函数专题练习
1.函数 x y e
1
(x R)的反函数是(
)
A. y 1 In x(x 0)
B.
C. y 1 In x(x 0)
D. 2.已知
f(x)
(3a 1)x 4a, x 1
是(
7
Iog a x, x 1
1 1 1 (A ) (0,1)
( B ) (0, -)
(C )[-,-)
3 7 3
3.
在下列四个函数中,满足性质:
y 1 In x(x 0) y 1 In x(x 0)
)上的减函数,那么 a 的取值范围是 1 (D )[*1)
j ■于区间(1,2)上的任意x-i ,x 2(x 1
x 2),
I f (xj
f(X 2)| | X 2为|恒成立” 的只有
(A ) f (x) (B ) f x |x|
C )f(x) 2x
(D ) f (x)
4.已知
f (x) 期为 2
f(x)
lg x.设
6 a
f( ),b
5
b e
f
(|),则
(A ) a
(B ) b a e
(C )c
(De
5.函数 f(x)
3x 2
lg(3x 1)的定义域是 1 B.(丄,1)
3
1 5 3
6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A(
1,1)
1)
3
x , x R
B. y sinx , x R C
7、函数y f (x)的反函数y
1
f (x)的图像与y 轴交于点 P(0,2)(如右图所示),则方程
A.4
B.3
f (x)
0在[1,4]上的根
是
C
D.1
8、设
f(x)是R 上的任意函数,
则下列叙述正确的是
(A ) f(x)f( x)是奇函数 f (x) f ( x)是奇函数
(C ) f (x) f ( x)是偶函数
D ) f (x) f ( x)是偶函数
_
x
9、已知函数 y e 的图象与函数 y
f x 的图象关于直线 y x 对称,则
A. f 2x e 2x (x R)
B. f 2x In2gn x(x 0)
C. f 2x 2e x(x R)
D. f 2x Inx In2(x 0)
10、设f (x)
x 1
2e , x< 2,
Iog3(x1 2 1), x
则f( f (2))的值为
2.
(A)0 (B)1 ( C)2 ( D3
11、对a, b R,记max a, b}=a, a b
b, a< b
,函数f(x) = max i x+ 1| , |x-2|}( x R)的最
小值是
(A)0 ( B)-
2
( C) ( D)3
12、关于x的方程(x21)2 x2 1 k 0,给出下列四个命题:
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有
③存在实数k,使得方程恰有
④存在实数k ,使得方程恰有其中假命题的个数是4个不同的实根; 5个不同的实根; 8个不同的实根;
A. 0
B. 1
(一) 填空题(4个)
C. 2
D. 3
1.函数f x 对于任意实数x满足条件x 2 1 卄」『1 5,则
, 若1
f x
f f 5
2 设g(x)
x
e ,x
ln x,x
0.
0.
小 1
则
g(g(-))-----------
2、设 f(x) = 3ax b 2bx c.若a b c 0 , f (o )>0, f (i )>o ,求证:
(I )a > 0 且—2v
a
v — 1 ;
b
(n )方程f (x ) = o 在(o , 1)内有两个实根
(I )求a, b 的值;
2 2
(t 2t) f (2t k) 0恒成立,求k 的取值范围;
2
4.
设函数f (x ) = _c ,其中a 为实数.
x ax a
(I )若f (x )的定义域为R,求a 的取值范围; (n )当f (x )的定义域为R 时,求f (x )的单减区间
1
5.已知定义在正实数集上的函数
f (x) — x 2 2ax ,
g (x) 3a 21nx b ,其中a 0 .设
2
两曲线y f (x) , y g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (I) 用a 表示b ,并求b 的最大值; (II )求证:f (x) > g(x) ( x 0).
6.已知函数f(x) x 2 x 1 ,,是方程f (x ) = 0的两个根( ),f'(x)是f (x )的导数;
设 a 1 , a n 1 a n
( n = 1, 2, ......... )
f '(a n )
(1) 求,的值;
(2) 证明:对任意的正整数 n ,都有a. >a ;
(3) 记b In —(n = 1, 2,……),求数列{b n }的前n 项和$。
a n a
3.已知定义域为R 的函数f (x)
戸是奇函数。
(n )若对任意的t R ,不等式
10解:f (f (2)) = f (1) = 2,选 C 解答: 一、选择题 1 解:由 y e x 1 得:
2解:依题意,有 0 时,log a x 0,
x 1
lny,即 x=-1+lny ,所以 y
1
a 1且3a - 1 0,解得0 a —,又当
3 1 所以7a - 1 0解得x 丄故选C
7
1 In x(x 0)为所求,故选D
x 1 时,(3a - 1)x + 4a 7a — 1,
1
I —
X
1
1 |=| X 2
X 2- X 1 1 , --|= |X 1-X 2 |
Q X 1, x 1x 2
I XM I
X 2 (1,2)
x 1x 2
1
1 1
x 1x 2
丄| X 2
| X 1 - X 2I 故选 A
4解:已
知 f(x)
是周期
2的奇函数,
时,
f (x) I
g x.设
f(6) c a b ,选 D
f( 4
)
f
Q ,
f(3)
f(
1
迟),
c
1
f(2
) <
°」
,解:由1 X 0
3x 1 0
1,故选 B.
6解:B 在其定义域内是奇函数但不是减函数
其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A
;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数
;D 在
7解:f (x) 0的根是x 2,故选C
8 解:A 中 F(x) f (x) f( x)则 F( x)
f ( x)f(x) F(x),
即函数F(x) f (x)f( x)为偶函数,B 中 F(x) f(x)|f(x), F( x) f( x) f(x)此 时F(x)与F( x)的关系不能确定,即函数
F(x) f (x) f ( x)的奇偶性不确定,
C 中 F(x) f (x) f( x),F( x) f( x)
f(x) F(x),即函数 F(x) f (x) f( x)为 奇函数,D 中 F(x) f (x) f( x),
F( x) f( x) f (x) F(x),即函数 F(x) f(x) f( x)为偶函数,故选择答案 Db
9解:函数y e x 的图象与函数 y f x
的图象关于直线
y x 对称,所以f (x)是y e x 的反函数,即f(x) = lnx ,二f 2x
ln 2x lnx
ln 2(x 0),选 D.
11解:当 x - 1 时,|x +1| =- x -1,
|x -2| = 2-x ,
因为(一x - 1) - (2 -x ) =- 3 0,
2 2
1 +( x —1 k 0 ( — 1 x 1)
k =— 2时,方程(1)的解为.3,方程⑵ 无解,原方程恰有 2个不同的实根
6 2
—,方程(2)有两个不同的实根 —,即原
2 2
方程恰有4个不同的实根
同的实根
恰有8个不同的实根
二、填空题。
1
g(ln 2
)
所以2 — x — x — 1;当一
1 x 1 时,| x + 1| = x + 1, |x — 2| = 2— X ,因为(x + 1) — (
2 — x )
2
=2x — 1 0, x + 1 2— x ; x 2 时,x + 1 2 — x ;当 x 2 时,|x + 1| = x + 1, |x — 2| = x
故 f (x)
x +
1
x — 2 ;
2 x(x (,1)
2
x(x 1
[1,;))
2
x
1(x 1 匕,2))
2 x
1(x [2,))
12解: 关于 x 的方程x 2 1
x 2 1 k 0可化为x 2 1
(x 2—1) k 0(x 1或x —1) (1)
x 2
1
k = 时,方程(1)有两个不同的实根
4 当k = 0时,方程(1)的解为一
1, + 1,
、2,方程⑵的解为x = 0,原方程恰有5个不
2
当k = 时,方程(1)的解为
9
.15 3
三3,方程⑵的解为
3
即原方程
1解:
- f(x),所以
x 2
f(5) f (1)
5,则
5 f( 5) f( 1)
f( 1 2)
2解:
3解: 函数f (x) f (x)为奇函数,则f(0) 0,即
1
a =
2
当 —2,显然 3 据此求得最小值为-。选C 2
2
4解:由a 0,a 1,函数f(x) log a (x 2x 3)有最小值可知 a 1,所以不等式
log a (X 1)
0 可化为 X - 1 1,即 X 2.
⑵ 方程f(x) 5的解分别是2
、、14, 0,
4和2 , 14,由于f(x)在(
[2, 5]上单调递减,
在[
1,2]和[5, )上单调递增,因此 A
,2 、.14 [0, 4] 2 .14, .
由于2
.14 6, 2
J4
2,
B A .
(3)[ 解法一 ]当x
[1, 5]时, f (x) x 2 4x 5
三、解答题
1 解:(1)
1]和
2
x (k 4
)x (3k
4 k
2
k 2 x
2
k 2,
4 k
1
. .又
2
①当1
4 k
1 , 即
2 k 2
k 2 20k
36
1 g(x)min
4
4
16 (k
10
)
2
64,
(k
则 g (X )min 0.
②当4
k 1,即 k 6
时, 2
5)
5)
20k 36
4
1 x
5,
卄 4 k
6
取x 4
2,
k 10 2 64 .
10)2 64 0 ,
取x
1 ,
g(x
)min = 2k 0
g(x) k(x 3) ( X 2 4x
由①、②可知,当 k 2时,g(x) 0, x [ 1,5].
因此,在区间[1,5]上,y k(x 3)的图像位于函数f (x)图像的上方? [解法二]当 x [ 1, 5]时,f(x) x 2 4x 5.
由
y
3),
得 x 2 (k 4)x
(3k 5) 0,
y x 4x 5,
2
令 (k 4)
4(3k 5) 0,解得 k 2 或 k 18,
在区间[1, 5]上,当k 2时,y 2(x 3)的图像与函数 f (x)的图像只交于一点
所以方程f (x)
0在区间(0,
—)与( 3a
18时,y 18(x 3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.
k 2时,直线y k(x 在区间[1, (1, 8); 如图可知, 线y 2(x 3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到.因此, 图像位于函数f(x)图像的上方. 由于直线 y k(x 3)过点(3, 0),当
5]上,y
3)是由直 k(x 3)的
2(I )证明: 因为f(0) 0, f(1) 0 , 所以 c 0,3a 2b 由条件
由条件 消去b ,得a 消去c ,得a c 0; b 0, 2a b 0. 1. (II )抛物线 2
f(x) 3ax 2bx c 的顶点坐标为 ( 在2
-
1
1的两边乘以 -, 得
1
b 2
a 3 3
3a 3
又因为
f (0) 0, f(1) 0,而 f (
2
a
2
c 故 a
ac
b 3a 3a
c b 2) 3a ,
0,
故方程 f (x) 0在(0,1)内有两个实根 3 解: (I )因为f(x)是奇函数,所以 f(0) = 0,
1 f(x)
1 2x a 2x 1
又由 f (1) = — f ( — 1)知
2.
n )解法一:由(I )知f(x) 丄二
2 2
,易知f (x)在(
K
,1)内分别有一实
根。
3a
函数专题练习 (一) 选择题(12个) 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+=?>?是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11[,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠, 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 )
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
高考数学专题练习--函数图像 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2 21,0 ,0 x x f x x x x ->?=? +≤?,若函数()()g x f x m =-有三个零点,则实数m 的取值范围是__________. 【答案】1 ,04 ?? - ??? 【解析】 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】已知函数31 1, ,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程 ()(1)f x k x =+有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 ▲ . 【答案】1 (0,)2 【解析】 试题分析:作函数()y f x =及(1)y k x =+图像,(11), (1,0)A B -,,由图可知要使关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根,须满足1 (0,)(0,).2 AB k k ∈=
3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点 ()4,2,则k α+= ▲ . 【答案】 32 【解析】 试题分析:由题意得11,422 k α α==?=∴32k α+= 4. 【泰州中学第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1 (4,)2 ,则 1 ()4 f 的值为 . 【答案】2 【解析】 试题分析:设()y f x x α ==,则11422α α=?=-,因此1 211()()244 f -== 5. 【江苏省南通中学高三上学期期中考试】已知函数2 +1, 1, ()(), 1, a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数 ()2()g x f x =-,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则实数的取值范围是 ▲ . 【答案】23a <≤ 【解析】