大班三次函数切线
知识点1:三次函数的性质以及在高考中的应用
三次函数ya x b x c x d a =+++32
0()
≠已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
函数ya x b x c x d a =+++320()≠的导函数为y a x b x c '=++322
。我们不妨把方程3202a x b xc ++=称为原函数的导方程，其判别式?=-432
()
b a
c 。若?>0，设其两根为x b b a c a x b b a c
a
122
2
3333=---=-+-、，则可得到以下性质： 性质1：函数ya x b x c x d a =+++32
0()
≠， 若a >0，当?≤0时，y ＝f(x)是增函数；当?>0时，其单调递增区间是
(][)-∞+∞，，x x 12，单调递减区间是[]x x 12，； 若a <0，当?≤0时，y f x =()是减函数；当?>0时，其单调递减区间是(]
-∞，x 2，[)x 1
，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。 （证明略）
推论：函数ya x b x c x d a =+++3
2
0()≠，当?≤0时，不存在极大值和极小值；当?>0
时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。 根据a 和?的不同情况，其图象特征分别为：
图1
性质2：函数f x a x b x c x d a x m n ()()[]=+++∈3
2
0≠，，，若x m n 0∈
[]，，且f x '()0
0=，则： m a x 0()m a x {()()()}f x f m f x f n =，，； f x f m f x f n ()m i n {()()()}m i n =，，0。 （证明略）
性质3：函数ya x b x c x d a =+++3
2
0()≠是中心对称图形，其对称中心是（-
-b a f b
a
33，()）。
证明：设函数fx a x b x c x d a ()()
=+++32
0≠的对称中心为（m ，n ）。 按向量a m n →=--()
，将函数的图象平移，则所得函数y f x m n =+-()是奇函数，所以
f x m f x m n ()()++-+-=20
化简得：()30
232m a b x a m b m c m d n +++++-= 上式对x R ∈恒成立，故 30m ab +=，得 m b
a
=-
3， na m b m c m d f b
a
=+++=-3
2
3()
。 所以，函数ya x b x c x d a =+++3
2
0()
≠的对称中心是（--b a f b
a
33，()）
。 可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝f x '()的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 下面仅选一些2004年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快
速、准确地解答问题。
例1. （浙江）设f x '()是函数f(x)的导函数，y f x ='()的图象如图2所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是（ ）
图2
图3
解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则y f x ='()的图象给出了如下信息： ①a >0
； ②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；
③在（0，2）上f x '()<0；在（－∞，0）或（2，+∞）上f x '()>0。 由①和性质1可排除B 、D ；由③和性质1确定选C 。
例2. （江苏）函数f x x x ()=-+331
在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17
D. 9，－19
解：函数的导方程是330
2x -=，两根为1和－1，由性质2得： f x f f f f ()max{()()()()}max =--=31013，，，， f x f f f f ()m i n {()()()()}m i n
=--=-310117，，，。 故选C 。
例3（2012四川文）．设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++???+=，则127a a a ++???+=
（A ）0 （B ）7 （C ）14 （D ）21
解析：函数3()(3)1f x x x =-+-关于点（3,2）对称，即当126x x +=时，12()()4f x f x +=，∵{}n a 是公差不为0的等差数列，∴17263542a a a a a a a +=+=+=，猜想：当43a =时，
{}n a 满足127()()()14f a f a f a ++???+=，故此时12721a a a ++???+=．
例4. （湖北）已知b c >->10，，函数f x x b ()=+的图象与函数g x x b x c ()=++2
的图象相切。
（I ）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；
（II ）设函数F x f x g x ()()()=在（-∞+∞，）内有极值点，求c 的取值范围。 解：（I ）依题意，f x gx '()'()
=，得 x
b f b g b
=--=-121212
，又()()， 所以()b c +=142
因为b c >->10
， 所以b c =-+12
（II ）因为F x f x g x x bx b c x bc ()()()()==++++3222 所以F （x ）的导方程为： 3402
2
x b x bc +++= 依性质1的推论得：
?=->430
2()b c 所以 b c b c
<->33或， 所以 -+<-123c c 或-+>123c c 解之得0743743
<<->+c c 或 故所求c 的范围是（0，743-）?（743++∞
，）。
例4. （天津）已知函数f x a x b x x ()=+-32
3在x ＝±1处取得极值。 （I ）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （II ）过点A （0，16）作曲线y ＝f(x)的切线，求此切线方程。
解：（I ）因为f x a x b x x ()=+-3
2
3，所以导方程32302
a x
b x +-=。 因为f x ()在x ＝±1处取得极值，所以，x =±1是导方程的两根，
所以32303230a b a b +-=--=???
解得 a ＝1，b ＝0 所以 f x x x
()=-3
3 由推论得f ()-=12是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。 （II ）曲线方程为y x x =-3
3，点A （0，16）不在曲线上。 设切点为M ()x y 00，
因为f x x '()()002
31=-
，故切线方程为 y y x x x -=--002
31()() 点A （0，16）在切线上，所以
16331003002
--=--()()()x x x x 解得x 02=-，切点为M （－2，－2） 故所求切线方程为9160x y -+=
纵观以上事例，只要我们掌握了函数的三条性质，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。
知识点2：三次函数切线问题
一、过三次函数上一点的切线问题。
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。 证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。 1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，
切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-
P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）
1
21
22
12
23
13
212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=
--= c bx bx ax x ax ax +++++=212
12122
又 c bx ax x f k ++==22
22/223)( （1）
∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223 即0)2)((1212=+
+-a
b
x x x x ∴ a b x x 22112--=代入（1）式
得 c a
b bx ax k +-+=421432
1212
讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12
123c a
b bx ax +-+421432
121，得a b x 31-=，
∴ 当a b
x 31-
=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。 当a
b
x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(112
11x x c bx ax y y -++=-
))(42143(12
1211x x c a
b bx ax y y -+-+=-
由上可得下面结论：
过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作
)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则a
b
x x n n 2211--=+，且
当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
证明：设过),(n n n y x P 与)(x f y =图象切于点),(111+++n n n y x P 的切线为1+n n P P ，
c bx bx ax x ax ax x x y y k n n n n n n n
n n n +++++=--=
+++++12
12111
又 c bx ax x f k n n n ++==+++12
11/23)(
∴ c bx bx ax x ax ax n n n n n n ++++++++12121=c bx ax n n ++++12123
即 0)2)((11=++-++a
b
x x x x n n n n ∴ a b x x n n 2211--=+
设)(2
11λλ+-=++n n x x 则a b
3=λ
∴ 数列}3{a b x n +是公比为21-的等比数列， 11)2
1
)(3(3--++-
=n n a b x a b x 即 a
b
x n n 3lim -
=∞
→。 （2）过三次函数外一点的切线问题。
设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
（1）若,30a b
x -
=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a b
g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a b
g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0a
b
g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。 其中00
()()()().g x y f x f x x x '=-+-
证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q
则切线方程为 ),)(23(112
11x x c bx ax y y -++=-
把点),(00y x P 代入得：
02)3(200102
1031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，
设.2)3(2)(0002
03
cx d y x bx x ax b ax x g --+--+= 200()62(3)2,
g x ax b ax x bx '=+--
,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=?
令()0,g x '=则.3,0a
b x x x -
== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a
b
g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。
0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为
切点，所以,30a b x -
≠且)3()(0a
b
g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。 0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)
(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以,30a b x -≠且)3()(0a
b
g x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。
例题讲解：
例1、已知函数3y x x =-，求过点()1,0A 的切线方程。
例2、（2010湖北文数）设函数3
2
1
a x x bx c 3
2
f -++（x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在
点P （0，0f （））处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b 、c 的值。
（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：
当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。
例3、已知函数3
21()3
f x x ax bx =
++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；
（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）
三次函数切线作业
1、曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程是 。
2、已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程是 。
3、已知曲线C ：32()32f x x x x a =-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值等于 。
4、已知函数()32
3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值。
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值12,x x ，都有()()124f x f x -≤； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 5、已知函数．3()2f x x ax =+与2()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线．
(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()
()ln(1)8mg x F x x x
=
+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．
三次函数问题
一．基本理论
三次函数的导数为二次函数，能根据导函数的图像画出三次函数的图像，并研究其单调性、极值、最值、根的个数及含参问题。
二．典型问题
1.（切线问题）曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为__________________. 变式1.已知曲线3()2,f x x x =-点(1,1)M -。 （1）求曲线在点M 处的切线方程； (2) 求曲线过点M 的切线方程。
变式2. 若曲线32:221C y x ax ax =-++上任意一点处切线的倾斜角都是锐角，则实数a 的取值范围是_____________.
变式3. 已知函数3
21()23
f x x x x a =-
+++，若过点(0,1)M 可以作函数()f x 图像三条切线，求实数a 的取值范围。
2．（单调性问题）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)P ，且在点
(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=。
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间。 变式练习：已知函数3
2
()3 1.f x x ax x =-+-
（1）若()f x 在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使()f x 在(2,2)-内单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。
3.（极值最值问题）已知函数32
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-
与1x =时取得极值。 （1）求,a b 的值及()f x 的单调区间；
（2）若对任意的[1,2]x ∈-，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围。变式练习： 已知函数3
2
()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是_____________. 4.（根的个数问题）
1.方程32
2670x x -+=在区间(0,2)内根的个数是___________.
2.直线y a =与函数3()3f x x x =-的图像有三个不同交点，则实数a 的取值范围__________.
3.函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ，其中)('x f 是)(x f 的导函数.①对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有)(x g ＜0，求实数x 的取值范围；
②设a ＝－2
m ，当实数m 在什么范围内变化时，函数y ＝)(x f 的图象与直线y ＝3只有一个公共点.
三次函数专题
三次函数——导数应用中永恒的经典 【考点定位 】 考试说明： 了解导数概念及其几何意义；会用常见基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简 单函 数和简单复合函数的导数；了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值 . 问题概述： 三次函数 y ax 3 bx 2 cx d(a 0) 一直是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中 频繁出现有关它的单独命题 .2014 年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西 卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是浙江卷(理) 、北京卷(文) 、广东卷(文) 以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视 .单调性和对称性最能反映这个函数的特性 .通常以它为素材 来研究函数的单调性、极值、最值等性质，还可沟通函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系 .本文以 2014 年高考为例，例谈高考中的三次函数问题 . 【考量基础】 三次函数的单调区间及闭区间上的最值 例 1【 2014高考安徽卷第 18题】设函数 f (x) 1 (1 a)x x 2 x 3,其中 a 0. (1) 讨论 f (x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x ［0,1］时，求 f ( x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解析： 2' (x) 1 a 2x 3x 2 .令 f '(x) 0 ，得 x 1 x 1 x x 2时， f '(x) 0.故 f (x)在( ,x 1)和 (x 2, ) 内递减，在 (x 1,x 2)内递增 . 2)因为 a 0，所以 x 1 0,x 2 0.当a 4时， x 2 1 ，由( 1)知， f (x)在［0,1］ 上递增，所以 f(x) 在 x 0和 x 1处分别取得最小值和最大值 .当0 a 4时， x 2 1，由(1)知， f (x)在［0,x 2］上递增， 1 4 3a 在［ x 2 ,1］递减，所以 f(x)在 x x 2 处取得最大值 .又 f (0) 1, f (1) a ，所以当 0 a 1 3 时， f (x)在 x 1处取得最小值；当 a 1时， f(x)在 x 0和 x 1处同事取得最小值；当 1 a 4时， 1 4 3a 1) f (x) 的定义域为 ( , ) ， x 2 1 4 3a 3 x 1 x 2，所以 f (x) 3(x x 1)(x x 2).当 x x 1或 x x 2时， (x) 0 ；当
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题 证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。 提示：可根据奇函数图像的平移得到。 分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++-- 与32y ax bx cx d =+++比较系数得：23 33am b am k c n km am d -=?? +=??--=? 容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a =- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a - - 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？ 分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+- 将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3 320 011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010 230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程323 1010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即323 00 230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？ 分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。 设点00(,)P x y 为平面上任意一点，易求得函数在坐标原点（对称中心）处的切线方程为y bx = 设3111(,)x ax bx +为()y f x =上任意一点，则该点处的切线方程为：321111()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 将点P 代入得：32011101()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 问题转化为讨论方程3200()(3)()y ax bx ax b x x -+=+-有几个解的问题 将上述方程化简得：32000230ax ax x y bx -?+-= 令32000()23g x ax ax x y bx =-?+-，则：0()6()g x ax x x '=- 注意到000()()g x y f x =-，00(0)g y bx =-，下面讨论函数()g x 的零点个数
解决三次函数问题的几种方法..
解决三次函数问题的几种方法 近几年，三次函数问题已成为高考的命题热点，并且所占的比例在逐年增大。本文就处理三次函数问题的几种数学意识加以盘点，希望对大家有所帮助。 一、数形结合意识 例1、函数3211()22132 f x ax ax ax a = +-++的图像经过四个象限的充要条件是（ ） A 、4133a -<<- B 、112 a -<<- C 、63516a -<<- D 、20a -<< 解：2 '()2(2)(1)f x ax ax a a x x =+-=+-，若a=0，则函数f （x ）=1为常函数，不能经过四个象限，故0a ≠ （1）若a>0，如图1，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极大值点和极小值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞ →+∞→-∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）>0， 且f （1）<0. （2）若a<0，如图2，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞ →-∞→+∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）<0，且f （1）>0，综合（1）（2）可知函数f （x ）的图像经过四个象限的充要条件是 f （-2）f （1）<0，解得63516 a -<<-，故选C. 点评：上面的解法借助数形结合，有效地实施转化，解题过程直观、清晰。 二、分类讨论意识 例2、已知函数3221()313f x x mx m x = --+在区间（1，2）内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A 、1(1,)3 - B 、1[0,]3 C 、(0,1] D 、1[1,]3- 解：由已知得22'()230f x x mx m =--≥对任意的(1,2)x ∈恒成立，因此 22'(2)4430m f m m >??=--≥?或21'(1)1230 m f m m
【高考数学】《函数切线问题》微专题
【高中数学】 《函数的切线问题》微专题 第一讲 函数切线及其应用 1．导数的几何意义: 函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==） 2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000() () y f x k f x =??'=?； 3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程 为： ∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线， 三次函数多解） 考点1 切线及斜率问题 【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞?+∞， ，，且0x >时， ()1 x x f x e -=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】 ()()()21 ','1,10,x x f x f f e e -= ∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．e －1
[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1 ＝e 2x 0－1＋e x 0 ，化简得2x 0 －1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A. [答案] A 【例1.3】设点 P 是曲线33 5 y x =+ 上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角 α 的范围是（ ） A ．203π?? ??? ? ， B ．2023 πππ???? ????? ? ? ?? ，， C ．22 3ππ?? ??? ， D ．23 3ππ?? ???? ， 233x -，为第一象限角）． 设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x 解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a . 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，
09：三次函数图像的切线
高考总复习09：三次函数图像的切线 1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程. (2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线32 31y x x =+-相切的直线方程. 2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程； (2)设函数3 ()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程. (2)求函数3 ()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程. 4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值. 5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<. 6.设函数3211()32 f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值； (2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠； (3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围. 7.已知函数3211()32f x x ax bx = ++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值； (2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1 (1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式． 8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.
1三次函数切线专题
、过三次函数上一点的切线问题。 3 2 设点p 为三次函数f （x ） ax bx ex d （a 0）图象上任一点，则过点P 一定有直线与y f （x ） 的图象相切。若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过点 P 有且只有一条切线；若点 P 不是三次函数图象 的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。 证明 设P （x i ，y i ） 过点P 的切线可以分为两类。 1、 P 为切点 k 1 f /(x 1) 3ax 12 2bx 1 e ， 2 切线方程为：y y_! (3ax 1 2bx 1 e)(x x 1) f （x ）图象的切线，切于另一点 Q （ X 2, y 2） 当X 1 K —时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切 线。 3a 当X 1 —时, 3a k 1 k 2，所以过点 P 有两条不同的切线。 其切线方程为: y y 1 (3ax 12 2bx 1 e)(x X 1) 3 2 1 b 2 y y 1 (— ax 1 4 bx 1 2 e)(x X 1) 4a 由上可得下面结论： 过三次函数 f （X ） 3 , 2 ax bx ex d (a 0）上异于对称中心的任一点 卩1（人，％）作y f （x ）图 象的切 线，切于另一点P 2（X 2，y 2），过P 2（X 2,y 2）作y f （x ）图象的切线切于P 3（X 3,y 3），如此继续，得到点 列 三次函数切线问题 k 2 y2 % 3 ax 2 3 ax bx ； bx, ex 2 ex-! X 2 ax 2 ax 1 又 k 2 f/ (X 2 ) 2 3ax 2 2bx 2 e ax 2 2 ax 1 X 2 2 ax 1 bx 1 bx 2 即 (X 2 X 1 )(2x 2 X 」） 0 x 2 a 得 3 2 1 b 2 k 2 ax 1 — bx 1 e 4 2 4a 2 讨论：当 k 1 k 2 时，3ax 1 2bx 1 e e 3ax 2 2 2bx 2 e 1 b X 1 代入（ 1 )式 2 2a 3 2 1 b 2 e ，得 X 1 b —ax 1 bx 1 4 2 4a 3a P 不是切点，过P 点作y 2 ax 1x 2 2 bx 1 bx 2 e (1)
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数 [教学目标] 知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3） 了解过一点作三次函数图像切线条数的结论. 过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证 明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类. 情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力； （2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美. [教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法. [教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法. [教学方法]探究式教学. [教学手段]多媒体辅助教学. [教学过程] 1 三次函数图像的对称性 1.1 创设情景，提出问题 三次函数3()f x x =是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？ 观察函数32()321g x x x x =-++的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？ 1.2 回归通法，探究发现 研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出(),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. 1.3 追根索源，理解本质 为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a --.i 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究 2.1 因势利导，引出问题 三次函数过对称中心(,())33b b f a a - -的切线是如何的？通过实例来探究.32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？ 2.2 恰当分类，实例探索 因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图
全国高考数学复习微专题：函数的切线问题
函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处， 通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当 0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相 同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?,
三次函数切线问题
三次函数切线问题 【探究拓展】 探究1：切线的辩证定义 设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。 探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点 在运动中： 探究3：切线问题的辩证策略 T n A 1 A
例1：若直线y x =是曲线3 23y x x ax =-+的切线，则a ＝ ． （零点法） ↑ y x =是曲线323y x x ax =-+相切 x a x x y )1(323-+-=与x 轴相 切 ↓ ↑ 联立()323 2 3103y x x x a x y x x ax =??-+-=? =-+?有重根→新联立?? ? -+-==x a x x y y )1(30 2 3 ↓ （重根法） 变式1：（2020年）曲线px x y +=3 与q y -=相切，求证32 032p q ???? += ? ????? 变式2：方程3 0x px q ++=有几个实根？
探究4：切线问题的辩证思考： 联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点 探究5：辩证思维的强化延伸 由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()1 1 1 , P x y ， 再由1 P 引切线切于不同于1 P 的点()2 2 2 , P x y ，如此继续下去……，得点到 (){}, n n n P x y ． （1）求1 x ； （2）求1与n n x x +的关系； （3）点列{}n P 有何特点？ 拓展1：若直线y x =是曲线3 231y x x ax =-+-的切线，则 a ＝ 拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线3 26910y x x x =-+-有且只有一个交 点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．
函数图像的切线问题
函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程： 切线方程为 y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ??? ?? f ′(x 0)＝ g ′(x 0)， f (x 0)＝ g (x 0). 若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2 12121) ()()()(x x x g x f x g x f --= '='. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3 :3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上. 设切点的坐标()00,x y ，则3 0003y x x =-，函数的导数为2 '33y x =-， 切线的斜率为0 20'33x x k y x ===-，2 000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为， 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又3 0003y x x =-，二者联立
三次函数切线专题
三次函数切线专题
过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。 （1）若,30a b x - =则过点P 恰有一条切线； （2） 若 ,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x - ≠且)3()(0a b g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。 其中).)(()()(0/0x x x f x f y x g -+-= 证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(11211x x c bx ax y y -++=- 把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+= ,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+= ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=? 令,0)(/=x g 则.3,0a b x x x -== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以 ,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。 0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有 两个公共点且其中之一为切点，所以 ,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。 )(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有
一般n次曲线切线方程的推导
一般n 次曲线切线方程的推导 光信1001 黄飞洪 关键词：一般n 次曲线，某点的切线方程， 提要：在求曲线上某点的切线时，通常会使用先求导得到斜率后再求切线，此法在二次曲线中尚可使用，但如果是n 次曲线就不大现实了，因此如果能找到该类曲线切线的某些规律，在求高次曲线的切线方程时会节省很多时间 首先，我们先来分析几个比较特殊的例子： ○1圆A ：x 2+y 2=r 2在（x 0,y 0）处的切线方程为x 0x+ y 0y= r 2 ○2椭圆B ：A 2a)x +（+B b y 2 )(+=1在（x 0,y 0）处的切线方程为1))(())((00=+++++B b y b y A a x a x ○3双曲线C ：A 2a)x +（-B b y 2 )(+在（x 0,y 0 ）处的切线方程为1))(())((00=++-++B b y b y A a x a x ○4抛物线C ：y 2 =2px 在（x 0,y 0）处的切线方程为y 0y=p(x+x 0) 以上都是几个比较典型的二次曲线在某点切线的方程，总结起来就是在原曲线方程框架的基础上将x 2（或y 2）型变为x 0x （或y 0y ）型，x(或y)型转变为2 0x x +（或20y y +）型，但在一般的二次曲线中包含了xy 的项，那么，这种一般型曲线的切线是否仍存在某种规律呢？ 设f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,求在（x 0,y 0）处的切线方程 方程两边求导得2Ax+By+Bxy ’+2Cyy ’+D+Ey ’=0 y’= -E Cy Bx D By Ax ++++220 ∴在（x 0,y 0）处的切线方程为y-y 0= - E Cy Bx D By Ax ++++220(x-x 0)
三次函数切线斜率
高考 浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500 三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. 一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 1、0>a ,斜率a b a c k 332 -=时，有且只有一条切线； a b a c k 332 ->时，有两条不同的切线； a b a c k 332 -<时，没有切线； 2、0时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/ 1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2 min /a b a c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a b a c c bx ax 33232 2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：
).3(33)3(2a b x a b a c a b f y +-=-- 当a b a c k 332 ->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。所以斜率为k 的切线有两条。 当a b a c k 332 -<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。 2、0 三次函数图象的切线问题专练 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三次函数图象的切线问题专练 广西 王强芳 [问题] 一、 曲线在点P 处的切线方程 1 曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程是 。 二、曲线经过点P 处的切线方程 2 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 是 。 三、点P 不在曲线上的切线方程 3 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)， （3）16(,2)11 的曲线C 的切线有几条？如果是一条，写出切线的方向向量；如果是两条， 求两条切线之间的夹角；如果是三条，写出切线方程。 四、其它变形 4 已知曲线C ：32()32f x x x x a =-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值 等于 。 5 斜率为3的直线与曲线C ：3y x =相切于P 点，并与曲线有另一个交点Q ，求P 、 Q 两点的坐标。 6 若方程330x x m --=有一个二重根，求方程的解集。 7 P 为曲线C ：3y x =上一动点，若曲线在该点处的切线与曲线有另一交点Q ，求PQ 的中点的轨迹方程。 [答案与提示] 1 解：由'2()33f x x =+，得'(2)15f -=， 所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。 2 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 高考中三次函数图象的切线问题 镇江实验高中 杨勇 一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 1、0>a ,斜率a b a c k 332 -=时，有且只有一条切线； a b a c k 332 ->时，有两条不同的切线； a b a c k 332 -<时，没有切线； 2、0时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/ 1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2 min /a b a c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a b a c c bx ax 33232 2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为： ).3(33)3(2a b x a b a c a b f y +-=-- 当a b a c k 332 ->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于 三次函数图象对称中心对称。所以斜率为k 的切线有两条。 当a b a c k 332 -<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。 2、0 高中数学高考中三次函数图象的切线问题 三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. 一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 1、0>a ,斜率a b a c k 332 -=时，有且只有一条切线； a b a c k 332 ->时，有两条不同的切线； a b a c k 332 -<时，没有切线； 2、0时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/ 1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2 min /a b a c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a b a c c bx ax 33232 2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为： ).3(33)3(2a b x a b a c a b f y +-=--三次函数图象的切线问题专练
三次函数的切线问题
高中数学高考中三次函数图象的切线问题