概率统计模拟试卷六
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1、当B A 与互不相容时, =)(B A P ( )
A 、1-P (A )
B 、1-P (A )-P (B )
C 、0
D 、)()(B P A P 2、A ,B 为两事件,则A -B 不等于( )
A 、
B A B 、B A
C 、AB A -
D 、B B A -)( 3、设随机变量X 的概率密度为2
)1(2
e
21)(--
=
x x f π
,则( )
A 、X 服从指数分布
B 、1)(=X E
C 、2)(=X
D D 、5.0)0(=≤X P
4、在相同条件下,相互独立地进行5次射击,每次射击时命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X 的概率分布为( ) A 、二项分布)6.0,5(B B 、参数为5的泊松分布 C 、均匀分布]5,6.0[U
D 、正态分布)5,3(2N
5、设X 服从),0(2σN ,则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是( ) A 、
S X n B 、S X
n C 、2S
X n D 、
2
S X
n 6、设总体),(~2σμN X ,其中μ已知,2σ未知,321,,X X X 取自总体X 的一个样本, 则下列选项中不是统计量的是( )
A 、)(31
321X X X ++
B 、
)(1
2
322212
X X X ++σ
C 、μ21+X
D 、},,max{321X X X
二、填空题(每题3分,共18分)
1、“A 、B 、C 三个事件中至少发生了两个”可以表示为 。
2、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率。
3、某校一次英语测验,及格率80%,则一个班(50人)中,不及格的人数X 服从 分布,=EX , =DX 。
4、设样本n X X X ,,,21 来自),(2σμN 且2σ已知, 则对检验35:0=μH ,采用的统计量是 ____ ____。
5、设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,若∑==n
i i X n X 1
1且μ=EX ,2σ=DX ,则=X E
__________,=X D __________。
6、设随机变量X 的数学期望为μ=EX ,方差2σ=DX ,则由切比雪夫不等式有
}2|{|σμ≥-X P __________。
三、已知,)(,)(b B P a A P ==,7.0)(a B A P =-其中0≠ab 且a b 3.0>,求:)(B A P 和)(B A P 。
(5分)
四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材,数量(株)之比为7:3:5,甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%,24%,18%,若从该公司收购的药材中任取一株,如果取到的药材是优等品,问它恰好是从乙地收购来的概率是多少?(7分)
五、设连续型随机变量X 的概率密度函数???<<--=其它,
01
1),1()(2x x a x f ,求:(1) 常数α; (2)
}2
1
{≥X P ; (3) X 的分布函数)(x F ; (4) 期望EX ,方差DX 。(12分)
六、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
????
?>>=+-else
, 0 0,0 , e
),()
43(y x A y x f y x (1)确定A 的值;(2)求}20,10{≤≤≤≤Y X P (8分)
七、对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5,求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率.(9082.0)33.1(=Φ) (8分)
八、设n X X X ,,,21 是从总体X 中抽得的一个简单随机样本,总体X 的概率密度函数为
?
????>>=-e lse
, 0 0
,0 , e 1);(θθ
θθ
x x f x
试用极大似然法估计总体的未知参数θ.(10分)
九、证明题(6分) 设321,,X X X 是来自总体X 的样本,32112
1
10152?X X X ++=μ
,321212
1
4331?X X X -+=μ
, 证明:(1)21?,?μμ都是总体X 数学期望μ的无偏估计量;(2)
1?μ
比2?μ更有效。
十、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布)90,(2μN ,某商场欲购进一批该产品,生产厂家提供的资料称,平均寿命为5000小时,现从成品中随机抽取5台测试,得数据
5120 5030 4940 5000 5010
(1)若方差没有变化,问能够认为厂家提供的使用寿命可靠吗?(其中05.0=α,95.0)64.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ).
(2)根据抽测的数据, 判断方差是否有改变?(其中05.0=α,143.11)4(2
025.0=χ
484.0)4(2975.0=χ) (14分)
概率统计模拟试卷六参考答案
一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B
二、1.AC BC AB 2. }{x X ≤ 3.)2.0,50(B ,10,8 4.n
X U /35
σ-=
5.μ,2
n
σ 6.14≤
三、 )()()(AB P A P B A P -=-,)(7.0AB P a a -=,所以 a AB P 3.0)(=, 所以 )()()()(AB P B P A P B A P -+= b a +=7.0;
)(B A P )(AB P =)(1AB P -=a 3.01-=
四、设123,,A A A 分别表示甲,乙,丙地药材,B 表示优等品,则根据贝叶斯公式有
22231
3
0.24
()(|)15(|)0.233735
0.210.240.18()(|)151515i i i P A P B A P A B P A P B A =?===?+?+?∑
五、(1)123111()(1)()113f x dx x dx x x αα+∞
-∞
-=-=-=-?
?,∴3
4
α=
(2)1212
135
()(1)2432P X x dx -≥=-=?
(3)301311()()114
3211
x F x x x x x <-???
=-+
-≤?≥??
(4)1
213
()(1)04EX xf x dx x x dx +∞
-∞-==-=?
?
(奇函数且积分区间对称)
12222131
()(1)45
EX x f x dx x x dx +∞-∞-==-=??
221
()5
DX EX EX =-=
六、(1)由概率密度的性质有
()()
340
x y p x y dxdy
A e dxdy
+∞+∞
-∞-∞+∞+∞-+=???
?,
340
340011()(3)()(4)
34121
x
y
x y
A e
dx e dy
A e d x e d y A +∞+∞--+∞+∞--=?=--?--==?
?
?? 可得 12A =
(2)设(){}0102D x y x y =
≤≤≤≤,,,则
{}(){}0102P X Y P X Y D ≤≤≤≤=∈,,
()D
p x y dxdy =??,
1
2
340012340
3434x
y x
y e
dx e dy
e
d x e
d y
----==????
()()
3811e e --=--
七、设 i X 表示第i 次炮击命中目标的炮弹数,
由题设,有 4i EX =
()1.51i == ,2,,100
则100次炮击命中目标的炮弹数 100
1
i
i X X
==
∑,100
1
400i
i EX EX
==
=∑
100
21
100 1.5i i DX DX ===?∑
因 12100X X X ,,,相互独立,同分布,则由中心极限定理知
100
1
i i X X ==∑近似服从正态分布()400N ?2,100 1.5
于是 {}380420P X ≤≤≈4204003804001515--????
Φ-Φ
? ?????
202115??=Φ- ???
()2 1.331=Φ-
0.8164=
八、∵ 似然估计函数为1
11
1
1
()n
i
i x
x n
n
i L e e
θθ
θθθ
=-
-
=∑=
=
∏
取对数11
ln ()ln n
i i L n x θθθ
==--
∑ 似然方程为
12ln ()0n
i
i x d L n d θθθθ
==-+=∑ 极大
1
1n
i
i x x n θ=∴==∑ 九、设微波炉的使用寿命为X ,则X 服从()
290N μ,
(1) 05000H μ=:,15000H μ≠:
在方差不变时,选择U 检验法 当0H 成立时,有
U =
()0.1N
又由0.05α=,得
0.025 1.96μ=
而()1
512050304940500050105
x =
++++ 5020=
则
0μ=
0.4969 1.96=<
故 接受0H ,拒绝1H
即 认为厂家提供的使用寿命可靠 (2)22090H σ=:,22
190H σ≠:
由于期望μ未知,选择2
x 的检验法 当0H 成立时,有
()2
2
2
1n s x σ-=
服从()21x n -
又由0.05α=,5n = 得
()20.025411.143x = ()20.97540.484x =
由(1)知5020x =
()()2
2
11n
i i n s
x x =-=-∑
()5
2
1
i i x x ==-∑
()()()222
512050205030502050105020=-+-++- 17000=
则2
02
17000
90
x =
2.099=
由于22
0.9750.025
0.484 2.099x x =<< 11.143=
故 接受0H ,拒绝1H 即:认为方差没有改变。
十、证明:(1)
1123123211211211
?()()510251025102
E E X X X EX EX EX μ
μμ=++=++=++=
2123123131131131
?()()341234123412
E E X X X EX EX EX μ
μμ=+-=+-=+-= 1?μ
∴,2?μ都是μ的无偏估计 (2)
112312321141121?()510225100450D D X X X DX DX DX DX μ=++=++=
212312313119149
?()341291614472
D D X X X DX DX DX DX μ=+-=++=
2?D μ> 1?D μ 1?μ
∴比2?μ更有效
九、某纺织厂生产的纱线的强力服从正态分布,为比较甲、乙两地的棉花所纺纱线的强力,各抽取7个和8个样品,测得数据如下:
∑==
7
1
64 . 10
i
i
x, 52
.
11
8
1
=
∑
=i
i
y,∑=
7
1
21912
.
16
i
x,∑=
8
1
26242
.
16
i
y,
问:在显著性水平05
.0
=
α下,两者的方差与均值有无显著差异?(14分)
)
6955
.5
)
025
.0;6,7(
,
1186
.5
)
025
.0;7,6(
;
1604
.2
)
025
.0;
13
((=
=
=F
F
t
概率论与数理统计模拟试卷2 一、单项选择题(每题3分,共45分) 1、设A,B 是两个对立事件,P (A )>0 ,P (B )>0,则( )一定不成立。 (A )P (A)=1-P (B ) (B )P (A│B)=0 (C )P (A│B )=1 (D )P (A B )=1 2、已知随机变量X 的概率密度为f X (x ),令X Y 2-=,则Y 的概率密度f Y (y)为( )。 (A )2f X (-2y) (B )f X () - y 2 (C )- - 122f y X () (D ) 12 2f y X () - 3、设A,B,C 是三个相互独立的事件,且0
(D )1co s 00(,)20x x y h x y π? ≤≤≤≤ ?=? ?? 其它 6、设F(x)是离散型随机变量的分布函数,若()P b ξ==( ),则 ()()()P a b F b F a ξ<<=- 成立。 (A )()()F a F b - (B )()()F b F a - (C )()()F a F b + (D )1 7、已知随机变量ξ,η的方差D ξ,D η均存在,则下列等式中,( )一定不成立。 (A )D ()ξη-= D ξ—D η (B )D ()ξη-= ()()2 2E E ξηξη---???? (C )D ()ξη-=2cov(,)D D ξηξη+- (D )D ()ξη-=()()2 E E E ξξηη---???? 8、设随机变量ξ的期望E ξ,方差D ξ及2 E ξ都存在,则一定有( )。 (A )E ξ≥0 (B )D ξ≥0 (C )()2 E ξ≥2 E ξ (D )2 E ξ≥E ξ 9、设有独立随机变量序列12,,,,n X X X L L ,… 具有如下分布律: 1 21 21 n X a a n n P n n -+++ 则( )契比雪夫定理。 (A )不满足 (B )满足 (C )不一定 (D )以上都不对 10、假设随机变量X 服从分布()t n ,则2 1X 服从分布( )。
[考研类试卷]考研数学三(概率统计)模拟试卷3 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 设随机变量X i~(i=1,2),且满足P(X1X2=0)=1,则P(X=X2)等于( ). (A)0 (B) (C) (D)1 2 设随机变量X,Y相互独立,X~U(0,2),Y~E(1),则P(X+Y>1)等于( ).(A)1一 (B)1一e, (C)e (D)2e 3 设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),用它表示概率P(一X<a,Y<y),则下列结论正确的是( ). (A)1一F(一a,y)
(B)1一F(一a,y—0) (C)F(+∞,y一0)一F(一a,y—0) (D)F(+∞,y)一F(一a,y) 4 设随机变量X,Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(1,1),则 ( ). 5 设X,Y相互独立且都服从N(0,4)分布,则 ( ). 6 设x,y为两个随机变量,P(x≤1,y≤1)=,则P{min(X, Y)≤1)=( ). 7 设二维随机变量(X,Y)在区域D:x2+y2≤9a2(a>0)上服从均匀分布, p=P(X2+9Y2≤9a2),则( ). (A)p的值与a无关,且p= (B)p的值与a无关,且p= (C)p的值随a值的增大而增大 (D)p的值随a值的增大而减少
8 设(X,Y)服从二维正态分布,则下列说法不正确的是( ). (A)X,Y一定相互独立 (B)X,Y的任意线性组合l1X+l2y服从正态分布 (C)X,Y都服从正态分布 (D)ρ=0时X,Y相互独立 二、填空题 9 设X~P(1),Y~P(2),且X,Y相互独立,则P(X+Y=2)=__________. 10 设随机变量X,Y相互独立且都服从二项分布B(n,p),则P{min(X, Y)=0)=__________. 11 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=,则a=__________,P(X>Y)=__________. 12 设随机变量X~N(0,σ2),Y~N(0,4σ2),且P(X≤1,Y≤一2)=,则P(X>1,Y>一2)=__________。 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13 设X,Y的概率分布为,且P(XY=0)=1.(1)求(X,Y)的联合分布;(2)X,Y是否独立? 14 设起点站上车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为p(0<P<1),且中途下车与否相互独立,以Y表示中途下车人数. (1)求在发车时有n个乘客的情况下,中途有m个乘客下车的概率;
模拟试题A 一.单项选择题(每小题3分,共9分) 1. 打靶 3 发,事件表示“击中i发”,i = 0, 1, 2, 3。那么事件 表示 ( )。 ( A ) 全部击中; ( B ) 至少有一发击中; ( C ) 必然击中; ( D ) 击中 3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为( )。 ( A ) ; ( B ) ; (C) ; (D) 3.设随机变量,服从二项分布B ( n,p ),其中 0 < p < 1 ,n = 1, 2,…,那么,对于任一实数x,有等于 ( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题(每小题3分,共12分) 1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率 为,则4人中至多1人需用台秤的概率为: __________________。 4.从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________。 三、(10分)已知,求证 四、(10分)5个零件中有一个次品,从中一个个取出进行检查,检查后不放回。直到查到次品时为止,用x表示检查次数,求的分布函数:
五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求: ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大? 六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量和,其概率密度分别是: 如果与相互独立,写出的联合概率密度,并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A), ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B), ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、(10分)设和是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 又知随机变量, 试求w的分布律及其分布函数。 九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且强力服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25 件作强力试验,算 得,问新产品的强力标准差是否有显著变化? ( 分别取和 0.01,已知, ) 十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下: