广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题9
三角形
一、选择题
1. (茂名3分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,若DE=5,则BC=
A、6
B、8
C、10
D、12
【答案】C。
【考点】三角形中位线定理。
【分析】利用三角形的中位线定理求得BC即可。故选C。2.(茂名3分)如图,已知:45°<A<90°,则下列各
式成立的是
A、sinA=cosA
B、sinA>cosA
C、sinA>tanA
D、sinA<cosA
【答案】B。
【考点】锐角三角函数的定义,三角形的边角关系。
【分析】∵45°<A<90°,∴BC>AC。而sinA=BC
AB ,cosA=AC
AB
,∴sinA
>cosA。
又∵C=900,∴AB>BC>AC。而tanA=BC
AC
,∴sinA<tanA。故选B。
3.(深圳3分)如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
【答案】B 。
【考点】相似三角形的判定。 【分析】如B 图△EFG 和△ABC 中,∠EFG=∠ABC=1350,
AB CB
2 ,
EF 1GF ==,AB CB EF GF
∴=。 EFG ABC ∴??∽。实际上, A ,C ,D 三图中三角形最大角都小于∠ABC,
即可排它,选B 即可。
4.(深圳3分)如图,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O 为BC 、EF
的中点,则AD :BE 的值为
A. :1
B. :1
C.5:3
D.不确定
【答案】A 。
【考点】等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】连接AO ,DO 。设等边△ABC 的边长为a ,等边△ABC 的边长
为b 。
∵O 为BC 、EF 的中点,∴AO、DO 是BC 、EF 的中垂
线。∴∠AOC=∠DOC=900,∴∠AOD=1800—∠COE 。又
∵∠BOE=1800—∠COE,∴∠AOD=∠BOE。
又由AO 、DO 是BC 、EF 的中垂线,
得OB=12a ,OE=12b ,,。
从而OA OD OA OD 223 , AOD BOE 11OB OE OB OE 22
a b ===∴=∴??。∽。∴AD:
。故选A 。
5.(台山3分)如图,已知AB∥CD,AB=CD ,AE=FD ,则图中的全等三
角形有
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
【答案】C 。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】①∵AB∥CD,∴∠A=∠D。又∵AB=CD,AE=FD ,∴?ABE≌?DCF
(SAS )。②∵AE=FD,∴AF=DE。又∵AB=CD,∠A=∠D,∴?ABF≌?DCE
(SAS )。③∵?ABE≌?DCF ,∴BE=CF。∵?ABF≌?DCE ,∴BF=CE。又
∵EF=FE,∴?BEF≌?CFE (SSS )。故选C 。
6.(台山3分)如图是5×5的正方形网络,以点D 、E 为两个顶
点作位置不同的格点三角形,使所作的格点三角形与△ABC 全等,
这样的格点三角形最多可以画出
A 、2个
B 、4个
C 、6个
D 、8个
【答案】B 。
【考点】全等三角形的判定,格点
问题。
【分析】如图所示:
故选B 。
7.(台山3分)如图,已知△ABC 的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是
A 、甲乙
B 、甲丙
C 、乙丙
D 、
乙
【答案】C 。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】根据全等三角形SAS
和AAS 的判定,乙、丙两个三角形和△ABC
全等。故选C 。
8.(台山3分)如图,是用4个全等的直角三角形与1个小正
方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方
形面积为4,若用X 、Y 表示直角三角形的两直角边(X >Y ),
请观察图案,指出以下关系式中不正确的是
A 、X 2+Y 2=49
B 、X -Y =2
C 、2XY +4=49
D 、X +Y =13
【答案】D 。
【考点】勾股定理,代数式变形。
【分析】A 、由勾股定理可知,X 2+Y 2=49成立,选项正确。
B 、因为小正方形的面积为4,因此边长2。从图中可知直角
三角形的两直角边之差等于小正方形的边长,即X -Y =2,选项正确。
a a c 丙?72?50 乙?50甲a ?507250???58c a C B
A
C 、由B 有X 2-2XY +Y 2=22,即49-2XY =4,即2XY +4=49,选项正确。
D 、因为(X +Y )2=X 2+2XY +Y 2=X 2+Y 2+2XY =49+45=94,所以X +Y
故选D 。
二、填空题
1. (广东省4分)如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正
六角星形AFBDCE ,它的面积为1;
取△ABC 和△DEF 各边中点,连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1,如图(2)
中阴影部分;取△A 1B 1C 1和
△D 1E 1F 1各边中点,连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2,如图(3)中阴影部
分;如此下去…,则正六角星形
A 4F 4
B 4D 4
C 4E 4的面积为______▲______.
【答案】1256。 【考点】相似形面积比是对应边的比的平方,类比归纳。
【分析】∵正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2边长是正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 边长
(1)
D
D D
E (2) (3)
的1
,
2
∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的1
。
4
同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的
1
,
16
∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的
1
。
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2.(茂名3分)如图,在高出海平面100米的悬崖顶
A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为
45°,则船与观测者之间的水平距离BC= ▲ 米.
【答案】100。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,
∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米。
3.(茂名3分)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、
C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=▲
度.
【答案】15。
【考点】等边三角形的性质,三角形的外角性质,等腰三角形的性质。【分析】根据等边三角形三个角相等的性质,可知∠ACB=60°,根据等腰三角形底角相等的性质即可得出∠E的度数:∵△ABC是等边三
角形,∴∠ACB=60°,∠ACD=120°。又∵CG=CD,∴∠CDG=30°,∠FDE=150°。又∵DF=DE,∴∠E=15°。
4.(深圳3分)如图,△ABC 的内心在y 轴上,点C 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0,2),直线AC 的解析式为112
y x =-,则tanA 的值是 ▲ . 【答案】13
。
【考点】三角形的内心,等腰直角三角形的性质,勾股定理,一次函数,锐角三角函数。
【分析】过A 作AE ⊥X 轴于E ,AC 交Y 轴于D ,AB
交X 轴于F 。
∵点C 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0,2),
∴∠OCB=∠OBC=45o,
又∵△ABC 的内心在y 轴上,∴∠OBF=∠OBC=45o。
∴∠ABC=90o,BF=BC=
CF=4,EF=EA 。
又∵直线AC 的解析式为112y x =-,∴OD:OC=1:2。
∵A 点在直线AC 上,∴AE:EC=1:2,即AE :(EF+CF )=AE :(AE+4)=1:2。
解之,EF=AE=4
∴在Rt △ABC 中,tanA=
BC 1AB 3== 。 5.(湛江4分)如图,点B ,C ,F ,E 在同直线上,∠1=∠2,
BC=EF ,∠1 ▲ (填“是”或“不是”)∠2的对顶
角,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,可以是▲(只需写出一个)
【答案】不是,AC=FD(答案不唯一)。
【考点】全等三角形的判定,对顶角、邻补角的定义。
【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角.要使△ABC≌△DEF,已知∠1=∠2,BC=EF,则只需补充AC=FD或∠BAC=∠FED都可,答案不唯一。
6.(肇庆3分)在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB=____▲_____.
【答案】15。
【考点】勾股定理。
【分析】根据勾股定理,直接得出结果
:
AB15
=。
三、解答题
1. (广东省6分)已知:如图,E,F在AC上,AD//CB 且AD=CB,∠D=∠B.
求证:AE=CF.
【答案】证:∵AD//CB,∴∠A=∠C。
又∵AD=CB,∠D=∠B.
∴△ADF≌△CBE(ASA)。∴AF =CE 。
∴ AF+FE =CE+FE,即AE=CF。
【考点】全等三角形的判定和性质,等量变换。B C
D A
F
E
【分析】要证AE=CF ,只要AF =CE 经过等量变换即
可得。而要证AF =CE ,只要证△ADF≌△CBE 即可,
△ADF≌△CBE 由已知条件易证。
2. (广东省7分)如图,小明家在A 处,门前有
一口池塘,隔着池塘有一条公路l ,AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l. 小明测量出∠ACD=30o,∠ABD=45o,BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度(精确到0.1m ;参考数据:414.12≈,732.13≈).
【答案】解:∵∠ABD=45o,∴AD=BD。∴DC=AD+50。
∴
在Rt ?ACD 中
,0A D A D 3t a n A C D = A D 50A D ∠++即即, 解之,得
【考点】解直角三角形,450角直角三角形的性质,特殊角三角函数,根式化简。
【分析】根据450角直角三角形的性质得到AD=BD ,从而在Rt ?ACD 中应用特殊角三角函数即可求解。
3.(广东省9分)如图(1),△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形,AC 与DE 重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90o,固定△ABC,将△DEF 绕点A 顺时针旋转,当DF 边与AB 边重合时,旋转中止.现不考虑旋
转开始和结束时重合的情况,设DE ,DF(或它们的延长线)分别交
BC(或它的延长线) 于G ,H 点,如图(2)
图(1) B H
F A
G C E C B F A 图(2)
(1)问:始终与△AGC 相似的三角形有 及 ;
(2)设CG=x ,BH=y ,求y 关于x 的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由)
(3)问:当x 为何值时,△AGH 是等腰三角形.
【答案】解:(1)△HAB ,△HGA。
(2)∵△AGC∽△HAB,∴AC GC HB AB =,即9=9
x y 。
∴81=y x
。
0 ∴y 关于x 的函数关系式为 (81 =0y (3)①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底 角时,如图1, 可知BC CG 2x === ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2, 在△HGA 和△AGC 中 ∵∠AGH=∠CGA,∠GAH=∠C=450, ∴△HGA∽△AGC。 ∵AG=AH,∴CG AC 9x === ∴当x 或9x =时,△AGH 是等腰三角形。 【考点】三角形外角定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理,几何问题列函数关系式,等腰三角形的判定。 【分析】(1)在△AGC 和△HAB 中, ∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC, ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC, ∴∠AGC=∠BAH。 又∵∠ACG=∠HBA=450,∴△AGC∽△HAB。 在△AGC 和△HGA 中, ∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF, ∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF, ∴∠CAG=∠H。 又∵∠AGC=∠HGA,∴△AGC∽△HGA。 (2)利用△AGC∽△HAB 得对应边的比即可得。 (3)考虑∠GAH 是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。 4.(佛山6分)如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,连结 CD ,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,求AC 的长; 【答案】解:在?ABC 和?ACD 中, ∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴?ABC∽?ACD 。 ∴AC AD AB AC =。∴AC 2=AD·AB=AD·(AD+BD )=2×6=12 A D B C ∴AC =。 【考点】相似三角形的判定与性质。 【分析】根据相似三角形的判定与性质,可证明△ACD∽△ABC,则 AC AD AB AC =,即得出AC 2=AD·AB,从而得出AC 的长。 5.(广州9分)如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且AE =AF . 求证:△ACE≌△ACF. 【答案】证明:∵AC 是菱形ABCD 的对角线, ∴∠FAC=∠EAC, ∵AC=AC,AE=AF , ∴△ACE≌△ACF(SAS )。 【考点】菱形的性质;全等三角形的判定。 【分析】根据菱形对角线的性质,可知一条对角线平分一组对角,即∠FAC =∠EAC ,再根据SAS 即可证明 △ACE≌△ACF。 6.(河源6分)某校九年级数学兴趣小组的同 学开展了测量东江宽度的活动。如图,他们在河东岸 边的A 点测得河西岸边的标志物B 在它的正西方向, 然后从A 点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C 处,测得B 在点C 的南偏西60° 的方向上,他们测得东江的宽度是多少米? 1.414 1.732≈) 【答案】解:依题意,有AC=200,∠ACB=600,AB tan ACB AC ∠=, 北西东 ∴ AB AC tan ACB200tan60200200 1.732346.4346 =?∠=?=?=≈。 答:他们测得东江的宽度是346米。 【考点】解直角三角形,特殊角三角函数值。 【分析】根据锐角三角函数的定义,直接计算得出结果。 7.(河源7分)如图,点P在平行四边形ABCD的CD边上,连结BP 并延长与AD的延长线交于点Q. (1)求证:△DQP∽△CBP; (2)当△DQP≌△CBP,且AB=8时,求DP的长. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC。∴∠Q=∠C BP。 又∵∠QPD=∠CPB,∴△DQP∽△CBP。 (2)∵△DQP≌△CBP,∴QD=BC。 又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,DC∥AB。 ∴QD=AD,∴DP是△QAB的中位线。∴DP=11 =?=。 AB84 22 【考点】平行四边形的性质,平行的性质,相似三角形的判定,对顶角的性质,全等三角形的性质,三角形中位线的性质。 【分析】(1)要证△DQP∽△CBP,只要证两组对应角分别相等。一方面∠QPD和∠CPB是对顶角,是相等的;另一方面由于四边形ABCD是平行四边形可得对边平行,从而内错角∠Q和∠CBP相等。因此得证。 (2)只要证明DP是△QAB的中位线,就可求得。 8.(河源9分)如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动 点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD. ;(直接(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP= ___________ 写结果) (2)连结AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?请说明 理由; (3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小 是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明) 【答案】解:(1) a。 (2)α的大小不随点P的移动而变化。理由如下: 设AD与CP相交于点S。在△APD和△CPB中, ∵AP=CP,∠APD=∠CPD+600=∠CPB,DP=BP, ∴△APD≌△CPB(SAS)。∴∠PAD=∠PCB,即∠SAP=∠SCQ。 在△SAP和△SCQ中,∵∠SAP=∠SCQ,∠ASP=∠CSQ, ∴△SAP∽△SCQ。∴α=∠AQC=∠APC=600。 即α的大小不随点P的移动而变化,总等于600。 (3)若点P 固定,将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转(旋 转角小于180°),此时α的大小不会发生变化, 总等于600。 【考点】三角函数,二次函数的最小值,全等三角形 的判定和性质,相似三角形的判定和性质,旋转的性 质。 【分析】(1)设△APC 与△PBD 的面积之和为S ,AP=x ,PB=2a —x , 则△APC x ,△PBD )2a x -。 ()))2 22211=2222S x a x a x x a ?+?--+-+。 ∴当=x a 时,S 有最小值。 (2)要证∠AQC=α不变化,只要证∠AQC=∠APC=600,只要△SAP∽△SCQ。在△SAP 和△SCQ 中,一方面∠ASP 和∠CSQ 是对顶角,是相等的;另一方面∠SAP 和∠SCQ 是三角形△APD 和△CPB 的对应角,由已知易证它们是全等的。从而得证。 (3)考虑到图形旋转后,大小和形状都不发生变化,基于 (2)同样的理由可以证明。 9.(茂名8分)如图,在等腰△ABC 中,点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点,连接AE 、BD 相交于点O ,∠1=∠2. (1)求证:OD=OE ; (2)求证:四边形ABED 是等腰梯形; (3)若AB=3DE ,△DCE 的面积为2,求四边形ABED 的面积. 【答案】解:(1)证明:如图,∵△ABC 是等腰三角形,∴AC=BC,∴∠BAD=∠ABE。 又∵AB=BA、∠2=∠1,∴△ABD≌△BAE (ASA )。∴BD=AE。 又∵∠1=∠2,∴OA=OB。∴BD﹣OB=AE ﹣OA ,即:OD=OE 。 (2)证明:由(1)知:OD=OE ,∴∠OED=∠ODE。∴∠OED=(180°﹣∠DOE)。 同理:∠1=(180°﹣∠AOB)。 又∵∠DOE=∠AOB,∴∠1=∠OED。∴DE∥AB。 又∵AD、BE 是等腰三角形两腰所在的线段,∴AD 与BE 不平行。 ∴四边形ABED 是梯形。 又由(1)知,△ABD≌△BAE,∴AD=BE。 ∴梯形ABED 是等腰梯形。 (3)由(2)可知:DE∥AB,∴△DCE∽△ACB。 ∴2DCE ACB S DE S AB ????= ???,即2 ACB 2DE 1S 3DE 9???== ??? ∴ACB S ? =18。 ∴ACB DEC ABED S S S 18216??=-=-=四边形。 【考点】相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,等腰梯形的判定。 【分析】(1) 如图,由△ABC 是等腰三角形,得到∠BAD=∠ABE,,然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE,由全等三角形的性质得到BD=AE ,又由∠1=∠2得到OA=OB ,由此即可证明OD=OE 。 (2)由(1)的OD=OE 根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE,根据三角形的内角和得到∠OED=(180°﹣∠DOE),∠1=(180°﹣∠AOB),而∠DOE=∠AOB,所以得到∠1=∠OED,然后利用平行线的判定得到DE∥AB,最后证明AD 与BE 不平行,这样就可以证明梯形ABED 是等腰梯形。 (3)由(2)可知DE∥AB,然后得到△DCE∽△ACB,接着利用相似三角形的性质即可求出△ACB 的面积,然后就可以 求出四边形ABED 的面积。 10(清远6分)如图,小明以3米/秒的速度从山脚A 点爬到山顶B 点,已知 点B 到山脚的垂直距离BC 为24 米,且山坡坡角∠A 的度数为 28o,问小明从山脚爬上山顶需要多少时间?(结果精确 到0.1).(参考数据:sin28o=0.46,cos28o=0.87, tan28o=0.53) 【答案】解:在Rt△ABC 中,BC =24,∠A=28o, ∴ AB=BC÷sin∠A=24÷sin28o=24÷0.46≈52.18 ∴小明从山脚爬上山顶需要时间=52.183÷3≈17.4 (秒) 答:小明从山脚爬上山顶需要17.4秒。 【考点】解直角三角形。 【分析】直接在Rt△ABC 中应用正弦函数求解。 11.(湛江10分)五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加 A C 社会实践活动,在景点P 处测得景点B 位于南偏东45°方向;然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A ,此时测得景点B 正好位于景点A 的正南方向,求景点A 与B 之间的距离.(结果精确到0.1米) 【答案】解:由题意可知:作PC⊥AB 于C ,则 ∠ACP=∠BCP=90°,∠APC=30°,∠BPC=45°. 在Rt△ACP 中,∵∠ACP=90°,∠APC=30°, ∴AC=12AP=50, 在Rt△BPC 中,∵∠BCP=90°,∠BPC=45°, ∴AB=AC+BC=50+ . 答:景点A 与B 之间的距离大约为136.6米。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】对于解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线。故由已知作PC⊥AB 于C ,可得△ABP 中∠A=60°∠B=45°且PA=100m ,要求AB 的长,可以先求出AC 和BC 的长。 12.(珠海7分)如图,在鱼塘两侧有两棵树A 、B ,小华要测量此两 树之 间的距离.他在距A 树30 m 的C 处测得∠ACB=30°,又在B 处测得 ∠ABC =120°.求A 、B 两树之间的距离 (结果精确到0.1m ) 【答案】解:作BD⊥AC,垂足为点D 。 ∵∠C=30°,∠ABC=120°,∴∠A=30°。 ∴AB=BC 。∴AD=CD= 1 2 AC= 1 2 ×30=15 。 在Rt△ABD中,∵cosA= AD AB , ∴ AB= AD cosA =17.3 =。 答:A、B两树之间的距离约为17.3m。 【考点】等腰三角形的判定和性质,解直角三角形。 【分析】根据已知条件可得△ABC是等腰三角形,则作BD⊥AC,垂足为点D,在Rt△ABD中。解直角三角形即可求得A、B两树之间的距离。