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2019-2020学年黑龙江省名校数学高二第二学期期末调研试题含解析

2019-2020学年黑龙江省名校数学高二第二学期期末调研试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

7 8 9 10

0.1 0.3

已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（） A ．0.2 B ．0.4

C ．0.6

D ．0.8

【答案】B 【解析】【分析】

根据分布列的概率之和是1，得到关于x 和y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x 和y 之间的一个关系式，联立方程，解得y 的值. 【详解】

由题意可知：0.10.3170.8 2.7108.9x y x y +++=??+++=?

，

解得0.20.4x y =??

故选：B. 【点睛】

本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．

2．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若4AB =，3AC =，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（3π≈）（）

A ．2325

B ．

1625 C ．

2541

D ．1641

【答案】D 【解析】

【分析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得. 【详解】

解：因为直角三角形ABC 的斜边为BC ，4AB =，3AC =，所以222224325BC AC AB =+=+=，

以BC 为直径的圆面积为22524BC ππ??= ?

??，以AB 为直径的圆面积为2

1624AB ππ??= ???，以AC 为直径的圆面积为2

924AC ππ??=

???

所以图形总面积223141125346424228S πππ=?+?+??=+，2

15622S S π??

=-?= ???阴影，所以

616

2541

S P S π=

+阴影. 故选：D 【点睛】

本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.

3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为()?1y

ax a =--，若6

i x

==∑，6

8i i y ==∑，则

a 的值为( )

A ．

B ．

C ．

711

D ．1

【答案】A 【解析】【分析】根据题意

5i i x ==∑，6

8i i y ==∑可知，5

6x =

，43

y =，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。【详解】

依题意知56x =

，84

y ==，而直线$()1y ax a =--一定经过点()

,x y ，所以54163a a -+=，解得1411

a =．故答案选A 。

【点睛】

本题主要考查了根据线性回归方程的性质求回归直线，线性回归直线?a y bx =+$$过点()

,x y ，这个点()

,x y

称为样本点的中心，回归直线一定过此点。

4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则()

P B A 的值等于（） A ．

B ．

118

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

本小题属于条件概率所以事件B 包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为21266

P ==? 5．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）

A ．221x y x =--

B ．2sin y x x =

C ．ln x y x

D ．(

)

y x x e -=

【答案】D 【解析】【分析】

对B 选项的对称性判断可排除B. 对C 选项的定义域来看可排除C ，对A 选项中，2x =-时，计算得0y <，可排除A ，问题得解．【详解】

Q 2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B. Q 函数ln x

y x

的定义域为{}011x x x <或，∴排除C . 对于2

21x y x =--，当2x =-时，()22

2210y -=---<，∴排除A

故选D 【点睛】

本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题． 6．若函数()()

log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（）

A ．()8,-+∞

B ．[)6-+∞,

C ．(],6-∞-

D ．[]

8,6--

【答案】D 【解析】【分析】

根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则

2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.

【详解】

因为函数

()()2

log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以

≤-且350a ++≥，解得86a -≤≤-. 故选：D 【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题. 7．下列命题是真命题的为（） A ．若

x y

=,则x y = B ．若21x =,则1x =

C ．若x y =,=

D ．若x y <,则22x y <

【答案】A 【解析】

试题分析：B 若21x =，则1x =±，所以错误；C ．若0x y =<，=不成立．所以错误；D ．若

21x y =-<=，此时式子22x y <不成立．所以错误，故选择A

考点：命题真假

8．已知复数2017

i 12i

z =-，则复数z 的虚部为（）

A ．25

B ．1i 5

C ．

D ．15

【答案】C 【解析】

分析：由复数的乘除法法则计算出复数z ，再由定义可得．

详解：2017(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i +-=

===-+--+，虚部为1

．故选C ．

点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时根据复数运算法则化复数为简单形式(,)a bi a b R +∈，可得虚部与实部．

9．已知*,,,m n p q N ∈，且m n p q +=+，由“若{}n a 是等差数列，则m n p q a a a a +=+”可以得到“若

{}n a 是等比数列，则m n p q a a a a ?=?”用的是（）

A ．归纳推理

B ．演绎推理

C ．类比推理

D ．数学证明

【答案】C 【解析】

分析：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，可得结论.

详解：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，故选C.

点睛：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．

10．函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，若定点A 在直线

1x y

m n

+=()0,0m n >>上，则3m n +的最小值为（）

A ．13

B ．14

C ．16

D ．12

【答案】D 【解析】【详解】

分析：利用指数型函数的性质可求得定点()1,3A ，将点A 的坐标代入1x y

m n

+=，结合题意，利用基本不等式可得结果.

详解：1x =Q 时，函数1

2(0,1)x y a

a a -=+>≠值恒为3，

∴函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,3A ，

又点A 在直线

1x y m n +=上，13

1m n

∴+=，又(),0,331m n m n m n >∴+=+?

()133m n m n ??

=+?+ ???

933n m m n =+++

612≥+=，

（当且仅当3m n =时取“=”），所以，3m n +的最小值为12，故选D.

点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要

看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.

11．欧拉公式：i e cos isin (i x x x =+为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，i 2

2(e )π

=（） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -

【答案】B 【解析】【分析】

由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案．【详解】

由ix e cosx isinx =+

得22

cos sin 212i e i i πππ????=+ ? ??=?

?=-?

故选B ．【点睛】

本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题． 12．设a=log 20.3，b=10lg0.3，c=100.3，则 A ．a

C ．c

D ．c

【答案】A 【解析】【分析】

求出三个数值的范围，即可比较大小. 【详解】

2log 0.30a =<，lg0.3100.3b ==，0.3101c =>，

a ，

b ，

c 的大小关系是：a b c <<.

故选：A. 【点睛】

对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）

13．设函数(

)22,2

x x x f x x ?-

先结合分段函数的解析式计算()10f ，代入可求出()110f f ??

? ???

的值．

【详解】

由题意可知，(

)1041f ==，因此，()()2

11121110f f f ??==-?=- ? ???

，故答案为1-．【点睛】

本题考查分段函数求值，在计算多层函数值时，遵循由内到外逐层计算，同时要注意自变量的取值，选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题． 14．若不等式

1032

a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞ 【解析】【分析】令()32132

a a f x x x =

-+（0x >），求出()()21f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围．【详解】令()32132

a a f x x x =

-+（0x >），则()()21f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >；所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去；当0a =时，有10<，显然不成立；

当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<；所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，

依题意，需()()110,32

84210,

32a a f a a f ?=-+

解得6a >，

故实数a 的取值范围是()6,+∞. 【点睛】

本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．

15．已知函数f （x ）＝e 2x +2f （0）e x ﹣f ′（0）x ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若f （x ）≥x ﹣e x +a 恒成立，则实数a 的取值范围为__．【答案】（﹣∞，0]．【解析】【分析】

令0x =，得到()01f =-，再对()f x 求导，然后得到()f x '，令0x =，得到()00f '=，再得到()f x ，然后对()x

f x a x e +≥-，利用参变分离，得到()x

a f x x e ≤-+，再利用导数求出()()x

g x f x x e

=-+的最小值，从而得到a 的取值范围. 【详解】因为()()()2200x

x f x e

f e f x '=+-

所以令0x =得()()0120f f =+，即()01f =-，

而()()()22200x x

f x e f e f ''=+-

令0x =得()()()02200f f f ''=+-，即()00f '= 所以()22x

x f x e e =-

则22x x

x e e a x e -+≥-

整理得2x x a e e x ≤-- 设()2x

x g x e

e x =--，则()min a g x ≤

()()()221211x x x x g x e e e e '=--=+-

令()0g x '=，则0x =

所以当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，

所以()()min 00g x g == 所以a 的范围为0a ≤，故答案为(],0-∞. 【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和函数思想，属中档题．

16．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 【答案】(1,3)-

【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->?->，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以|1|2x -<，解得13x -<<.

考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）

17．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；

（2）若2a =，求ABC ?的面积S 的最大值．

【答案】（1）3

；（2 【解析】【分析】

（1）利用正弦定理将边化角和诱导公式可化简边角关系式，求得1cos 2

A =

，根据()0,A π∈可求得结果；（2）利用余弦定理得到224b c bc +-=，利用基本不等式可求得4bc ≤，代入三角形面积公式即可求得面积S 的最大值. 【详解】

（1）由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos 0B C A A C --=

即：()()2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 0B A C A A C B A A C -+=-+=

A B C π++=Q A C B π∴+=-，即()()sin sin sin A C B B π+=-=

()2sin cos sin sin B A A C B ∴=+= ()0,B π∈Q sin 0B ∴≠ 1cos 2

A ∴= ()0,A π∈Q 3

A π

∴=

（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知：224b c bc +-=

又222b c bc +≥ 42bc bc bc ∴≥-=（当且仅当b c =时取等号）

sin 24

S bc A ∴==≤

即S 【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用正弦定理化简边角关系式、余弦定理的应用、三角形面积最值的求解等知识；化简边角关系式的关键是能够根据边齐次的特点，利用正弦定理将边角关系式转化为三角恒等变换的化简问题.

18．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目. （Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？

（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？【答案】（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种【解析】【分析】

（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”. 【详解】

解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有5

5120A =种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有3

36A =种情况，

∴一共有1206720?=种不同的站法.

（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有1

66C =种站法，将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有6

6720A =种站法，

∴一共有67204320?=种不同的站法. 【点睛】

本题主要考查排列的应用，较基础. 19．已知函数1

()ln ,()=-

=-+f x x g x ax b x

. （1）若函数()f x 与()g x 相切于点(1,1)-，求,a b 的值；（2）若()g x 是函数()f x 图象的切线，求2b a -的最小值. 【答案】（1）2,3a b =-=-；（2）1

ln 22

- 【解析】【分析】