第27届 IMO数学竞赛

素材来源于网络，林老师搜集编辑整理

素材来源于网络，林老师搜集编辑整理第27届 IMO

1. d是不为2,5,13的正整数，试证明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的两数a,b满足ab-1不是一个完全平方数。

2.在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一给定点P0，当s>=4时定义 A s= A s-3，现使用以下的方法构造一系列点P1, P2, P3, ...： P k+1是 P k绕 A k+1顺时针旋转120度得到的点（k = 0, 1, 2,...）。如果 P1986 = P0，求证A1A2A3是等边三角形。

3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使这5个整数之和是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数分别是x,y,z，如果y < 0则执行下述操作：将x,y,z分别替换为x + y, -y, z + y。重复执行这样的操作直到这5个顶点数中至少有一个是负值。试问能否经过有限步之后操作结束。

4.O是正n(n >= 5)边形的中心，设 A, B 是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形XYZ与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。

5.试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数 f，使其满足f(2) = 0；当 0<= x <2时f(x)不等于0；对所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。

6.给定平面上的一个有限点集，每个点的坐标都是整数，问有没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一个）的直线 L上的红点和白点的个数之差不大于1？

数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)

《解析几何》专题训练 一、选择题 1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程 1(,22x y x y a b a b +-+ =为相异正数),所表示的曲线 是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a , (,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知 它是非正方形的菱形. 2、若椭圆22 13620 x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为 A, B,(- C,(3, D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又 20 2 93 PF e x == -,得03x =, 代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22 221x y a b -= 的离心率 e 2?∈??? ，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ?????? B ．,62ππ?????? C ．,32ππ?????? D ．2,33ππ?? ???? 4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。 （ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5= AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条 共切线。正确答案为C 。 5、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别 以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2 知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；

空间解析几何数学竞赛辅导

空间解析几何数学竞赛辅导 一. 向量代数 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 ),,(12121221z z y y x x M M ---=→ 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→ ，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→ → （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→ →?b a （1）><→ →b a ,为向量→ → b a ,的夹角，且π>≤≤<→ →b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→ → ?b a （遵循右手原则，且→ → → ⊥?a b a 、→ → → ⊥?b b a ） 3 2 1 3 21 b b b a a a k j i b a → → → → →=? （1）3 3 2211//b a b a b a b a b a ==? =?→ → → → λ （2）00332211=++?=??⊥→ →→ → b a b a b a b a b a （3）几何意义： ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；

平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为 212131 3111 |||0|22 ABC i j k S AB AC x x y y x x y y =?=---- 21 21 31 3112x x y y x x y y --=--的绝对值 也可以写成1 1223 31 1121 ABC x y S x y x y =的绝对值。 5. 混合积：(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b == (2)坐标表示：1 11 2 223 3 3 (,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。 (3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体 的体积。 ,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。 空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z , 444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为

解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何 1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为． 【答案】[]36， 【解析】设()9A a a -， ，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交，得 d 36a ≤≤． 2、（2009一试5）椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的最小值为． 【答案】22 222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ??????±± ? ? ?????? ?，． 由P ，Q 在椭圆上，有 222221 cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得222211 11a b OP OQ +=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22 222a b a b +． 3、（2010一试3）双曲线12 2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】9800 4、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为． 【答案】)2,1(-或)6,9(- 即0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ，

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义：解析几何(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

高一数学竞赛培训《解析几何部分》

高一上期数学竞赛培训资料（16） ——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题 一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤： （1）建：建立直角坐标系； （2）设：设立动点坐标P （x ，y ）； （3）现：将动点的等量关系呈现出来； （4）代：代入点的坐标； （5）化：化简上述等式。 应注意：所求方程的完备性！ 二、题型示例： 1、ABC ?的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ?重心的轨迹方程。 2、过原点作曲线2 1y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的 P 的轨迹方程。 3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA 和QB 的交点M

4、已知ABC ?的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ?的外心M 的轨迹方程。 5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足 12 PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。 6、ABC ?中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。 7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。

8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。 9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ?垂心的轨迹方程。 10、已知点P 是圆22 :4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。 （1）试求线段PQ 中点的轨迹方程； （2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。

高中数学竞赛专题讲座之解析几何

高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足） ，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3 [ D ．)1,2 3( 解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以 λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：????? =-+= y y x x 11)1(3λ λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33 [32132232 2∈-=-λλ λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D) A .212y x =- B .212y x = C .216y x =- D .216y x = 3．（2006年江苏）已知抛物线2 2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△ POF 是直角三角形，则这样的点P 共有 （ B ） ()A 0个 ()B 2个 ()C 4个 ()D 6个 4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122 22=-b y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两 点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ） （A ）22a b ab - （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2 2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程 13 cos 2cos 3 sin 2sin 2 2 =-+ -y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+ 即.3sin 2sin >又 ,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32 ,220>-∴<>∴<<< <ππ π方程表示的曲线是椭圆。 ) ()4 232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π

大学生数学竞赛空间解析几何练习题

试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。 解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以 '223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=?=为基本向量 建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为 '' 2222 ''2222'/B A x x z A B A B A B y D B x z A B A B z y ?=+?++? ?=-- +?++? ?=?? 在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2'''' 22 22 2 2 2 2 6( )(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B ++ -- + =+++ + 所以交线的方程为： '2' '''22 22 22 22 '6()(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ?++--+ =?++++? ?=? 化简得： '2' '22 22 '6()(/)1 0B A y x D B x A B A B z ?+--=?++? ?=? 因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得 322A B =-.

试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ? ? ?=+=+++?? ?=+=++020 13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。 解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1 11 2 :,1 20 1:21-+==-=+=-z y x l z y x l 设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=， 试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程. 解：设所求的直线的方程为:141x lt y mt z nt =+??=-+??=+? ,又因为所求的直线在二次曲 面上,所以对任意的,t 有 2222(1 )(4)(1) 3(1)( 4)(1)(1 )6(1) l t m t n t l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=, 化简得; 2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以 222230 (1)7570l m n ml nl l m n ?+-++=? ++=? 由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得 220 (1)570 m n m n ?-=? +=?

全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何

1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2 -y 2 =1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A) 33 (B) 2 33 (C) 33 (D) 63 3、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2 +(y 12)2=142，则x 2+y 2 的最小值为( ) (A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B 【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22 x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。 4、（2002一试4）直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 【答案】B 5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（） A. B. C. D. 【答案】 B 6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（） (A) 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y= p k = 4 3 上，即AB中点为( 4 3 ， 4 3 )，中垂线方程为y=－ 3 3 (x－ 4 3 )+ 4 3 ，令y=0，得点P的坐标为 16 3 ．∴PF= 16 3 ．选A．

高中理科数学解题方法竞赛篇(解析几何).doc

学习必备 欢迎下载 高中数学解析几何问题研究 x 2 y 2 1 题 1. Let point M movealong the ellipse 9 8 ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is. (ellipse 椭圆； focus 焦点； coordinate 坐标 ) （第十四届高二第二试第 18 题） x 2 y 2 译文：点 M 是椭圆 9 1 上一点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P （6，2），那 8 么 3|MF|-|MP| 的最大值是 ，此时点 M 的坐标是. x 2 y 2 1 y 在椭圆 9 8 解 中 ， M M Q D a 2 9,b 2 8 ，则 c 2 1, c 1 ， P G 所以椭圆的右焦点 F 的坐标 F c 1 -3 O 1 3 6 9 x e a 3 ， l 为（1，0），离心率 a 2 9 l : x 右准线 c ，显然点 x 2 y 2 1 P （6，2）在椭圆 9 8 的外部 . 过点 P 、M 分别作 PG ⊥ l 于 G ，MD ⊥ l 于 D ， 过点 P 作 PQ ⊥MD 于 Q ，由椭圆的定义知， 3|MF|-|MP|=|MD|- |MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3 ，当且仅当点 P 位于线段 MD 上，即点 P 与 Q 点重合时取等号 . 由点 P 位于线段 MD 上，MD ⊥ l 及点 P （6，2）， x 02 4 1 知点 M 的纵坐标为 2，设 M 的横坐标为 x 0 ，即 M （ x 0 ，2），则有 9 8 ，解 3 2 3 2 x 0 2 ，因此 3|MF|-|MP| 的最大值是 3，此时点 M 的坐标是（ 2 ，2）. 得 评析 若设点 M 的坐标为 (x,y) ，则可将 3|MF|-|MP| 表示成 x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将 3|MF|-|MP| 转化为 ||MD|-|MP| ，就把无理运算转化为有理运算， 从而大大简化了解题过程 . 拓展 将此题引伸拓广，可得

近十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何)

十年全国高中数学联赛试题一试 解析几何圆锥曲线部分 一、选择题 2000、已知点A 为双曲线x 2-y 2 =1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A) 33 (B) 2 3 3 (C) 33 (D) 63 答案：C 。解析：如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）满足方程12 2=-y x ， 可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33. 2002．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 2 9=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB 面积等于3．这 样的点P 共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x +4y －12=0． 设点P (4cos θ，3sin θ)． 点P 与直线的距离d=12|cos θ+sin θ－1| 5 ， 当0≤θ≤π2时，d ≤12 5 (2－1)，S ABC ≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3； 当 π 2<θ<2π时，d ≤12 5 (2+1)，S ABC ≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B ． 2003. 2设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线2 2 bx ay ab +=的图形是【答】（ ）

题设方程可化为b ax y +=和12 2=+b y a x ,观察图形可知； 2003.3 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60? 的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ） （A ） 163 (B)8316 33 83易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB 中点的横坐标为34 0=x ,纵坐标3 40=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF= 3 16 ； 2004、已知M={ } 32|),(22 =+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有 ,φ≠?N M 则b 的取值范围是 A ．[ 26,26- ] B 。（26 , 26-）C 。（332,332-） D 。[ 332,332-] 答：[ ] 解：M N ≠?I 相当于点（0，b ）在椭圆 22 23x y +=上或它的内部2266 1,3b b ∴≤≤≤ 。 故选A 。 2005. 方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 解：),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+Θ 即 .3sin 2sin > 又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32, 220>-∴<>∴<<< < ππ π方程表

高中数学竞赛专题讲座之五╲t解析几何

《解析几何》 各类竞赛试题选讲 一、选择题 1、（04湖南）已知曲线C ：x x y 22--= 与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(-- C ．)12,0[- D ．)12,0(- 2. （05全国）方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是（ ） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 3、（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确 答案为C 。 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A 、2213,22y x y x = = B 、2235 ,22 y x y x == C 、22,3y x y x == D 、223,5y x y x == 5．若在抛物线)0(2 >=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是 ( A )． (A) a 21 (B)a 1 (C)a (D)a 2 6. （06江苏）已知抛物线y 2 =2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有( B ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个 7、（06全国）如图3，从双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆 222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点。若M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为 ( ) A.||||MO MT b a ->- B.||||MO MT b a -=- C. ||||MO MT b a -<- D.不确定 8.（05四川）双曲线122 22=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分 别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定( )

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=， 与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ；

高中数学联合竞赛解析几何试题

全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编（00 ~ 05） 一、选择题 1．（00，3）已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．（00，5）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ） 17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．（02，2）若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．（02，4）直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．（03，2）设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．（03，3）过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．（05，5）方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 二、填空题 8．（00，10）在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方