CHEN Hai-jun乘积型积分因子的存在定理-聊城大学学报（自然科学版）2004,17(4)

积分因子法是求解一阶常微分方程的一个极其重要的方法.但是在通常情况下,积分因子的寻求比较困难.通过定义常微分方程的乘积型积分因子,得到了乘积型积分因子存在的充要条件和计算公式.

4.期刊论文李刚升浅谈积分因子与偏微分方程-科技信息(学术版)2008,""(2)

采用积分因子法将一阶微分方程转化成全微分方程是求解常微分方程的一个重要手段.为了得到方程的积分因子,需要求解积分因子所满足的偏微分方程.写出偏微分方程所对应的特征方程,从而将求解积分因子转化成为求解常微分方程的首次积分.为了简化首次积分的计算,本文给出了一些特征方程有关条件的限制,并利用比例性质对特征方程变形,得到一些特殊的积分因子,从而使常微分方程转化为全微分方程.

5.期刊论文姚红梅.YAO Hong-mei新复合型积分因子的存在定理及应用-科学技术与工程2010,10(15)

给出了微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的复合积分因子定义,并讨论了一类复合积分因子存在的充要条件及计算公式.介绍一种通过积分因子法求解一阶线性微分方程的新解法.

本文链接：https://www.wendangku.net/doc/b41011371.html,/Periodical_szjyxyxb200901064.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：e1b0d643-c81b-4324-9ea1-9dcc0105e959

下载时间：2010年8月8日

微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：

偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空

二次微分方程的通解

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解

这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且 x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 2 1y y i x e x -= βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解

方程求积分因子的一个定理及其应用

玉溪师范学院学报第２０卷２００４年第１２期 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅＶ０１．２０Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００４ 常微分方程求积分因子的一个定理及其应用 赵凯宏李晓飞米 （玉溪师范学院数学系，云南玉溪６５３１００） ［关键词］全微分方程；积分因子；首次积分 ［摘要］将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程，从而与常微分方程组的首次积分相联系．利用“可积组合法”来求积分因子，从而使所求常微分方程化成全微分方程．［中图分类号］０１７５［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—９５０６（２００４）１２—００３１—０４ＴｈｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇ ＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＦａｃｔｏｒｓｏｆＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕｉｔｉｏｎｓ ＺＨＡＯＫａｉ—ｈｏｎｇＬＩＸｉａｏ—ｆｅｉ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ，Ｙｕｎｎａｎ６５３１００）ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ；Ｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕｉｔｉｏｎｓｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｉｎｔｅｇｒａｌｆａｃｔｏｒｓｒｅｗｒｉｔｅｔｏｉｔｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕｉｔｉｏｎｓ．Ｈｅｎｃｅ，Ｉｔｉｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ ａｒｅ ｅａｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕｉｔｉｏｎｓ ｂｅｃｏｍｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．１定理推导 满足设常微分方程 Ｍ（石，），）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，），）咖＝０ ＯＭ，ＯＮ 百≠面 （１） （２） 若存在函数肛（戈，Ｙ）使得 Ｉｔ（ｘ，Ｙ）Ｍ（石，Ｙ）ｄｘ＋肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）ｄｙ＝０（３） 成立 虫盟：业盟 （４） ｄｙｄｘ 此时，方程（３）就变成了一个全微分方程，其通解为 Ｉ肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ）ｄｘ＋Ｉ肛（ｘｏ，Ｙ）Ｎ（‰，Ｙ）ｄｙ＝ｃ（５） 这里（ｚ。，Ｙｏ）是肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ），肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）公共定义域内的任意一固定点．Ｃ为积分常数．由于方程（３）与方程（１）是同解方程，所以（５）也是方程（１）的通解． 可见，要求解方程（１）关键是求积分因子肛（戈，Ｙ），而要求ｐ（ｚ，Ｙ）关键是解偏微分方程（４）．方程（４）可化成如下的等价形式 Ｎ０１＿．业一Ｍ挚：巡一型（６） ｄｘｄＶｄｙＯｘ 若记 瓤收稿日期］２００４一０８—０６ ［作者简介］赵凯宏（１９７４一），男，甘肃泾川人，硕士，讲师，主要从事微分方程方面的研究 　万方数据

二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1

)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y

偏微分方程数值解法

一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：

浅谈积分因子及首次积分

浅谈积分因子与首次积分 摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重要命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的几类微分方程的积分因子. 关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比 Introduction to integral factor and the points for the first time Chen Xueyun (School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University 741000) Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors ,first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application. Keywords Differential equations,Integrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than

(高等数学) 偏微分方程

第十四章 偏微分方程 物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科. 本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法. §1 偏微分方程的一般概念与定解问题 [偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数. [方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如 ()()()()y x f u y x c y u y x b x u y x a ,,,,=+??+?? 就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的. [拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如 ()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+??+??+??+???+??u y x c y u u y x b x u u y x a y u u y x a y x u u y x a x u u y x a 就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为 ()()()22222122211,,,,,,y u u y x a y x u u y x a x u u y x a ??+???+?? 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如 ()()()()0,,,,,,2222=??+??+??+??y y u y x d x y u y x c y u y x b x u y x a 就是半线性方程. [非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如 1)()1(222=??+??+y u x u u 就是一阶非线性偏微分方程. [定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件. [定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.

一阶微分方程积分因子探讨

一阶微分方程积分因子的求法探讨 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：郑丽丽 职称：教授 摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法． 关键词：一阶微分方程；积分因子 The Solution of Integral Factor for the First Order Ordinary Differential Equation Abstract ：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently ．When the differential equations meet some conditions ， therefore ， the common method we can get from it ． Key Words ：the first order ordinary differential equation ；integral factor ０前 言 一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是 以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法． 1 积分因子的定义 若对于一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy += （1） 其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得 ()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡， 为一恰当方程，即存在函数V ，使

微分方程几种求解方法

第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统 假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。

将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。 令： x x =)1( （位移） )1()2(? ?==x x x （速度） 上式可表示成： ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’)

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法 何佳 【摘要】 利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和 ()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式 相近的积分因子。如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。 【关键字】 微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法

【目录】 引言 (1) 目录 (2) 一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子 § 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 …………………………………………… 3 § 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 …………………………………………… 4 二、微分方程积分因子求法的推广 § 1、 满足条件 ()P Q P Qf x y x y ??-=-??的积分因子求法 (7) § 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-????++++++=????积 分因子 (10) § 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -??+++=?? 积分因子 (12) § 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -????++++++=????积分因子 …………………………………………… 13 参考文献 (15)

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

微分方程的积分因子求解法

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词：全微分方程，积分因子。 一、基本知识 定义1.1 对于形如 dx y N M（1.1） x ),( ),(= +dy x y 的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数),(y x U的全微分，即d),(y y x M),( dx ),(+，则称（1.1）为全微分方程. x U= dy y N x 易知，上述全微分方程的通解为),(y U=C, （C为任意常数）. x 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x N在x，y平面上 M，),(y x 的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为

x y x N y y x M ??=??) ,(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??) ,(ln ) ,(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ??) ,() ,(μ-y y x y x M ??),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ??? ? ????-??. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。 为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。

积分因子法习题

习题2—5 1． 求解下列微分方程： （1）0)()23(2232=++++dy y x dx y xy y x ； 解 这里x x Q y x x y P 2,32322=??++=??，因此原方程不是恰当方程，由于 3)(1=??-??x Q y P Q ， 于是原方程有积分因子 x dx e e x 33)(=?=μ. 将它乘原方程两边，得到一个恰当方程 0)()23(223323=++++dy y x e dx y xy y x e x x ， 改写为 0)(])23([2333223=++++dy y dx y e dy e x ydx x x e x x x ， 即 0)3 1()(3332=+y e d y e x d x x . 由此可求得通积分 C y e y e x x x =+33323 1. （2）0)(22=++-dy x y x ydx ； 解 把方程改写为 0)()(22=+--dy y x xdy ydx . 容易观察出一个积分因子为2 21y x +=μ，将它乘原方程两边，得 022=-+-dy y x xdy ydx . 即 0)(arctan =--dy x y d . 从而原方程的通积分为 C y x y =+arctan . （3）0)1(2223=-+dy y x dx xy ； 解 这里222,6xy x Q xy y P =??=??，因此原方程不是恰当方程，由于

y y P x Q P 2)(1-=??-??， 于是原方程有积分因子 2)2(1)(y e x dx y =?=-μ. 将它乘原方程两边，得 01)2(22=- +dy y dy x xydx ， 从而原方程的通积分为 C y y x =+12. （4）0)(2223=-+dy xy x dx y ； 解 把方程改写为 02)2(223=+-dy x dy xy dx y . 不难看出，前一组有积分因子y x 21和通积分C x y =2，因而它有更一般的积分因子)(12 12x y g y x ，前一组有积分因子21x 和通积分C y =，故它有更一般的积分因子)(122y g x .为使关系式 )(1)(122212y g x x y g y x = 成立，可取 1)(21=x y g ，y y g 1)(2=. 从而得到原方程的积分因子y x 21 =μ，以它乘方程的两端，得到 0222 2=+-dy y x xydy dx y . 从而原方程的通积分为 C x y y =-2 2 ln . 此外，原方程还有解0,0==y x . 2． 证明方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P ①

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。