2018年全国中考数学真题汇编：直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
一、选择题
1．（2018?山西?3分）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学
著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中
凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）
A.《九章算术》
B. 《几何原本》
C. 《海岛算经》
D. 《周髀算经》
【答案】B
【考点】数学文化
【解析】《几何原本》的作者是欧几里得
2．（2018?山东滨州?3分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为 3，股为 4，
∴弦为=5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等
于斜边长的平方．
3.（2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，AC=10，BD=24，则菱形 ABCD的周长为（）
A．52 B．48 C．40 D．20
【分析】由勾股定理即可求得 AB的长，继而求得菱形 ABCD的周长．
【解答】解：∵菱形 ABCD中，BD=24，AC=10，
∴OB=12，OA=5，
在 Rt△ABO中，AB= =13，∴菱形 ABCD的周长=4AB=52，
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属
于中考常考题型．
4. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点 E为 AB中点．沿过点 E的直线折叠，使点 B与点 A重合，折痕现交于点 F．已知 EF= ，则 BC的长是（）
A．B．C．3 D．
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质
可知 EF= AB，所以 AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC的长．
【解答】解：
∵沿过点 E的直线折叠，使点 B与点 A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∵点 E为 AB中点，
∴EF= AB，EF= ，
∴AB=AC=3，
∵∠BAC=90°，
∴BC= =3 ，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出
∠AFB=90°是解题的关键．
5. （2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为 R的⊙O，且∠A=60°，连接 OB、OC，则边 BC的长为（）
A．B．C．D．
【分析】延长 BO交圆于 D，连接 CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又 BD=2R，根据锐角三角函数的定义得 BC= R．
【解答】解：延长 BO交⊙O于 D，连接 CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC= R，
故选：D．
【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直
径构造直角三角形是解决本题的关键．
6. （2018·台湾·分）如图 1的矩形 ABCD中，有一点 E在 AD上，今以 BE为折线将 A点往
右折，如图 2所示，再作过 A点且与 CD垂直的直线，交 CD于 F点，如图 3所示，若 AB=6 ，BC=13，∠BEA=60°，则图 3中 AF的长度为何？（）
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】作 AH⊥BC于 H．则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 ．在 Rt△ABH 中，解直角三角形即可解决问题；
【解答】解：作 AH⊥BC于 H．则四边形 AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3 ．
在 Rt△AHB中，∠ABH=30°，
∴BH=AB?cos30°=9，
∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，
∴AF=CH=4，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7. （2018·台湾·分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆 P与 x轴、y轴的交点，有
一直线 L通过 P点且与 AB垂直，C点为 L与 y轴的交点．若 A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则 a的值为何？（）
三角形、勾股定理知识点整理
全等三角形、勾股定理教案
从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好
直角三角形和勾股定理
§3.4 直角三角形和勾股定理 一、 温故互查 直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 题组训练一 1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB 的度数 为__ ___?. 3．在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A ．5米 B ．3米 C ．(5+1)米 D ．3 米 三、题组训练二 1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问： （1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 2 抛物线y =-12x 2+22 x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）证明:△ABC 为直角三角形； （3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使△ABP 是直角三角形，若存在， 请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 图1 A O 图2
四、中考连接 1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度． 2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______． 3．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．12 5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）. 6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，求蚂蚁爬行的最短路径长 21C B A A B C x 34(第1题图) (第3题图) (第4题图)
2018中考数学专题汇编：相似三角形 (含解析)
2018中考数学相似三角形课时练 一．选择题 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 2．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 3．（2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（） A．B．C．D． 4．（2018?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 5．（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）
A．1 B．C． 1 D． 6．（2018?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（） A．=B．=C．=D．= 7．（2018?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（） A．①②③B．①C．①②D．②③ 8．（2018?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2
2018年中考数学真题汇编整式
2018年中考数学真题汇编:整式 (31题) 一、选择题 1. (2018四川内江)下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题：①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是（）。 A. B. C. D. 【答案】C 6.下列运算：①a2?a3=a6 ，②（a3）2=a6 ，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3 ，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是（） A. B. C. D.
【答案】C 8.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】C 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【答案】D 13.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是（）。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(－xy2）3=－x3y6
C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①（a+b）2=a2+b2 ，②（2a2）2=-4a4 ，③a5÷a3=a2 ， ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是（） A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.（a3）2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1 ，图2中阴影部分的面积为S2 ．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（） A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b 【答案】B
全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一） 一．填空题 1.一个矩形的抽斗长为2４cm ,宽为7c ｍ,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . ２．在Rt △A ＢC 中，∠C ＝９0°，BC ＝12cm ,Ｓ△ABC ＝3０cm 2 ,则AB ＝ ． 3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的Ａ处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高＿_＿__＿_______＿＿__＿____＿__米。 4．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方 形A ，B,C ，D 的面积之和为__＿___＿_＿__cm ２ 。 5．直角三角形两直角边长分别为5和１2，则它斜边上的高为_＿_＿_＿_＿__。 ６.在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为２米，问这里水深是________m 。 7.已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 8.一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 ． 9．将一根长为2４㎝的筷子置于底面直径为５㎝，高为１2㎝的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是＿_____＿__＿＿＿_＿__. 10.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到Ｂ点,那么它所行的最短路线的长是__＿__＿_＿____. 11.如图,在△ABC 中，ＡD 平分∠BA Ｃ,A Ｂ＝AC -BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。 12.如图,ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的,若 150BAC ∠=，则θ∠的度数是 . 二．选择题 １、若Rt ABC 中，90C ? ∠=且c=３7,a ＝12,则b=（ ) A 、50 B 、35 Ｃ、34 D 、26 2、如图，平行四边形AB ＣD 对角线AC,BD 交于O,过O 画直线EF 交ＡD 于E ， 交BC 于F ，，则图中全等三角形共有( ） (A ）7对 (B ）6对 (C)5对 （Ｄ)4对 3.如图，△DAC 和△ＥＢＣ均是等边三角形,ＡＥ、B Ｄ分别与C Ｄ、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△D ＣB ； ② CM ＝ＣＮ；③ ＡC=DN 。正确结论的个数是( )．（Ａ) 3个 (B ）2个 (Ｃ)1个(Ｄ）0个 ４.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，AC ＝BC ,ＡD 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于D ,DE ⊥A Ｂ于D ,若A Ｂ=1 A B C D 7cm D B C A 第3题 A B A C D A E B θ
人教版九年级下册数学专题23 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1. （2015辽宁大连，8，3分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，点D 在BC 上，∠ADC =2∠B ,AD =5,则BC 的长为（ ） A .3－1 B .3+1 C .5－1 D .5+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC 中，∠C =90°，AC =2，所以CD = ()12 52 2 22=-= -AC AD , 因为∠ADC =2∠B ，∠ADC =∠B +∠BAD ,所以∠B =∠BAD ,所以BD =AD =5,所以 BC =5+1，故选D . 2.（2015?四川南充,第9题3分）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对 角线AC 长和BD 长之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1: （D ）1: 【答案】D 【解析】 试题分析：设AC 与BD 的交点为O ，根据周长可得AB =BC =2，根据AE =可得BE =1，则△ABC 为等边三角形，则AC =2，BO =，即BD =2 ，即AC :BD =1： . 考点：菱形的性质、直角三角形.
3．（2015?四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A．13cm B．261cm C．61cm D．234cm 考点：平面展开－最短路径问题．. 分析：将容器侧面展开，建立A关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A′B的长 度即为所求． 解答：解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A ′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B= = =13（Cm）． 故选：A． 点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定 理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 4. （2015?浙江滨州,第10题3分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直 线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动 到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是( ) A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 图5
2018年中考数学真题汇编三角形
2018 年中考数学真题汇编 : 三角形 ( 填空 +选择 =50 题) 一、选择题 1.(2018山东滨州 )在直角三角形中，若勾为3，股为 4，则弦为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 A 2.(2018江苏宿迁 )如图，点 D 在△ABC 的边 AB 的延长线上， DE∥BC，若∠A＝35 °,∠C＝24 °,则∠D 的度数是（）。 A.24 ° B. 59° C. 60 D.69° 【答案】 B 3. 一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30 °方向，继续向南航行30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15 °方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保 留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21海里 【答案】 B 4. 若实数 m 、 n 满足，且 m 、 n 恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长是（）。 A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】 B
5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30 °角的三角板的一条直角边和含45 °角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。 A.45 ° B.60° C.75° D.85° 【答案】 C 7. 在平面直角坐标系中，过点（1,2 ）作直线l，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是（）。 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 8. 如图，在平面直角坐标系中， ，， 的顶点 ，直线 在第一象限，点交 轴于点，若 ，的坐标分别为 与关于点 、 成中 心对称，则点的坐标为（）
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1．（2015?滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C． D．2 3. 如图，已知等腰, ABC AB BC ?=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O e的切线交BC于点E，若5,4 CD CE ==，则O e的半径是【】 A. 3 B. 4 C. 25 6 D. 25 8 4.（2015?青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为． 5．（3分）（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
6．（3分）（2015?毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） ，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4 A． 7．（4分）（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（） ．． 8．（2015?甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 9．（2015?青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（） +2 二.填空题 1. （2015?江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F 分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
(完整版)2018年全国各地中考数学真题分类汇编(整式)
2018年中考数学真题汇编:整式(31题) 一、选择题 1. (2018四川内江)下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题：①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是（）。 A. B. C.
【答案】C 6.下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 8.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是（） A. B. C.
【答案】C 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是（） A. B. C . D. 【答案】D 13.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是（）。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(－xy2）3=－x3y6 C.x6÷x3=x2
D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①（a+b）2=a2+b2，②（2a2）2=-4a4，③a5÷a3=a2， ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是（） A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.（a3）2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理 ? （1） 斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20 道) 1. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 2. 当题目中出现了直角三角形时，要注意斜边上是否有中线或中点出现，如果有斜边的中 点，不妨连接中点和直角顶点，构造出斜边上的中线，利用性质2进行中线与斜边之间 的转化，从而迅速找到思路 3. 由性质二得到的角之间的关系：∠A=∠1，∠B=∠2，∠3=2∠A，∠4=2∠B 4. 两个运用性质二的基本图形 ? （2） 30°引爆全新体验！—直角三角形的性质三(20 道) 1. 直角三角形的性质3：有一个角是30度的直角三角形，30度角的对边等于斜边的一半。 它的作用是由特殊角30度得到边的关系 2. 性质3的逆定理：在直角三角形中，如果某条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所 对的角是30度。它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度 3. 一道难度稍大的综合题，要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如 ? （3） 等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20 道) 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。它可以用来进行边的转化 或构造全等来证明边、角相等 2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 由此得到角平分线的另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3. 逆定理的作用是由距离相等得到角平分线，进而得到角相等的结论 4. 两个定理的题设和结论刚好相反，成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘 密通道 ?
（4） 从地板飞向宇宙—勾股定理(20 道) 1. 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，用式子表示就是：a2+b2=c2 3. 一种传奇的证明方法：总统证法，通过构造梯形和面积法完成 4. 勾股定理的意义：它揭示了直角三角形三边的数量关系，当知道一个直角三角形的任意 两条边时，可以利用勾股定理求出另外一条边，简称―知二求一‖。 ? （5） 一个“豆比”的数学传奇(20 道) 1. 可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数 2. 第n组勾股数的表示方法是：2n+1、2n(n+1)、2n(n+1)+1 3. 记住的最常用的四组勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25 ? 二元一次方程（组） ? （1） 多元化方程时代—二元一次方程及方程组(1 道) 1. 二元一次方程的定义，有以下三个标准：整式方程，含有两个未知数，未知数的次数都 是1 2. 二元一次方程的等价变形，用x去表示y，或者用y去表示x。这个方法用来求二元一 次方程的不定根很管用 3. 二元一次方程组的定义，它是由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组 ? （2） 黯然消元法—二元一次方程组解法(1 道) 1. 代入法和加减法的步骤，具体视频里讲得非常清楚
2018年中考数学真题汇编 圆
2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)答案 一、选择题 1.已知的半径为，的半径为，圆心距，则与的位置关系是（ C ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2. 如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（ C ） A. B. C. D. 3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（ C ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ C ） A. B. C. D. 5.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ D ） A.40° B.50° C.70° D.80° 6.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ A ） A. B.40πm2 C. D.55πm2 7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ A ） A. B. C. D. 8.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（D ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 9.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ C ） A. B. C. D.
10.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ A ）。 A.27° B.32° C.36° D.54° 11.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则 的度数是（ B ） A. B. C. D. 12.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ D ） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则 的长为（ C ） A. B. C. D. 14.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ B ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 35° 15.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( D ) A.3 B. C. D. 16. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD 的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（ A ） A. 4 B. C. 3 D. 2.5 17.在中，若为边的中点，则必有成立.依据以上结论，解决如下问题： 如图，在矩形中，已知，点在以为直径的半圆上运动，则的最小 值为（ D ）A. B. C. 34 D. 10
北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 1．如图J20－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C 两点间的距离为( ) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km J20－1 J20－2 2．如图J20－2，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________． 3．如图J20－3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN； (2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长． 图J20－3 1．如图J20－4，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC.若∠1＝35°，则∠B的度数为( ) 图J20－4 A．25°B．35°C．55°D．65° 2．如图J20－5，将一副三角尺按图中方式叠放，BC＝4，那么BD＝________．
3．如图J 20－6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A ＝5 6 ，D 为AB 上一点，且AD∶BD＝1∶2，若BC ＝3 11，求 CD 的长． 图J 20－6 4．如图J 20－7，已知BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C ＝60°，AB ＝1，BC ＝3＋3，CD ＝2 3. (1)求tan ∠ABD 的值； (2)求AD 的长． 图J 20－7 5． 如图J 20－8①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BA ＝2.以OB 为边，向外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E. (1)求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2)如图J 20－8②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长． 图J 20－8
全国各地2018年中考数学真题汇编(含答案)
全国各地2018年中考数学真题汇编（含答案） 实数与代数式(选择+填空28题) 一、选择题 1. (2018山东潍坊)( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.(2018四川内江)已知：，则的值是（） A. B. C. 3 D. -3 【答案】C 3.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是（） A. B. C. D. 【答案】C 4.下列无理数中，与最接近的是（） A. B. C. D. 【答案】C 5.四个数0，1，，中，无理数的是（） A. B.1 C. D.0 【答案】A 6.下列计算正确的是（）
A. B. C. D. 【答案】D 7.估计的值在（） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 8.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【答案】B 9.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（） A. B. C. D. 【答案】A 10.某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)，现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚
图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)，若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( ) A. 16张 B. 18张 C. 20张 D. 21张 【答案】D 11.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 12.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到……，第n 次移动到，则△的面积是（） A.504 B. C. D. 【答案】A 13.将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11
直角三角形与勾股定理(含解析)
直角三角形与勾股定理 一、选择题 1.如图，△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，AB=12，则BC=（） A．6 B．6C．6D．12 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2B．C．D． 3．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则
另一边BC等于( ) A．10B．8 C．6或10D．8或10 4．如图，厂房屋顶人字形（等腰 三角形）钢架的跨度BC=10米， ∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（） A．5sin36°米B．5cos36°米 C．5tan36°米D．10tan36°米 【 5．如图，AD是△AB C的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如
果BC=6，那么线段BE的长度为（） A．6 B．6C．2D．3 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10
7.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（） A．B．6 C．D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（） A．1 B．2 C．D．1+
································· 9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A ． 3 2B ．2C． 3 2 D．不能确定 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A 逆时针旋转，使点C落在线段AB 上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）
2018年全国中考数学真题汇编全集(共21套)
2018年中考数学真题汇编:实数与代数式(解答题21题) 解答题 1.计算：. 【答案】原式=1-2+2=0 2. （1）计算： （2）化简：. 【答案】（1）解：原式=1+2× -（2- ）-4=1+ -2+ -4 = （2）解：原式= = = 3. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）=4- +1=5- （2）=m2+4m+4+8-4=m2+12 4. （1）. （2）化简. 【答案】（1）原式 （2）解：原式
5. （1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）原式= ×3 - × +2- + ， = - +2- + ， =2. （2）方程两边同时乘以x-2得： x-1+2（x-2）=-3, 去括号得：x-1+2x-4=-3, 移项得：x+2x=-3+1+4, 合并同类项得：3x=2， 系数化为1得：x= . 检验：将x= 代入最简公分母不为0，故是原分式方程的根， ∴原分式方程的解为：x= . 6. （1）计算：2（－1）＋|-3|-（-1）0； （2）化简并求值，其中a=1，b=2。 【答案】（1）原式=4 -2+3-1=4 （2）原式= =a-b 当a=1，b=2时，原式=1-2=-1 7. （1）计算： （2）解方程：x2-2x-1=0 【答案】（1）解：原式= - -1+3=2 （2）解：∵a=1,b=-2,c=-1 ∴?=b2-4ac=4+4=8,
∴x= x= ∴x1= ，x2= 8.计算：＋－4sin45°＋． 【答案】原式= 9.计算： 【答案】原式=2-3+8-1=6 10.计算： 【答案】解：原式= = 11.计算：． 【答案】解：原式=4+1-6=-1 12.计算或化简. （1）； （2）. 【答案】（1）解：（）-1+| ?2|+tan60° =2+（2- ）+ =2+2- + =4 （2）解：（2x+3）2-（2x+3）（2x-3） =（2x）2+12x+9-[（2x2）-9] =（2x）2+12x+9-（2x）2+9 =12x+18 13.计算： 【答案】解： =1+2+