常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理

我们知道，如果/ C=90°, a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得

a 2+

b 2=

c 2;反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2

，则该三角形是直角三角形,

股数，记为（a , b , c ）.勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种:

一、三数为连续整数的勾股数

（3, 4, 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有

第二组或更多组呢?

设三数为连续整数的勾股数组为（X -1, X , X +1）,则由勾股数的定义，得

（X+1） 2

+x 2

二（X+1） 2

,解得x =4或x=0（舍去），故三数为连续整数的勾股数只

有一组（3,4,5）;类似有3n,4n,5n （n 是正整数）都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：(5, 12, 13),(9,40,41),(113, 6 3 3 8, 6385),…

都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什 么呢?

a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2

+2n+1 （其特点是斜边与其中一股的差为 1）.

分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5)

,(5,12,13) ,(7,

,25),-

三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(2 0,2 1,2 9 )

,(119,120,169)

,( 4 0 5 9,4 0

,5 7 4 1 ）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为: c 为斜边.与此相类似，如果三个正整数

a 、

b 、

c 满足 a 2+b 2=c 2

，则称 a 、b 、c 为勾

(X , X +

1

设前两数为连续整数的勾股数组为（x,x+l, y ）,y=j 2x 2

2x 1则x

整理，得 2x 2 2x 1 = y 2，化为 2x 1 2 2y 2

1，即 2x

—2n 1 L 2n 1

J 2

1 V 2

= — l(n

故前两数为连续整数的勾股数组是（

1〔 1

Q n1

+ 1

Q n1 -2

〕中1

Q

￡— 2n 1

、 -T

J 2

J — 2n 1

j — 2n 1

、

+ 1 42 —2〕+l, —〔 1 72

— 1 72 〕).

4

四、后两数为连续奇数的勾股数

如(8，15，17),(12，35, 37)…其公式为：4(n+1),4(n+1) 2

-1,4(n+1) 2

+1(n 是正 整数）.

五、其它的勾股数组公式:

1.a=2m,b 二m — 1,c=m 2

+1 (m 大于 1 的整数).2.a= 1

(m — n 2

) ,b=mn,c=l (m+n 2

)

2 2

（其中m>r 且是互质的奇数）.

3.a=2m,b=m — n 2,c=m 2+n 2

（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）

F 面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考:

34 5 ; 512 13; 6810; 72425; 81517; 9 1215; 940 41; 102426; 116061; 12

16 20 ;

12 35 37 ; 13 84 85; 14

48 50 ;

15 20 25 ; 15 36 39 ; 15112 113; 16

30 34 ; 16 63 65

x 1

2

y

2

N),

故取2x 1

L J — 2n 1

72y = 1 迈 — L 2n 1

2x 1 U2y = 1

42

解之，得 1 厂

一2n 1

x = 1

〔 1 J 2 +

—2n 1 c =

J 2 <

1 J

2 —2〕，y = V 〔 4

L 2n 1

1 4

2 —

17144 145; 18 24 30; 18 80

19 180 181; 20 21 29 ; 20 48 52 ;

82 ;

20 99 101 ; 21 28 35

1 21 7

2 75 ； 21 220 221；22 120 122；2

3 26

4 265； 24 32 40 ； 24 45

51

；24 70 74； 24 143 145

25 60

65

；25 312 313；26 168 170； 27 36 45 ；27120 123； 27 364 365； 28 45

53 ；

28 96 100

28 195 197； 29 420 421； 30 40 50 ； 30 72 78 ；30 224 226 ； 31

480 481； 32 60 68 ；32 126 130

32 255 257； 33 44 55 ；33 56 65 ；33

180 183； 33

544 545 ； 34

288 290； 35 84 91 ；35 120 125

35 612 613； 36 48 60 ；36 77 85 ；36 105 111； 36

160 164 ； 36

323 325； 37 684 685； 38 360 362

39 52

65

；39 80 89； 39 252 255；39 760 761； 40 42 58 ；40 75

85；40 96 104 ；40 198

202

40 399 401； 41 840 841； 42 56 70 ； 42 144 150； 42 440 442； 43 924 925； 44 117 125； 44 240 244

44 483 485； 45 60 75 ；45 108 117； 45 200 205； 45 336 339； 46

528 530； 48 55 73 ；48 64 80

48 90 102 ；

48

140 148；48 189 195； 48 286 290； 48 575 577； 49 168 175； 50 120 130； 50 624 626

51 68

85

；51 140 149；51 432 435； 52 165 173； 52 336 340； 52 675 677； 54 72 90 ；54 240 246

54 728 730； 55 132 143； 55 300 305；

56 90 106 ；

56 105 119； 56

192 200； 56 390 394； 56 783 785

57 76 95

； 57176 185； 57 540 543； 63 87 ； 60 80

58 840 842； 60

69 60 175 185；60 221 229；60 297 303； 60 448 452； 60 899 901；

62 960 962

； 63 84 105 ；63 216 22 5

63 280 287；63 660 663；64 120 136； 64 252 260； 64 510 514； 65 72

97 ；

65 156 16 9；65 420 42 5

66 88

11

0 ； 66 112 130；66 36 0 366； 68 28 5 293； 68 576 580； 92

11

5 ；69 260 269；69 79 2 795

70 168 182；70 240 250；72 96 12 0；72 13 5 1 53；72 154 170；

210 222；72 320 328；72 429 435

72 646 650；75 100 125；75 180 195； 75 308 317； 75 560 565；

75 936 939； 76 357 365

； 76 720 724

77 264 275；77 420 427；78 104 130； 78 160 178； 78 504 510；

80 84 116 ；80 150 17 0；

80 192 20 8

80 315 325；80 396 404；80 798 802； 81 108 135； 81 360 369；

84 112 140； 84 135 159

； 84 187 205

84 245 259；84 288 300；84 437 445； 84 585 591； 84 880 884；

85 132 157； 85 204 221

； 85 720 725

87 116 145；87 416 425；88 105 137； 88 165 187； 88 234 250；

88 480 488； 88 966 970

； 90 120 150

90 216 234；90 400 410；90 672 678； 91 312 325； 91 588 595；

92 525 533； 93 124 155

； 93 476 485

95 168 193；95 228 247；95 900 905； 96 110 146； 96 128 160；

96 180 204； 96 247 265

； 96 280 296

96 378 390；96 572 580；96 765 771； 98 336 350； 99 132

72

100 105 145

；100240260；

以下是大于100 的勾股数：

第223 组：102 136 170 第224 组：102 280 298 第225 组：102 864 870 第226 组：104 153 185 第227 组：104 195 221 第228 组：104 330 346 第229 组：104 672 680 第230 组：105 140 175 第231 组：105 208 233 第232 组：105 252 273 第233 组：105 360 375 第234 组：105 608 617 第235 组：105 784 791 第236 组：108 144 180 第237 组：108 231 255 第238 组：108 315 333 第239 组：108 480 492 第240 组：108 725 733 第241 组：108 969 975 第242 组：110 264 286 第243 组：110 600 610 100 495 505；100621629.

第245 组：111 680 689 第246 组：112 180 212 第247 组：112 210 238 第248 组：112 384 400 第249 组：112 441 455 第250 组：112 780 788 第251 组：114 152 190 第252 组：114 352 370 第253 组：115 252 277 第254 组：115 276 299 第255 组：116 837 845 第256 组：117 156 195 第257 组：117 240 267 第258 组：117 520 533 第259 组：117 756 765 第260 组：119 120 169 第261 组：119 408 425 第262 组：120 126 174 第263 组：120 160 200 第264 组：120 182 218 第265 组：120 209 241 第266 组：120 225 255 第267 组：120 288 312