(仅供参考)第三章泊松过程

随机过程poisson过程 中科大

Poisson 过程 1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差. 2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }). 3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求: (a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ; (b)E[N (s )N (s +t )]=? (c)Cov(N (s ),N (s +t ))=? (d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布; (e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻) 4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间; (b)蓝车首先到达的概率; (c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率; (d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望; (e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望. 5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？ 6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3. 1

a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求: ( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 . ( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 . 二．设电话总机在] X是具有强度 ,0(t内接到电话呼叫数) (t λ的泊松过程，求 （每分钟）2 = （1）两分钟内接到2次呼叫的概率； （2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。

维纳过程 如果它满足 给定实随机过程,}0),({≥t t W ; )2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2 >??≥>σσ且～增量 对任意的s t N s W t W s t . 0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.

3. 维纳过程的特征 ). ,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==; 0),,0()( 2>σσ且～t N t W ). ,min()]()()(()([(2 a t a s a W s W a W s W E ??=??σ, ,0+∞<<≤?t s a （１）（２）)] ()())(()([(a W t W a W s W E ??, t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E ?+??=))] ()())(()([(s W t W a W s W E ??=))]()())(()([(a W s W a W s W E ??+).(2a s ?=σ

五.平稳过程 定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L )) (,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机)) (,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程). 与 常数若对为随机过程设τ?∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.

09、第三章第一节质量统计分析(一)

第三章建设工程质量的统计分析和试验检测方法 第一节质量统计分析 一、工程质量统计及抽样检验的基本原理和方法 ㈠总体、样本及统计推断工作过程： 总体(母体);个体; 有限总体;无限总体;样本(子样);样品;样本容量 ㈡质量数据的特征值 ⒈描述数据集中趋势的特征值 样本数据特征值是由样本数据计算的描述样本质量数据波动规律的指标。 算术平均数(均值) 是消除了个体之间个别偶然 的差异。是数据的分布中心， 对数据的代表性好 总体算术平均 数μ 样本算术平均 数 x 样本中位 数按数值大小 有序排列 样本数n为奇数,数列居中的一 位数 样本数n为偶数,取居中两个数 的平均值 ⒉描述数据离散趋势的特征值 极差计算简单、使用方便，但粗略，数值仅受两个极端值的影响，损失的质量信息多，不能反映中间数据的分布和波动规律，仅适用于小样本 标准偏差标准差值小说明分布集中程度高，离散程度小， 均值对总体(样本)的代表性好； 总体标准差 样本样本容量较大(n≥ 1

(标准差或均方差) 标准差的平方是方差，有鲜明的数理统计特征， 能确切说明数据分布的离散程度和波动规律, 是最常用的反映数据程度的特征值 标准 差 50)时，分母n-1 简化为n 变异系数(离散系数) 表示数据的相对离散波动程度。 变异系数小。说明分布集中程度高，离散程度小，均值 对总体(样本)的代表性好。 适用于均值有较大差异的总体之问离散程度的比较 标准差除以算术 平均数得到的相 对数 【例】下列质量数据特征值中，用来描述数据集中趋势的是()。 A.极差 B.标准偏差 C.均值 D.变异系数【答案】C 【例】下列质量数据特征值中，用来描述数据离散趋势的是()。 A.极差 B.中位数 C.算术平均数 D.极值【答案】A ㈢质量数据的分布特征 ⒈质量数据的特性 质量数据具有个体数值的波动性和总体(样本)分布的规律性。 ⒉质量数据波动的原因 正常波动偶然性原 因引起 影响因素的微小变化具有随机发生的特点，是不可避免、难以测量和控制的， 或者是在经济上不值得消除，它们大量存在但对质量影响很小，属于允许偏 差、允许位移范畴 异常波动系统性原 因引起 影响质量的人机料法环等因素发生了较大变化，如工人未遵守操作规程、机 械设备发生故障或过度磨损、原材料质量规格有显著差异等情况发生时，没 有及时排除 ⒊质量数据分布的规律性 2

泊松过程

第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。

随机过程知识点总结

第一章： 考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2 —泊松过程 一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程 二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程， （1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图； （2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图； （3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ， （1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差； （2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数， （1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图； （2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

随机过程期末复习题

随机过程期末复习题库（2015） 一、填空题 1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 . 4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则. 5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则 . 6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍 历性的一个充分条件：． 7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性 的一个充分条件：． 8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数 ． 9.设为两个随机事件，，则 0.6 ． 10.设为二随机变量，，则 2 ． 11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的 泊松分布． 12.是二维正态分布，即，． 13.设随机变量的数学期望均存在，则． 14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则 ． 15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布. 16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函 数为. 17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则． 18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则

． 解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有 从而， 19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 20.设，是速率为的泊松过程. 则对于， . 21.设，是速率为的泊松过程. 对于， . 解对于，有 增量与独立 22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则对，. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔，则. 24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则 . 25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参 数为和的分布. 26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则 . 解对于，有

随机过程第三章 泊松过程

第三章 泊松过程 3.1 泊松过程 定义3.1 计数过程：随机过程{}(),0N t t ≥称为一个计数过程，若()N t 表示从0到时 刻t 为止某一事件A 发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过程满足以下条件： （1）()0N t ≥，且取值非负整数； （2）若s t <，则()()N s N t <； （3）对于s t <，()()N t N s -表示时间区间(,]s t 内事件A 发生的次数。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。如时刻t 已发生的事件A 的次数即()N t ，必须独立于时刻t 和t s +之间所发生的事件数即 (()())N t s N t +-。 如果在任一时间区间内发生的事件A 的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程为平稳增量过程。即对一切12t t <及0s >，在区间12(,]t s t s ++中事件A 的发生次数即21(()())N t s N t s +-+与区间12(,]t t 中事件A 的发生次数即21(()())N t N t -具有相同的分布，则过程有平稳增量。 泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。 定义3.2 泊松过程：计数过程{}(),0N t t ≥称为参数为λ(0λ>)的泊松过程，如果满 足： （1）()0N t =； （2）过程有独立增量； （3）在任一长度为t 的区间中事件的个数服从均值为t λ的泊松分布。即对一切s ，0t ≥， {}()(),0,1,2,! n t t P N t s N s n e n n λλ-+-=== 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且[()]E N t t λ=，于是可认为λ是单位时间内发生事件A 的平均次数，一般称λ是泊松过程的强度或速率。 为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件

《随机过程》第三章习题

第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题 1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。 对0>s ，试求： （1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律； （2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。 2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。定 义随机过程0),()()(≥-=t t Y t X t Z ，且令：})({)(n t Z P t p n ==。 （1） 试求随机过程}0);({≥t t Z 的均值函数)}({t Z E 和二阶矩)}({2 t Z E ； （2） 试证明：}exp{})(exp{)(12121t u t u t u t p n n n -+∞-∞=+?+-=∑λλλλ。 3、 设}0;)({1≥t t N 和}0;)({2≥t t N 是相互独立的Poisson 过程,其参数分别为1λ和2λ．若 )()()(210t N t N t N -=，问: （1） }0;)({0≥t t N 是否为Poisson 过程，请说明理由； （2） }0;)({0≥t t N 是否为平稳过程，请说明理由。 4、 设0,)1()()(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poisson 过程，随机变 量X 与此Poisson 过程独立，且有如下分布： 0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P 试求随机过程0),(≥t t Y 的均值函数和相关函数。 5、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的泊松过程，00=S ，n S 为第n 个事件发生的时刻，求： （1） ),(52S S 的联合概率密度函数； （2） }1)({1≥t N S E ； （3） ),(21S S 在1)(=t N 条件下的条件概率密度函数。 6、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的泊松过程，设T 为第一个事件出现的时间，)(a T N 为第一个事件后，在a T 时间间隔内出现的事件数，其中a 为正常数。试计算： （1） )}({a T TN E ； （2） {}2)]([a T TN E 。 7、 某商场为调查客源情况，考察男女顾客到达商场的人数。假设),0[t 时间内男女顾客到 达商场的人数分别独立地服从参数为λ和μ的泊松过程。问：

随机过程题库1

随机过程综合练习题 一、填空题（每空3分） 第一章 1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则 n X X X 21的特征函数是 。 2． )(Y X E E 。 3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X 21的特征函数是 。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。 第三章 11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。 13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，

n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n 14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程． 17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ． 第四章 18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。 20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且 p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有 1,1 n X Y n k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。 答案 一、填空题 1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5． n i i t g 1 )(； 6．等价 7．时间差； 8．独立增量过程； 9． 0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2 t s X 11．t t ;； 12． 000 )(11t t e t f t 00)()()(321321t t e t f t 13．t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43 71 e

a第8讲第3章 泊松过程2

作业： 设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度λ（人/分）的泊松过程，试求： 是5.2 = （1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率； （2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

第三章泊松过程(2)

定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件： （1）0)0(=X （2）)(t X 是平稳独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布， 定义3.3 （1）0)0(=X （2）)(t X 是独立、平稳增量过程； （3）)(t X 满足下列两式： {})(1)()(h o h t X h t X P +==?+λ {})(2)()(h o t X h t X P =≥?+ {} L ,1,0,!) ()()(===?+?n n t e n s X s t X P n t λλ

,)]([)(t t X E t m X λ==t t X D t X λσ==)]([)(2)]1(exp[][)()(?==iu t iuX X e t e E u g λ), ,min(),(t s t s B X λ=) ( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ数字特征

定理3.2 . ,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布且服从参数是相互独立的随机变量则其时间间隔的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n .,2,10. ,0,0 ,e )(L =???≤>=?i t t t f t T i λλ{}L ,2,1,0,!)()()(===?+?n n t e n s X s t X P n t λλ{}L ,2,1,0,! )()(===?n n t e n t X P n t λλ