2020年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题
1.(3分)下列各数是有理数的是()
A.﹣ B.C.D.π
2.(3分)地球绕太阳公转的速度约为110000km/h,则110000用科学记数法可表示为()
A.0.11×106B.1.1×105C.0.11×105D.1.1×106
3.(3分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
A.B.C.
D.
4.(3分)下列运算正确的是()
A.a0=0 B.a2+a3=a5 C.a2?a﹣1=a D.+=
5.(3分)如图,该几何体主视图是()
A.B.C.D.
6.(3分)下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩(单位:分钟)
则这组成绩的中位数和平均数分别为()
A.137、138 B.138、137 C.138、138 D.137、139
7.(3分)如图,△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=,则∠CDE+∠ACD=()
A.60°B.75°C.90°D.105°
8.(3分)如图,是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对下列结论①ab>0,②abc>0,③<1,其中错误的个数是()
A.3 B.2 C.1 D.0
9.(3分)如图,已知⊙O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则⊙O的半径长为()
A.B.C.D.
10.(3分)如图,已知凸五边形ABCDE的边长均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,则BD必定满足()
A.BD<2 B.BD=2
C.BD>2 D.以上情况均有可能
二、填空题
11.(3分)因式分解:x2y﹣4y=.
12.(3分)分式方程=﹣2的解为.
13.(3分)如图,已知扇形OAB的圆心角为60°,扇形的面积为6π,则该扇形的弧长为.
14.(3分)如图所示,为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度,一测量人员在该建筑物附近C处,测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°,随后沿直线BC向前走了100米后到达D处,在D处测得A处的仰角大小为30°,则建筑物AB的高度约为米.
(注:不计测量人员的身高,结果按四舍五入保留整数,参考数据:≈1.41,
≈1.73)
15.(3分)甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子,他们抛掷的点数分别记为a、b,则a+b=9的概率为.
16.(3分)观察下列格式:
=1﹣=
+=1﹣+﹣=
++=1﹣+﹣+﹣=
…
请按上述规律,写出第n个式子的计算结果(n为正整数).(写出最简计算结果即可)
三、解答题
17.(7分)计算:(﹣2)3++10+|﹣3+|.
18.(7分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=2sin60°﹣tan45°.19.(7分)已知关于x的不等式组恰好有两个整数解,求实数a
的取值范围.
20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
(1)求证:该方程有两个不等的实根;
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9,求m的值.
21.(8分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF、BE.
(1)求证:DB=DE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线.
22.(8分)随着社会的发展,私家车变得越来越普及,使用节能低油耗汽车,对环保有着非常积极的意义,某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车,进
行了一项油耗抽样实验:即在同一条件下,被抽样的该型号汽车,在油耗1L的情况下,所行驶的路程(单位:km)进行统计分析,结果如图所示:
(注:记A为12~12.5,B为12.5~13,C为13~13.5,D为13.5~14,E为14~14.5)
请依据统计结果回答以下问题:
(1)试求进行该试验的车辆数;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若该市有这种型号的汽车约900辆(不考虑其他因素),请利用上述统计数据初步预测,该市约有多少辆该型号的汽车,在耗油1L的情况下可以行驶13km 以上?
23.(8分)小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律:
①该蔬菜的销售价P(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足关系:P=9﹣x;
②该蔬菜的平均成本y(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足二次函数关系y=ax2+bx+10.
已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位:元/千克)最大?最大平均利润是多少?(注:平均利润=销售价﹣平均成本)24.(9分)在现实生活中,我们会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、A4的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为:1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”,在“标准矩形”ABCD中,P为DC边上一定点,且CP=BC,如
图所示.
(1)如图①,求证:BA=BP;
(2)如图②,点Q在DC上,且DQ=CP,若G为BC边上一动点,当△AGQ的周长最小时,求的值;
(3)如图③,已知AD=1,在(2)的条件下,连接AG并延长交DC的延长线于点F,连接BF,T为BF的中点,M、N分别为线段PF与AB上的动点,且始终保持PM=BN,请证明:△MNT的面积S为定值,并求出这个定值.
25.(10分)如图,直线l:y=kx+b(k<0)与函数y=(x>0)的图象相交于A、C两点,与x轴相交于T点,过A、C两点作x轴的垂线,垂足分别为B、D,过A、C两点作y轴的垂线,垂足分别为E、F;直线AE与CD相交于点P,连接DE.设A、C两点的坐标分别为(a,)、(c,),其中a>c>0.
(1)如图①,求证:∠EDP=∠ACP;
(2)如图②,若A、D、E、C四点在同一圆上,求k的值;
(3)如图③,已知c=1,且点P在直线BF上,试问:在线段AT上是否存在点M,使得OM⊥AM?请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2020年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.(3分)(2020?黄石)下列各数是有理数的是()
A.﹣ B.C.D.π
【分析】利用有理数的定义判断即可.
【解答】解:有理数为﹣,无理数为,,π,
故选A
【点评】此题考查了实数,熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键.
2.(3分)(2020?黄石)地球绕太阳公转的速度约为110000km/h,则110000用科学记数法可表示为()
A.0.11×106B.1.1×105C.0.11×105D.1.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.
【解答】解:将110000用科学记数法表示为:1.1×105.
故选B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(3分)(2020?黄石)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
A.B.C.
D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确.
故选D.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
4.(3分)(2020?黄石)下列运算正确的是()
A.a0=0 B.a2+a3=a5 C.a2?a﹣1=a D.+=
【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:(A)a0=1(a≠0),故A错误;
(B)a2与a3不是同类项,故B错误;
(D)原式=,故D错误;
故选(C)
【点评】本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
5.(3分)(2020?黄石)如图,该几何体主视图是()
A.B.C.D.
【分析】根据三棱柱的特点并结合选项作出正确的判断即可.
【解答】解:三棱柱的主视图为矩形,
∵正对着的有一条棱,
∴矩形的中间应该有一条实线,
故选B.
【点评】考查了简单几何体的三视图的知识,解题的关键是了解中间的棱是实线还是虚线,难度不大.
6.(3分)(2020?黄石)下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩(单位:分钟)
则这组成绩的中位数和平均数分别为()
A.137、138 B.138、137 C.138、138 D.137、139
【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可,中位数是将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
【解答】解:把这组数据按从大到小的顺序排列是:125,129,136,140,145,147,
故这组数据的中位数是:(136+140)÷2=138;
平均数=(125+129+136+140+145+147)÷6=137.
故选B.
【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法,解题的关键是牢记定义,此题比较简单,易于掌握.
7.(3分)(2020?黄石)如图,△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=,则∠CDE+∠ACD=()
A.60°B.75°C.90°D.105°
【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE=,根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°,根据三角函数的定义得到∠A=60°,求得∠ACD=∠B=30°,得到∠DCE=60°,于是得到结论.
【解答】解:∵CD⊥AB,E为BC边的中点,
∴BC=2DE=,
∵AB=2,AC=1,
∴AC2+BC2=12+()2=4=22=AB2,
∴∠ACB=90°,
∵tan∠A==,
∴∠A=60°,
∴∠ACD=∠B=30°,
∴∠DCE=60°,
∵DE=CE,
∴∠CDE=60°,
∴∠CDE+∠ACD=90°,
故选C.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,直角三角形的性质,三角函数的定义,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
8.(3分)(2020?黄石)如图,是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对下列结论①ab >0,②abc>0,③<1,其中错误的个数是()
A.3 B.2 C.1 D.0
【分析】根据抛物线的开口方向,判断a的符号,对称轴在y轴的右侧判断b的符号,抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号,以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号.
【解答】解:∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的右侧,
∴b<0,
∴ab<0,故①错误;
∵抛物线和y轴的负半轴相交,
∴c<0,
∴abc>0,故②正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
∴<1,故③正确;
故选C.
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式以及特殊值的熟练运用.
9.(3分)(2020?黄石)如图,已知⊙O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则⊙O的半径长为()
A.B.C.D.
【分析】连接BD,作OE⊥AD,连接OD,先由圆内接四边形的性质求出∠BAD
的度数,再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形,则DE=AD,∠ODE=∠ADB=30°,根据锐角三角函数的定义即可得出结论.
【解答】解:连接BD,作OE⊥AD,连接OD,
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆,∠BCD=120°,
∴∠BAD=60°.
∵AD=AB=2,
∴△ABD是等边三角形.
∴DE=AD=1,∠ODE=∠ADB=30°,
∴OD==.
故选D.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键.
10.(3分)(2020?黄石)如图,已知凸五边形ABCDE的边长均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,则BD必定满足()
A.BD<2 B.BD=2
C.BD>2 D.以上情况均有可能
【分析】先根据等腰三角形的底角相等,得出∠AED+∠CDE=180°,判定AE∥CD,再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,得出△ABC是等边三角形.【解答】证明:∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE,
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE,
∵∠ABE=∠AEB,∠CBD=∠CDB,
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE,
∴∠AED+∠CDE=180°,
∴AE∥CD,
∵AE=CD,
∴四边形AEDC为平行四边形.
∴DE=AC=AB=BC.
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=CD=1,
在△BCD中,∵BD<BC+CD,
∴BD<2.
故选A.
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质:等腰三角形的底角相等,以及等边三
角形的判定定理.解题时注意,同旁内角互补,两直线平行.
二、填空题
11.(3分)(2020?黄石)因式分解:x2y﹣4y=y(x﹣2)(x+2).
【分析】首先提取公因式y,再利用平方差公式分解因式即可.
【解答】解:x2y﹣4y=y(x2﹣4)=y(x﹣2)(x+2).
故答案为:y(x﹣2)(x+2).
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用乘法公式分解因式是解题关键.
12.(3分)(2020?黄石)分式方程=﹣2的解为x=.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2x=3﹣4x+4,
解得:x=,
经检验x=是分式方程的解,
故答案为:x=
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
13.(3分)(2020?黄石)如图,已知扇形OAB的圆心角为60°,扇形的面积为6π,则该扇形的弧长为2π.
【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径,然后根据扇形的面积公式S
=lR(其中l为扇形的弧长),求得扇形的弧长.
扇形
【解答】解:设扇形的半径是R,则=6π,
解得:r=6,
设扇形的弧长是l,则lr=6π,即3l=6π,
解得:l=2π.
故答案是:2π.
【点评】本题考查了扇形面积和弧长的计算,熟练掌握扇形的面积公式和弧长的公式是解题的关键.
14.(3分)(2020?黄石)如图所示,为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度,一测量人员在该建筑物附近C处,测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°,随后沿直线BC向前走了100米后到达D处,在D处测得A处的仰角大小为30°,则建筑物AB的高度约为137米.
(注:不计测量人员的身高,结果按四舍五入保留整数,参考数据:≈1.41,
≈1.73)
【分析】设AB=x米,由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100,根据tan∠
ADB=可得关于x的方程,解之可得答案.
【解答】解:设AB=x米,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,
∴BC=AB=x米,
则BD=BC+CD=x+100(米),
在Rt△ABD中,∵∠ADB=30°,
∴tan∠ADB==,即=,
解得:x=50+50≈137,
即建筑物AB的高度约为137米
故答案为:137.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系,然后找出所求问题需要的条件.
15.(3分)(2020?黄石)甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子,他们抛
掷的点数分别记为a、b,则a+b=9的概率为.
【分析】利用列表法即可解决问题.
【解答】解:甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子,所有可能的结果是:
满足a+b=9的有4种可能,
∴a+b=9的概率为=,
故答案为.
【点评】本题考查的是古典型概率.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
16.(3分)(2020?黄石)观察下列格式:
=1﹣=
+=1﹣+﹣=
++=1﹣+﹣+﹣=
…
请按上述规律,写出第n个式子的计算结果(n为正整数).(写出最简计算结果即可)
【分析】根据上述各式的规律即可求出第n个式子的计算结果.
【解答】解:n=1时,结果为:=;
n=2时,结果为:=;
n=3时,结果为:
所以第n个式子的结果为:
故答案为:
【点评】本题考查数字规律问题,解题的关键是根据已给出的式子找出规律,本题属于基础题型.
三、解答题
17.(7分)(2020?黄石)计算:(﹣2)3++10+|﹣3+|.
【分析】原式利用乘方的意义,算术平方根定义,零指数幂法则,以及绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣8+4+1+3﹣=﹣.
【点评】此题考查了实数的运算,以及零指数幂,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(7分)(2020?黄石)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=2sin60°﹣tan45°.
【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法,再计算减法,最后约分即可化简原式,根据特殊锐角三角函数值求得a的值,代入即可.
【解答】解:原式=[﹣]?(a﹣1)
=?(a﹣1)
=
当a=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1时,
原式==.
【点评】本题主要考查分式的化简求值,熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是
解题的关键,也考查了特殊锐角的三角函数值.
19.(7分)(2020?黄石)已知关于x的不等式组恰好有两个整数解,求实数a的取值范围.
【分析】首先解不等式组求得解集,然后根据不等式组只有两个整数解,确定整数解,则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围.
【解答】解:解5x+1>3(x﹣1)得:x>﹣2,
解x≤8﹣x+2a得:x≤4+a.
则不等式组的解集是:﹣2<x≤4+a.
不等式组只有两个整数解,是﹣1和0.
根据题意得:0≤4+a<1.
解得:﹣4≤a<﹣3.
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
20.(8分)(2020?黄石)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
(1)求证:该方程有两个不等的实根;
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9,求m的值.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=16+4m2>0,由此可证出该方程有两个不等的实根;
(2)根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1?x2=﹣m2②,结合x1+2x2=9③,可求出x1、x2的值,将其代入②中即可求出m的值.
【解答】(1)证明:∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中,△=(﹣4)2﹣4×1×(﹣m2)=16+4m2>0,
∴该方程有两个不等的实根;
(2)解:∵该方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴x1+x2=4①,x1?x2=﹣m2②.
∵x1+2x2=9③,
∴联立①③解之,得:x1=﹣1,x2=5,
∴x1?x2=﹣5=﹣m2,
解得:m=±.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)联立x1+x2=4①、x1+2x2=9③,求出x1、x2的值.
21.(8分)(2020?黄石)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E 为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF、BE.
(1)求证:DB=DE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线.
【分析】(1)欲证明DB=DE,只要证明∠DBE=∠DEB;
(2)欲证明直线CF为⊙O的切线,只要证明BC⊥CF即可;
【解答】(1)证明:∵E是△ABC的内心,
∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC,
∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
(2)连接CD.
∵DA平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAC,