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分段函数教案

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

教学过程

一、复习预习

回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性。

二、知识讲解

本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析

考点1分段函数定义

在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。

2.对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.

3.定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.

4.值域：分段函数值域为各段函数值的并集. 考点2分段函数的图像及求值 1.分段函数图像

（1）画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.

（2）由分段函数的图象确定函数解析式的方法

1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型. 2)设函数式：设出函数的解析式.

3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式.

4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 2.分段函数求值

分段函数函数值的方法：

1.先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

2.然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 注：当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 考点3分段函数求解实际应用问题

(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言. (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.

(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法. 三、例题精析【例题1】

【题干】求函数

1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x

x x +∈-??=-∈??∈+∞?

的定义域、值域.

【答案】()f x 的定义域为[1,)-+∞,值域为(1,3]-. 【解析】作图，利用“数形结合”可知。【例题2】

【题干】已知函数2|1|2,(||1)()1

,(||1)1x x f x x x --≤??=?>?+?求

12[()]f f . 【答案】134

【解析】因为311

222

()|1|2f =--=-,所以

1222

3214

[()]()1()

13f f f =-=

=+-. 【例题3】

【题干】在同一平面直角坐标系中,函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线

y x =对称,现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数()f x 的表达式为（）【答案】A

【解析】当[2,0]x ∈-时,

121

y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y

轴向下平移1个单位,得解析式为

1122(2)111y x x =-+-=-,所以()22([1,0])f x x x =+∈-,当[0,1]x ∈时,21y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124y x x =-+-=-,所以

12()2([0,2])f x x x =+∈,综上可得222(10)()2(02)x

x x f x x +-≤≤?=?+<≤? 【例题4】

【题干】判断函数3

2(0)

()(0)x x x f x x

x ?+≥?=?-

【答案】()f x 在R 上是单调递增函数.

【解析】显然()f x 连续.当0x ≥时,'2()311f x x =+≥恒成立,所以()f x 是单调递增函数,当0x <时,'()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数,所以()

f x 在R 上是单调递增函数;或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数. 【例题5】

【题干】判断函数22(1)(0)

()(1)(0)

x x x f x x x x ?-≥?=?-+

【答案】对于任意x R ∈都有()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数.

【解析】当0x >时,0x -<,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=,当0x =时,(0)(0)0f f -==,当0x <,0x ->,

22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此,对于任意x R ∈都有()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数. 四、课堂运用【基础】

1.画出函数y=|x|的图象.

2.已知函数y=??

??>+-≤<-≤+.4,2,40,2,0,

42x x x x x x x

(1)求f{f ［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.

3.已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。

4.已知??

?≥<+-=1

,1,1)2()(x a

x x a x f x

满足对任意21x x ≠都有

121)()(>--x x x f x f 成立，则a 的取值范

围是．

5.已知f(x)＝且f(2)＝1，求f(1)的值

6.函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )

A ．最大值4，最小值0

B ．最大值0，最小值－4

C ．最大值4，最小值－4

D ．最大值、最小值都不存在

答案和解析：

解析：由绝对值的概念,我们有y=?

?<≥0.x x,-0,

x x,所以函数图像如图所示。

2.∵5>4,∴f(5)=-5+2=-

3.∵-3<0,∴f ［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.∵0<1<4,∴f{f

［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f ［f(5)］}=-1.

（2）

3.∵()f x 是定义域在R 上的奇函数，

∴(0)f =0.

又当x ＜0时，－x >0,

故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。再由()f x 是奇函数,

()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴

(5)1(0)()0(0)

(5)1(0)x x x f x x x x x -+>??

==??+-

4.[2

3,2) 由于对任意21x x ≠都有

()(2

121＞x x x f x f --成立，)(x f ?在R 上

5.∵f(2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1，

∴a ＝3，∴f(1)＝2×32＝18.

6.y ＝|x －3|－|x ＋1|＝，因此y ∈[－4,4]，故选C. 【巩固】

1.已知函数22(0)()()0)x x x f x g x x ?+≥=?

A 、－20

B 、－18

C 、－15

D 、17

2.设函数???≤-=0,0

,)(2＞x x x x x f 若f(a)=4,则实数a=()

或或2 或或2

3.函数?????--≤-=1

,31

,1)(22＞x x x x x x f ，则f()的值为()

设函数2()2g x x =-，()4,(),

()(),().

g x x x g x f x g x x x g x ++

答案及解析 1.答案C

解析：由已知得，3)1()1(-=-=-f g ，所以，15)3()3())1((-=-=-=-f f g f

2.答案B

解析：当a ≤0时，由-a=4,得a=-4;

当a ＞0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2. 3.答案C 解析：

)31(1)31())3(1(131,3333)3(122=-===--=∴f f f f x ，所以＜又，＞∵

4.【解析】令(),x g x <解得1x <-或2x >．

∴()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++

2,(,1)(2,)

2,[1,2]

x x x x x x ?++∈-∞-+∞?=?--∈-?? ∴当(,1)(2,)x ∈-∞-+∞时，()f x ∈(2,)+∞；当[1,2]x ∈-时，

()f x ∈9

[,0]4

-；

∴()f x 的值域为9

[,0](2,)4

-+∞．

【拔高】

1.已知实数0≠a ，函数()??

?≥--<+=1

212x a

x x a x x f ，若()()a f a f +=-11，求a 的值

2.已知函数()??

??<≤+<<+=-1

12012

x c c

x cx x f c x

，满足f(c 2)＝，

(1)求常数c 的值；(2)解不等式f(x)＞＋1.

答案及解析：

1.解：分类讨论：

(1)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ； f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a.

由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－，不符合题意，舍去． (2)当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，

这时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a ； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a ，

由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－. 综合(1)，(2)知a 的值为－.

2.解 (1)依题意知0＜c ＜1，∴c 2＜c ， ∵f(c 2)＝，∴c 3＋1＝，所以：c ＝ (2)由(1)得f(x)＝由f(x)＞＋1，得

当0＜x ＜时，x ＋1＞＋1，∴＜x ＜. 当≤x ＜1时，2

－4x

＋1＞＋1，∴≤x ＜.

综上可知，＜x ＜. ∴f(x)＞＋1的解集为.

课程小结

1、分段函数：即在函数的定义域内，对于自变量x 的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数.

2、作分段函数的图像的步骤和方法：（1）化简函数解析式。（2）写出分段函数解析式。

（3）作分段函数的图像:在不同的定义域内作出相应的函数图像。 3、分段函数与一般函数的区别与联系：

①函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;

一般函数的图像是不间断的（连续的），而分段函数的图像可能连续，也可能间断。

课后作业【基础】

1.．设函数1221(0)()(0)x x f x x

x -?-≤?

=??>?,若0()1f x >,则0x 得取值范围是（）

．设函数2(1)(1)()4(1)

x x f x x ?+

≥??,则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（） A ．(,2][0,10]-∞-? B.(,2][0,1]-∞-?

(,2][1,10]-∞-?.[2,0][1,10]-?

3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )．

A ．2800元

B ．3000元

C ．3800元

D ．3818元

4.某市出租车的计价标准是：3km 以内(含3km)10元；超过3km 但不超过18km 的部分1元/km ；超出18km 的部分2元/km.

(1)如果某人乘车行驶了20km ，他要付多少车费某人乘车行驶了xkm ，他要付多少车费

(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远

5.设集合1[0,)2A =，1[,1]2B =，函数1,,

()2

2(1),.x x A f x x x B ?

+∈?=??-∈?若0x A ∈，且0[()]f f x A ∈，则0x 的取值范围是（）

A ．1(0,]4

B ．11(,]42

C ．11(,)42

D ．3[0,]8

答案及解析

1.答案D

解析：【解析1】

首先画出()y f x =和1y =的大致图像,易知0()1f x >时,所对应的0x 的取值范围是

(,1)(1,)-∞-?+∞.

【解析2】

因为0()1f x >,当00x ≤时,0

11x -->,解得01x <-,当00x >时,12

01x >,解得01x >,

综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞.故选D.

2.答案A

解析：当1x <时,2

()1(1)120f x x x x ≥?+≥?≤-≥或,所以21x x ≤-≤<或0,当1x ≥时,()14111310f x x x x ≥?-

-?-≤?≤,所以110x ≤≤,综上所

述,2x ≤-或010x ≤≤,故选A 项.

3.答案C

解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，

由题意，得y ＝如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.

4.(1)乘车行驶了20km ，付费分三部分，前3km 付费10(元)，3km 到18km 付费 (18－3)×1＝15(元)，18km 到20km 付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．

设付车费y 元，当018时，车费y ＝25＋2(x －18)＝2x －11.

(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3km ，且小于18km ，前3km 付费10元，余下的12元乘车行驶了12km ，故此人乘车行驶了15km.

5.答案C

解析若0x A ∈，则0011

()[,1)22

f x x B =+

∈∈， ∵0[()]f f x A ∈，∴001021102[1()]22x x ?≤

1021142x x ?

≤

??，∴0

1142x <<．

【巩固】

1.已知函数1

2(0)()3(01)log (1)

x f x x x x ?

=≤≤?>??,求{[()]}f f f a (a <0)的值。

2.求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤??

=+<≤??-+>?

的最小值

答案及解析

1.∵a <0,

∴()2a

f a =, ∵0<2a

<1,

∴[()]f f a =(2)a

f =3,

∵3>1,

∴{[()]}f f f a =3)f =1

log 3=－2

2.方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX =(0)f =3;

当0

当x >1时，y =()f x =－x +5，此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2利用函数的单调性

而在x ∈(1,+∞)上是递减的，

由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 方法3 利用图像，数形结合求得作函数y =()f x 的图像（图1），显然当x =1时y max =4.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.

【拔高】

1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

（1）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；

（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

答案及解析

1.（1）由题意可得：

当200≤≤x 时，()60v x =；当20020≤≤x 时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[]200,20是减函数，

由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得???????=-=3200

1b a ，

∴()v x =60,

020,1(200),20200.3

x x x ≤

?-≤≤??

（2）由（1）可得()f x =60,

020,1(200),20200.3

x x x x x ≤

?-≤≤??

当200≤≤x 时，max ()(20)1200f x f ==；当20020≤≤x 时，

()21110000

()200(100)333

f x x x x =-=--+

， ∴当20020≤≤x 时，max 10000

()(100)3f x f ==．

综上()f x 在区间[]200,0上取得最大值33333

10000

≈，

答：当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

课后评价