Chapter03第三章 空间平滑和空间插值

35

第三章空间平滑和空间插值

本章介绍基于GIS的空间分析中两个常用操作：空间平滑和空间插值。空间平滑和空间插

值关系密切，它们都可以用于显示空间分布态式及空间分布趋势，二者还共享某些算法（如核

密度估计法Find/Replace All）。空间平滑和空间插值的方法有很多种，本章只介绍其中最常用

的几种。

空间平滑与移动平均在概念上类似（移动平均是求一个时间段内的均值），而空间平滑术

是一个空间窗口内计算平均值。第 3.1节介绍空间平滑的概念和方法，第3.2节是案例分析

3A，用空间平滑法研究中国南方/泰语地名(Find/Replace all)分布。空间插值是用某些点的已知

数值来估算其他点的未知数值。第3.3节介绍了基于点的空间插值，第3.4节为案例3B，演示

了一些常用的点插值法。案例3B所用数据与3A相同，是案例3A工作的延伸。第3.5节介绍

基于面的空间插值，用一套面域数值（一般面单元较小）来估算另一个面域的数值（范围较大）。面插值可用于数据融合以及不同面域单元的数据整合。第3.6节为案例3C，介绍两种

简单的面插值法。第3.7节为小结。

3.1空间平滑

与移动平均法计算一个时间段的平均值（例如：五日平均温度）相似，空间平滑是将某点

周围地区（定义为一个空间窗口）的平均值作为该点的平滑值，以此减少空间变异。空间平滑

适用面很广。其中一种应用是处理小样本问题，我们在第八章会详细讨论。对于那些人口较少

的地区，由于小样本事件中随机误差的影响，癌症或谋杀等稀有事件发生率的估算不够可靠。

对于某些地区，这样的事情发生一次就可导致一个高发生率，而对于另外许多地区，没有发生

这种事情的结果是零发生率。另外一种应用是将离散的点数据转化为连续的密度图，从而考察

点数据的空间分布模式，可参见下面的第3.2节。本节介绍两种空间平滑方法（移动搜索法及

核密度估计法），附录3介绍经验贝叶斯估计。

3.1.1移动搜索法

移动搜索法（FCA）是以某点为中心画一个圆或正方形作为滤波窗口，用窗口内的平均值（或数值密度）作为该点的值。将窗口在研究区内移动，直到得到所有位置的平均值。平均值的变动性较小，从而实现空间上的平滑效果。FCA也可以用于可达性测量（见第五章第5.2节）等其他研究中。

图3.1是由72个网格单元组成的研究区。以网格53为中心的圆定义了一个包含33个网格的窗口（如果网格的中心在圆内，则它属于这个圆），从而这33个网格的平均值为网格33的空间平滑值。将圆心在研究区内不同网格中心之间移动，就得到所有网格的空间平滑值。例如，以网格56为中心的等半径的圆包含的33个网格定义了网格56的滤波窗口。值得注意的是，研究区边界附近的滤波窗口包含网格较少，从而平滑度较低。这种效果称为边缘效应。

窗口的大小很重要，需要仔细确定。较大的窗口得到较强的空间平滑效果，从而更好地反映了区域全局分布态势，而不是局部差异；较小窗口则得到相反的结果。我们可以通过试验不同大小的窗口来寻求一个合适的窗口。

案例3A详细介绍了FCA法在ArcGIS中的应用。我们先计算所有点之间的距离（例如欧式距离），然后提取那些小于或等于阈值的距离。在计算距离时，我们可以选用阈值距离作为搜索半径，从而直接得到阈值范围内的距离。这里我们先计算所有点之间的距离，然后通过属性值(距离)大小提取不同窗口内的观察值, 比较灵活些。在ArcGIS中，我们可以基于提取的距离表通过汇总起始点计算属性值的均值来计算在起始总周边范围内观察点的平均值。因为距离表只包含那些阈值范围内的距离，只有在窗口之内的观察值才参与了汇总操作，实现了搜索的效果。这样，我们可以省掉逐个画圆并查询圆内点的反复计算过程。

3.1.2核估计

核估计与FCA的方法类似。两种方法都要用一个滤波窗口来定义近邻对象。所不同的是，在FCA法中，所有对象的权重相同，而在核估计法中，距离较近的对象，权重较大。这36

37

种方法在分析和显示点数据时尤其有用。离散点的数据直接用图表示, 空间趋势往往不明显。核估计可以得到研究对象的一个连续密度图示，即以“波峰”和“波谷”的方式强化的空间分布模式。这种方法也可以用于空间插值。

核密度方程的几何意义为：密度分布在每个x i 点中心处最高，向外不断降低，当距离中心达到一定阈值范围（窗口的边缘）处密度为0，参见图3.2。网格中心x 处的核密度为窗口范围内的密度和：

)(

1)(?1∑=-=n

i i

d h x x K nh x f

这里K( )为核密度方程，h 为阈值，n 为阈值范围内的点数，d 为数据的维数。参见相关文献中 (Silverman, 1986: 43)常用的核密度方程。例如，当d = 2时，一个常用的核密度方程可以定义为 ∑=-+--=n i i i h

y y x x nh x f 12

22

22])()(1[1)(?π 这里，2

2)()(i i y y x x -+-为点(x i , y i )和(x , y )之间的离差。

与FCA 法中窗口的作用类似，这里较大的阈值揭示一种区域分布态势，而较小的阈值则强调局部分布差异(Fotheringham et al., 2000: 46)。

ArcGIS 内置有核估计工具。在调用之前，我们先要打开空间分析扩展模块，可以通过主工具条的扩展键来实现，即点击空间分析下拉箭头，点击Density ，对于对话框中的Density Type ，选择Kernel 。

3.2案例3A ：用空间平滑法分析华南地区的傣族姓氏分布

本例研究华南地区傣族姓氏的分布模式，它是一个研究华南地区傣族历史起源研究项目之一部分。本项目的合作者包括北伊利诺伊大学的约翰·哈特曼（John Hartmann ）和罗卫。在中国，少数民族（例如傣族）的汉化是一个长期持续的过程。历史变迁的痕迹可以在地名上反映38

出来。我们发现，一些早期的傣族地名常常以地理或自然界的事物而命名，如“稻田”、“乡村”、“河口”、“山”等。另外的一些傣族地名则在汉化过程中逐渐湮没或改变。我们的研究项

目主要是为了重构早期的傣族地名，以便揭示汉族南迁之前华南地区原始傣族居民点的分布范

围。本案例用来演示GIS技术在历史－语言－文化研究中的应用，这是一个学者较少涉猎的领

域。

我们的研究区为广西钦州市（参见图3.3）。地图是研究空间分布模式的一种重要方法，

但是直接标绘傣族地名能够读取的信息不多。图3.3是傣族与非傣族地名的分布，由此可以粗

略地看到傣族地名在空间分布上疏密有别。空间平滑技术可以形象地显示傣族地名的空间分布

模式。

本例需要用到光盘中的下述数据：

1.钦州市乡镇地名的点图层qztai，属性TAI为地名的傣族（=1）或非傣族（=0）标

记。

2.qzcnty为研究区内6个县的边界图层。

3.2.1第一部分：基于移动搜索法的空间平滑

首先应用移动搜索法进行研究。我们要试验不同的窗口大小，寻找一个适中窗口，在这个

过程,我们希望既有一定的平滑程度以便显示总体分布态势，又能揭示地区差异。在围绕某点

的窗口内，傣族地名在所有地名中的比率代表该点周围傣族地名的集中度。在实际应用时，关

键的一步是利用任意两点的距离矩阵来提取某点周围一定半径范围内的地名点。

1.计算各点之间的距离矩阵：参照第

2.

3.1节的办法测算欧式距离。在ArcToolbox中，依

39

次选择Analysis Tools > Proximity > Point Distance。在“Input Features”和“Near Features”

栏都输入qztai（point），将输出表命名为Dist_50km.dbf。“search radius”取

50km，这样我们可以利用距离表处理50km以内的不同窗口。在距离表

Dist_50km.dbf中，列数据INPUT_FID为起点，而NEAR_FID为终点。

2.将傣族地名连接到距离矩阵：以qztai中的FID和Dist_50km.dbf 中的NEAR_FID

为连接指针，将属性数据表qztai连接(join)到距离表Dist_50km.dbf。这样，每个

终点可以通过属性数据point:Tai来判断是否为傣族地名。

3.提取窗口内的距离矩阵：例如，定义一个10km半径的窗口，打开表

Dist_50km.dbf，进行下述操作：单击右下边的“option”，选择Select By Attributes ，

输入条件Dist_50km.DISTANCE <=10000，执行操作后，对每个起点，所有10km

距离内的终点将被选中。点击Options > Export，输出新表，命名为Dist_10km.dbf，

里面为所有距离小于10km的数据。那些距离值为0（distance = 0）的点（即起点和终点

相同）为圆心。

40 4.计算窗口内傣族地名的比重：打开表Dist_10km.dbf，右键单击列INPUT_FID选择

Summarize，在弹出的对话框中，第一栏（field to summarize）里为INPUT_FID，在第

二栏（summary statistics）中选择TAI(Sum)，并将输出表命名为Sum_10km.dbf，所得

表中，列Sum_TAI为10km距离内的傣族地名数，而列Count_INPUT_FID为10km

内的总地名数。在表Sum_10km.dbf中添加新的一列Tairatio，按照公式

Tairatio = Sum_TAI / Cnt_INPUT_计算数值。这里，Cnt_INPUT_为列名

Count_INPUT_FID的简写。所得比值为窗口内傣族地名数占所有地名数的比重。

5.将傣族地名比重值连接到点图层：以Sum_10km.dbf中的INPUT_FID及qztai中的

FID为连接指针，将Sum_10km.dbf连接到qztai的属性数据表。

6.绘制傣族地名比重图：用“proportional point symbols”方式绘制傣族地名比重图（比重值

代表每点周围10km范围内傣族地名的比重)，见图3.4。

上面演示的即为FCA空间平滑法，它将二值变量TAI转化为比值变量Tairatio。

7.敏感性分析：用其他窗口值如5 km或15 km，重复上述3-6步的操作，将所得结果与图

3.4对比，以考察窗口大小的影响。表3.1是所得数据的一些统计描述值。由此可知，当

窗口值增加时，傣族地名比重值的标准离差降低，表明空间平滑性增加。

3.2.2第二部分：基于核估计的空间平滑

1.执行核估计：打开ArcMap的空间分析（Spatial Analyst）扩展模块：单击Tools菜单> 选

择Extensions >选中Spatial Analyst，单击View菜单> 选择Toolbars >选中Spatial Analyst。单击Spatial Analyst下拉箭头> 选择Density，弹出新的对话框。在对话框中，Input data栏选择qztai(point)，在Population field栏选择TAI，选择kernel作为Density type，设置Search radius为10000 (meters)，Area units为square kilometers，Output cell size为1000 (meters)，将输出栅格数据命名为kernel_10k。

2.绘制核密度图：默认状况下，核密度图以9级分色显示，图

3.5是按5级显示的结果，背

景为县域边界。

核密度图上傣族地名的分布为一个连续的面，显示了波峰与波谷的分布态势。但是，图上的密度值只表示相对的集中度，并不象FCA法得到的Tairatio（泰语地名在一定范围内的百分比）有实际的意义。

3.3基于点的空间插值

基于点的空间插值包括整体和局部两种方法。整体插值借助所有已知点（控制点）的数据来估计未知值。局部插值借助未知点周边的样本来估计未知值。正如托布罗第一地理定律（Tobler, 1970）所述，“所有事物彼此相关，距离越近关系越强”。是用整体插值还是局部插值，取决于远处的控制点是否对待估未知数据点有作用。究竟选取哪一种方法并没有明确的规律可循。可以认为，从整体到局部的尺度是连续的。如果数值主要受邻近的控制点影响，可以用局部插值法。局部插值法的计算量要比整体插值法小得多（Chang, 2004: 277）。我们也可以用检验技术来比较不同的方法。例如，控制点可以分成两个样本：一个用于构建模型，另一个用于检验已经构建的模型的准确性。本节在简单介绍2个整体插值法之后，重点讲解3种局部插值法。41

42

3.3.1整体插值法

整体插值法包括趋势面分析和回归模型分析两种。趋势面分析是用多项式模型拟合已知数据点

),(y x f z =

这里，属性数值z 被认为是坐标x 和y 的函数（Bailey and Gatrell, 1995）。例如，一个三次趋势面模型可以表作

3

928273625423210),(y b xy b y x b x b y b xy b x b y b x b b y x z +++++++++=

上述方程通常用最小二乘法进行估计，然后将拟合所得方程用于估算其他点的值。

一般来说，高阶模型可用于描述复杂表面，从而得到较高的拟合优度R 2或较低的RMS 。

其中RMS （root mean square 均方根）的计算方法为：∑=-=n

i est i obs i n z z RMS 1

2

,,/)(。但

是，对控制点拟合较好的模型并不一定是估计未知数值的好模型。有必要对不同模型进行比较检验。如果因变量（即待估属性）是二值变量（即0和1），则模型为一逻辑斯蒂趋势面模型，表征一个概率曲面。局部趋势面分析是用一个未知点周边的控制样本来估计该点的未知数值，通常称为局部多项式插值。

ArcGIS 提供了最高12阶的趋势面模型。为了实现这种方法，需要打开Geostatistical Analyst 扩展模块。在ArcMap 中，操作过程为：单击Geostatistical Analyst 下拉箭头> Explore Data > Trend Analysis 。

回归模型是用线形回归法来得到因变量与自变量之间的方程，然后用来估计未知点的数值（Flowerdew and Green, 1992）。回归模型既可以用空间变量（不一定是上述趋势面模型中用到的x-y 坐标），也可以用属性变量，而趋势面分析只能用x-y 坐标进行预测。

3.3.2局部插值法

下面讨论三种局部插值法：反距离加权法、薄片样条插值法、克里金法。 43

反距离加权法（IDW ）用周边点的加权平均值作为未知点的估计值，这里的权重按距离的幂次衰减（Chang, 2004: 282）。因此，IDW 法是托布罗第一地理定律的例证。IDW 模型可以表作

∑∑=-=-=s i k

iu s

i k iu

i u d

d z z 1

1

这里z u 为待估u 点的未知值，z i 为控制点i 的属性值，d iu 是点i 与u 之间的距离，s 为所用控制点的数目，k 为幂次。幂次越高，距离衰减作用越强（越快）（即近邻点的权重比远处点的权重高得多）。换言之，距离的幂次越高，局部作用越强。

薄片样条插值是通过拟合得到一个曲面，对所有控制点的预测值完全拟合，并在所有点的变化率最小（Franke, 1982）。其模型可表作

∑=+++=n

i i

i i cy bx a d d A y x z 12

ln ),( 这里，x 和y 是未知数据点的坐标，2

2)()(i i i y y x x d -+-=是到控制点（x i , y i ）的距离，A i , a , b 和 c 待估的n+3个参数。这些参数可以通过解一个由n+3个线形方程组来得到（参见第十一章），则有

∑==+++n i i

i i i i i z cy bx a d d A 1

2;ln 01=∑=n i i A ; 01=∑=n

i i i x A ; and 01=∑=n i i i y A .

需要注意的是，上面第一个方程实际上代表了i = 1, 2, …, n 取值时的n 个方程，z i 为已知i 点的属性值。

44

薄片样条插值法在数据稀少的区域将产生陡峭的梯度值，可以用张力薄片样条插值、规则样条插值、紧缩规则样条插值来减轻这个问题（参见Chang, 2004: 285）。这些高级插值法都可归为径向基函数。

克里金法（Krige, 1966）认为空间变异包含三个部分：空间相关组分，代表区域化变量；“漂移”或结构，代表趋势；随机误差。克里金法借助半方差函数（1/2方差 ）来检验自相关： ∑=+-=n i i i h x z x z n h 1

2)]()([21)(γ 这里n 为相距（或称空间滞后）h 的控制点对的数目，z 为属性值。由于空间依赖关系，γ(h) 随h 增加而增大，即近邻物体之间的相似性大于远距离物体。可以用半方差图来显示γ(h) 随h 变化的情况。

克里金法通过拟合半方差图得到一个数学模型，以此来估计任意给定距离的半方差函数，从而用之计算空间权重。这里所用空间权重的效果与IDW 法相似，即近邻控制点的权重比远点的权重高。例如，对于某个未知点s （需要插值的点），控制点i 的权重为W is ，则s 点的插值为：

∑==s

n i i is s z W z 1

这里，n s 为s 周围样本控制点数，z s 和z i 分别为s 和i 点的属性值。与核估计相似，克里金法可以基于点数据得到一个连续的面。

在ArcGIS 中，三种局部插值都可以在Geostatistical Analyst 扩展模块中实现。在ArcMap 里，单击Geostatistical Analyst 下拉箭头> Geostatistical Wizard > 选择 Inverse Distance Weighting 、Radial Basis Functions 或Kriging 来分别调用IDW 法、各种薄片样条插值法、或克里金法。这三种局部插值法也可以用Spatial Analyst 或3D Analyst 来实现。这里推荐Geostatistical Analyst 法，因为它提供更多信息和更好的交互界面（Chang, 2004: 298）。 45

3.4案例3B：表面建模及华南傣族地名图的绘制

这里延续案例3A的工作，用各种表面建模技术绘制钦州市傣族地名的空间集聚图。所用数据不变。同时还会用到前面案例3A第一部分所生成的数据，尤其是用FCA法计算得到的傣族地名比重的数据。

3.4.1第一部分：用趋势面分析法制图

1.激活Geostatistical Wizard对话框：在案例3A中，如果退出ArcMap时没有保存工程，则

需要重复案例3A第一部分第5步的工作：将表Sum_10km.dbf连接到属性表qztai。在ArcMap中，打开Geostatistical Analyst和Spatial Analyst扩展模块。单击Geostatistical Analyst下拉箭头>选择Geostatistical Wizard，弹出对话框。

2.用趋势面分析生成趋势面：在第一步弹出的对话框中，在输入数据框（Input Data）中选

择qztai，属性框（Attribute）中选择Sum_10km.Tairatio，方法框（Methods）中选择Global Polynomial Interpolation。在下一个对话框中，用不同的幂次（例如1，3，4，8，10）分别试验，观察所得趋势面及对应的RMS值。随着幂次的增加，趋势面包含的局部信息越多，得到的RMS值越小。这里，我们取幂次为10，得到的RMS=0.1124，生成的趋势面图层Global Polynomial Interpolation Prediction Map将自动添加到图层中。

3.绘制研究区的趋势面图：右键单击趋势面图层，选择Data > Export to Raster。将输出栅格

图命名为trend10。单击Spatial Analyst下拉箭头>选择Options >设置qzcnty为Analysis mask。再次单击Spatial Analyst下拉箭头> 选择Raster Calculator > 双击图层一栏中的trend10，将其添加到计算框中，再单击Evaluate。计算得到的栅格图Calculation即为研究区内的趋势面图。

右键单击Calculation图层，选择属性（Properties）以改善显示效果（例如，在Display选项卡中，定义透明度为30%；在Symbology选项卡中，修改图例等）。图3.6为傣族地名比重的趋势面图，它跟用核估计得到的图3.5的分布态势相似，但显示了更多

整体趋势。它清楚地表明，傣族地名高度集中在西南地区，并向东北及其他方向延伸。值得注意的是，趋势面分析的有些插值如负值和大于1的值在现实中并不存在。

4.[可选操作]：逻辑斯蒂趋势面分析：ArcGIS也可以直接用原始的二值变量Tai来生成趋

势面。在第二步的对话框中，属性（Attribute）一栏选择point:Tai，其他选项不变，重复上述操作，即可得到基于逻辑斯蒂趋势面分析的概率面（即某点为傣族地名的概率）。

3.4.2第二部分：用局部插值法绘制分布图

1.用IDW法绘制趋势面：与上面第一部分第1步类似，打开Geostatistical Wizard对话框。

选择qztai为输入数据（Input），Sum_10km.Tairatio为属性（Attribute），选择方法框里面的Inverse Distance Weighting。使用默认的幂次为2，设置邻近点数（neighbor to选项）为15，并用圆域来选择控制点。计算得到的RMS = 0.0844。将所得趋势面输出为栅格图idw2。与上述第一部分第3步类似，我们将得到研究区内的趋势面，如图3.7所示。需要注意的是，所有插值与原始数据的范围相同，即在0～1之间。

与图3.6相比，图3.7的局部分布态势更明显。

2.用薄片样条线法绘制趋势面：类似的，在Geostatistical Wizard对话框中，选择Radial

Basis Functions作为插值方法，其他选项不变。单击next，设置插值的参数，使用默认的Completely Regularized Spline法，其他项使用默认设置即可，于是得到一个新的趋势面，将所得栅格图命名为regspline。所得图与3.7略有不同，在此从略。

3.用克里金法绘制趋势面：类似的，在Geostatistical Wizard对话框中，选择Kriging作为插

值方法，其他选项不变。单击next，设置插值的参数，使用默认的Ordinary Kriging Prediction Map法，其他项使用默认设置即可，于是得到一个新的趋势面，将所得栅格图命名为ordkrig。所得图形与图3.7类似，在此从略。46

47

3.5基于面域的空间插值

基于面域的插值（面域插值）也称为交叉面域聚合，它是将数据从一种面域单元系统（源

区域）转换到另一种面域系统（目标区域）。点插值中用到的一些方法如克里金法或多阶趋势

面分析也可用于栅格表面的插值，原始栅格单元的值转化为目标区域的值。换言之，假设面状

单元可以用它的质心代替，基于点的插值方法可以近似地用于面状单元的属性插值。

面域插值的方法有很多种（Goodchild et al., 1993），其中最简单也最常的是面积权重插值（Goodchild and Lam, 1980）。这种方法将源区域的属性值按面积比例分配到目标区域。它假

设属性值在每个源区域内均匀分布。

48

如果研究区的信息较多，我们还可以用一些更高级的方法来改进插值。下面介绍一种对美

国人口普查数据进行插值时尤其有用的方法。利用美国统计局TIGER数据中的路网数据，谢

一春（Xie, 1995; 也可参见Batty and Xie, 1994a, 1994b）发展了一些网络－覆盖算法将人口或

其他基于居民的属性数据从一个面域单元投影到另一个面域单元。居民住房通常沿街道或道路

分布，从而人口分布与街道网络紧密相关。在“网络长度”、“网络等级权重”和“网络住房载荷”

三种算法中，网络等级权重（NHW）法得到的结果最为理想。

NHW法的关键部分由一系列GIS叠加操作组成。下面举例说明。在研究城市问题时，我

们常用交通规划普查数据库（CTPP）来分析土地利用和交通问题。1990年CTPP数据：https://www.wendangku.net/doc/b510997779.html,/publications/census_transportation_planning_package_1990。2000年CTPP数

据：https://www.wendangku.net/doc/b510997779.html,/ctpp/在1990年的CTPP城市要素数据中，大部分区域的数据是按

交通分析小区（TAZ）这一层次进行汇总的。例如，在1990年303个CTPP城市要素区域

中，265个区域的数据是按TAZ汇总的，13个是按普查小区进行的，25个按街区进行（作者

根据美国交通统计局发布的文件Regncode.asc进行汇总）。因为种种原因（例如，一些普查小

区的数据合并在一起），我们需要将基于TAZ的CTPP数据转普到普查小区上。在这里，

TAZ为源区域，普查小区为目标区域。这一操作包括下述5步：

1.把TAZ图层与普查小区图层进行叠加以得到新的图层TAZ-tract（多边形），将TAZ-

tract图层与道路网络图层叠加得到一个控制网（线）图层。

2.构造公路权重矩阵，不同类型公路沿线分布的人口和商业密度不同，从而赋予不同权

重。

3.将TAZ图层和网络图层叠加，计算不同公路的长度以及每个TAZ内的加权长度，将人

口及其他一些属性分配给网络。

4.将第3步得到的结果（人口及其他属性）连接到控制网图层，然后基于TAZ-tract图层计

算每个多边形内属性值之和。

5.按普查小区计算汇总属性值，从而得到每个普查小区的属性插值。

3.6案例3C：将俄亥俄克利夫兰市普查数据从普查小区转化到邻里单元和入学片区

本例介绍两种常用的基于面域的数据整合方法。第一种本质上并不是插值法，它只是在每

个目标区域包含多个源区域时（或者假设近似如此），简单地将数据从一种面域单元转换到另

一种面域单元。第二种方法是面积权重插值。第一种方法将在下面第一部分介绍，我们将把克

利夫兰市的普查数据从普查小区转换到邻里单元，每个邻里单元包括多个完整的普查小区。具

体操作时以人口属性数据为例来演示这种插值方法。

本书光盘附有本例所需下述数据：

49

1.克利夫兰市36个邻里单元（或称统计规划区，SPA）的shp文件clevspa2k。

2.库伊合各县统一入学片区的shp文件tgr39035uni。

3.库伊合各县的普查小区shp文件cuyautm及普查小区的质心文件cuya_pt。

3.6.1克利夫兰市普查小区数据向邻里单元数据的简单融合

这种简单融合通过空间连接的办法将数据从源区域转换到目标区域，直接操作即可得到结

果。

在ArcMap中，打开cuyautm的属性表，它包括人口密度数据，但没有人口数据。因为

当时的属性连接是暂时性的，所以在前面案例1A中添加的数据列area和popuden都还

在，但那些连接的列在退出工程时就没有了。我们可以用两种方法来恢复POP2000数据，一是重新连接表tgr39035trt00.dbf，二是添加一列POP2000，然后按照POP2000 = area * popuden / 1000000的公式计算得到。对质心shp文件cuya_pt进行同样的操作。

右键单击目标图层clevspa2k，选择Joins and Relates > Join。在弹出的对话框中，选择“Join data from another layer based on spatial location”，选择cuya_pt作为源图层，在数据汇总选项（其说明文字为“Each polygon will be given a summary of the numerical attributes of the points that fall inside it …”）中，选中“Sum”前面的复选框，将输出结果命名为spa_pop。如果选择cuyautm为源图层，则可执行多边形到多边形的连接。比较保险的做法是上述点到多边形连接。spa_pop属性表中的sum_pop2000数据列即为汇总的邻里单元人口数（其他列可删去）。

3.6.2 库伊合各县从普查小区到入学片区（Find/Relaceby“校区”）的面积权重数据融合

1.准备入学片区图层：在ArcToolbox中，调用Data Management Tools > Projections and

Transformations > Feature > Project，将地理坐标系的tgr39035uni转换到UTM坐标

系的cuyauni文件，这里的UTM从cuyautm文件导入（import）。在cuyauni

的属性表中添加一个新的变量area列，并更新其数据（参照第1.2节第3步）。

2.普查小区与入学片区图层叠加：在ArcToolbox中，调用Analysis Tools > Overlay >

Intersect > 先选择cuyautm作为输入要素，然后再添加cuyauni作为输入要素，将输出结果命名为tmp_int。在tmp_int的属性表中，数据列area是从cuyautm 得到的普查小区面积，数据列area_1是从cuyauni得到的每个入学片区的面积。

图 3.8以研究区右下角的一块区域为例演示了叠加过程。需要注意的是，普查小区184104被分成了两部分：多边形A属于入学片区10016，多边形B属于入学片区04660。50

51

3.根据面积大小分配属性数据：在tmp_int的属性数据中添加一列area_2，使其面

积等于新叠加生成的shp文件的面积。在tmp_int的属性数据中再新增一列

popu_est，并按照公式popu_est = pop2000*area_2/area求值。这样，我们

就按面积权重法得到了叠加操作后各多边形的人口插值。例如，多边形A的人口数等

于普查小区184104的人口乘以多边形A的面积再除以普查小区184104的面积，即

1468*1297600/16810900=113。

为了检验所得数据，读者可以新添加一列popu_valid，并按照popu_valid = popuden*area_2 /1000000公式进行计算，所得结果应该与popu_est相同。面

积权重法假设每个普查小区内的人口呈均匀分布，从而叠加后的多边形（普查小区的

一部分）具有普查小区一样的人口密度。

4.将数据转换到入学片区：在tmp_int的属性表中，右键单击列unified（入学片区

编码），在第二个对话框中选择Summarize > 选择popu_est（sum），并将输出结

果命名为uni_pop.dbf。uni_pop.dbf表的数据列sum_popu_e即为入学片区

的人口插值，它可以连接到cuyauni图层以便进行绘图等其他操作。

3.7小结

本章介绍的技巧包括下面几种：

1.用FCA法进行空间平滑；

2.用核估计绘制点状要素数据；

3.趋势面分析（包括逻辑斯蒂趋势面分析）；

4.局部插值法，如反距离权重法、薄片样条线法、克里金法；

5.简单数据融合，要求多个源数据区域全部包含在目标区域内；

6.面积权重数据融合，当源数据区域与目标数据区域边界不同时适用。

空间平滑和空间插值经常用于绘制空间分布模式图，如案例3A和3B那样绘制华南地区傣族地名分布图。这两种技术可应用于许多基于点状数据的工作。例如，在案例4A中定义专

业球队的影响区时，我们使用了一种简单空间插值法来得到居民选择不同球队的概率趋势面

（参见图 4.4）。但是，趋势面仅仅是描述性的。对空间集聚或分散的判断常常很武断。哪些

地方的集聚具有统计上的显著性而不是偶然情况呢？要回答这个问题需要严格的统计分析，例

如空间聚类分析——本书第九章将讨论这个问题（案例9A基于同一套数据来判断傣族地名的

空间聚类）。

基于面域的空间插值常常用于数据整合分析，即将数据从不同源区域转换到一个面域单

52 元。它也可用于研究可变地域单元问题（MAUP）时将数据从一个高精度面域到一个低精度面

域。例如，在案例6关于城市密度方程的问题中，将数据从普查小区转换到乡镇单元，从而使

基于不同面域单元的方程具有可比性。

附录3：空间平滑的经验贝叶斯估计

经验贝叶斯估计是另外一种常用于调整或平滑面域变量（尤其是比率）的方法（例见

Clayton and Kaldor, 1987; Cressie, 1992）。因为两个事件的联合概率等于第一个事件的概率与

第二个事件条件概率（基于第一个事件）之积，在估计数据的概率分布时，贝叶斯推断可看作

关于数据集内生的先验信息或推断（Langford, 1994: 143），即：

似然函数×先验概率=后验概率

以疾病风险为例，研究区的观测数据可用泊松分布的似然函数表示。先验信息是基于研究

区观测数据的相对风险（率）分布：例如，人口较多地区的相对风险估计比人口较少地区的估

计要可靠得多。总而言之：（1）研究区内的平均风险率是可靠和无偏的；（2）跟对小规模人

口的估计相比，对大规模人口的疾病风险率估计更准确；（3）疾病风险率服从一种已知的概

率分布。

假定用一种概率分布如Γ分布来描述先验的风险率分布。Γ分布有两个参数，即形态参

数α和尺度参数ν，均值为ν/α，方差为ν/α2。参数α和ν可以综合用马歇尔（Marshall, 1991）

提出的最大似然法和力矩法进行估算。对于某个人口数为P i，病例数为k i的i地区，发病的原

始概率为k i /P i。由此可以得到，后验期望率或经验贝叶斯估计为

αν

++=i i i P k E

如果地区i 的人口数较少，与ν和α相比，k i 和P i 都较小，从而经验贝叶斯估计E i 接近于ν/α（全研究区的比率）。相反地，如果地区i 的人口较多，k i 和P i 相对较大，从而经验贝叶斯估计E i 接近于原始概率k i /P i 。经验贝叶斯估计E i 是原始概率k i /P i 经ν和α两个内生参数平滑的结果。

当经验贝叶斯估计（EB ）用于整个研究区时，所有地区的比率都基于整个研究区的比率进行了平滑，这即是全局经验贝叶斯平滑。当它用于局部地区时，基于每个地区定义一个邻域，将比率按邻域地区的比率进行平滑，此即为局部经验贝叶斯平滑。一个地区的邻域定义为它的邻近地区与它本身之和。邻域可以按“边邻域”或“任意邻域”（参见第1.4节）、一阶或二阶邻域等方式定义。

鲁科·安索林（Luc Anselin ）和同事合作开发了一种免费软件包GeoDa （https://www.wendangku.net/doc/b510997779.html,/geoda_main.php ），它可以用来做EB 估计的空间平滑。在GeoDa0.9.5-i 中，依次选择Map > Smooth > Empirical Bayes （或Spatial Empirical Bayes ）即可。这里的Empirical Bayes 命令将比率按整个研究区均值进行平滑，因而是一种全域经验贝叶斯平滑。Spatial Empirical Bayes 命令是将比率按一个地区空间“窗口”（基于一个空间权重文件，按某个地区及其邻域地区进行定义）进行平滑，因而是局部经验贝叶斯平滑。

53

表3.1 基于不同窗口大小的FCA空间平滑

窗口大小（半径）

傣族地名的比重

最小值最大值均值标准差

5 km 0 1.0 0.1868 0.3005 10 km 0 1.0 0.188

6 0.1986 15 km 0 0.8333 0.1878 0.1642

空间插值算法汇总

空间插值算法： 1、距离倒数乘方法 (Inverse Distanee to a Power ) 距离倒数乘方格网 化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于 一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0的权重。换 言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒 数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 (Kriging)克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 (Minimum Curvature )最小曲率法广泛用于地球科学。 用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的

长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准 4、多元回归法(Polynomial Regression )多元回归被用来确定你的数据 的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。 多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X和Y 组元的最高方次。 5、径向基本函数法 (Radial Basis Function )径向基本函数法是多个数据 插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的 复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6谢别德法(Shepard's Method )谢别德法使用距离倒数加权的最小 乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。

空间插值方法汇总

空间插值方法汇总 Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为 0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的 Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲

两种空间插值方法的比较研究

两种空间插值方法的比较研究 摘要：距离倒数加权法算法简单，容易实现，适合分布较均匀的采样点集，但容易出现“牛眼”现象；克里金法是一种无偏最优估计法，精度较高，适合空间自相关程度高的数据，但其算法复杂，实现较难。这两种 方法各有其适用情形，本文比较了这两种方法的优劣并提出算法优化的思路。 关键字：距离倒数加权，克里金，优化 1引言 空间插值是根据一组已知的离散数据或分区数据，按照某种假设推求出其他未知点或未知区域的数据的过程，简单的说就是由已知空间特性推求未知空间特性。它是地学研究中的基本问题，也是GIS 数据处理的重要内容。在利用GIS 处理空间数据的过程中，需要进行空间插值的场合很多，如采样密度不够、采样分布不合理、采样存在空白区、等值线的自动绘制、数字高程模型的建立、区域边界分析、曲线光滑处理、空间趋势预测、采样结果的2.5维可视化等[1]。通过归纳，空间插值可以简化为以下三种情形：（1）现有离散曲面的分辨率、像元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影像（航空像片、遥感影像）从一种分辨率或方向转换为另一种分辨率或方向的影像。（2）现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN 到栅格、栅格到TIN 或矢量多边形到栅格。（3）现有数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面[2]。。 现有的空间插值方法多种多样，但每一种方法都有其适用情形和无法避免的缺陷，本文分析了距离倒数加权法和克里金法的插值结果，并提出改进的思路。 2方法 距离倒数加权法和克里金法都是建立在地理学第一定律之上的，即：空间距离越近，地理事物的相似性越大[3]。它们都是通过确定待插点周围采样点的权重来求取待插点的估计值，可统一表示。设n x x ,,1 为区域上的一系列观测点，)(,),(1n x Z x Z 为相应的观测值。待插点0x 处的值)(0x Z 可采用一个线性组合来估计： ∑==n i i i x Z x Z 10)()(λ （1）

arcgis空间内插值教程

GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值，并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值，打开插值方法列表，如下图：

空间插值算法汇总

空间插值算法： 1、距离倒数乘方法（Inverse Distance to a Power）距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法（Kriging）克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法（Minimum Curvature）最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法（Polynomial Regression）多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回

ArcGIS中几种空间插值方法

ArcGIS 中几种空间插值方法 1. 反距离加权法(IDW) ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。可表示为： 1111() ()n n i p p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。 2.多项式法 多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。 3.样条函数内插法 样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要

解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。 4.克里格插值法 克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。 对于普通克里格法，其一般公式为 01()()n i i i Z x Z x λ==∑，其中，Z(x i )(i=1, Λ,n)为n 个样本点的观测值，Z(x 0)为待定点值，i λ为权重，权重由克立格方程组： 011 (,)(,)1n i i j i i n i i C x y C x x λμλ==?-=????=??∑∑ 决定，其中,C(x i ,x j )为测站样本点之间的协方差，C(x i ,x 0)为测站样本点与插值点之间的协方差，μ为拉格朗日乘子。 插值数据的空间结构特性由半变异函数描述，其表达式为： () 21 1()(()())2()N h i i i h Z x Z x h N h ν==-+∑ 其中，N(h)为被距离区段分割的试验数据对数目，根据试验变异函数的特性，选

降雨空间插值分析

第五章降雨空间插值分析 降雨空间插值分析是系统的中间件，其主要任务是把流域内175个雨量站的资料利用空间插值方法合理地插值到分布式水文模型所应用的空间网格上，以便于利用历史和实时自动测报雨量进行模型的率定和模拟验证，其输出结果以数据库或数据文本方式储存。 该层次的功能主要包括以下三个方面：（1）把175站雨量信息合理地插值到计算网格；（2）雷达降雨与分布式水文模型耦合接口；（2）暴雨数值预报与分布式水文模型耦合接口。 5.1 概述 降雨空间插值分析是本系统的关键技术之一。该部分的功能实现途径如下： （1）建立统一的基础空间数据库，包括统一的网格、单元、区域、子流域划分及编码，实现对同一区域对象的地理、水文、气象综合描述。系统的基本分辨率规定为空间1km×1km； （2）多源降雨信息的同化及整合。无论是自动测报实时雨量，还是历史数据（包括月、日、时等时段），通过该软件都可以生成网格上的空间分布数据。 （3）数值天气预报产品转化为1km网格的空间数据； （4）雷达信息转换为分布式水文模型所用网格的空间数据。

5.2 空间插值方法 空间插值方法的主要思想是：由分布的流域上的各个测站（xi, yi, zi ）（x, y 为坐标值，z 为雨量值），拟合出该时段降雨量在流域上的分布函数f (x, y)，进而求得在该函数在计算网格上的积分： ()??=dA y x f P , 5-1 则网格上的面平均雨量为： A P P = 5-2 在实际操作时，分布函数的拟合是采用加权的最小二乘拟合得出，但是对于复杂的空间分布函数，其求解并不是简单的问题。一般情况下多选用多项式函数来作为数学表达式，另外还要求解上的可行性和便利性，目前趋势面的求解均采用最小二乘法，一般来说只有线性表达式以及可转化为线性的表达式方可求解。 目前流行较多的方法有：算术平均、距离反比加权平均、最短距离法、空间函数拟合插值等。算术平均方法比较简单，如果网格内有雨量站点，则该网格内的平均雨量为网格内站点雨量的平均值，但是小花间网格要4万多个，而雨量站点165个，该方法不能适用。以下重点介绍距离反比加权平均、最短距离法、克里格法和空间函数拟合插值方法。

空间插值

EX07：空间插值 本实验包含3个任务，任务1是进行趋势面分析（Trend surface analysis）；任务2使用IDW方法进行局部插值；任务3使用普通克里格（Ordinary kriging）方法进行插值。上述任务都可以在地统计分析（Geostatistical analyst）中进行空间插值，此时可以使用交叉有效性统计（如均方根统计）进行模型比较。地统计分析提供了比空间分析（Spatial Analyst）及ArcToolbox中插值工具更多信息及更好的用户界面。 任务1：趋势面模型用于插值 所需数据：stations.shp，包含Idaho州内及附近175个气象站的shapefile；idoutlgd，Idaho 州边界栅格文件。 在任务1中，在进行趋势面分析之前，首先查看stations.shp中的平均年度降水量数据。本任务中7、8、9等步骤涉及到栅格数据运算，为选作内容。 1.运行ArcCatalog，连接到EX07文件夹。运行ArcMap，将数据框架命名为Task1，将 stations.shp和idoutlgd添加到Task1。确保Geostatistical analyst和Spatial Analyst在Tools 菜单下的Extensions中的复选框被设置，且相应的工具条在程序中显示出来。 2.单击Geostatistical analyst中的下拉键头，指向Explorer Data，选择Trend Analysis。在 Trend Analysis对话框的底部，选择数据源的Layer为stations.shp，Attribute为ANN_PREC。 3.将Trend Analysis对话框最大化。对话框中的3D图表达了两种趋势信息：在YZ平面 中由北向南倾斜，在XZ平面中先表现为由西向东倾斜，而后些微上升。南北方向的趋势比东西方向趋势更为明显，即Idaho州降水量由北向南递减。关闭对话框。 4.单击Geostatistical analyst中的下拉键头，选择Geostatistical Wizard。在第1页中进行输 入数据和地统计方法的选择。单击Input Data下拉键头，选择stations。将Attribute选择为ANN_PREC。在Methods框架中，选择Global Polynomial Interpolation。 5.在下一页可以选择趋势面模型采用的阶数（Power）。在Power列表中提供了1-10的选 择。选择1作为阶数。下一页绘制了预测值与观测值、误差与观测值之间的分布图及一次趋势面模型相关统计。RMS是对趋势面模型综合符合度的一种衡量，在此起数值为 6.073。按Back返回且将阶数设置为2，此时RMS变为6.085。重复调整阶数，选择具 有最小RMS数值的趋势面模型即为本本任务最佳综合模型。对于ANN_PREC，最佳阶数设置为5。将阶数设置为5后单击Finish。在Output Layer Information对话框单击OK。Q1：当阶数为5时，RMS统计值是多少？ 6.Geostatistical analyst（GA）的输出为Global Polynomial Interpolation Prediction Map，与 stations具有相同的范围。在Global Polynomial Interpolation Prediction Map上单击右键选择Properties，在Symbology页包含4个显示选项：山体阴影（Hillshade）、等高线（Contours）、栅格（Grid）和填充等高线（Filled Contours），选择Filled Contours后单击分类（Classify）。在分类对话框中，选择手工分类，将其分为7类并将分类线设置为 10、15、20、25、30和35。单击OK关闭对话框。等高线（等雨量线）用不同色彩作 分类。 7.要将Global Polynomial Interpolation Prediction Map裁剪至与Idaho州边界相符，首先将 GA数据转化为栅格数据。在Global Polynomial Interpolation Prediction Map上单击右键，指向Data，选择Export to Raster，在弹出的对话框中，设置单元大小为200（米），并将输出命名为trend5_temp。单击OK进行数据输出。将trend5_temp添加到地图，检查trend5_temp中位于州边界外部的数值。

空间内插方法分析

摘要 本文首先对空间插值的的理论基础包括空间插值的必要性以及目标等几个方面进行了介绍；在此基础上，对空间插值的几种方法包括反距离加权法、克里格法、泰森多边形法、样条函数法等进行了探讨和研究，对方法的适用范围、优缺点、插值精度等方面进行了总结；对反距离加权法和克里格法等的实现方法进行了研究；论文最后对空间内插的方法选择进行了归纳总结,并对空间内插今后有待进一步研究的方面以及发展应用方向进行了展望。 关键词：空间内插克里格反距离加权 Abstract Firstly,theoretical basis,including the necessity of spatial interpolation, aim etc., is specifically introduced in this paper. Beside this, we have done studies and researches on several methods of spatial interpolation, e.g.Inverse Distance Weighted、Kriging、Thiesen、Spline, concluded on the range、merit and shortcoming,interpolation accuracy and so on. The thesis it makes research on the programming process of Inverse Distance Weighted and Kriging etc, The end of the paper gives a summary to the methods selection of spatial interpolation, and outlooks the further research and probable application to be developed in spatial interpolation. Keywords:Spatial Interpolation Kriging Inverse Distance Weighted 0 前言：在地理信息系统(GlS)中，我们获得的空间数据往往是离散点的形式，或者是分区数据的形式。由于观测到的数据往往不能满足要求，最理想的方法就是调查地理空间所有样本的信息，以穷尽样本属性值的方式来获得详尽的地理信息。但这种方法从时间、经济角度上来说是行不通的，也是不现实的。我们可以从离散分布的数据开始来构造一个连续的表面，但是问题在于如何构建一个连续的数据表面。GIS空间内插方法为实现这个目的提供了有效的手段，它利用有限的观测数据，估计合理的空间分布、提高数据密度，获得完整空间信息分布，以填补缺失的数据，得到密集的数据分布。此外，由于数据集的来源、采样点的数据类型不同，如何选择适当的内插方法成为迫切需要解决的问题，如若选择了不适当的内插方法将会直接导致对数据的错误内插，从而造成了对实际情况错误的认识。每种内插方法都有各自的应用范围和优缺点，它们很大程度上依赖于采样数据原始的数学特征，不同的研究目的对内插都有特殊的要求。针对某一特定的数据集，如何来选择最有效的内插方法，是一个重要的、极富挑战性的任务。 本文试图从GIS空间内插方法的理论基础、实际效果两个方面比较几种常用的内插方法的实现原理及其基本的适用条件，并对空间内插今后有待进一步研究的方面进行了展望。 1空间内插方法的划分和分析 空间插值方法可以分为全局方法和局部方法两类。全局方法用研究区每个可利用的控制点来构建一个方程或一个模型，而后该模型可用于估算未知点的数值；局部方法是用控制点的样本来估计未知点的值。

常见插值方法及其的介绍

常见插值方法及其介绍 Inverse Distance to a Power（反距离加权 插值法）”、 “Kriging（克里金插值法）”、 “Minimum Curvature（最小曲率)”、 “Modified Shepard's Method（改进别德法）”、 “Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、 “Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、 “Polynomial Regression（多元回归法）”、 “Radial Basis Function（径向基函数法）”、 “Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、 “Moving Average（移动平均法）”、 “Local Polynomial（局部多项式法）” 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数 控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被 给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。 计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距 离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个 观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点

被给予一 个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。 距离倒数法的特征之一是要在格网区域产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可 以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的 权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数 据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。 克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最 小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的 曲面。 使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛 标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类 型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作

空间插值方法

空间插值方法 1.反距离权重插值：通过与样本点距离大小赋予权重，距离近的样本点被赋予较大的权重， 受该样本点的影响越大，同时可以限制插值点的个数、范围，通过幂值来决定样本点对插值点的影响程度，灵活性大，准确性高，但不太适用规则排列的插值点 2.克里金插值：克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数 作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。使用克里金插值需确定半变异函数的类型、步长、步数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该插值方法对规则排列、较密集的点插值较适用，而离散的插值点则需进行多次调试才可达到较为理想的效果 3.自然邻域插值:原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。首先将所有的空间点 构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。 该方法不是通过数据模型来进行插值，不需要设置多于的参数，简便但不灵活，不适合离散点进行插值，因为会形成不规则插值边界，但插值结果相对符合实际数值、准确，适合规则排列、较密集的点插值。 4.样条函数插值：这种方法使用样条函数来对空间点进行插值，它有两个基本条件：1.表 面必须完全通过样本点2.表面的二阶曲率是最小的。插值主要受插值类型（Regularized 或Tension）和weight值的影响，一般Regularize 插值结果比Tension插值结果光滑，在Regularized Spline 插值中，weight 值越高生成的表面越光滑，Tension Spline 插值则相反；适合那些空间连续变化且光滑的表面的生成。该方法虽可生成平滑的插值结果，但其结果会在原有样点值进行数值延伸，产生于实际不符的结果，不建议一般插值使用。 5.径向基函数：包括：薄板样条函数、张力样条函数、规则样条函数、高次曲面函数、反 高次曲面函数。作为精确插值器，RBF方法不同于全局和局部多项式插值器，它们都不是精确插值器（不要求表面穿过测量点）。比较RBF和IDW（也是精确插值器）来看，IDW 从不预测大于最大测量值或小于最小测量值的值，RB用于根据大量数据点生成平滑表面。 这些函数可为平缓变化的表面（如高程）生成很好的结果。但在表面值在短距离内出现剧烈变化和/或怀疑样本值很可能有测量误差或不确定性时，这些方法不适用，且该方法插值过程需要一定时间，不能快速得到插值结果。

surfer插值法介绍

在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，

空间插值方法

7．空间插值 7．1空间插值的概念和理论 空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法是一种通过已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计算方法；空间外推算法则是通过已知区域的数据，推求其它区域数据的方法。在以下几种情况下必须作空间插值： 1）现有的离散曲面的分辨率，象元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影象（航空像片、遥感影象）从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向的影象。 2）现有的连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN到栅格、栅格到TIN或矢量多边形到栅格。 3）现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面。 空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。然而，还有另外一种特殊的插值方法——分类，它不考虑不同类别测量值之间的空间联系，只考虑分类意义上的平均值或中值，为同类地物赋属性值。它主要用于地质、土壤、植被或土地利用的等值区域图或专题地图的处理，在“景观单元”或图斑内部是均匀和同质的，通常被赋给一个均一的属性值，变化发生在边界上。 7．2空间插值的数据源 连续表面空间插值的数据源包括： ●摄影测量得到的正射航片或卫星影象； ●卫星或航天飞机的扫描影象； ●野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线）； ●数字化的多边形图、等值线图； 空间插值的数据通常是复杂空间变化有限的采样点的测量数据，这些已知的测量数据称

第六讲 空间插值

第六讲空间插值 一：本节基本内容 A:空间插值：定义及应用 B:空间插值方法及特征 C:泰森多边形（V oronoi ）及不规则三角网（TIN） D:距离反比加权法（IDW） E:地质统计学（Geostatistics) F:利用样条曲线优化插值结果 G:插值精度评估 H:三参数插值方法（体数据或者动态演化特征） 二：课前问题 为何进行插值？ 1. i：2D离散点转化为连续面，如地表、地层界面 ①如基于空间离散点，剖面数据和等高线等来构建连续的栅格数据 ②生成更密、更光滑的TIN或者栅格单元。 ii：2D离散点向规则栅格数据的转化 2. 3D离散点转化为连续体数据，土壤属性、金属分布 3. 动态采样的2D、3D数据转化为动态演化的时空连续模型 三：空间插值的基本原理 1. 空间插值的定义 i：一般定义 ①：基于离散样品的空间和属性信息，根据预定的精度要求或确定的规则，推演出时空演化模型（函数）。 ②：利用该函数，借助或完全脱离样品数据，估算未采样位置的目标属性（属性和空间信息）的过程。 ③：利用插值结果，估算插值的精度和误差。 ii：二维解释

2.地质现象的多解性 四、空间插值方法 1. 插值条件—spatial interpolation conditions 根据不同的条件假设，可以定义如下几类插值方法 ①：定域条件(Locality Condition)插值方法： i：样品点只对其周围一定范围内的数据有影响 ii:即一给定位置的数值同其领域相似—相近者相似 ②：地质统计学方法(Geostatistical Condition) 任何地学现象都是某一随机函数的一个实现 2. 局部插值方法(Local interpolation) 在局部插值的过程中，待估点属性值得获取只需要全局样本的一部分子集。 ①：泰森多边形插值 ②：基于不规则三角网的插值 ③：距离反比加权插值 3.泰森多边形和Delaunay三角剖分 ①:Delaunay三角剖分：将样品点集投影到某一平面，根据这些点构建三角形，任何三角形的外接圆内无样本点。 ②:最近邻点法又叫泰森多边形方法。它采用一种极端的边界内插方法—只用最近的单个点进行区域插值（区域赋值）。 ③:泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域，每个子区域包含一个数据点，各子区域到其内数据点的距离小于任何到其它数据点的距离，并用其内数据点进行赋值。

插值方法总结

克里格插值方法：克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。考虑待估点位置与已知数据位置的相互关系，而且还考虑变量的空间相关性。 通过无偏估计和估计值和实际值的插值的方差最小这两个约束条件来求得权重，进而插值。不足：计算步骤繁琐，插值速度慢。 反距离权重法：IDW的适用于呈均匀分布且密集程度足以反映局部差异的样点数据集； 优点:简便易行；可为变量值变化很大的数据集提供一个合理的插值结果；不会出现无意义的插值结果而无法解释; 优点：综合了泰森多边形的自然邻近法和多元回归渐变法的长处，在插值时为待估点为邻近区域内所有数据点的距离加权平均值，当有各向异性时，还要考虑方向权重。是一种精确的插值法，即插值生成的表面中预测的样点值与实测样点值完全相等。 不足:对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式； 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样点数据取值范围内。 最邻近法（泰森多边形插值法）： 特征：用泰森多边形插值方法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的。适用于较小的区域内，变量空间变异性也不很明显的情况，同时只有少数缺失值时，对缺失值进行填补。 优点：不需其他前提条件，方法简单，效率高； 缺点:受样本点的影响较大，只考虑距离因素，对其他空间因素和变量所固有的某些规律没有过多地考虑。实际应用中，效果常不十分理想。 自然邻近法： 本质上是对最邻近插值法的一种改进，它对研究区域内各点都赋予一个权重系数，插值时使用邻点的权重平均值决定待估点的权重。每完成一次估值就将新值纳入原样点数据集重新计算泰松多边形并重新赋权重，再对下一待估点进行估值运算。对于由样点数据展面生成栅格数据而言，通过设置栅格大小（cell size)来决定自然邻近插值中的泰森多边形的运行次数n，即，设整个研究区域的面积area，则有：n=area/cell size

空间插值方法大致总结

前段时间要对气象要素进行插值,翻看了多种方法,做了个PPT报告.对每个方法有简单的介绍极一些总结,不一定都是个人看法,参考了多方书面(sufer,ArcGIS应用教程)以及坛子里,百度上等搜到的资料的看后笔记,有些注了出处有些忘了.截图共享下,也不知有用没用.有错的地方请跟贴指正,谢谢啦! -------------------------------- 所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取 空间数据插值方法的基本原理: 任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性的基础上进行的。即空间位臵上越靠近,则事物或现象就越相似, 空间位臵越远,则越相异或者越不相关，体现了事物/现象对空间位臵的依赖关系。（https://www.wendangku.net/doc/b510997779.html,/dky/nb/page/2000-3-3/2000332117262480.htm，南京师范大学地理科学学院地理信息系统专业网络课程教程） 由于经典统计建模通常要求因变量是纯随机独立变量，而空间插值则要求插值变量具备某种程度的空间自相关性的具随机性和结构性的区域化变量。即区域内部是随机的，与位臵无关的，而在整体的空间分布上又是有一定的规律可循的，这也是不宜用简单的统计分析方法进行插值预估的原因。从而空间统计学应用而生。 无论用哪种插值方法，根据统计学假设可知，样本点越多越好，而样本的分布越均匀越好。常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析 ? 趋势面分析（Trend analyst）。严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。它是根据采样点的地理坐标X，Y值与样点的属性Z值建立多元回归模型，前提假设是，Z值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位臵无关。 ? 根据自行设臵的参数可建立线性、二次…或n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。精度以最小二乘法进行验证。 趋势面分析中，将Z值分解成如下等式： 由于空间数据不具备重复抽样条件，所以通常将后两项合并。趋势值即回归值，而后两项将合并到拟合残差中。 在趋势面拟合中，空间位臵以平面坐标为佳，即将经纬度坐标转换为以米为单位的平面大地坐标。 通常趋势面分析用于分析趋势和异常而不追求高的拟合精度，一般达到60-80%，阶数在1-4之间即可。拟合精度按R^2系数和F值检验。 由上述可知，趋势面分析是经典统计学在点数据进行空间展面上的应用，属于全局多项式插值，即对整个研究区域用一个多项式进行拟合。 它的缺点在于：当研究区域范围较大，地形很复杂时，需要用高阶多项式拟合以提高精度，