时间测量中随机误差的分布规律

实验报告

实验名称 时间测量中随机误差的分布规律

实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量

的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

实验仪器 机械节拍器，电子秒表。 实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理

（1）机械节拍器

（2）电子节拍器 （3）电子秒表

（4）VAFN 多用数字测试仪

用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。 2.统计分布规律的研究

假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为

一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，

]2)x -(x ex p[-21

)(22

σπ

σ=x f （1）

其中

n

x

x n

1

i i

∑==

（2）

1

-n )x -(x

n

1

i 2

i

∑==

σ

（3）

?

=a

a

-f(x)dx P(a)

（4）

式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。 （1）统计直方图方法

用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。

在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于

K

x -x K R min

max =。统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，N

n

i 为频率，

N

n

i

∑为累计频率，称为

频率密度。以测量值x 值为横坐标，以x

N n i

??为纵坐标，便可得到统计直

方图。

（2）概率密度分布曲线

利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。

实验内容 1.时间间隔测量

用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。 2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。

（1）利用式（2）和式（3）计算x 和σ。 （2）利用式（1）计算各区中点的f （x ）值。

（3）根据测量结果的离散程度，极限差R的大小，合理划分小区间数K，确定

其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密

度为纵坐标，测量值x为横坐标，作统计直方图，并将f（x）—x中曲线绘在

统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。

（4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。

（5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。

测量记录原始数据记录如下表：

单位:秒（s）

数据处理

对原始数据进行处理，最大值x max =，最小值x min =，平均值x =，标准差σ=，

R=，取K=10，则△x=，得下表：

利用作图如下：

x

N n i

??time x/s

P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=

（理论值 P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=）

由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。 算术平均值的标准差u A =

n

σ

=，即为A 类不确定度。 考虑置信概率P=的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取

95.0t =1 仪?= c=3

B 类不确定度在的置信概率下置信因子为k=

由不确定度合成公式得

2

2

95095.0()）

（仪。c

k

u t U At ?+== P= 误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。

2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。

3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。

4.测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前

或延后，导致测量结果偏离。

思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身存在系统误差，测量

200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。

2.若不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差

的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=。具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n 趋向无穷而趋于零）。

随机误差统计分布规律.

实验题目：时间测量中的随机误差分布规律 实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分 布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。 实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理 （1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。 （2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。 （3）电子秒表兼有数种测时功能。电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器 作时标，一般用六位夜晶数字显示。 （4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。六档方波脉冲 作为时标信号和闸门时间。 2、统计分布规律和研究 (1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值） 的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示： 2 22)(21 )(σπ σx x e x f -- = 其中n x x n i i ∑== 1 为测量的算术平均值， 1 )(1 2 --=∑=n x x n i i σ为测量列的标准差， ?-=a a dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a (2)概率密度分布曲线 求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率 密度分布曲线。若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。 实验步骤：1、时间测量 （1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。 （2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。 2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。 实验器材：电子秒表、机械节拍器

实验名称：时间测量中随机误差的分布规律 (2)

实验名称：时间测量中随机误差的分布规律 实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。 实验器材及规格：秒表0.01s 实验原理： 1常用时间测量仪器的简要原理： 机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。按一定频率发出有规律的声音和闪光。 电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。 V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。时标由DC10 集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。 2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示： 22 1 ()/2 1 () n i i X X f x e σ = ?? -- ?? ?? ?? ∑ = 平均值计算公式： 1 / n i i X X n = =∑ 标准差计算公式： X σ= （1）统计直方图方法 在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max min R X X =-。

将极差分为K 个部分。每个区间长度x ? MAX MIN X X R x K K -?= = 将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。最后以X 为横轴i n N 为纵轴做图。 （2）密度分布曲线 利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线， 数据处理: 最小值 min 2.84X s = 最大值 max 3.64X s = 平均值 3.23X s = 标准差 0.15s σ= A 类不确定度 0.01s Ua σ = = 因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度 0.20Ub s = 误差合成 0.25s ?== P ≥0.95 测量结果为 (3.230.25)T s =± 置信概率 0.95P ≥ 图表统计如下: 取区间数K=17，区间长0.05s 。 统计如下：

时间测量中随机误差的分布规律

实验报告 实验名称 时间测量中随机误差的分布规律 实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量 的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。 实验仪器 机械节拍器，电子秒表。 实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理 （1）机械节拍器 （2）电子节拍器 （3）电子秒表 （4）VAFN 多用数字测试仪 用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s 。 2.统计分布规律的研究 假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为 一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示， ]2)x -(x exp[-21 )(2 2 σπ σ=x f （1） 其中 n x x n 1 i i ∑== （2） 1 -n )x -(x n 1i 2 i ∑== σ （3） ? =a a -f (x)dx P(a) （4） 式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。 （1）统计直方图方法 用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。 在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个

小区域的间隔（△x ）的大小就等于 K x -x K R min max =。统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，N n i 为频率， N n i ∑为累计频率，称 为频率密度。以测量值x 值为横坐标，以 x N n i ??为纵坐标，便可得到统计 直方图。 （2）概率密度分布曲线 利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。 实验内容 1.时间间隔测量 用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。 2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。 （1）利用式（2）和式（3）计算x 和σ。 （2）利用式（1）计算各区中点的f （x ）值。 （3）根据测量结果的离散程度，极限差R 的大小，合理划分小区间数K ，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计直方图，并将f （x ）—x 中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。 （4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。 （5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。 测量记录 原始数据记录如下表：

时间测量中的随机误差分布规律(已批阅).

级学号姓名日期 实验题目:时间测量中的随机误差分布规律 实验目的:同常规仪器测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习用统计方法研究物理 现象的过程和研究随机误差分布的规律。 实验仪器:电子秒表、机械节拍器 实验原理:1、仪器原理 机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响,前者利用齿轮带动摆作周期运动,后者利用 石英晶体的振荡完成周期运动; 电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时,精度可达 0.01s ; 2、统计分布规律原理 在近似消除了系统误差的前提下,对时间 t 进行 N 次等精度测量,当 N 趋于无穷大时,各 测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示: 2 2 2 (21 (σ π σx e

x f -- = 其中 n x n i i ∑ == 1 , 为测量的算术平均值, 1 (1 2 --= ∑n x n i σ,为测量列的标准差, ?-= a

a dx x f a P ( (, σσσ3, 2, =a 利用统计直方图表示测量列的分布规律,简便易行、直观明了。在本实验中利用 f(x得到 概率密度分布曲线,并将其与统计直方图进行比较,在一定误差范围内认为是拟合的,可 认为概率密度分布基本符合正态分布,其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、 N 的非无穷大等所决定的。 实验步骤:1、检查实验仪器是否能正常工作,秒表归零; 2、将机械节拍器上好发条使其摆动,用秒表测量节拍器四个周期所用时间,在等精度条件下 重复测量 150-200次(本实验中测量 150次 ,记录每次的测量结果; 3、对数据进行处理(计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等 ; 数据处理: 实验所测量得到的结果如下: 级学号姓名日期 单位:秒

01时间测量中随机误差的分布规律

实验报告：时间测量中随机误差的分布规律 张贺PB07210001 一、实验题目： 时间测量中随机误差的分布规律 二、实验目的： 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。 三、实验仪器: 电子秒表、机械节拍器 四、实验原理： 1.常用时间测量仪表的简要原理： （1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆 动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。 （2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译 码器、电源和分档控制及显示部分组成。电子 节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪 光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为 39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。 （3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、

日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。 （4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和 100kHz 石英晶体振荡器构成。可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。 2. 统计分布规律的研究： 假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示， ]2)(exp[21)(22--=σπ σx x x f （1）

随机误差统计规律及单摆设计 (5)

实 验 报 告 5－ 25系05级 鄂雁祺 日期：06年3月25日 学号： PB05025003 实验一： 实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。 实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学 习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。 实验原理： 1．由一级单摆近似周期公式：g L T π2=得2 24T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。 2．根据2 24T L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ?+?=?2 所以： %5.0≤?L L ，即%5.05.05.0≤+?+?d l d l ，有 Δl ≤0.5%×l =0.35cm Δd ≤0.5%×2×d=0.002mm 所以： %25.0≤?T T ，有ΔT ≤0.25%×T=0.00425 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可， 5000425 .02 .0T ≈= ??人，所以单摆周期应该一组测量50个。 实验器材： 米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。 实验步骤： 1．用米尺测量摆线长6次； 2．用游标卡尺测量小球直径6次； 3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组；

4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。 数据处理： 由L=l+0.5d,T=t/50,根据公式224T L g π= ，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g = 1．对摆线长l （6组数据）的处理： 米尺误差分布为正态分布 95.0t =2.57 仪?=0.1cm c=3 005.0))1(/()(6 1 =--= ∑=- i i Al n n l l u 由不确定度合成公式得 0.0112()2 2 95095.0=?+=）（仪。c k u t U Al l 则 cm )011.0(65.608l ±= P=0.95 2．对摆球半径（6组数据）的处理： 游标卡尺误差分布为均匀分布 95.0t =2.57 仪?=0.002cm c =3 0001.0))1(/()(6 1 =--= ∑=- i i Ar n n r r u 由不确定度合成公式得 0.0001()2 2 95095.0=?+=）（仪。c k u t U Ar r 则 cm )0001.0(1.0451r ±= P=0.95

随机误差统计规律及单摆设计

实 验 报 告 5－ 实验一： 实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。 实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学 习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。 实验原理： 1．由一级单摆近似周期公式：g L T π2=得2 24T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。 2．根据2 24T L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ?+?=?2 所以： %5.0≤?L L ，即%5.05.05.0≤+?+?d l d l ，有 Δl ≤0.5%×l =0.35cm Δd ≤0.5%×2×d=0.002mm 所以： %25.0≤?T T ，有ΔT ≤0.25%×T=0.00425 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可， 5000425 .02 .0T ≈= ??人，所以单摆周期应该一组测量50个。 实验器材： 米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。 实验步骤： 1．用米尺测量摆线长6次； 2．用游标卡尺测量小球直径6次； 3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组； 4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。 数据处理：

由L=l+0.5d,T=t/50,根据公式224T L g π= ，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g = 1．对摆线长l （6组数据）的处理： 米尺误差分布为正态分布 95.0t =2.57 仪?=0.1cm c=3 005.0))1(/()(6 1 =--= ∑=- i i Al n n l l u 由不确定度合成公式得 0.0112()2 2 95095.0=?+=）（仪。c k u t U Al l 则 cm )011.0(65.608l ±= P=0.95 2．对摆球半径（6组数据）的处理： 游标卡尺误差分布为均匀分布 95.0t =2.57 仪?=0.002cm c =3 0001.0))1(/()(6 1 =--= ∑=- i i Ar n n r r u 由不确定度合成公式得 0.0001()2 2 95095.0=?+=）（仪。c k u t U Ar r 则 cm )0001.0(1.0451r ±= P=0.95 综上所述，由L ＝l +r ，得 11.0()2 95.0295.095.0=+=）（r l L U U U

偶然误差的统计规律.

偶然误差的统计规律 、实验目的：从摆的周期测量值的变化认识偶然误差的规律性： 1、平均值X 和测量列标准偏差S 将随n 的增大而趋于稳定值。 2、 测量值的分布和高斯分布接近。 3、 在(x s )~(X s )区域中测量值的数目约为总数的 68% 二、 实验仪器： 复摆、秒表。 三、 实验方法： 1、 测量复摆的周期，将支架底座调水平。 2、 复摆摆动角度不就过大，尽量避免系统误差，不应让摆前后摆动。 3、 用秒表测量复摆周期，可测量摆动 5次、10次、20次的时间，再计算周 期，共测量100次。 此实验是研究偶然误差规律性，不要人为的有意选择数据，测量时尽量保持振幅 稳定。 四、 数据的统计 S(x) 2、易9 除坏数据：使用格罗面斯判据去判断，可保留的数据范围为: (P G n S) X (P G n S) G n 为格罗布斯判据系数 3、求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差，要求按测量顺序每增加 10个数据，求出一次结果，即 测量顺序 个数N 平均值P 标准偏差S (x ) 1~10 10 1~20 20 1~100 100 最后用折线图表示P 、S (x )的变化情形(横坐标为N ) 4、分区统计并和正态分布作比较 ① 找出数据的最小值(A )和最大值(B ) ② 将(B ―― A )等分为M 个区间，区间宽度E 为 ③ 统计每个区间的数据的个数n i (1=1，2，3…100) ④ 作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较，以测量值为横坐标，以 频率屯和区间宽度的比值 匹 为纵坐标，作统计直方图 n n E 1、求平均值P 及测量列标准偏差S ( x ) X i n i (X i P)2 n 1

1-4随机误差的统计分布

大学物理实验 4 1.4 随机误差的统计分布 1.4.1 随机误差的正态分布 1．正态分布规律 在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，假设系统误差已被减弱到可以被忽略的程度，由于随机误差的存在，测量结果1x ，2x ，…n x 一般存在着一定的差异。如果 该被测量的真值为a ，则根据误差的定义，各次测量的误差为 1,2,3,i i x a i n δ=-= 大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差i δ服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。正态分布的特征可以用正态分布曲 线形象地表示出来，如图1-2所示，横坐标为误差i δ，纵坐标 为随机误差的概率密度分布函数()f δ。当测量次数n →∞ 时，此曲线完全对称。 2．正态分布的性质 （1）单峰性。误差为零处的概率密度最大，即绝对值小 的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可 能性小。 （2）对称性（抵偿性）。大小相等的正误差和负误差出现 的机会均等，对称分布于真值的两侧，当测量次数非常多时， 正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。 （3）有界性。在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定限度，即非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。 根据误差理论可以证明函数()f δ的数学表达式为 ( )2 22f δσδ- （1-3） 测量值的随机误差出现在(),d δδδ+区间内的可能性为()d f δδ，即图1-2中阴影线所包含的面积元。式（1-3）中的σ是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差。 1.4.2 标准误差及其计算 1．标准误差的物理意义 按照概率理论，误差δ出现的区间(),-+∞∞的事件是必然事件，所以()d 1f δδ+-=? ∞∞，即曲线与横轴所包围面积恒等于1。当0δ=时，由式（1-3）得 ( )0f =（1-4） 图1-2 随机误差的正态分布曲线

系统误差和随机误差

系统误差和随机误差 测量误差包括系统误差和随机误差两类不同性质的误差 系统误差 是指“在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量所得结果的平均值与被测量真值之差”。它是在重复测量中保持恒定不变或可按预见方式变化的测量误差的分量。由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能是用约定真值代替，因此可能确定的系统误差也只是估计值。系统误差的来源可以是已知或未知的，那么怎样发现系统误差呢？ 1、在规定的测量条件下多次测量同一个被测对量，从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值 2、在测量条件改变时，例如随时间、温度等街道条件改变时按某一确定的规律变化，可能是线性的或非线性地增长可减小，就可以发现测量结果中存在的可变的系统误差。通常消除或减小系统误差的方法有以下几种： （1）采用修正的方法：对系统误差的已知部分，用对测量结果进行修正的方法来减小系统误差。修正系统误差的方法包括在测量结果上加修正值；对测量结果乘修正因子；画修正曲线；以及制定修正值表等。例如：测量结果为20℃，用计量标准测量的结果是℃，则已知系统误差的估计值为℃，也就是说修正值是+℃，已修正测量结果等于未修正测量结果加修正值。即已修正测量结果为20℃+℃=℃。 （2）在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素。例如在使用仪器时，应该对中的未能对中，应该调整到水平、垂直或平行理想状态的未能调好等等，都会带来系统误差，操作者要仔细调整，以便减小误差等。 （3）选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中。例如：对恒定系统误差消除法，可采用异号法，即改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种

时间测量中随机误差的分布规律

核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24 时间测量中的随机误差分布规律 PB10214023 张浩然 一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律 二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。 三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器 四、实验原理： 1、仪器原理 机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动； 电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理 在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示： 2 2 2)(21 )(σ π σx x e x f -- = 其中 n x x n i i ∑== 1 ，为测量的算术平均值， 1 )(1 2 --= ∑n x x n i σ， 为测量列的标准差， 有 ?-=a a dx x f a P )()(，σσσ3,2,=a 利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。 五、实验步骤： 1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零； 2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在

随机误差统计规律及单摆设计word版本

实验报告 5 — 实验一： 实验题目：单摆的设计与研究一一测量重力加速度。 实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学 习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。 实验原理: 2 T 2 L 得g ，通过测量单摆周期 T ,摆长L , \g T 求出重力加速度g 的大小。 所以： :"%，即 I 0芽 °5 %，有 △ I < 0.5% x l=0.35cm △ d < 0.5% x 2X d=0.002mm 所以： T 0 25%，有△ T < 0.25% x T=0.00425 T 由此可知：I 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可, 实验器材： 米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳） 、钢球、摆幅测量标尺。 实验步骤： 1用米尺测量摆线长 6次； 2 ?用游标卡尺测量小球直径 6次； 3?利用电子秒表测量单摆 50个周期的时间，共 6组； 4 ?记录并分析处理数据，计算重力加速度 g 。 数据处理： i 由一级单摆近似周期公式: 2 ?根据g 4 2L T 2 ，根据最大不确定度计算，有 50，所以单摆周期应该一组测量 0.00425 50个。

U 0.95 L (U 0.951)2 (U 0.95J 2 0.11 1 2 3 4 5 6 x 摆线长 度 1 /cm 65.62 65.61 65.60 65.62 65.61 65.59 65.60833 0.01169 摆球直 径 d/cm 2.088 2.090 2.088 2.094 2.090 2.092 2.09033 0.00234 50个周 期t/s 81.95 81.59 81.91 81.95 82.02 82.13 81.925 0.18152 4 2L g 由L=l+0.5d,T=t/50,根据公式 T ，得到合肥地区重力加速度为: 2 g 9.801m/ s 1 ?对摆线长I （ 6组数据）的处理： 米尺误差分布为正态分布 t 095 =2.57 仪=0.1cm c=3 r (1.0451 0.0001)cm P=0.95 综上所述，由L = I +r ，得 U AI 由不确定度合成公式得 6 i1 (l i l)/(n(n 1)) 0.005 U 0.95I ( Zl )2 (kJ 2 临 12 I (65.608 0.011)cm P=0.95 2 ?对摆球半径（6组数据）的处理: 游标卡尺误差分布为均匀分布 t 0.95 =2.57 仪=0.002cm U Ar 由不确定度合成公式得 U 0.95r r)/(n(n 1)) 0.0001 (t °°95U Ar )2 (k ；)2 0.0001

时间测量中随机误差的分布规律

实验报告 实验题目：时间测量中随机误差的分布规律 实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的 随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。 实验原理：1. 常用时间测量仪表的简要原理 (1) 机械节拍器 (2) 电子节拍器 (3) 电子秒表 (4) V AFN 多用数字测试仪的性能 2. 统计分布规律的研究 在近似消除了系统误差的条件下，对某物理量进行等精度测量，当次数趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正交分布函数表示： 正态分布概率密度函数 ]2)x -(x ex p[-21 )(2 2 σπ σ=x f （1） 其中 n x x n 1 i i ∑== （2） 1 -n )x -(x n 1 i 2 i ∑== σ （3） ? =a a -f(x)dx P(a) （4） 式中a=σ，2σ，3σ (1) 统计直方图法 在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出其最大值与最小值，并求出级差R=x max -x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔 （△x ）的大小就等于 K x -x K R min max =。结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，则 N n i 为频率， N n i ∑为累计频率，x N n i ??称为频率密度。 (2) 利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为 纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。 实验内容：1. 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期或电子节拍器的周期。 2. 统计概率研究：时间测量均要求在相同条件下，重复测量200次以上。 （1）计算结果的x 和σ （2）计算各区中点的f （x ） （3）合理划分小区间数K ，并确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相 对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计

大物实验 时间测量中的随机误差分布规律

实验题目：时间测量中的随机误差分布规律 实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理 现象的过程和研究随机误差分布的规律。 实验仪器：电子秒表、电子节拍器 实验原理：1、仪器原理 （1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。 （2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。 （3）电子秒表兼有数种测时功能。电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作 时标，一般用六位夜晶数字显示。 （4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。六档方波脉冲 作为时标信号和闸门时间。 2、统计分布规律原理 在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各 测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示： 22)(21 )(σπ σx x e x f -- = 其中n x x n i i ∑== 1 ，为测量的算术平均值， 1 )(1 2 --=∑n x x n i σ，为测量列的标准差， ? -=a a dx x f a P )()(，σσσ3,2,=a 利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。在本实验中利用f(x)得到 概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。 实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零； 2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在等精度条件下 重复测量200次，记录每次的测量结果； 3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究； 数据处理： 实验所测量得到的结果如下： 单位：秒 实验次数：200

02-实验二 随机误差的统计分布规律.

3. 分析本实验的测量结果和误差来源。数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。 x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n （即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。 6

如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。但是从长期来看如果抛掷的次数足够多，则将会达到。设想：如果抛掷了 6400 次，可以预料，0 个正面将出现100 次，1 个正面将出现 600 次，2 个正面将出现 1500 次等等。也就是说，在抛掷的数量足够多的情况下，我们可以预期，随着实验次数的增多，当测量次数取无穷大时，最终将出现和图 8-2 相同的出现概率。图1-2 25 64次抛掷中预期的出现频率图 8-2 20 15 系列1 10 5 0 1 2 3 4 5 每次抛掷的正面数目 6 7 7

偶然误差的统计分析李要点

学号2008060105 密级 ******学院本科毕业论文 偶然误差的统计分析 学院名称：********学院 专业名称：物理学 学生姓名：****** 指导教师：****** 讲师 二○一二年三月

BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Statistical analysis of random error College ：*********** Subject ：Hpysics Name ：Li Directed by ：Zh Lecture June 2012

郑重声明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名：日期：

摘要 当对同一物理量进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个误差出现后，不能预定下一个误差的大小和方向，这种误差称为为偶然误差。虽然单个测量值的误差我们无法确定，但就误差的总体而言却具有统计规律。本文通过单摆测当地的重力加速度的实验，通过该实验所测得得实验数据用统计方法来研究偶然误差的分布规律，加深对偶然误差的研究和认识。（为了研究的方便，在本研究中我们只考虑偶然误差） 关键字：偶然误差单摆实验重力加速度实验数据统计规律