《高等数学二》期末复习题及答案
《高等数学（二）》期末复习题
一、选择题
1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.
2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=?
代表的图形为 ( )
（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22
()D
I x y dxdy =+??
，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A)
2240
a
d a rdr a π
θπ=?
? (B)
2240
2a
d a adr a π
θπ=?
?
(C)
22
30
2
3
a
d r dr a π
θπ=?
?
(D)
2240
01
2
a
d r rdr a π
θπ=?
?
4、 设的弧段为：2
30,1≤≤=y x L ，则=?
L ds 6 （ ）
（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)
2
3
5、级数
∑∞
=-1
1
)1(n n
n
的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n
i i i i D
f d y x f 1
0),(lim
),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）
（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010
d ),(d x
y y x f x 等于 ( )
（A ）??
-10
10
d ),(d x
x y x f y (B)
??
-10
10
d ),(d y
x y x f y
(C)
?
?-x
x y x f y 10
1
0d ),(d
(D)
?
?1
1
d ),(d x y x f y
8、方程2
2
2z x y =+表示的二次曲面是 ( )
（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）
椭球面
9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分
22()L
x y ds +=?
( )
(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数
1n
n a
∞
=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）
(A)
1
2n
n a
∞
=∑收敛 (B)
1
(2)n
n a
∞
=+∑收敛 (C)
100
n
n a
∞
=∑收敛 (D)
1
3n
n a
∞
=∑收敛
12、二重积分的值与 （ ）
（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。 13、已知→
→
b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→
→x b a 则x = ( )
（A ） -2 （B ） 2 （C ） -3 （D ）3
14、在空间直角坐标系中，方程组222
1z x y y ?=+?=?
代表的图形为( )
（A ）抛物线 (B) 双曲线 （C ）圆 (D) 直线 15、设)arctan(y x z +=，则
y
z
??= （ ） (A) 22)(1)
(sec y x y x +++ (B) 2)(11y x ++ （C ）2)(11y x ++- (D)2)
(11y x +-
16、二重积分
?
?
110
2
),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ( )
（A ）?
?
x dy y x f dx 0
10
),( (B)
??
1
00
),(2dy y x f dx y
(C)
??10
10
),(dy y x f dx (D) ?
?
2
10
),(x dy y x f dx
17、若已知级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是（ ）
（A ）n S (B)n u (C) n n S ∞
→lim (D) n n u ∞
→lim
18、设L 为圆周：2
2
16x y +=，则曲线积分2L
I xyds =
?
的值为（ ）
（A ）1- (B) 2 （C ）1 (D) 0 19、 设直线方程为
2
10z
y x ==，则该直线必 ( ) （A ） 过原点且x ⊥轴 （B ）过原点且y ⊥轴 （C ） 过原点且z ⊥轴 （D ）过原点且x //轴 20、平面260x y z ++-=与直线
234
112
x y z ---==
的交点坐标为（ ） (A)（1，1，2） (B)（2，3，4） （C ）（1，2，2） (D)（2，1，1） 21、考虑二元函数的下面4条性质：
① (,)f x y 在点00(,)x y 处连续； ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微； ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ?”表示可由性质P 推出性质Q ，则有 （ ）
（A ）②?③?① (B) ③? ②?① (C) ③?④?① (D) ③?①?④ 22、下列级数中绝对收敛的级数是( )
(A)
1
(1)
n
n ∞
=-∑ (B) 211tan n n ∞
=∑ (C)21 1 (1)2 3 n n n n ∞=+-+∑ (D)1
1ln(1)n n ∞
=+∑ 23、设y x z sin =，则
??
? ????4,1πy
z
＝（ ）
（A ） 22-
（B ）2
2 （C ）2 （D ）2- 24、设a 为常数，则级数
∑
∞
=??? ??
--1
cos 1)1(n n n a （ ）
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关 25、设常数0>k ，则级数
∑∞
=+-1
2
)1(n n
n
n
k （ ） (A) 发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性与k 的取值有关 26、2
1
1
y x
dx e dy =
??
( )
(A)
12e + (B)12e - (C) 12e - (D)1
2
e +
二、填空题 1
、0
x y →→=
2、二元函数 (23)z sin x y =+，则
z
x
?=? 3、积分σd e
I y x y x ??≤++=
4
222
2的值为
4、若→
→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=?→
→b a
5、交换积分次序210
(,)x dx f x y dy =?
?
6、级数
1
11
(
)23
n
n n ∞
=+∑的和是 7
、00
x y →→=
8、二元函数 (23)z sin x y =+，则z
y
?=? 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=??
x
x
dy y x f dx 2),(1
10、设曲线L ： 2
2
2
x y a
+=，则(2sin 3cos )L
x y x ds +=?
11、若级数
1
1()n
n u
∞
=+∑收敛，则lim n n u →∞
=
12、若2
2
(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y = 13
、00
x y →→=
14、已知→
→
⊥b a 且 ),1,,0(),3,1,1(-==→
→x b a 则x = 15、设),ln(33y x z +=则=)
1,1(dz
16、设),(y x f 连续，交换积分次序=?
?
y y dx y x f dy 2
),(10
17、级数
1
n
n u
S ∞
==∑，则级数()11
n n n u u ∞
+=+∑的和是
18、设L 为圆周：2
2
2
R y x =+，则曲线积分sin L
I x yds =
?
的值为
19、
22
222
2
(,)(0,0)
1cos()lim
()x y x y x y x y e
→-+=+
20、已知,a i j b k =+=-, 则a b ?=
21、0sin()
lim
x y a
xy x →→=
22、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，则a b ?=
23、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()L
x y ds +=?
24
、
22(,)lim
x y →=
25、3a =，4b =，a 与b 的夹角是
2
π
，则a b ?= 26、已知三角形的顶点的面积等于则ABC ),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(?-C B A 27、点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 28、若322a i j k ,b i j k ,→→→→→→→→=--=+-则a b →→
?= 29
、00
=x y →→
30、函数2(,)(3)(1),xy f x y x y x e =-+-求(1,3)x f =
三、解答题
1、（本题满分12分）求曲面23z
z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。
2、（本题满分12分）计算二重积分
??D
y
x
dxdy e
，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线
2y x =和直线1y =围成的平面区域。
3、（本题满分12分）求函数2
(234)u ln x y z =++的全微分du 。
4、（本题满分12分）证明：函数242
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y
x y f x y x y x y ?≠?=+??=?
在点（0，0）的两个
偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。 5、（本题满分10分）用比较法判别级数
∑∞
=+1)
12(n n
n n
的敛散性。
6、（本题满分12分）求球面22
2
14x y z ++=在点(1,2,3)处的法线方程。 7、（本题满分12分）计算??
+=
D
y x y x I d d )(2
2，其中}41),{(22≤+≤=y x y x D 。 8、（本题满分12分）力{},,F x y x =-的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x t
L y t z t
?=?
==??=? 移至
(1,2,1)点，求力F 所做的功W 。
9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。 10、（本题满分10分）求级数
1
1
(1)n n n ∞
=+∑的和。 11、（本题满分12分）求球面2
2
2
14x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程。
12、（本题满分12分）设）（2
2
ln y xy x z ++=,求y
z
y x z x ???+???
。 13、（本题满分12分）求
2
2(1)d d D
x
y x y --??，其中D 是由y x =，0y =，221x y +=
在第一象限内所围成的区域。
14、（本题满分12分）一质点沿曲线??
?
??===20
t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力
k j y i x F +-+=4
1所作的功W 。
15、（本题满分10分）判别级数 1
1
sin n n n ∞
=∑ 的敛散性。
16、（本题满分20分）
求一条过点(1,0,4)A -与一平面:34100x y z π-++=平行，且与直线
13:
112
x y z
L +-==相交的直线方程. 17、（本题满分20分）
求椭球面2
2
2
2321x y z ++=上的点M ，使直线631
:212
x y z L ---==
-在过M 点的切平面上.
18、（本题满分12分）计算二重积分1
d d x y I xy x y +≤=
??
。
19、（本题满分12分）已知1=++xy zx yz ，确定的),(y x z z =，求dz 。 20、（本题满分12分）设),(y x f z =是由方程+z
x
e e e z
y 2=所确定的隐函数，求x z 、y z .
21、（本题满分10分）计算二次积分
1
2
1
2
20
1
2
2
cos cos y
y y dy x dx dy x dx +?
??? .
22、（本题满分10分）计算函数xy
e z sin 2=的全微分.
23、（本题满分10分）计算二重积分
σd x y
D
??+12 其中D ：0≤x ≤1,0≤y ≤1 . 24、（本题满分10分）已知向量k j i b a 42),1,1,1(++==，求a b ? 和b a ?.
25、（本题满分10分）求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面方程.
《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题
1、A 解：利用平行向量对应的坐标成比例，设(2,,2)b t t t =-，又因
18(2,1,2)(2,,2)4492(4,2,4)a b t t t t t t t t b ?=-=-?-=++=?=-?=--
2、C 解：将1z =代入2
2
0x y z +-=得到2
2
1x y +=，此时图形为圆。
3、D 解：用极坐标计算方便，
2222440011
()242a D
I x y dxdy d r rdr a a πθππ=+==?=????
4、A 解：利用曲线积分的性质，则
3
666(0)92
L L
ds ds ==?-=?? 5、B 解：由莱布尼兹判别法可得到级数∑∞
=-1
1)1(n n
n 收敛，但1111(1)
n n n n n ∞∞
==-=∑∑ 发散 ，所以
∑∞
=-1
1
)1(n n
n
是条件收敛。 6、D 解：二重积分定义式
1
(,)lim (,)n
i
i
i
i D
f x y d f λ
σξησ→==?∑??中的λ是分割细度，代表
的是n 个小闭区域直径中的最大值。
7、B 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
()()1
1110
x
y
dx f x,y dy dy f x,y dx --=?
?
??
8、A 解：2
2
2z x y =+在三维空间里表示的是抛物面。
9、B 解：),(y x f z =在点),(00y x 可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。 10、C 解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周21y x =--的曲线积分
221
()122
L
L
x y ds ds ππ+==
?=?
? 11、B 解：若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，由收敛的性质A,C,D 三个选项依然是收敛的，而
1
(2)
n
n a
∞
=+∑未必收敛，或者排除法选择B 。 12、C 解：二重积分的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量的字
母表达没关系。
13、B 解：利用平行向量对应的坐标成比例，),2,4,(),1,2,1(-=-=→
→x b a 则x =2
14、B 解：将1y =代入2
2
2
z x y =+得到22
1z x =+代表的图形为双曲线。
15、B 解：对y 求偏导时，x 看作常数，)arctan(y x z +=，则
y z ??=2
)(11y x ++ 16、A 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
2
1110
y dy f (x,y )dx dx f (x,y )dy =?
?
??
17、C 解：利用级数收敛的定义可得
1
n
n n n u
lim S ∞
→∞
==∑
18、D 解：利用曲线积分的性质，被积函数关于x 是奇函数，由对称性，可得则曲线积分
20L
I xyds =
=?
19、A 解：直线方程为
2
10z
y x ==，则原点坐标(0,0,0)满足方程，该直线必过原点，直线的方向向量为(0,1,2) ，x 轴的方向向量为(1,0,0)，又因为(0,1,2)(1,0,0)0?=，所以直线过原点且x ⊥轴。
20、C 解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也可。
2234311242x t
x y z t y t z t
=+?---?
===?=+??=+?
代入260x y z ++-=得1t =-?交点坐标为（1，2，2）
21、A 解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续?可微?连续；或者 偏导数连续?可微?偏导数存在
22、B 解：2211tan ~n n ?21
1
tan n n ∞
=∑绝对收敛。
23、B 解：对y 求偏导时，x 看作常数，sin z x y =?
z
y
?=?cos x y ，
代入点的坐标1,42
z y
π?? ???
?=
? 24、C 解：221cos ~2a a n n ??-? ???级数1
(1)1cos n n a n ∞
=??-- ???∑绝对收敛。 25、B 解：221(1)~(1)(1)n
n n k n k n n n +--+-?级数∑∞=+-1
2)1(n n n n k 条件收敛 26、C 解：交换积分次序后计算简单
()2
2
2
2211
11
120
01111
12202
y
y y y y y x
dx e dy dy e dx e ydy e dy e e ==?=
==-?
?????
二、填空题
1、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
000
12 x x x x
y y y y
→→→→
→→→→
==== 2、2cos(23)
x y
+解：对x求偏导时，y看作常数，
sin(23)2cos(23)
z
z x y x y
x
?
=+?=+
?
3、)1
(4-
e
π解：用极坐标求解简单
22222
22
222
24
000
4
2
1
2(1)
20
x y r r r
x y
I e d d e rdr e dr e e
π
σθπππ
+
+≤
==?=?==-
?????
4、0 解：两个向量垂直，则点积为00
a b
→→
??=
5
、11
(,)
dy f x y dx
?解：画出积分域，再确定积分限
2
1
00
(,)
x
dx f x y dy=
?
?11
(,)
dy f x y dx
?
6、
3
2
解：
1
1
1
1113
3
2
()1
11
2322
11
23
n n
n
∞
=
+=+=+=
--
∑
7、
1
4
-解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公
因子，第四步利用连续性求解极限。
(
()
()
() 000
000
2244
lim lim
22
x x x
y y y
xy
xy xy
→→→
→→→
-+-+
==
++
1
4
x
y
→
→
=-=-
8、3cos(23)
x y
+解：对y求偏导时，x看作常数，
(23)
z sin x y
=+?
z
y
?
=
?
3cos(23)
x y
+
9、
?
?
y y dx y x f dy ),(10
解：画出积分域，再确定积分限
2
1
(,)x x dx f x y dy =
?
??
?
y y
dx y x f dy ),(10
10、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0
(2sin 3cos )0L
x y x ds +=?
11、 -1 解：
1
1()n
n u
∞
=+∑收敛101lim()lim n n n n u u →∞
→∞
?+=?=-
12、xy 解：设2
2
,x y u x y v x y uv +=-=?-= (,)f u v uv ?=(,)f x y xy ?= 13、1
2-
解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
00000
1111x x x y y y xy →→→→→→-+-+
==
12x y →→=-=-
14、 3 解： 两个向量垂直，则点积为00303a b x x →→
??=?-=?=
15、
33
22dx dy + 解：考查全微分的概念，先求两个偏导，求全微分，再代入定点
22
3
3
3333
33ln(),x y x y z x y z z x y x y =+?==++又因为x y dz z dx z dy =+
(1,1)
33
22
dz
dx dy ?=
+ 16、
?
?
x
x
dy y x f dx ),(10
解：画出积分域，再确定积分限
2
10
(,)y y dy f x y dx =
??
?
?
x x
dy
y x f dx ),(10
17、1
2S u -
解：
1
n
n u
S ∞
==∑111
n n u S u ∞
+=?=-∑()111
2n n n u u S u ∞
+=?+=-∑
18、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0，则sin 0L
I x yds ==?
19、 0 解：本题用到了连续函数的性质，等价无穷小的替代，
22
2222220
22(,)(0,0)
(,)(0,0)1cos()1cos()
lim
lim
()()x
y
x y x y x y x y x y e x y e →→-+-+=++2222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y →-+=+
2
22
22(,)(0,0)1()2lim 0()
x y x y x y →+==+
20、i j -+ 解：本题用到向量积的求解方法
,a i j b k =+=-, 则110001
i j k
a b i j ?==-+-
21、a 解：00sin()sin()
lim
lim 1x x y a y a
xy xy y a a x xy →→→→=?=?=
22、4- 解：0a b b a +=?=-，又2a =，cos 4a b a b π?
?=??=- 23
、
解：L 为连接
(1,0)与(0,1)两点的直线段，此线段的方程是1x y +=，此线
()1L
L
x y
ds ds ?+==??24、 2
解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因
子，第四步利用连续性求解极限。
22(,)(,)lim
lim
x y x y
→→=
(,)(0,0)
lim x y →=(,)lim 12x y →== 25、
12解：利用向量积的模的求解方法sin
341122
a b a
b π
?=?=??= 26解：利用向量积的模的几何意义，三角形的面积1
2
S AB AC =
? 101(1,4,1)
113
i j k
AB AC ?==----
11222S AB AC
∴=
?=
===
27、5 解：利用两点间的距离公式
125M M ===
28、 3 解：利用点积公式(3,1,2)(1,2,1)3223a
b →→
?=
--?-=-+
= 29、
1
2
解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
000000
11
11x x x y y y xy
→→→→
→→+-
000
12
x x y y →→→→====
30、 3
e 解：对x 求偏导时，y 看作常数，求完偏导以后代入已知点的坐标
2(,)(3)(1)(,)2(3)(1)xy xy xy x f x y x y x e f x y x y e x y e =-+-?=-++-??代入点的坐标
333(1,3)21(33)(11)3x f e e e =??-++-??=
三、解答题
1、（本题满分12分）
解：设(,,)23z
F x y z z e xy =-+-
则2x F y = ，2y F x = ，1z
z F e =-
对应的切平面法向量
(1,2,0)
(,,)
x y z n F F F →
=
代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+-=
或240x y +-=
2、（本题满分12分）
解 ：
2
1
x x y y
y
D
e
dxdy dy e dx =????
2
100
y x
y
ye dy ??
=?????
?? 10
y (ye y )dy =-?
1
202y y
y ye e ??=--???
?
1
2
=
3、（本题满分12分） 解：因为
22234u x x y z ?=?++ ， 23234u y x y z ?=?++ ，28234u z
z x y z ?=?++ u u u
du dx dy dz x y z
???=
++??? 所以222
238234234234z
du dx dy dz x y z x y z x y z =
++++++++
4、（本题满分12分） 解：=?-?+=→?x
f x f f x x )0,0()0,0(lim
)0,0(0
00
lim 0=?→?x x 同理 0)0,0(=y f 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。
=→=),(lim 0
2y x f x kx y 24242201lim k k
x k x kx x x +=+?→ ),(lim 0
y x f y x →→∴不存在
因此函数在（0，0）点不连续
5、（本题满分10分）
解： n n n n n n n )2
1
()2()12(
=<+ ，
而
∑∞
=1
)
21
(n n
是收敛的等比级数
∴原级数收敛
6、（本题满分12分）
解：设2
2
2
(,,)14F x y z x y z =++- 则2x F x = ，2y F y = ，2z F z =
对应的法向量
(1,2,3)
(,,)
x y z n F F F →
=
代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）
则法线方程：
123
123
x y z ---== 7、（本题满分12分） 解：???=
π
ρρρθ20
2
1
2d d I
42
1241
=π?ρ
15
2
=
π 8、（本题满分12分）
→
→?=?s d F W L
?
+-=
L
xdz ydy xdx
?
+-=
1
0224dt t tdt tdt
1
20
(23)t t dt =-?
6
5
-=
9、（本题满分12分）
x u sin yz '=，y u xz cos yz '= z u xy cos yz '=
x y z du u dx u dy u dz '''∴=++
sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz =++
10、（本题满分10分） 解：
111
(1)1
n n n n =-++
111...1223(1)
n S n n ∴=
+++??+ 11111(1)()...()2231n n =-+-++-+
1
11
n =-
+ 1
lim lim(1)11
n n n S n →∞→∞
∴=-
=+ 所以级数
1
1
(1)n n n ∞
=+∑的和为1
11、（本题满分12分）
解：设2
2
2
(,,)14F x y z x y z =++- 则2x F x = ，2y F y = ，2z F z =
对应的切平面法向量
(1,2,3)
(,,)
x y z n F F F →
=
代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则切平面方程：2(1)4(2)6(3)0x y z -+-+-=
或23140x y z ++-=
12、（本题满分12分） 解：因为
2
22222y xy x y
x y z y xy x y x x z +++=??+++=??；