等比数列及其性质
等比数列及其性质习题课【知识概述】
【学前诊断】
1．[难度] 易
在等比数列{}n a 中，
（1）如果66a =，99a =，那么3a = . （2）若1231237,8a a a a a a ++=??=，则n a = . 2．[难度] 易
等比数列{}n a 中，
（1）若3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a = . （2）若,),0(2019109b a a a a a a =+≠=+则=+10099a a . 3．[难度] 中
设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和， （1）若241a a =, 37S =,则5S =
.
（2）11a =，且9S 3=S 6，则数列1n a ??
?
???
的前5项和5T = .
【经典例题】
例1．在等比数列{}n a 中，若262,162,a a ==求10a .
例2．在等比数列{}n a 中，已知248,60,n n S S ==求3n S .
例3. 已知数列{}n a 中，111,420n n a a a n +=-+++=，
（1）若2n n b a n =+，求证{}n b 是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S .
例4．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，
且1212112(
)a a a a +=+，345345
11164()a a a a a a ++=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2
1()n n n
b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 例5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n ∈N ，点(,)n n
S 均在函数x
y b r =+ （0b >且1,,b b r ≠均为常数）的图象上. （1）求r 的值；
（2）当2b =时，记*22(log 1)()n n b a n =+∈N ，求n b .
【本课总结】
等比数列与等比数列可以说是一对孪生兄弟,仍以考查基本公式和简单性质为主，同时考查方程、分类讨论以及整体代换等思想，以定义及其等比中项为背景考查等比数列的判定，以选择题或填空题的形式考查基本的概念、公式和方法，综合性问题多以解答题形式出现，试题难度一般为中低档题，学习中最重要的思想方法就是类比思想,从基本的概念、公式和性质乃至解题方法策略各方面都有很强的可比性，就是将等比数列中的加、减、乘、除运算，对应升级为乘、除、乘方、开方运算，即可以得到等比数列的相应结论，同时，在等比数列的计算中使用的多是加减法，而在等比数列的计算中使用的多是乘除法，在类比中即可发现学习规律，可以起到及一反三的作用.
1.有关等比数列的计算问题一般有两种方法：
基本量法:一个等比数列可以由首项1a 和公比q 完全确定，而首项1a 和公比q 又可以用其它两个独立的条件取代，因此在等比数列的有关计算中，可以依据方程思想，只要给出两个独立条件就可以列方程组求出1a 、q ，将问题转化为等比数列中的两个基本量1a 、q 进行计算，仍然说基本量法是万能大法.
性质法:同等差数列一样，简单性质的使用可以简化运算，获得简洁明快的解题方法，仍需充分关注角标之间的关系， 隐含条件发掘的越深刻，获得的解题方法就越优秀.
2.证明或判断数列为等比数列主要有以下几种方法：
①定义法：1q 0)n n a a q +÷=≠（
{}a n ?成等比数列； ②通项法：通项公式(p q 0)n
n a p q =??≠{}a n ?成等比数列；
③前n 项和法：前n 项和1-n
n S p q =?≠≠（
）（p q 0,q 1){}a n ?成等比数列； ④中项法：2
1212(0)n n n n n n a a a a a a ++++=???≠{}a n ?成等比数列.
3.记住如下一些关于生成数列的相关结论，对解题非常有帮助. 若数列{}{},n n a b 是项数相同的等比数列，则下列数列{}2
n
a ；{}n
ka ；
{}k kn a （为常数）；1n a ??????；{}n a ；{}1n n a a +?；1n n a a +??????；{}n n a b ?；n n a b ??
????
仍为等比数列.
【活学活用】
1．[难度] 中
在等比数列{}n a 中，
（1）若10,2105==a a ，则15a ＝________；
（2）若51274-=a a ，12483=+a a ，且公比为整数，则=10a ． 2. [难度] 中
已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321
,22
a a 成等差数列， 则
910
78a a a a +=
+ .
3. [难度] 难
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??
????
的前n 项和.
等差等比数列的性质总结
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
等比数列常考题型归纳总结很全面
等比数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是 等比数列的关键） 2．通项公式： 等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项： 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质 （1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。 （2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 （其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法 （1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析
(完整版)等比数列的概念与性质练习题
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
等比数列教案经典
《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2