第8章Kalman滤波

Kalman滤波
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卡尔曼生平
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? 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，美籍匈牙利数学 家，1930年出生于匈牙利首 都布达佩斯。1953，1954年 于麻省理工学院分别获得电 机工程学士及硕士学位。 1957年于哥伦比亚大学获得 博士学位。我们要学习的卡 尔曼滤波器，正是源于他的 博士论文和1960年发表的论 文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新 方法）。

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1.引言
? 卡尔曼(Kalman)滤波和维纳(Wiener)滤波都是 以最小均方误差为准则的最佳线性估计或 滤波。 ? 维纳滤波只适用于平稳随机过程(信号) ? 卡尔曼滤波没有这个限制，信号可以是平 HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 稳的，也可以是非平稳的。

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2.处理方法——维纳滤波器
根据全部过去的和当前的观测数据x(n),x(n-1), … 来估计信号的当前值
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 以均方误差最小条件下求解
系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)

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2.处理方法——卡尔曼滤波器
不需要全部过去的观察数据 只根据前一个估计值 来估计信号的当前值
? k -1 x
和最近一个观察数据
yk
它是用状态空间法描述系统，即由状态方程和观 HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 测方程组成。 解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的 其算法是递推 且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法 适用于多维随机过程的估计，适用于计算机处理

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3.信号模型的建立
? 从信号模型的建立来看： ? 维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函数得 到。 ? 卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和观测方程 得到。
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卡尔曼滤波器的特点是什么？

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第二节 卡尔曼滤波器的信号模型 —离散状态方程与观测方程

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引入
? 在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作 是白色噪声通过一个线性网络所形成。 由此得到维纳滤波器的信号模型
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY v(n)
w(n)
s(n)
A(z)
w(n)
s(n) A( z )
x(n)
w(n)
B(z)
x(n)

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? 为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须首 先讨论状态方程和观测方程。
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一、离散状态方程及其解
离散状态方程的基本形式是：
x (k + 1) = Ax ( k ) + Be( k )
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 其中x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量，
而A，B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构、元件 性质和数值所确定的。
e( k ) 是激励信号。

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状态方程是多维一阶的差分方程。 当已知初始状态x(0)， 可用递推的方法得到它的解 x(k )
x (1) = Ax (0) + Be (0) HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY x (2) = Ax (1) + Be(1) = A 2 x (0) + ABe(0) + Be(1) x ( k ? 1) = A k ?1 x (0) + ∑ A k ? 2 ? j Be( j )
j =0 k ?2
x ( k ) = A k x (0) + ∑ A k ?1? j Be( j )
j =0
k ?1

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其中第一项： Ak x(0)：只与系统本身的特性A和初始状态x(0)有关， 与激励信号e(i)无关，称为零输入响应；
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k ?1? j A Be( j )：只与激励和系统本身特性有关， ∑ j =0 k ?1
第二项：
而与初始状态无关，称为零状态响应。

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令Ak = Φ(k )代入，得： x(k ) = Φ(k ) x(0) + ∑ Φ(k ? 1 ? j ) Be( j )
j =0 k ?1
HANGZHOU 当 e ( k ) = 0时， x ( kDIANZI ) = Φ ( k ) x (0) =UNIVERSITY A x (0)
k
由此可见，通过 Φ ( k ) 可将 k = 0时的状态过渡到 任何 k > 0的状态。故称 Φ ( k ) 为 过渡矩阵 或转移矩阵。

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当已知初始状态 x (0)、激励 e ( j )以及 A与 B矩阵， 即可求得 x ( k )。 。
如果用k0表示起始点的k 值从x(k )开始递推，从而有
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY x(k ) = Φ x(k ) + ∑ Φ Be( j )
k ?1 k ,k 0 0 j = k0 k , j +1
k 0 = 0： 表 示 从 初 始 状 态 x ( 0 ) 开 始 递 推 。
Φ k ,k 0：代表从k0 状态到k 状态的转移矩阵。

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如果k0 = k ? 1，就得到一步递推公式：
x ( k ) = Φ k ,k ?1 x ( k ? 1) + Φ (0) Be( k ? 1)
HANGZHOU0 DIANZI UNIVERSITY
由于Φ(0) = A = I，代入上式，得：
x (k ) = Φ k , k ?1 x ( k ? 1) + Be( k ? 1)

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假设激励源为白噪声，即 Be ( k ? 1)＝ w ( k -1) 称 为 系 统 动 态 噪 声 ，
而 系 统 是 时 变 的 ， 即 Φ k , k ?1＝ A ( k ) 其 中 A ( k )为 状 态 变量之间的 增益矩阵， HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 可以随时间发生变化；
则 ： x ( k ) = A ( k ) x ( k ? 1) + w ( k -1) 为 了 书 写 方 便 ， 将 变 量k放 在 下 标 表 示 ， x k = Ak x k ?1 + w k -1

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说明： 在 k 时 刻 的 状 态 x ( k )可 以 由 它 前 一 个 时 刻
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 的 状 态 x ( k -1) 来 求得，即： x ( k -1)时 刻 以 前
各 状 态 的 影 响 都 已 记 忆 在 x ( k -1)中 了 。 称为一步递推状态方程。

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总结
状态方程的核心是：设置状态变量， 状态变量是网络内部（最少的）节点变量， 一般设在延迟支路的输出端，状态方程刻 画了状态变量下一时刻的取值与当前时刻的
HANGZHOU UNIVERSITY 状 态 变 量 和 输 入DIANZI 之间的关系。
x ( k + 1) = Ax ( k ) + Be ( k )
一步递推状态方程： x ( k ) = A( k ) x ( k ? 1) + w( k -1)

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二、离散时间系统的观测方程
卡尔曼滤波需要依据观测数据对系统状态进行估计。 因此，除了要建立系统的状态方程， 还需要建立一个观测方程。
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假设观测系统是线性的， 对于离散时间系统的观测方程可写成：
y k = ck xk + υ k