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几种插值法的应用和比较论文(数学类)

几种插值法的应用与比较

作者：*** 指导老师：***

摘要本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点.通过对数学插值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择合适的插值法.

关键词拉格朗日插值重心拉格朗日插值分段线性插值

1 引言

在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法.

由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式.

2拉格朗日插值法

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.

2.1 拉格朗日插值多项式

图1

已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零.

对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差

))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.

对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：

),(00y x ,……,),(k k y x ,

其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值.

假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

)()(0

x l y x L j k

j j ∑==，

其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

)()

()()()()()()()(111100,0k

j k j j j j j j j k

j i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏

，拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例2.1.1假设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：

10)4(=f ，

? 25.5)5(=f ， ?

1)6(=f ，

要求)18(f 的值.

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

())64)(54()

6)(5(0----=x x x l ；

())65)(45()

6)(4(1----=x x x l ；

())

56)(46()

5)(4(2----=

x x x l ；

然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：

)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=

)

56)(46()

5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----?+----?+----?

=x x x x x x

)13628(4

+-=

x x ，此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .

2.2 插值多项式的存在性与唯一性

存在性

对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ，而在其他点取值都是0.而多项式()∑==

j j

j x l

y x L 0

)(就可以满足

∑==++++==k

i j j j i y y x l y x L 0

000)()( ，

在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：

)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+- ，

它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ .由于已经假定i x 两两互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：

)

()

()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i

j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=

--=++--∏

，这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性

次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式

)())((10k x x x x x x --- 的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就一定不小于

1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以

021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.

2.3 几何性质

拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10 （由某一组n x x x <<< 10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的一组基底.首先，如果存在一组系数：n λλλ,,,10 使得，

01100=+++=n n l l l P λλλ ，

那么，一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100 的拉格朗日插值多项式，另一方面p 是零多项式，所以取值永远是0.所以

010====n λλλ ，

这证明了n l l l ,,,10 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10 构成了[]X n K 的一组基底.

拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.

2.4 优点与缺点

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，

非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.

3 重心拉格朗日插值法

重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中，运用多项式

)())(()(10k x x x x x x x l ---= ，

图（2）

拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）可以将拉格朗日基本多项式重新写为：

∏

≠=--=

i i i j j

j x x x x x l x l ,0)

)()(，

定义重心权

∏

≠=-=

k j

i i i j j x x ,0)

ω，

上面的表达式可以简化为：j

j x x x l x l -=ω)

()(，

于是拉格朗日插值多项式变为：j k

j j

y x

x x l x L ∑=-=0

)

()(ω ，（1）

即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重心权1+k ω，计算复杂度为

)(n O ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.

将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：

∑

=-=?k

j j

x x x l x g x 0

)()(,ω，

因为1)(≡x g 是一个多项式. 因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：

∑

==--=

k j j

x x x x x L 0

0)(ωω，（2）

这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小.

4 分段线性插值

对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.

4.1 问题的重述

已知2

)(x x g +=

,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.

1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；

2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；

3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；

4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.

4.2 问题的分析

在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下：

（1）利用已知函数式2

)(x x g +=

计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值（本题采用3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.

（2）分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进行对比.

4.3 问题的假设

为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：

（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量，叙用插值函数计算.

（2）为了得到理想的对比函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.

4.4 分段线性插值原理

给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<= 10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为

),1,0)((n k x f y k k ==；求一个分段函数)(x I k ,使其满足：

(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k =；

(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.

易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k =

1111)(++++--+--=

k k

k k k k k h y x x x x y x x x x x I ,

于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其一阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数：

)()(0

x l y x I n

i i i n ∑==,

其中

????

?=≤≤--=≤≤--=+++---.

,0;,

;0,111

1其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x x

x x x l i i i i i i i i i

i i

4.5 问题的求解

在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令

为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’)

函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是一个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法，包括：

linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线让选取对应

插值点的数.

nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点

远时,取前点的值,否则取后点的值.

cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值. spline ：3次样条插值.在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插

值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.

运用Matlab 工具软件编写代码，并分别画出图形如下： (一)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：

-10-5

00.20.40.60.81分段线性插值

g(x)y1-10

-5

0510-0.50

0.513次样条插值

g(x)y2

-10

-5

00.20.40.60.81最近点插值

g(x)y3

-10

-5

0510

00.20.40.60.813次多项式插值

g(x)y4

（二）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：

-10-5

1000.20.40.60.81

-10

-5

051000.20.40.60.81

-10

-5

00.20.40.60.81最近点插值

-10

-5

0510

00.20.40.60.813次多项式插值

g(x )y1

g(x )y2

g(x )y3

g(x )y4

（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：

-10-5

1000.20.40.60.81分段线性插值

-10

-5

1000.20.40.60.813次样条插值

-10

-5

00.20.40.60.81最近点插值

-10

-5

00.20.40.60.813次多项式插值

g(x )y1

g(x )y2

g(x )y3

g(x )y4

（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值

-10-5

1000.20.40.60.81

g(x )y1

-10

-5

051000.20.40.60.81

g(x )y2

-10

-5

00.20.40.60.81最近点插值

g(x )y3

-10

-5

0510

00.20.40.60.813次多项式插值

g(x )y4

4.6 插值方法的优劣性分析

从以上对比函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下，阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点：

优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.

2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍入误差影响不大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点

缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连

续)，从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.

结束语

插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值微分、微分方程数值解等数值的基础与工具.由于多项式具有形式简单，计算方便等许多优点，故本文主要介绍多项式插值，它是插值法中常用和最基本的方法.

拉格朗日插值多项式的优点是表达式简单明确，形式对称，便于记忆.它的缺点是如果要想增加插值节点，公式必须整个改变，这就增加了计算工作量.

由于高次插值多项式具有数值不稳定的缺点（龙格插值），高次插值多项式的效果并非一定比低次插值好，所以当区间较大、节点较多时，常用分段低次插值，如分段线性插值和分段二次插值.由于分段插值是局部化的，即每个节点只影响附近少数几个间距，从而带来了计算上的方便，可以步进地进行插值计算.同时也带来了内在的高度稳定性和较好的收敛性，因此它是计算机上常用的一种算法.分段插值的缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性.

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Equivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by L'Hospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be simply and avoid error in application. Keywords:equivalent infinitesimal;limitation;l'hospital's rule; comparison test;superiority.

谈学生数学语言表达能力的培养

谈学生数学语言表达能力的培养谈学生数学语言表达能力的培养语言是思维的工具，也是思維的结果。思维的发展与语言的表达有着密切的关系。人们对事物的认识过程、思维的结果都是通过语言表达出来的。在数学课堂教学和课外辅导中，常常会有这样的情形，学生对自己所掌握的知识说不出，对于自己不懂的地方提不出问题。这表明我们的学生数学语言表达能力欠佳，俗语说：“想得清的人才会说得清，说得清的人必定想得清”。学生在说话的同时，就会伴随记忆、想象、分析、综合等一系列的思维活动，这也是对思维活动的一种整理和自我检查，因此好的数学语言表达能力会促进学生思维的灵活性的发展，同时直接影响着学生学习数学的积极性，影响着课堂教学效果。所以，教师在课堂教学中要特别重视对学生数学语言表达能力的培养。那么如何培养学生的数学语言表达能力呢？ 1、创造和谐的课堂环境，让学生敢说在课堂教学中，我们最常见的现象是有的学生因为准备不足无话可说，有的学生因为怕回答不好或回答不完整被老师批评、被同学嘲笑，这些因素的存在，阻碍了学生语言表达能力的正常发挥，进而影响健康的交际心理的形成。美国心理学家罗杰斯说过：成功的教育依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐的安全的课堂气氛。在教学中，教师应该重视课堂人文环境的建设，把平等、自由、民主、尊重、信任、友善、理解、宽容、关爱这些人文因素注入

课堂，营造一个接纳的、支持的、和谐的课堂气氛，使学生产生安全感、宽松感、愉悦感。研究表明，在愉快轻松、平等民主的气氛中，学生发现问题、积极探索的心理取向得到激活。只有在这种氛围里，学生才会感到有话可说，感到自己的尊严。在教学中，教师放下架子，不再有一副“师道尊严”的面孔，不再把自己当作权威，让学生感觉老师是他们的朋友，在朋友面前什么都可以说，学生自然就无拘无束，敢说出自己的想法。当学生主动说之后老师一定要对每一位学生的回答有所反应，对说得不好的学生给予鼓励和帮助，使其充满信心，增大勇气，不怕说错，大胆表达。当学生说不出时，可以和蔼地说：“不要紧，慢慢想，下次你一定能说的。”；本文由收集整理当学生说得不太完整时，要帮助地说：“不错，如果你能注意到某个地方，答案就更完整了。”；当学生说错时，要友善地说：“没关系，你可能某个地方没有考虑清楚，再想一想。”；当学生有独到见解时，教师应该毫不吝啬地给予表扬和鼓励：“你真肯动脑，有新意。”当学生中出现彼此嘲笑的现象时，教师应及时进行了教育，让学生认识到嘲笑别人是不文明、不礼貌的行为，明白每个人在学习过程中都难免会出错，不应该嘲笑别人。在这样的环境中，学生逐步形成良好的、健康的交际心理，为语言表达能力的培养提供了可靠的保证。同时，为学生下次主动说打好了基础，从而养成了把自己的想法主动的说出来的习惯。 2、培养学生理解数学语言的能力。

数学与应用数学专业毕业论文

洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文学号1322060006 编号201522060006分类理工 LUOY ANG NORMAL UNIVERSITY 成人教育本科生毕业论文Adult Education B achelor’s Thesis 论文题目多项式理论在初等数学中的应用作者姓名郭莉娜指导教师所在院系数学科学学院专业名称数学与应用数学完成时间2015年3月20日

多项式理论在初等数学中的应用潇洒（指导教师：张永新）（洛阳师范学院数学科学学系河南洛阳 435002）摘要：多项式理论是高等代数的主要内容之一，它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题。本文将从因式分解、一元高次方程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的教师提供帮助。关键词:因式分解一元高次方程多项式的恒等艾森斯坦判断法

多项式理论在初等数学中的应用多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它.但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为，“教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题. 本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用. 1 判断能否分解因式多项式的因式分解是指在给定的数域F 上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如多项式22 -x 在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘积，但这个多项式在实数域上可约，因为)2)(2(22+-=-x x x . 因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨. 1.1 待定系数法按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数. 例1 判断43 281x x x -+-在有理数域上能否分解因式. 解令 43 ()281f x x x x =-+-，因为(1)0f ±≠，所以()f x 无一次因式.若一个整系

数学课堂语言表达的重要性

数学课堂语言表达的重要性在平时的课堂教学中，我们常常会遇到这种情况：学生在课堂上回答问题时，语无伦次，心里想表达的话说不出来。急得满头是汗，眼往天上翻。这种现象充分说明了学生的课堂语言表达能力很差，数学语言以严谨清晰，精练准确而著称。数学语言能力既是数学能力的组成部分之一，又是其它各种数学能力的基础，对学生学习数学知识，发展数学能力有重要作用。一、掌握数学语言是学习数学知识的基础。一方面，数学语言既是数学知识的重要组成部分，又是数学知识的载体。各种定义、定理、公式、法则和性质等无不是通过数学语言来表述的。离开了数学语言，数学知识就成了“水中月，镜中花”。另一方面，数学知识是数学语言的内涵，学生对数学知识的理解、掌握，实质是对数学语言的理解、掌握。一个对数学语言不能理解的人是绝对谈不上对数学知识有什么理解的。二、掌握数学语言有助于发展思维能力。在人的各种心理品质中，思维是核心，语言是思维的物质外壳，什么样的思维依赖于什么样的语言。具体形象的语言有助于具体形象思维的形成；严谨缜密、具有高度逻辑性的数学语言则是发展逻辑思维的“培养液”。数学语言的特点决定了它对思维品质的形成有重要作用。严谨、准确是培养思维的逻辑性、周密性与批判性的“良方”；清晰、精练对培养思维的独立性与深刻性有特效。三、掌握数学语言是解决数学问题的前提。学会数学思考，“培养运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科中的问题”是数学教学的重要任务。解决问题的过程是一个严密的推理和论证的过程，正确地理解题意，寻找相关条件，分析条件与问题之间的关系，有关知识的再现，直至解答过程的表述等，处处离不开数学语言。四、掌握数学语言有助于学生非智力因素的培养。数学语言表面上显得枯燥乏味，其实具有自己的特点，蕴藏着丰富的内涵有一种内在的美感。充分理解、掌握它，就能领略其中的微妙之处，感受其中的美的意境，从而激起学习、探究的兴趣。此外，掌握数学语言还有助于培养良好的

数学与应用数学专业毕业论文

数学与应用数学浅谈数学学习兴趣和课堂效率的提高 [摘要]：认识兴趣是力求认识世界，渴望获得文化科学知识和不断探求真理而带有情绪色彩的意向活动。一个人对一件事的热爱往往从兴趣开始的，如果学生能够有兴趣的学习，并在学习活动中体验愉悦，体验成功，那么他就会坚持不懈，继续学习，直到成功。因而对教师来说，要提高数学课堂效率，首先应培养并激发学生学习数学的兴趣。兴趣的激发是课堂效率的保证。 [关键词]：中学数学学习兴趣的激发课堂效率的提高 1、前言在素质教育理念和《新课标》标准的指导下，怎样才能让数学的学习最大程度的激发？怎样培养学生的创新能力和创造能力呢？怎样才能提高课堂效率？为此我对中学生进行了问卷调查。这些所有的问题都要回归到学生的学习兴趣上来，正所谓：“兴趣是最好的老师。”学习兴趣是一个人力求认识世界，渴望获得科学文化知识的意向活动。对所学的知识产生浓厚的兴趣，才会产生学习的积极性。古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”如果老师的讲解枯燥无味，晦涩难懂，学生的注意力就很难保持长久。要巩固学生的注意力，必须使他们对所学的知识产生兴趣。因此，中学数学的课堂教学的首要任务是学生的兴趣的激发。 2、现状 2.1 数学学习情况的调查为了了解现行中学数学课程的实施情况,为《数学课程标准》下中学数学的教学提供一些参考材料,抽样调查了初中学生的数学学习状况. 调查结果如下： 2.1.1 在数学学习态度和情感方面在所有课程中喜欢数学的占40.6% 课后喜欢问数学题的学生占26.3% 遇到数学难题总是努力思考的学生占66.2% 从调查中发现，真正对数学学习感兴趣、有信心、且自己感觉数学成绩好的学生只在25%--40%之间，还是有66%多的学生能按老师的要求克服困难，努力学习。但是仍有5.2%的学

数学与应用数学专业毕业论文参考题目

数学与应用数学专业毕业论文参考题目论文指导：选题，排版、大纲、查重QQ：951232671 A、 1、极限思想的产生和发展； 2、利用泰勒展式求函数极限； 3、数列极限和函数极限； 4、求函数极限的方法； 5、等价无穷小求函数极限； 6、求二重极限的方法； 7、三角函数的极值求法； 8、有界非连续函数可积的条件； 9、正项级数收敛的判别方法； 10、Riemann可积条件探究； 11、凸函数的几个等价定义； 12、函数的本质探讨； 13、数学概念的探究教学法； 14、学习《数学分析》的读书报告。 15、用复数证明几何问题； 16、用复数证明代数问题； 17、解析函数展开成幂级数的方法分析； 18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析； 19、利用残数定理计算一类实积分； 20、利用对数残数计算复积分； 21、利用辐角原理确定一类方程根的范围； 22、学习《复变函数论》的读书报告。 23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响（利用假设检验分析试验班的成绩显著水平）； 24、概率统计在教学管理中的应用； 25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平； 26、有理数域上多项式不可约的判定； 27、利用行列式分解因式。 28、n阶矩阵可对角化的条件； 29、有理数域上多项式的因式分解； 30、矩阵在解线性方程组中的应用； 31、行列式的计算； 32、求极值的若干方法； 33、数形结合法在初等数学中的应用； 34、反例在中学数学教学中的作用； 35、生成函数证明递归问题； 36、一类组合恒等式的证明； 37、一个组合恒等式的推广； 38、常生成函数的几个应用； 39、指数生成函数的几个应用； 40、学习《组合数学》的读书报告； 41、学习《离散数学》的读书报告； 42、论数学史的教育价值 43、学习《常微分方程》的读书报告；44、中学生数学学习目的及学习现壮的调查分析； 45、数学优秀生（或后进生）家庭内外状况的分析； 46、中学生数学学习习惯和学习状况的调查分析； 47、如何通过平面几何教学提高学生逻辑思维能力； 48、中学生的数学创新思维的培养； 49、在中学数学教学中渗透数学史的教育。 50.培养中学生解题能力的研究 51.数学应用题解题困难分析及教学策略研究 52.数学解题方法研究 53.关于整系数有理根的几个定理及求解方法 54.命题逻辑及其应用 55.一个实际问题的数学模型 56*方程的近似求解 57*容斥原理与鸽巢原理的应用 58*递推关系的求解及其应用 59*单纯形法在线性规划问题中的应用 60*动态规划解决最优化问题 61*矩阵初等变换的应用 62*多媒体在数学教学中的应用 63*高等数学在中学数学中的应用 B、 1.极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法； 2.一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分）； 3.数学分析中的一致收敛性及其应用； 4.对称性在积分计算（定积分、重积分、线、面积分）中的应用； 5.证明积分不等式方法总结． 6.邻接矩阵在图论中的作用 7.递推关系的解法研究 8.稳定完备婚姻的算法推广 9. 有向图的应用 10.浅谈集合论的发展及所思 11.浅谈数学建模在能力培养中的作用 12.从模糊控制的成功看控制的发展 13.加权平均的形式及作用 14.浅谈数学在计算机科学及应用中的作用 15.双曲几何中的测地线和测地圆周 16.初等几何学多媒体课件的设计与制作 17.曲面内蕴几何中的平移 18.二次曲线与二次曲面上的完全几何不变量系统 19.管状面上的整体标架场与Willmore不等式 20.等周不等式综述 C、 001 解析法在几何中的应用 002 变换法在几何中的应用 003 拓朴学思想方法对数学的作用 004 《数学实验》对数学教学的应用 005 中外数学教学方法比较 006 数学思想方法对数学教学的作用 007 中学数学新教材的分析与思考 008 正确数学观对数学的影响

浅谈数学语言表达能力的培养

浅谈数学语言表达能力的培养发表时间：2019-04-19T10:51:15.737Z 来源：《素质教育》2019年6月总第307期作者：王莹 [导读] 我们把整个学期中的新课、练习课中的所有内容都作为一个重要的任务来完成，说和写，同样重要，甚至说比写还要重要。山东省淄博市张店区绿杉园小学255022 从事小学数学教育十三余年，一直耕耘在小学数学这片沃土上。经过多年来的教育教学，发现孩子的数学语言表达能力与数学综合素养相辅相成，现将教学中的几点做法总结如下：一、基础练习日日说数学语言是具有科学性和逻辑思维的语言，那么在数学课堂中的数学概念、解题思路和推导过程等环节的数学语言就要求，规范、条理，清晰、简洁，所以，我们把整个学期中的新课、练习课中的所有内容都作为一个重要的任务来完成，说和写，同样重要，甚至说比写还要重要。二、单元总结条理说课堂小结是课堂教学的重要组成部分，通过小结能提高学生的综合概括能力，清晰地回忆出本课的要点。比如在课堂小结时，我们经常会问：“通过这堂课的学习，你有什么收获？”在单元整理复习知识框架的基础上，我是要求学生先自己整理、简单概括本单元的知识，再找到前后知识之间的联系，然后找出重点提醒的知识，最后准备每人认为比较难的知识和易出错的知识，形成自己的知识网络图或者思维导图。先把自主制作的知识网络图，讲给家长听，再在小组内讲清楚、讲明白，讲给同学听；最后全班交流补充。通过以上环节，不仅加深了对知识的理解，也发展了学生的学习能力。而且，经常进行有目的说的训练，可以提高学生的分析、概括、分类等逻辑思维能力，让整个教育效果更加高效。三、练习题目形象说在含有字母的式子中，数字和字母、字母和字母中间的乘号可以省略不写，学生都很明白，也不难理解，但当出现省略乘号的字母算式时，学生对算式表示的意思往往比较迷茫，特别是当代入字母求值时，学生容易直接把字母换成数字，而把乘号漏掉。我在教学这部分时，给学生讲，这个乘号不是没有了，而是“隐身”了，当把字母换成数字时，要让它“现原形”，不要再让它和我们“捉迷藏”了。经过这么生动的讲解，学生很轻松地记住了，学生也会在说题的过程中经常用到“隐身”、“现原形”来帮助加强记忆。总之，对学生数学语言表达能力的培养并非一朝一夕的事，学生能力的提高和习惯的养成，是一个循序渐进也是一个潜移默化的过程。这首先要学校和家长、学生，三力合一，才能形成教育的合力，得到事半功倍的效果。那么作为教师，也必须要在教学中深入钻研教材，积极示范引导，为学生提供规范的语言训练和学习的环境，多多增加使用数学语言的机会，从而才能发展学生的数学思维，不断地提高学生的数学语言表达能力。初中数学教学中如何培养学生的逆向思维能力樊润涛吉林省东辽县宴平乡中学校136200 摘要：在初中数学教学过程中，教师不能单纯地给学生传授知识，还要注意培养学生的思维能力。根据思维过程的指向性，思维可分为顺向思维和逆向思维，在运用顺向思维思考问题中遇到困难时，运用逆向思维，往往能使问题迎刃而解。关键词：初中数学逆向思维能力培养一、在数学概念教学中培养学生的逆向思维能力概念教学是初中数学教学中的一个重要的环节，初中学生受年龄、智力等方面的影响，遇到问题不善于逆向思考，在学习概念时往往习惯于顺向思维方式，导致对概念理解不足，解题思路匮乏，遇到问题时束手无策。教师在教学中应注重培养学生从顺向思维逐渐形成顺向、逆向双重思维的能力。数学中的概念、定义一般具有双向性，教师要注意引导学生进行逆向思考。在学习“绝对值”概念时，教师可以提问学生：“2和-2的绝对值分别是什么？”待学生回答后再追问：“一个数的绝对值是2，这个数是什么？”又如，在学习“互为余角”这一概念时，教师可以让学生思考：“如果∠A+∠B=90°，那么∠A、∠B互为余角吗？”然后反过来提问：“∠A、∠B互为余角，那么∠A+∠B等于多少度？”教师在概念教学中多一点引导，使学生养成逆向思考的习惯，学会找出知识中的区别与联系，加深对概念的理解，以后遇到问题时，就能逆向思考，提高掌握知识的能力。二、在数学定理、性质、公式教学中培养学生的逆向思维能力在初中数学定理学习的过程中，教师可以给学生进行顺向讲解，然后引导学生逆向思考，让他们说出逆命题，共同探讨逆命题是否正确。例如,在学习“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”时，教师可以设计练习题，已知斜边和直角边的关系是2∶1，让学生求直角三角形两个锐角的度数。这样的逆向思考，使学生能从多角度去学习这些定理、性质，加深对知识的理解，也使学生学到的知识更加全面。三、在课堂练习中培养学生的逆向思维能力课堂练习是学生对所学知识的巩固和运用，是训练逆向思维能力的重要环节。在课堂练习中遇到难题时，教师应引导学生从问题的相反方向去思考，这样在探求解决数学问题的方法的同时，既发展了顺向思维，又锻炼了逆向思维，实现了顺向、逆向思维的共同发展。例如，《平行四边形》这章的课堂练习题：“连接一个四边形各边中点的线段会组成什么图形？”通过顺向思考，画出图形，利用三角形中位线的知识，一般学生都知道得到的是平行四边形。此时，教师给出第二道题：“要使组成的图形是菱形，这个四边形要满足什么条件？”经过逆向思考，结合菱形的性质，部分学生得出答案：这个四边形要满足的条件是对角线相等。教师接着给出第三道题：“要使用组成的图形是正方形，这个四边形要满足什么条件？”学生有了前面的启发，结合正方形的性质，不难得出正确答案。通过课堂练习，教师引导学生循序渐进地去训练逆向思维能力，使学生能认识到问题的本质与知识间的联系，做到举一反

数学与应用数学毕业论文概要

开放教育数学与应用数学专业（本科）毕业论文小学数学教学浅析姓名：学校：学号：指导教师：定稿日期：2015年11月

目录摘要 (1) 关键词 (1) 一、激发潜能,童心育人 (2) 二、不泯童心,赏识育人 (3) 三、改观念,励创新 (4) 四、结论与建议:爱润童心,活动育人 (5) 五、面向全体,提升素质 (5) 参考文献 (6)

小学数学教学浅析 2015年11月摘要：小学数学教学是我国数学体系的基础部分，是实现我国数学目的任务的重要手段和途径，为培养全面发展的新世纪人才发挥着重要的作用。学校数学教学对于小学生来说它的作用很重要，既要对学生进行三基教学，又要对学生进行养成习惯的培养，让学生在学校的数学课堂中身体素质得到提高。关键词：小学数学小学教学著名基础教育学者叶澜曾说过：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。一般认为，数学是一门比较成熟的学科，以至于人们往往以“数学化”的程度来评判其他学科的成熟程度。“数学化”既是数学教学活动的目的，也是实现教学目的之手段。同时，数学也是一门比较严谨且相对比较枯燥的学科，而小学生正处于活跃的年纪，不能对这样枯燥单一的数学科目产生兴趣，从而大大地影响了学生的数学学习，以致严重地影响了后续学业的发展。因此，在教学中,着重以培养学生的学习兴趣为前提,引导学生积极思考、主动参与,才能让学生把学习的权利真正而充分地交给学生,也能够进一步有效地提高学习效率,使他们真正成为学习的主人。同时，这是新课程标准的要求,更是要把学生培养成具有创新意识的现代人才的现实需要。下面，笔者就新课程下的小学数学教学谈谈自己的观点与做法：一、激发潜能,童心育人（一）增强兴趣培养,从儿童的视角去发现

加强数学语言表达能力

加强数学语言表达能力提高学生的数学思维语言是学习数学的一个重要组成部分,它既是数学知识的载体，又是数学思维的工具。而数学语言的理解和熟练使用是取得数学成绩所必要的。事实上，学生学习数学时遇到的很多困难都是由于不能理解数学语言的意思和不能正确使用数学语言而引起的。但是，长期以来，数学语言的教学没有得到足够的重视，导致学生因没过好语言关而学习起来困难重重。因此，有必要对数学语言的特点、意义及其能力培养进行探讨，帮助学生熟悉和掌握数学语言。数学语言表达训练是提高学生逻辑思维的能力，是学好用好数学的有效措施。小学学生年龄小，口头表达能力还十分有限，所以我们要结合具体的数学教学内容对学生进行数学语言表达的训练，让学生通过“说数学”来理清自己的数学思路，并能变换不同角度去理解知识，创造知识。通过让学生多讲来促使学生善讲，提高学生的数学语言表达能力，从而也就提高学生的数学思维能力，使思维能力和表达能力同步发展。数学新课程标准中明确指出：“学生的数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流……”，而“观察、实验、猜测、验证、推理与交流”等行为及思维形式都得由语言作为手段来进行。语言是思想的载体，而数学语言就是数学思维的载体，数学思维往往是借助数学语言进行的，是依靠数学语言而显示的，所以培养学生使用数学语言的能力，其实质是提高学生分析与解决问题的能力。学习数学语言是学习数学的一个重要方面，学好了数学语言才能够真正的学好数学。小学生由于年龄小，语言发展尚不完备，语言表达往往缺乏完整性、条理性，而且学生也习惯于用生活化的语言来表达自己对数学知识的理解。这样的情形，我认为在学习的初始阶段，未尝不可，但长此以往，会阻碍学生数学思维的有效发展。所以，作为一个小学的数学教师，我努力培养学生数学语言的表达能力，并以此促进学生思维的发展。结合我的实践和理解，总结了如下几条：

浅谈对小学生数学语言表达能力的培养

浅谈对小学生数学语言表达能力的培养重庆市巫溪县天星小学彭远程摘要：培养小学生数学语言表达能力，是小学数学教师的一项长期任务。具体步骤是对学生从小加强说话训练，养成说话清晰有序的习惯，教师用规范简练语言影响学生，培养学生明确数学术语、理解概念，用准确语言表述数学术语和数学概念。关键词：对小学生数学语言表达能力培养小学数学教学是一项复杂的思维活动，思维的结果与语言表达有着十分紧密的联系，语言的表达决定着教学的成败。前不久，我听了山区一位教师的数学课，学生回答问题语言不清晰，不完整，可没得到教师的及时纠正，实在令人担忧。俗话说：“师高弟子强。”“想得清的人才说得清，说得清的人必定想得清。”就是说，在数学教学时，教师应该逐步要求学生用确切的、规范的、有序的、完整的语言表达数学中的概念、法则、性质。如何培养小学生数学语言表达能力呢？我有以下几点肤浅的看法。一、从小开始，一以贯之，对小学生加强说话培训从小学一年级开始就抓住每一节课的每一个教学环节，结合教学内容，有计划、有目的、有意识地进行说话训练，

引导学生用数学语言说算理，说思路，说解题过程，说操作过程，说分析过程。低年级可以要求学生先想后说，用完整的句子来表达。如：“有黄气球5个，红气球比黄气球多3个，红气球有多少个？”教学时，可让学生动手先摆一摆实物后，想一想：（1）那种气球多？（2）红气球的个数可以分成哪两部分？（3）怎样算红气球的个数？最后引导学生完整口述。中年级可以要求学生有条理连贯的表达自己的思维过程,如在数学应用题教学中,可以利用教具图表直观演示,训练学生运用数学语言叙述应用题的条件、问题,分析思路和解题过程。通过让学生口头叙述解题思路,口头叙述数量关系式。这样,既培养学生的思维能力和语言表达能力,又提高了解题能力,发展了思维的灵活性。高年级学生可以逐步运用数学语言准确、简练地进行表述。如让学生判断“5526能不能被3整除？为什么？”可让学生叙述为：“因为5526各位上数的和是18，18能被3整除，所以5526能被3整除。” 通过训练，不仅提高了学生数学语言表达能力，而且培养了学生思维的准确性。二、培养学生良好的说话习惯好的说话习惯对学生成长至关重要，首先要求学生在数学课中说话要正确、完善、准确、精炼。如学生说：“9是倍数，3是约数。”“圆锥体的体积等于圆柱体体积的三分之一。”

数学与应用数学专业毕业相关论文题目

1．浅析素质教育观下的数学教学2．论数学课堂的师生互动 3．适合反证法命题的条件 4．论导入新课的直观方法 5．优化数学课堂,培养创新意识 6．剖析数学学习的心理障碍及对策7．谈数学教育中非智力因素的培养8．谈数学实验在中学数学中的作用9．论述中学生数学语言能力的培养10．对中学生数学解题能力培养的研究11．中学生创新意识的形成 12．后进生数学水平提高的若干措施13．发挥课本习题的潜在功能 14．论述中学数学的开放性教学

15．如何培养学生的空间观念 16．论新课程下的数学教师应具有的人格魅力17．谈谈数学课堂教学的语言艺术 18．论数学归纳能力的培养 19．浅析多媒体在数学教学中的应用 20．论数学课程标准的新理念 21．剖析影响数学教学的内在因素 22．数学学习中的迁移现象及其对教学的意义23．论数学考试对数学学习的影响 24．论述中学生数学应用意识的培养 25．论述数学学习与学生身心发展关系26．中学生数学概念形成的心理分析 B 1.浅谈线性变换的对角化问题

2.数学研究性学习的实施与评价 3.范德蒙行列式的一些应用 4.分块矩阵的应用 5.行列式计算的若干方法 6.“数形结合”在中学数学教学中的应用 7.数学史在中学数学教学中的运用 8.线性变换思想在中学数学中的应用 9.矩阵可逆的若干判别方法 10.数学归纳法在行列式计算机中的应用 11.浅谈数学创造性思维及其培养 12.反例在数学教学中的作用研究 13.“高等代数”知识在几何中的应用 14.猜想在数学中的应用 15.引入多媒体进行数学课堂教学探究

C 1.“几何画板”在数学教学中的重要性 2.数学实验和现代数学教育 3.求最值问题的方法探讨 4.从学习“微积分”中谈谈技巧和能力的提高 5.谈谈“数形结合” 6.线性规划应用举例 7.绝对值概念在数学教学中的地位 8.用概率方法证明一些恒等式 9.浅谈平行公理及其在中学数学教材中的地位 10.浅谈反证法 11.不等式的证明 12.关于指数函数 13.高等数学方法在中学数学中的应用

数学与应用数学毕业论文

开放教育数学与应用数学专业（本科）毕业论文小学数学教学浅析姓名：学校：学号：指导教师：定稿日期：2015年11月

这是新课程标准的要求,更是要把学生培养成具有创新意识的现代人才的现实需要。下面，笔者就新课程下的小学数学教学谈谈自己的观点与做法：一、激发潜能,童心育人（一）增强兴趣培养,从儿童的视角去发现学生对数学的兴趣决定了学生对数学课程的投入程度。因此,教师应重视加强对学生兴趣的培养。首先,教师要对学生的实际情况做一个全面的了解,如:学生的兴趣爱好、身体素质、心理素质等方面。其次,教师在做教学计划时,要将学生的实际情况考虑进去,开发出一系列适合小学生身心特点的教学方法,教师应采用多种教学法如游戏、情境、小组合作等。对小学生较有吸引力的新型教学方法,多从儿童的视角出发,发现问题,发掘兴趣点,和学生做朋友,建立和谐的师生关系。（二）调节课堂气氛,用儿童的思维去交流课堂氛围的好坏直接影响学习对知识的吸收和接受程度。良好的课堂氛围应具备以下几个特点:轻松、积极、但不失秩序。因我国学校体育长期受传统教学方式的影响,很难一下度过过渡期达到素质教育的要求,大多数学校还延续着之前注入式的教学方法,即使有一些新型的教学方法被应用于教学过程中,但由于对其缺乏深入的研究,往往掌握不到它的精髓,最终只流于形式。因此,数学教师在教学过程中应勇于实践,将更多新型教学方法融入到教学中来,不断将其进行总结、完善,使其更好的应用于课堂气氛的调节。多用儿童的思维方

[能力,语言,数学]谈学生数学语言表达能力的培养

谈学生数学语言表达能力的培养语言是思维的工具，也是思維的结果。思维的发展与语言的表达有着密切的关系。人们对事物的认识过程、思维的结果都是通过语言表达出来的。在数学课堂教学和课外辅导中，常常会有这样的情形，学生对自己所掌握的知识说不出，对于自己不懂的地方提不出问题。这表明我们的学生数学语言表达能力欠佳，俗语说：想得清的人才会说得清，说得清的人必定想得清。学生在说话的同时，就会伴随记忆、想象、分析、综合等一系列的思维活动，这也是对思维活动的一种整理和自我检查，因此好的数学语言表达能力会促进学生思维的灵活性的发展，同时直接影响着学生学习数学的积极性，影响着课堂教学效果。所以，教师在课堂教学中要特别重视对学生数学语言表达能力的培养。那么如何培养学生的数学语言表达能力呢？ 1、创造和谐的课堂环境，让学生敢说在课堂教学中，我们最常见的现象是有的学生因为准备不足无话可说，有的学生因为怕回答不好或回答不完整被老师批评、被同学嘲笑，这些因素的存在，阻碍了学生语言表达能力的正常发挥，进而影响健康的交际心理的形成。美国心理学家罗杰斯说过：成功的教育依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐的安全的课堂气氛。在教学中，教师应该重视课堂人文环境的建设，把平等、自由、民主、尊重、信任、友善、理解、宽容、关爱这些人文因素注入课堂，营造一个接纳的、支持的、和谐的课堂气氛，使学生产生安全感、宽松感、愉悦感。研究表明，在愉快轻松、平等民主的气氛中，学生发现问题、积极探索的心理取向得到激活。只有在这种氛围里，学生才会感到有话可说，感到自己的尊严。在教学中，教师放下架子，不再有一副师道尊严的面孔，不再把自己当作权威，让学生感觉老师是他们的朋友，在朋友面前什么都可以说，学生自然就无拘无束，敢说出自己的想法。当学生主动说之后老师一定要对每一位学生的回答有所反应，对说得不好的学生给予鼓励和帮助，使其充满信心，增大勇气，不怕说错，大胆表达。当学生说不出时，可以和蔼地说：不要紧，慢慢想，下次你一定能说的。；当学生说得不太完整时，要帮助地说：不错，如果你能注意到某个地方，答案就更完整了。；当学生说错时，要友善地说：没关系，你可能某个地方没有考虑清楚，再想一想。；当学生有独到见解时，教师应该毫不吝啬地给予表扬和鼓励：你真肯动脑，有新意。当学生中出现彼此嘲笑的现象时，教师应及时进行了教育，让学生认识到嘲笑别人是不文明、不礼貌的行为，明白每个人在学习过程中都难免会出错，不应该嘲笑别人。在这样的环境中，学生逐步形成良好的、健康的交际心理，为语言表达能力的培养提供了可靠的保证。同时，为学生下次主动说打好了基础，从而养成了把自己的想法主动的说出来的习惯。 2、培养学生理解数学语言的能力。数学语言具有高度抽象性，学会有关的数学术语和符号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的理解。理解是表达的基础，要培养学生语言的表达能力，必须先培养学生理解数学语言的能力。如理解和、差、积、商、扩大、缩小、质数、合数等概念。对学生语言上的缺陷不能有半点疏忽。例如问：什么是质数？有的学生答：能被1和它本身整除的的数叫质数。于是老师问：4能被1整除吗？能被它本身整除吗？4是不是质数？学生立