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高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》技巧及练习题含答案

【最新】数学《函数与导数》高考复习知识点

一、选择题

1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（）

A ．()()()0.6

33log 132f f f -<-<

B ．()()()0.6

332log 13f f f -<<-

C ．()()()0.6

log 133f f f <-<- D ．()()()0.6

3log 13f f f <-<

【答案】C 【解析】【分析】

利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6

32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可

得大小关系. 【详解】

()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，

0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，

()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.

故选：C . 【点睛】

本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.

2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)?+∞ D ．(1,)-+∞

【答案】C 【解析】【分析】

首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x

y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于

t 的不等式，求解.

【详解】

由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，

x a

y b t

=??==-? ，即2x y t =- ，因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，

即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】

本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

3．已知3215()632f x x ax ax b =

-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132

x x =，则函数12()()f x f x -=（） A ．1- B ．

C ．1

D ．与b 有关

【答案】B 【解析】【分析】

求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -．【详解】

()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，

又213

x x =

，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =．此时122,3x x ==， ()32

15632

f x x x x b =-++，故()()()()()1215182749623326

f x f x -=?---+-= 故选B ．【点睛】

如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：

（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；

（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．

4．函数2

2()41

x x x f x ?=-的图像大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

∵函数()2

2?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U

∴22

2()2()()4114

x x x x

x x f x f x --?-?-===--- ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2

(1)03

f =>，故排除D. 故选A.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．已知()ln x

f x x

，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020

log 20202019

【答案】D 【解析】【分析】

根据2

1ln (),(0,)x

f x x x -'=

∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】

1ln (),(0,)x

f x x x -'=

∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；

对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 2

4(2)442

f f ====，故B 正确；

对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<

ln ln a b

a b

∴

<，可得b a a b <，故选项C 正确；对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，

(2019)(2020)f f ∴>，即

ln 2019ln 202022019020>?20192020ln 2020

log 2020ln 02019

219>=，故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】

本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.

6．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2

f x f x x -+=成立，

且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()1

f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2

??-∞ ??

B ．1,2??+∞????

C ．(],2-∞

D ．[)2,+∞

【答案】A 【解析】【分析】

构造函数2

1()()2

g x f x x =-

，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】令2

1()()2

g x f x x =-

，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,

Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,

所以(0)0f =，

22111()()()()()2

22g x f x x x f x x x f x g x ??∴-=--=--=-=-??，

()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f ==

∴在R 上()g x 单调递增.

又()()112

f a f a a -≥+

-Q ()()()2

211111222

g a a g a a a ∴-+

-≥++-，即()()1112

g a g a a a a -≥?-≥?≤. 因此实数a 的取值范围为1,2

??-∞ ??

故选：A 【点睛】

本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出

1()()2

g x f x x =-

是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.

7．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】【分析】

利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21x

y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，

所以曲线21x

y e

-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，

令0y =，解得1x =，令y x =，解得23

x y ==

，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121

1233

??=，故选B ．

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8．函数()x

e f x x

=的图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

函数()x

e f x x

=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；

当0x >时，()0f x >，且()2

(1)'x

x e f x x

-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；

当0x <时，函数()0x

e f x x

=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．

点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

9．函数()1ln f x x x ??

???

的图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】【分析】

通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当

1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】

当2x =时，1

10x x

=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，13

x x -

=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1

y x x

单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ??

=- ??

单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】

本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.

10．已知函数()2

cos f x x x =-，若15log 3a f ??= ???，31log 5b f ??= ???，3

15c f ???? ? ? ????

=?，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>

【答案】B 【解析】【分析】

判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合

函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】

()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数

故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.

()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ??== ???

，

()331log log 55b f f ?

?== ??

?，

由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ??

??<< ? ? ?

????

，即c a b << 故选：B 【点睛】

本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.

11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式

(2)5f x +<的解集为（）

A ．(3,7)-

B ．()4,5-

C ．(7,3)-

D ．()2,6-

【答案】C 【解析】【分析】

首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】

当0x ≥时,2

()45f x x x =-<的解为05x <≤；

当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{}

55x x -<<，

所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}

52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】

本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.

12．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++?

++<< ?+++-?

?的最小值为

（） A

【答案】B 【解析】【分析】

利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】

2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos

1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x +++-+++=

++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x

x x x x x x x x x ????

++ ? ?????=+=

+=????

++ ? ?

????

，则()21tan 0sin 32f x x x x π?

+<< ??

?， 322222

21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '

--+????=+=-+= ? ?????

. 令()cos 0,1t x =∈，()

61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ???

，所以当03

x π

<<时，

()1

1,02

t g t <<<，从而()'0f x <；当

x π

时，()1

0,02

t g t <<

>，从而()'0f x >. 故(

)min 33f x f π??== ???

. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.

13．函数()3ln x

f x x

的部分图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】【分析】

根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x

f x x

=>，排除CD ，得到答案. 【详解】

()()()33ln ln ,x x

f x f x f x x x

-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3

ln 0x

f x x =>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】

本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.

14．函数()||()a

f x x a R x

∈的图象不可能是( ) A ． B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】【分析】

变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】

,0(),0a x x x

f x a x x x ?->??=??--??=??-+

'?.

(1)当0a =时,,0

(),0

x x f x x x >?=?-

(2)当0a >时,210a

+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令2

10a

x -+

=得x a = ∴当x a <,210a

x -+<,

当0a x <<时,210a

-+>,

∴()f x 在(,a -∞上单调递减,在(,0)a 上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210a

-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减, 令2

10a

x +

=得x a =- ∴当x a >-时,210a

+>,

当0x a <<

-,210a

<, ∴()f x 在)a -上单调递减,在(,)a -+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】

本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单

调性，属于中档题.

15．已知函数()ln x

f x x

=，则使

ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（） A ．(0,1) B ．10,

e ?

? ???

C ．1,1e ?? ???

D ．1,e ??-∞ ???

【答案】B 【解析】【分析】令()ln x

t f x x

==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t

a t

=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】令()ln x t f x x ==

，当01x <<时，()0ln x

t f x x

<，当1x >时，()

ln 1

()ln x t f x x -''==

，

当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥，如图所示：

所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t

a t

=在[),e +∞上只有一解，令ln t m t =

，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t

m t

=在[),e +∞上递减，

所以1

0m e

<≤，所以10a e <≤，当1

a e

=时，x e =，只有一个零点，不合题意，所以10a e

【点睛】

本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

16．已知函数()

()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对

称，当[]0,1x ∈时，()2020x

f x =，则()2020f =（） A ．2020 B ．12020

C ．11010

D ．0

【答案】D 【解析】【分析】

根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得

()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有

()()4f x f x -=-+，

函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，

()()()20200505400f f f ∴=+?==；

故选：D ．【点睛】

本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.

17．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3

()()2f x f x +=-，则9()2

f -的值为（） A ．0 B ．3

C ．

D ．92

【答案】A 【解析】

首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ??

- ???

的值即可. 【详解】

函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ?

+=- ???

，则函数的周期3T =，据此可知：()993360002222f f f f f ???????

=-+==+=-= ? ? ? ????????

?. 本题选择A 选项. 【点睛】

本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，

()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（）

A ．(),1-∞

B ．(),0-∞

C ．()0,+∞

D ．()1,+∞

【答案】B 【解析】

不等式()3x

f x e >+得

()()33

11x

x x

f x f x e e e ->+

∴>， ()()()()()33

f x f x f x

g x g x e e --+=

∴=

'<'设，

所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()43

01001

g g x g x -==∴>∴<．故选B ．

点睛：本题的难点在于解题的思路．已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．

19．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a

r r r +-+

C ．18(1)a r +

D ．18[(1)(1)]a

r r r

+-+

【答案】D

【分析】

由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】解：根据题意，

当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +，同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，

孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，

可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：

1717

18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a

S a r a r a r r r r r

++-=++++??++==+-++-；

故选：D ．【点睛】

本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.

20．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为

()S S a =，则()S a 的图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】【分析】

根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案. 【详解】

①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21

()(1)2

S a a =

+；

②当11a +=时，即0a =，1()2

S a =

. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =+且1

(0)2

S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D 【点睛】

本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.

高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题

专题4.4 立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。二．解题策略类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（）使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D

又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标，根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。【答案】 3254 2?? ??