各种有趣的分形

各种有趣的分形

我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。

但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让我们先来熟悉几个典型的分形。

图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例

子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。

在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优

势，因为分形可以很好地构建自然景物的模

型。

这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它

的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺

寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，

只是变得更加小了。

Sierpinski三角形具有严格的自相似特性

Kohn雪花具有严格的自相似特性

分维及分形的定义

分维概念的提出

对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。

维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。

维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为

l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。这就表明，用n维的标准体ln去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。分数维也是按照这个要求来定义的。由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。通常用的是“容量维”。简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为1.2618，这看来是理所当然的。海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。一个分形的曲线意味着一种有组织的结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。

分数维概念

我们知道0维是点，一维是线，二维是面，三维是空间。那么，谁能告诉我1.5维是什么? 一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式:

log4/log2=2 log8/log2=3

这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的b个图形所组成，有：λ^D=ｋ

D即维数 D=logｋ/logλ

其中的λ为线度的放大倍数，K为“体积”的放大倍数。

回到海岸线长度的问题。当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。这时，海岸线长度增加程度近似于一个固定的倍数。对于英国海岸线来说，其值约为2.7，而log2.7/log2=1.41，1.41就是英国海岸线的维数。1.41由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。还有其他一些分数维的定义方法，但得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的基本参数之一。

自然界的山,其分形维数在2.2维左右,但从2.1维到2.5维画出来的都有一定的山的效果.

下面详细介绍分维及计算

1)新的维数(全维数:整数维+分维)

a.由欧氏几何的"整数维"引出的非欧几何----分维:

a).欧氏几何的"整数维"

欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点,直线,平面图形(曲线),空间图形的维数(欧氏维数)都是整数维,分别为0,1,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:

i. 长度=l,面积=l2 ,体积=l3

ii.长度(半径)=r1,面积=πr2,(球)体积=(4/3)πr3

上述各种关系的量纲分别是长度单位l的1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.

归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度l为基础的.所以,欧氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为

长度=l 面积 A=al2 体积 V=bl3

式中a和b为常数,称为几何因子,他与具体的几何图形的形状有关.如圆

a=π;球b=4π/3.以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测度----长度,宽度,厚度----不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃罗特转向新的想法,即关于维数的新想法.

b).非欧几何的"分维"

欧氏几何中的空间是3维的,平面是2维的,直线是1维的,而点是0维的.那末,一个线团的维数如何呢?这与观察方法有关.远看,他是一个点,是0维;近些看,象球,有空间3维感;再近看,就看到了绳子,又成为1维的了.引发人们注意到几何中也具有"相对关系",以及维数的多样性.曼德勃罗特"越过"了0,1,2,3,......的"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了看起来象是不可能的"分数维数",分维出现了.从概念上说,这是一场走钢丝表演,是冒险.对于非数学家,"外行",(年轻的)新手,生手,即开拓创新者(或所谓的"半瓶子醋"),他要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路.而对数学家或该行业保守的专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破.而事实证明前者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.

分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数统一扩展成

M=ld

则由对数定义可知,指数d可以表示为以l为底的,M的对数,即d=loglM

经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,

分维中广泛使用的关系式d=lnM/lnl

他可以被看成是各种维数的综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)的由来或基准式.分维是一种测度,是用其它方法不能明确定义的一些性质----一个对象粗糙,破碎或不规则程度----的手段.即对某种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就是使在不同的尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)的程度保持恒定.

2).拓扑维和豪斯道夫维——维数的定义

连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的.对数,换底,

拓扑维数是比分形维数更基本的量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变的,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是1.所以,拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d.拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.

对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维数的"尺r"去度量,则可得到一确定的数值N;若用低于它维数的"尺"去量它,结果为无穷大;若用高于它维数的"尺"去量它,结果为零.其数学表达式为:N(r)～r-Dh.上式两边取自然对数,整理后可得

Dh=lnN(r)/ln(1/r) 或Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)]σ→0

式中的Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其D值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形,把此时的Dh值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.

维数的其它定义

(1) 信息维数Di = lim (∑PilnPi/lnσ)σ→0

(2) 关联维数Dg = lim (lnC(σ)/ln(1/σ))σ→0

(3) 相似维数 Ds = lnN/ln(1/r)

(4) 容量维数Dc = lim (lnN(ε)/ln(1/ε))σ→0

Dc≥Dh

(5) 谱维数 D (分形子维数)——是研究具有自相似分布的随机过程,如随机

行走的粒子的统计性质,可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物凝胶(经络的通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中"的问题.

(6) 填充维数 Dp——由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数称之为填充维数(Packing Dimension).

(7) 分配维数 Dd——可以看成是利用两脚间隔距离为σ的两脚规测量曲线

C所得的"长度".即定义为

Dd = lim (lnMσ(C)/(-lnσ))σ→0

曲线的分配维数至少等于盒维数.

(8) 李雅普诺夫(Lyapunov)维数 Dl——是作为混沌的吸引子维数,他是利用Lyapunov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的(经络的断面切片),因此就可以测定其分形维数.

分形维数的测量

1.基本方法

分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对

象常是不同的,所以要区别对待,物适其用.

实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:

(1)改变观察尺度求维数:是用圆和球,线段和正方形,立方体等具有特征长度

的基本图形去近似分形图形.

(2)根据测度关系求维数:这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义

维数的.

(3)根据相关函数求维数;C(r)∝r-a，a=d-D

(4)根据分布函数求维数;p(r)∝p(λr) p(r) ∝r-D

(5)根据频谱求维数.

2.盒维数(计盒维数,Kolmogorov熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)

3.函数图的维数

4.码尺与分形维数的关系----分形维数的不确定性对实际分形体而言,测量的分形维数值随码尺而变化,?也就是说,对同一分形体由于选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的程度不同.测量时要注意.

分形定义

分形难下确切的定义。分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，

故又可称为"碎形"。分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则"病态",不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有"自相似性"和"标度不变性(无特征长度) "的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,?信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性。分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称。

分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似。

除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。即无

论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。

分形的数学定义

定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数

Dt，

即Dh>Dt

则称该集合为分形集,简称为分形。(Dh≥Dt)

这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出了一个实用的定义。

定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:局部与局部,?局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.

要完整地理解分形还必需知道它的一些特性。

分形的特征和产生机制

分形特征

大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形。一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.。具体的说有下面几个特征。

1) 1) 自相似性

是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:?在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,?性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形。自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或 f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度。

一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,?或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关。

人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,?他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自

然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事。

2) 2) 标度不变性(无特征长度)

一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度。标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.

标度不变性(无特征长度)：具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等。特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,?如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分。

对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用。人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了。

3) 3) 层次性,递归性

自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性。

4) 4) 自仿射性

自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同。

5) 5) 分形元－初始元－生成元

是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.

分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等。

6)分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)

如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈；阴阳有两个分形元支等。

分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述。现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数。一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1／a的aD个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义。此维数被称之为相似维数。相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限。所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的。Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形。如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下式：N （r）＝Cr-DH∝r-DH式中的C为常数，则该集的维数为DH,该维数称为Hausdorff 维数。不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计。因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等。

分形原理

(1)自相似原理

(2)积和原理: 对S1∩S2=0的分形子集 Df=D1+D2.

(3)加和原理: 如果分形子集S1∩S2=S,则Df=D1+D2-d.

(4)合并原理: 分形集S=Sa+Sb,Da>Db,则Ds=Da.

(5)匹配原理: 若想S1∪S2→S,需D1=D2 (=Ds).

(6)级差原理: Si∈S,i是级次(层次).

(7)自仿射原理

*(8)互补原理: S∪S'=U=1,S∩S'=0,S与S'互补.

分形几何与解析几何的关系(经络定位)

分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标A(x,y,z)进行定位.不过将来的"解析分形几何"应该可以有双重作用.

生命现象和社会现象都是复杂现象，具有复杂现象的系统成为复杂系统。如生命繁殖过程是一个复杂的过程，生命系统是一个复杂系统。所有复杂系统都存在三个基本特征：

１、复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成。

２、每个细胞的状态只有极少数几种。

３、每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定。

例如：雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用，整体上可以显示出多种多样的复杂形态。生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程。在繁衍过程中产生大量的艺术图案。

产生分形的物理机制

一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件. 非线

性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发生分支,是混沌的根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性. 而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即

传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的"有序与无序,物质与能量与信息的相互转换的两大循环"。

系统产生分形结构的充分条件是"吸引子(Attractor)",不严格地说, 一个吸

引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统的无规运动,最终会成为趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失

稳为前提,如对称破缺等. 涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱(混沌)。

分形与分形艺术

分形与分形艺术 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 “分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。 图 1 Mandelbrot集合

中国传统图案与设计

浅谈中国传统图案与设计

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浅谈中国传统图案与设计 论文关健词:传统图案中国文化纹饰图案纹样元素 论文摘要:中国传统图案种类繁多，内涵丰富、文化底蕴雄厚，它是中华民族悠久历史的代表，也是世界文明艺术宝库中的巨大对富。现代装饰图案设计大多数是从传统图案中发展而来的，但又不是传统图案的简单翻版和重复。从那些变幻无穷，淳朴浑厚的传统图案中，我们可以从历期历代的工艺水平中看到，中华民族一脉相承的文化传统。许多传统图案经久不衰，至今仍在沿用，保持了旺盛的生命力。 这几年，从中国的设计中可以了解到，对传统图案或是中国元素的应用，出现了一种传统图案艺术与现代生活之间紧密关联的趋势，使中国传统图案艺术在现代生活中凸显出来。现代艺术设计融人传统图案和元素气息，它既不是对传统图案的纯粹模仿和挪用，也不会使其丧失悠久历史的厚重感和特有的民族个性，现代设计中的传统元素它不是完全拘泥和沉迷于传统元素的设计中去，使其与现时代脱节;而是从内在本质上成为现代生活中有机的一部分。然而中国图案和元素它是建立在民族文化心理结构、文化渊源、情感表达方式基础上的一种艺术表现形式。 1中国传统图案的背景因素 中国传统图案的受社会的阶级制度、经济发展、佛教文化几个因素的影响。 (1)阶级社会因素

礼器是阶级社会中地位的一种象征，地位越高对礼器的纹饰，做工要求越高。纹饰的最重要目的似乎在于使一件礼器仪容变得醒目。其次，纹饰可以细分器物的种类。它促使人们对器型即礼器种类的注意，此外，在特定的器物类型中，纹饰还表示等级，而在等级中，还表示器物的所属关系。比如:以青铜器纹样为代表，餐餐纹是有一定代表意义的，具有较高的审美价值及社会意义。篓餐纹图案庄严、凝重而神秘的艺术特色，不仅符合奴隶社会统治阶级的政治需要，而且表现了中国古代青铜器装饰图案最基本的设计思想，它能按照吸引人们注意力的需要而加以变化，用器型和纹饰来满足拥有者对等级和所属关系的要求。 (2)经济因素 随着脑力劳动和体力劳动的分工，经济得到了的快速的发展。脑力劳动从体力劳动中分离出来的劳动者，正式把全部精力用于设计事业。然而文化必然会得到新的发展和强化，人们文化素养，审美总体水平迈上一个新的台阶。比如:初唐时期的藻井图案，纹样清晰，剔透秀丽，色彩鲜而不艳，强调叠晕渲染与线描融合，有工艺之美。井心多方形，以大莲花，大团花，缠枝纹组合为图案主体。盛唐井心缩小，边饰层次增多，团花与缠枝花边盛行，卷草纹，几何纹，联珠纹穿插有序，其图案构成明显趋向节律化，均齐平稳，花型丰满，线条流畅，形成盛唐至晚唐的一代风格。 (3)佛教文化 宗教是一种文化现象，在阶级社会和皇权的统治中，对政治、经济、

趣味数学--分形艺术

神奇的分形艺术：无限长的曲线可能围住一块有限的面积 很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。你或许会觉得这个图形很好看。看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。 在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。

当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。 这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线。他是由瑞典数学家Helge von Koch最先提出来的。麦田圈图形显然是想描绘Koch雪花。Koch曲线于1904年提出，是最早提出的分形图形之一。下面我们来看Koch雪花的面积与周长，如下图

周长为次分叉图第4n 设图1三角形周长为31=P ,面积为4 31=A ； 第一次分叉图2;913,3411212A A A P P ??+==面积为周长为 第二次分叉图3 … 面积为 1121211)9 1(43)91(43913A A A A n n --??++??+?+=Λ ]})9 4(31)94(31)94(3131[1{221-+++++=n A Λ Λ,3,2=n 雪花曲线令惊异的性质是：无限长的曲线可能围住一块有限的面积。 ;91431223?????????????? ????+=A A A 面积为Λ ,2,1)34(11==-n P P n n ]})9 1[(4{31121A A A n n n n ---+=，周长为12 334P P ??? ??=

被誉为世界上最诡异的23张图

1.这是一张静止的图片，你的心理压力越大，图片转动越快，而儿童看这幅图片一般是静止的。测试下您心理的压力。 2.下图里的横线都是平行的！涉世越深的人，受社会侵蚀越严重，看到的直线越变形。你还是单纯的你吗？你能看出几条笔直的横线？ 3.。【你能看到多少个人头？】0—4张：弱智；5—8张：一般人；9—11张：特别感性；11—13张：精神分裂。

4.密集恐惧症候群测试图!胆小的请慎点！ 5.【测测你是男是女，据说很准】有些男人，性格中有女人的特质；有些女人，性格中有男

人的特质。测试一下，你是纯正的男人（或女人）吗？凡是第一眼看下图是鸭子的，就是男人特质多一点，凡是第一眼看到是兔子的，就是女人特质多一点。 6.这是一个jpg 格式的图片，是静止的一副图片，如果你看到运动的景象，表明你的生活压力大，内心情绪波动比较大。 7.看着这个图，眼睛绕图三周转，如果看到了心在动，说明半年之内你的感情生活发生了一些比较重大的变化。

8.【不能看到某个圆圈中的数字，就说明某方面潜伏问题】不见1：侵略性强。不见2：智力较低。不见3：生活放荡败坏。不见4：倾向暴力领导。不见5：可能轻易被同性吸引，有潜在的同性恋倾向。不见6：可能轻易会精神分裂，需要额外的关注。（ps：1是25，2是29，3是45，4是56，5是64，6是8。）

9.【你的心情怎么样？】当你心情好的时候，能看到少女的脸；心情坏的时候，能看到巫婆的脸 10.【你认为A和B所在方格颜色相同吗？】据说全世界只有0.003%的人和photoshop能看出它们的颜色是相同的。 11.第七届年度最佳幻觉比赛（Best illusion of the year contest）在美国佛罗里达评选出了冠军作品：爱的面具（Mask of Love），它的谜题是——面具中的人像，其实是一男一女在Kiss，你看出来了吗？

基于分形几何的分形图绘制与分析

基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形

如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一

分形几何与分形艺术

我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。

浅谈中国传统图案与设计

浅谈中国传统图案与设计 论文关健词:传统图案中国文化纹饰图案纹样元素 论文摘要:中国传统图案种类繁多，内涵丰富、文化底蕴雄厚，它是中华民族悠久历史的代表，也是世界文明艺术宝库中的巨大对富。现代装饰图案设计大多数是从传统图案中发展而来的，但又不是传统图案的简单翻版和重复。从那些变幻无穷，淳朴浑厚的传统图案中，我们可以从历期历代的工艺水平中看到，中华民族一脉相承的文化传统。许多传统图案经久不衰，至今仍在沿用，保持了旺盛的生命力。 这几年，从中国的设计中可以了解到，对传统图案或是中国元素的应用，出现了一种传统图案艺术与现代生活之间紧密关联的趋势，使中国传统图案艺术在现代生活中凸显出来。现代艺术设计融人传统图案和元素气息，它既不是对传统图案的纯粹模仿和挪用，也不会使其丧失悠久历史的厚重感和特有的民族个性，现代设计中的传统元素它不是完全拘泥和沉迷于传统元素的设计中去，使其与现时代脱节;而是从内在本质上成为现代生活中有机的一部分。然而中国图案和元素它是建立在民族文化心理结构、文化渊源、情感表达方式基础上的一种艺术表现形式。 1中国传统图案的背景因素 中国传统图案的受社会的阶级制度、经济发展、佛教文化几个因素的影响。 (1)阶级社会因素

礼器是阶级社会中地位的一种象征，地位越高对礼器的纹饰，做工要求越高。纹饰的最重要目的似乎在于使一件礼器仪容变得醒目。其次，纹饰可以细分器物的种类。它促使人们对器型即礼器种类的注意，此外，在特定的器物类型中，纹饰还表示等级，而在等级中，还表示器物的所属关系。比如:以青铜器纹样为代表，餐餐纹是有一定代表意义的，具有较高的审美价值及社会意义。篓餐纹图案庄严、凝重而神秘的艺术特色，不仅符合奴隶社会统治阶级的政治需要，而且表现了中国古代青铜器装饰图案最基本的设计思想，它能按照吸引人们注意力的需要而加以变化，用器型和纹饰来满足拥有者对等级和所属关系的要求。 (2)经济因素 随着脑力劳动和体力劳动的分工，经济得到了的快速的发展。脑力劳动从体力劳动中分离出来的劳动者，正式把全部精力用于设计事业。然而文化必然会得到新的发展和强化，人们文化素养，审美总体水平迈上一个新的台阶。比如:初唐时期的藻井图案，纹样清晰，剔透秀丽，色彩鲜而不艳，强调叠晕渲染与线描融合，有工艺之美。井心多方形，以大莲花，大团花，缠枝纹组合为图案主体。盛唐井心缩小，边饰层次增多，团花与缠枝花边盛行，卷草纹，几何纹，联珠纹穿插有序，其图案构成明显趋向节律化，均齐平稳，花型丰满，线条流畅，形成盛唐至晚唐的一代风格。 (3)佛教文化 宗教是一种文化现象，在阶级社会和皇权的统治中，对政治、经济、

函数也可以如此美丽-Julia集的分形艺术

函数也可以如此美丽——Julia集的分形艺术 微博：@月绒兔子 前言 大家在高中的时候都学过解析函数吧？说解析函数是不是有点显得太高端了？那好，给你一个y=x的函数，在XY坐标系上画出这个函数的图像。别告诉我你不会啊，这可是拿脚后跟都能画出来的图像啊。 闲话不多说了。首先，先声明下此文并不是给大家讲数学的，也不是专门给理工科童鞋看的。此文的目的就是想让大家知道，有那么一个函数，她是如此的奇幻如此的美丽多变，就像她的名字一样—Julia。然后我们用HTML5的canvas来召唤她。 先来几张Julia的芳容欣赏下： 没错，以上四个图片不是电脑桌面，但是它确实Julia集合（Julia Set）所描绘的抽象艺术。 Julia集简介 我是在一门叫做“高等统计物理”的课程上认识到Julia集的。虽然她的图像非常绚丽多姿，但其实她的真身非常简单，简单到你不敢想象： f(z)=z^2+C 其中，z^2表示z的平方，z和C均为复数（复习一下：复数就是a+ib，a为实部，b为虚部，i就是表示虚部的部分）。 然后我们做以下的迭代： Z1=f(z0) Z2=f(z1)

Z3=f(z2) Z4=f(z3) … 那么当Z0=0，C=0.5时 Z1=0^2+0.5=0.5 Z2=0.5^2+0.5=0.75 Z3=0.75^2+0.5=1.0625 Z4=1.0625^2+0.5=1.62890625 Z5=1.62890625^2+0.5=3.653355… Z6=Z5^2+0.5=14.346860796… 最终Zn趋于无限大。 同理，如果令Z0等于另一个值时，有可能会出现最终Zn收敛于某一值（无限趋近于某一个值），也有可能趋近无穷大，或者趋近无穷小（负值）。 Julia集绘制原理 上面的简介说明了其实Julia集就是一个迭代函数而已，那么，这么美丽的图像是怎么画出来的呢？其实很简单，刚才我有提到过，z和C都是复数，C是常量。 所以，z=x+iy，C=a+ib，图像是以x为横坐标，y为纵坐标绘制的。这么说来，只要随便改变a和b的值，就会出现不同的图案了。 那么图像中颜色是根据什么来的呢？ 我们从画布左上角第一个像素（x=0,y=0）开始，这个像素所代表的物理意义就是，当z=0+i0（也就是z=0）时，进行Zn的迭代计算。我们预先设置一个阀值k（例如k=4），当计算到Z10的时候，发现Z10的模大于k了（|Z10|>k），就说明在迭代到第10次的时候发散了。依此类推，如果是计算到Z88的时候|Z88|>k了，就说明迭代到第88次的时候发散了。这时候你就可以按照你的口味来了，你可以设置为发散的越慢（迭代次数越多）颜色越深，发散的越快（迭代次数越少）颜色越浅。当然也可以用冷暖色系来表示。找到形成发散的迭代次数，就可以结束迭代运算了。 当然，有一点是要注意的，这个迭代在计算到很高阶的时候运算量可是会很大的哦，所以一定要设置一个迭代次数的最大值，比如，如果再迭代到300次的时候，|Zn|还没有大于阈值k，那就认为这个点永远不会发散了（可以叫做收敛点），直接停止迭代运算。这点的颜色就按迭代最大值时对应的颜色值来填充。 第一个点的绘制原理就是酱紫。下面就是要遍历所有的点，按照同样的方法让计算机去计算喽。如果你的画布是800x800，那就需要从(x=0,y=0)一直遍历到(x=800,y=800)，一共是800x800=640000个点。如果你对你的电脑运算能力有信心的话，就可以利用Julia集绘制高分辨的HD桌面壁纸喽！ Julia集的魅力所在 学术界对于Julia集的研究非常广泛，学者们深深被这个集合的美丽和规律所吸引。除了她的多变和美丽外，还有一个神奇的地方（不要跟太多人讲哦），就是她的分形艺术（fractal art）。

分形几何学

2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。

自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。

1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。

分形与幽默艺术

分形与幽默艺术 分形与幽默艺术 作者：憔悴太子 ── 从赵本山的小品《心病》谈起 摘要表演艺术本身就有着自己的规律与理论。研究分形与幽默，研究分形与表演艺术之间的关系，只不过是从一个从新的角度来进一步了解及研究表演艺术它的自身规律与理论，将原来看到的，还有可能看不到的和遗漏的，或者看不清楚的问题及内容，从理论与技术上进一步进行归纳与升华成为应用价值的东西，从而形成新的规律与理论。并用它来指导表演艺术的编导与表演艺术的实践。从赵本山的小品《心病》谈起, 研究分形与幽默的目的就在于希望本文能起抛砖引玉的作用。 关键词分形自相似性表演艺术幽默 一前言 2003春节晚会上赵本山的小品“心病”（何庆魁先生等撰写），由赵本山、高秀敏、范伟组成的“黄金铁三角” 重新杀回央视，成为最大的看点和亮点。小品“心病”在舞台演出需要的时间很短（网上下载赵本山的“心病”播放时间为13分54秒），然而观众的笑声不断共计有25次之多（除“黄金铁三角”的人物出场时深受观众欢迎，引起观众大笑叫好外，其中还有15次也是大笑与幽默喜剧的高潮），足见其成功之处。他们获得非常好的幽默喜剧效果与巨大轰动效应。该小品最典型的幽默是赵本山这个“医生”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”。对于身外之物的“钱”的“心病”上，“医生”治好了“病人”的“心病”，他自己却是同样的“心病”大发其着，而且更为甚之。正是赵本山这个“医生”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”才引发了幽默喜剧的效果，也正是这个幽默喜剧情节才引发了一些不必要的争论。其实艺术上的“相似”的故事情节，“相似”表现手法的相互借鉴是无可非议的，因为世界上从时间与空间的整体来看每时每刻不知要发生多少“相似”，“相同”的事情，这是不足为奇的。世界本来就是“分形”的世界。 从现在的观点来看，赵本山的小品“心病”他们获得非常好的幽默喜剧效果与巨大轰动效应，除了他们的表演技巧外，小品剧情的发展与表现技巧都应用了“分形”这一手法。这里我们只不过是从一个从新的角度来进一步了解及研究表演艺术而已。 二分形简介 “分形”（f ractal）这个名词是由美国IBM（International Business Machine）公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B. Mandelbort）在1975年首次提出的，其原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参考了拉丁文f ractus(弄碎的)后造出来的，它既是英文又是法文，既是名词又是形容词。1977年，他的所撰写的世界第一部关于“分形”的著作“分形：形态，偶然性和维数”（Fractal：From, Chance and Dimension），标志着分形理论的正式诞生。五年后，他又出版了著名的专著“自然界的分形几何学”（The Fractal Geometry of Nature），至此，分形理论初步形成。由于他对科学作出的杰出的贡献，他荣获了1985年Barnard奖，该奖是由全美科学院推荐，每五年选一人，是非常有权威性的奖。在过去的获奖者中，爱因斯坦名列第一，其余的也都是著名的科学家。 分形理论诞生后，人们意思到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解及研究自然界和社会，范围包括所有的自然科学和社会科学领域。[1] （张济忠<<分形>> 清华大学出版社1995年8月第一版绪论pⅧ-Ⅸ） 分形的几个特点： (1) 具有无限精细的结构； (2) 比例自相似性； (3) 一般它的分数维大于它的拓扑维数； (4) 可以由非常简单的方法定义，并由递归，迭代产生等。 这里（1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段包含整个分形的信息。第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项说明了分形的生成机制。[2]（分形--自然几何.htm）请看图1中的几个图形,它们叫做科赫曲线和科赫雪花曲线，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个局部和整体自相似的图形。这就是分形几何的一个特点叫做自相似性。并且具有无限精细的结构，即它的全息性。从图1中，可以看出它的生成规律，即其递归过程。[3]（分形艺术欣赏.htm）[4]（21ic_com

分形几何的数学基础

课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构

中国传统纹样-几何纹样篇

中国传统纹样-几何纹 样篇 --------------------------------------------------------------------------作者: _____________ --------------------------------------------------------------------------日期: _____________

中国传统纹样几何纹样篇 中国传统纹样 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，一直贯穿于中国历史发展的整个流程，贯穿于人们生活的始终，反映出不同时期的风俗习惯。从原始社会简单的纹样到奴隶社会简洁、粗犷的青铜器纹饰，再到封建社会精美繁复的花鸟虫鱼、飞鸟走兽、吉祥图案纹样，都凝聚着相应时期独特的艺术审美观。 1、连珠纹 连珠纹尤其连珠圈纹是古波斯萨珊王朝最为流行的花纹；在萨珊风格织物中，以对兽或对鸟图案母题为主，而以各种圆和椭圆的连珠作为图案装饰主题。连珠纹图案于5～7世纪间沿丝绸之路从西亚、中亚传入我国，但在这一时期基本是作为器型排列的边饰。连珠纹在中国的唐锦中成为数量最多，而且具有时代特色的纹饰。至隋代，连珠纹发展为连珠圈纹，并成为各种器物的主题纹样。波斯锦传入后，约7、8世纪时我国也曾模仿织造。不论其产于何地，凡属此类萨珊波斯风格的织锦，皆称为“萨珊式”织锦（Sasannian’figured silks）。 新疆吐鲁番斯坦那出土连珠纹是从波斯萨珊王朝的装饰形式中吸收过来的唐代流行花式，传统华夏艺术思想与外来形式的结合，丰富了唐代的文化。

2、云雷纹 陶瓷器装饰的一种原始纹样，图案呈圆弧形卷曲或方折的回旋线条。圆弧形的也单称云纹，方折形也称雷纹，云雷纹是两者的统称。 云雷纹有拍印、压印、刻划、彩绘等表现技法，在构图上通常以四方连续或二方连续式展开。出现在新石器时代晚期，可能从漩涡纹发展而来。至商代晚期，云雷纹已经比较少见，但在商代白陶器和商周印纹硬陶、原始青瓷上，云雷纹仍是主要纹饰。商周时代云雷纹大量出现在青铜器上，多作衬托主纹的地纹。到了汉代，随着青铜器的衰退，陶瓷器上的云雷纹也消失了。

分形几何与分形艺术

分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020

分形几何与分形艺术 作者： 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。

世界上最神奇的数字

…世界上最神奇的数字，也许，它就是宇宙的密码 世界上最神奇的数字是：142857。 看似平凡的数字，为什么说他最神奇呢？ 我们把它从1乘到6看看 142857X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142 同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。 那么把它乘与7是多少呢？ 我们会惊人的发现是999999 而

142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 最后，我们用142857乘与142857 答案是：20408122449前五位+上后五位的得数是多少呢？ 20408 + 122449 = 142857 关于其中神奇的解答：〝142857〞 它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数位，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数位元元需要分身一次，你不需要电脑，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！也许，它就是宇宙的密码 … … 142857×1=142857（原数字） 142857×2=285714（轮值）

142857×3=428571（轮值） 142857×4=571428（轮值） 142857×5=714285（轮值） 142857×6=857142（轮值） 142857×7=999999（放假由9代班） 142857×8=1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7） 142857×9=1285713（4分身） 142857×10=1428570（1分身） 142857×11=1571427（8分身） 142857×12=1714284（5分身） 142857×13=1857141（2分身） 142857×14=1999998（9也需要分身变大） 继续算下去 …… 以上各数的单数和都是〝9〞。有可能藏着一个大秘密。 以上面的金字塔神秘数字举例：1+4+2+8+5+7=27=2+7=9；您瞧瞧，它们的单数和竟然都是〝9〞。依此类推，上面各个神秘数，它们的单数和都是〝9〞；怪也不怪！(它的双数和27还是3的三次方)无数巧合中必有概率，无数吻合中必有规律。何谓规律？大自然规定的纪律！科学就是总结事实，从中找出规律。 任意取一个数字，例如取48965，将这个数位的各个数位进行求和，结果为 4+8+9+6+5=32，再将结果求和，得3+2=5。我将这种求和的方法称为求一个数字的众数和。

浅谈中国传统图案与现代设计的结合

浅谈中国传统图案与现代设计的结合 摘要： 艺术设计能体现一个民族一个时代的生活方式及科技水准,艺术设计的精神性能反映一个民族一个时代的审美心理和审美风尚等.所以说艺术设计的民族性与时代性是需要结合发展的,传统是设计的基础和产生的条件,时代是设计的发展基础物质,只有二者有效的结合,才能创造完美的艺术设计,为人类的生活提高质的飞跃.民族性构成艺术价值的内在规定性。一个伟大民族的过去、现在和未来，都会有文艺的发展和繁荣的伴随，而真正伟大的艺术作品也总是充满民族性，蕴涵鲜明而浓郁的民族气质的，它们是民族意识、民族精神生活的花朵和果实。艺术作品充满民族性的关键在于具有民族的精神，在于一个民族理解事物和观察世界的独特方式和眼光。民族艺术与民族精神有着天然的联系。 关键词：中国传统图案；文化；图案；设计思想

目录 引言 (3) 1.中国传统图形的形成 (3) 1.1中国传统图案的发展历史及思想体现 (3) 1.1.1传统图案的历史发展过 (3) 1.1.2传统图案的思想体现 (3) 2.中国传统图案的特点及运用 (4) 2.1 中国传统图案的特点 (4) 2.1.1具象题材，抽象运用 (4) 2.1.2对称与均衡时基本的构图法 (4) 2.1.3繁复求变、乱中有序 (4) 3.中国传统图案的内涵 (5) 3.1中国传统文化的内涵体现 (5) 4.中国传统图案与现代设计的结合 (5) 4.1中国传统图案在现代设计中的形式 (5) 4.2传统图案在设计中的精神体现 (6) 结论 (6) 参考文献 (6)

引言 中国传统图案包含着古人智慧的结晶，也是创作和生产的丰富经验积累，它既是物质的体现，又是精神的反映，没有传统美学的修养，所反映出来的现代设计就会先天不足。吸取中国传统图案的精髓，把它与现代设计手法相融合，才能创造出优秀的设计作品。 下面就几种传统艺术表现形式来分析其在设计中的体现。 1. 中国传统图案的形成 1.1 中国传统图案的历史发展及思想体现 1.1.1传统图案的历史发展过程 龙凤类吉祥图案、花卉类吉祥图案、文案类吉祥图案、雕刻、摆设类吉祥图案、喜庆类吉祥图案、吉利类吉祥图案、“福”吉祥图案、“禄”吉祥图案、“寿”吉祥图案、建筑类吉祥图案、祥云火炬：传统云纹式样的运用。金镶玉奖牌：古代金玉嵌错工艺，中国传统装饰文样在现代室内设计中的运用等。 传统图案在原始时期就已经开始了，随着原始人制作各种器皿，尤其是陶器、青铜器。大多纹样有饕餮纹、蛟龙文、龙文、象纹、鹿纹、绳纹、云纹、雷纹、蟠篱文、环戴纹等。 1.1.2传统图案的思想体现 中国的传统图形历经千百年来中华民族文化长期发展所形成， 多如在夜空中散发光芒的繁星，蔚为大观。这些包括丰富寓意、哲理和生活智能的美好图形，在诸如陶瓷、建筑、刺绣、家具等多种多样的形式展现在中国人生活当中。这丰富的资源理应是现今视觉设计的一个宝库，为设计师提供一个用之不竭的创作源泉。 一些富有中国哲理、宗教、宇宙观和时空观的文化思想，往往是通过独特的图形传达具体内容的，如阴阳的太极，以动静结合的方式，讲求和谐与自然的观念，以现代的造型设计看，这些图形的创作达到非常高的水准，并且有现代感。其实，中国不少优秀的传统事物已被中国人遗忘，却倾向单纯走西化的道路，而有些西方人士，却比我们更重视中国古雅优质的传统图形。 中国传统图形经历数千年的转变，在今天的社会环境下，要从传统中吸取其精华，作为基础而创新改造。正如张汀先生为《中国民间艺术》一书序中曾说：“在新的历史条件下，与时代同步前进，这将有利于提高国民审美情操与文化素质。”

中学数学中的分形几何.

中学数学中的分形几何 广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502） 桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004） 内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。 关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线 Koch岛 Sierpinski-Menger海绵 1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。 一、规则图形的容量维 为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。

_论分形艺术美的本质

第10卷第6期2008年11月　 哈尔滨工业大学学报(社会科学版) J O U R N A LO FH I T (S O C I A LS C I E N C E S E D I T I O N ) 　 V o l .10N o .6　N o v .,2008 收稿日期:2008-06-16 作者简介:王建一(1962-),男,黑龙江哈尔滨人,副教授,从事工程技术美学研究;汪俊琼(1985-),女,湖北武汉人,硕士研究 生,从事数字人工生命研究。 论分形艺术美的本质 王建一,汪俊琼 (哈尔滨工业大学媒体技术与艺术系,哈尔滨150001) 摘　要:分形艺术是基于分形几何理论所创建的一类奇特的新媒体艺术,是计算机技术在图形图像艺术领域的应用,富于视觉冲击力,具有非同寻常的美感。分形几何具有自相似和分数维两大重要特征,它们正是分形艺术美感的数学缘起。此外,分形艺术也是一门创造艺术,分形艺术家运用数学算法作为画笔来进行造型、色彩设计,这种艺术灵感的挥洒过程实现了美的创造。基于分形理论和数学方法创作的分形艺术,不仅象征了科学与艺术自然而完美的结合,更具有独特的美学意义。从美学角度来分析,分形艺术具有数学和谐、标度对称和奇异性等特点,在超越传统美学标准审美的同时形成其独特的审美感染力,而分形艺术这种活跃的生命力正是分形美的本质。 关键词:新媒体艺术;分形艺术;标度对称;奇异性 中图分类号:J 9 文献标志码:A 文章编号:1009-1971(2008)06-0046-06 分形是指具有自相似特征的图形图像或者 物理过程,而分形艺术是特指具有分形特性的艺术作品所形成的一种艺术门类,即分形艺术的审美主体是分形作品。分形艺术具有深厚的几何理论基础,强调标度变换下的不变性和分数维度,即具有自相似和分数维两大特性,这些特性使得分形长于表现自然的真实细腻和生命力的蓬勃延伸,所以,分形艺术能表现出传奇的和谐、亲近感及奇异性。分形艺术的与众不同还在于其创作方法和创作过程的独特,分形艺术家们将数学算法作为画笔来进行造型和构图设计,凝聚着的艺术灵感实现了美的创造。分形力是蕴涵于分形中的自然生命力的宣扬,它表征了一类新兴艺术的动态交流形态。 一、分形的自相似与分数维特征 美籍法国数学家曼德布罗特(B e n o i t B .M a n d e l b r o t )在研究复杂图形时,发现许多不规则的点集拥有一个共性,那就是粗糙性和自相似性,于是他提出了“F r a c t a l ”的概念,“F r a c t a l ”强调破碎与不规则,一般译作“分形”或者“碎 形” [1]58 。而今天谈论的“分形”即由此而来。曼 德布罗特在介绍分形时这样说过,云彩不是球体,山岭不是锥体,大自然界的很多图样是很不规则的,甚至是支离破碎的。它说明了分形在大自然中存在的普遍性。这种独特的分形思想最终指导曼德布罗特创立了分形几何。作为非欧几何中重要的一支,分形几何具有自相似和分维两大特征,它们也正是分形艺术区别与其他艺术的两大特色,最初这两大特点都是从几何学的角度提出的,其中,自相似特征正是分形的核心意义所在。 自相似是指一个对象的局部与局部或者局部与整体相似,如叶脉的无限分叉、俄罗斯套娃的无穷嵌套都具有自相似的特点。自相似性是分形理论的核心,是分形艺术最基本,也最根本的特征。根据曼德布罗特的研究,无论是对自然中的不规则结构进行模拟,还是将简单的形状进行无限次重复,这些过程都贯穿着自相似的基本观点,甚至可以说,分形就意味着自相似。美丽的科赫雪花(见图1)、谢宾斯基衬垫等图形(见图2)就是具有自相似特性的典型分形图形。不断放大科赫雪花图形的边缘,会出现无数个科赫雪花,可以发现每一个小局部中包含的细节并不