高中数学难题汇编带解析

高中数学难题汇编

第I 卷（选择题）

一、选择题（题型注释）

1．若直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2

+y 2

+2x ﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ） A ． B ．

C ．+

D ．+2

【答案】C 【解析】

试题分析：圆即（x+1）2+（y ﹣2）2

=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故

=++

+1，利用基

本不等式求得式子的最小值．

解：圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y ﹣2）2

=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，

由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）上，故﹣1a ﹣2b+2=0， 即 a+2b=2，∴=

+

=++

+1≥+2

=

，

当且仅当

时，等号成立，

故选 C ．

考点：直线与圆相交的性质；基本不等式． 2（R ∈x ,1,2,3i =）的图象如

图1所示,则（ ）

A ．321μμμ=<,321σσσ>=

B ．321μμμ=>,321σσσ<=

C ．321μμμ<=,321σσσ=<

D ．321μμμ=<,321σσσ<= 【答案】D 【解析】

试题分析：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴μ2＜μ1＜μ3∵σ的值越小图象越瘦长，得到σ 1最小，σ2最大，∴σ1＜σ3＜σ2，故答案为：μ2＜μ1＜μ3；σ1＜σ3＜σ2．

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

第II 卷（非选择题）

二、填空题（题型注释）

3．如图所示，在四边形ABCD 中，将四边

形ABCD 沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A /

平面BCD ，则下列结

论正确的是 ．

（1）BD C A ⊥'； （2）ο90='∠C A B ；

（3）A C '与平面BD A '所成的角为?

30；

（4）四面体BCD A -'的体积为 【答案】（2）（4） 【解析】

试题分析：平面⊥BD A /平面BCD CD ∴⊥平面'A BD ，/

CA 与平面BD A /所成的角

为'CA D ∠

四面体BCD A -/

的体积为

2）（4）成立． 考点：1线线垂直;2线面角;3棱锥的体积．

4．如图程序运行的结果是 ．

【答案】96 【解析】

试题分析：初始条件1,1a b ==，2i =；运行第一次，2,2a b ==，3i =；运行第二次，4,8a b ==，4i =；运行第三次，12,96a b ==，5i =．满足条件，停止运行，所以输出的96b =，所以答案应填：96． 考点：程序框图．

三、解答题（题型注释）

5．已知圆C 与两平行直线 80x y --=和40x y -+=相切，圆心在直线

2100x y +-=上．

（1）求圆C 的方程;

（2）过原点O 做一条直线，交圆C 于,M N 两点，求OM ON ?的值． 【答案】（1）()()2

2

4218x y -+-=；（2）2 【解析】

试题分析：（1）设所求圆的方程是()()2

2

2x a y b r -+-=；根据两平行线间距离公式

可得两平行直线 80x y --=和40x y -+=之间的距离为可得两平行直线距离相等的直线方程为：20x y --=，且圆C 的圆心再20x y --=上，将其与直线方程2100x y +-=联立，即可求出圆心坐标，进而求得圆C 的方程；（2）根据切割线定理即可求出结果．

试题解析：（1）设所求圆的方程是()()2

2

2x a y b r -+-=．

又到两平行直线距离相等的直线方程为：20x y --=

联立2100

20x y x y +-=??

--=?

可得圆心坐标为()42，．

所以圆C 的方程为：()()2

2

4218x y -+-=；

（2）由切割线定理可得： 2.OM ON ?=

考点：1．圆的方程；2．平行直线间的距离公式；3．切割线定理．

6．已知四棱锥中平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是

P ABCD -PA ⊥ABCD Q PA 44PA PQ ==0

90,CDA BAD ∠=∠

=2,1,AB CD AD ===,M N

的中点．

（1）求证：// 平面；

（2）求截面与底面所成二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：本题以四棱锥为背景，第（1）小题设计为证明线面平行；第（2）小题求二面角的大小，解决方法多样，既可以用综合法，也可以用向量法求解．用向量法解答此

题时，则先建立以为原点，以分别为

建立空间直角坐标系

，第（1）小题只需证明直线MQ 的方向向量与平面PCB 的

法向量

的数量积为零；第（2）小题先求平面MCN 的法向量，

平面ABCD 的法向量

，然后代入向量公式即得答案．用综合法解答此题时，

第（1）小题，取AP 的中点E ，则四边形DCNE 是平行四边形，可得MQ// 从而// 平面．第（2）小题，由于截面与底面只有一个公共点C ，所以需要作辅助线或进行命题转化，注意到平面底面所以截面与面

所成的二面角即为面与面所成的二面角，从而利用三垂线定理作

出二面角，解三角形可求得二面角的大小．

试题解析：方法（一）：(1)以为原点，以分别为

建立空间直角

坐标系，

,PD PB N

M

Q

P D

C

B

A

MQ PCB MCN ABCD 3π

A ,,AD A

B AP ,,x y z O xyz

-MQ ??= ? ?

??

)02,1n =

)n = ()

0,0,4AP =

CN ，MQ PCB MCN ABCD //MEN ABCD ，MCN MEN MCN ABCD A ,,AD AB AP ,,x y z O xyz -

由，分别是的中点，可得：

,

∴

，

设平面的的法向量为

，

则有：

令，则

，

∴

，又平面

∴//平面

（2）设平面的的法向量为

，

又

则有

令，则，

又

为平面的法向量，

∴

，

又截面与底面所成二面角为锐二面角，

∴截面与底面所成二面角的大小为．

2,1,AB CD AD ==44PA PQ ==,M N ,PD PB ()(

)

))

0,0,0,0,2,0,,,

A B C

D

()(

)0,0,4,0,0,3,2,P Q M ?

????()0,1,2

N )

()

1,0,0,2,4BC PB =

-=-

MQ ??= ? ?

?? PBC ()

0,,n x y z =

(

)

)

()()00,,1,000,,0,2,40240n BC x y z y n PB x y z y z ?⊥??-=?-=???⊥??-=?-=?

1z

=)02x y n ==?=

)

02,10

2MQ n ???=-?

= ? ??? MQ ?PCB MQ PCB MCN ()

,,n x y z =

()

1,2,2

2CM CN ??=--= ? ??? (

)(

)(

)

,,,1,202022,,2020n CM x y z x y z n CN x y z z ???⊥??--=?--+=? ? ??????

⊥??=?+=?? 1z

=)1x y n ==?=

()

0,0,4AP =

ABCD 41cos ,242

n AP n AP n AP ?==

=??

MCN ABCD MCN ABCD 3π

方法（二）：

（1）//

又平面，平面, ∴//平面

（2）易证：平面底面

所以截面与面所成的二面角即为面与面所成的二面角， 因为平面所以平面

，

由（1）可知四点共面

所以为截面与平面所成的二面角的平面角．

所以

所以

AP E ED ED 取的中点，连结，则CN ，////Q EP MQ ED MQ CN 依题有为的中点，所以，所以，MQ ?PCB CN

PCB MQ PCB //MEN ABCD ，MCN MEN MCN ABCD PA ⊥ABCD ，PA ⊥MEN E EF MN F QF QF MN ⊥⊥过做，垂足为，连结，则由三垂线定理可知,,,M C N Q QFE ∠MCN MEN R =

=1=22t MEN ME NE MN ?在中，，=

3EF 故tan QFE ∠=3QFE π

∠=

考点：线面平行，二面角．

7．如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =．

（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积；

（Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；

（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出不存在，说明理由．

【答案】（I （II ）证明见解析；（III 【解析】

试题分析：（I ）在在Rt ΔADE 中，于CD ⊥平面ADE ，可的棱锥的高，面ADE ，可得CD AE ⊥，进而得到AE ⊥平面CDE ，（III ）在线段DE 上存在一点F ，使得//AF 平面BCE ，

F 作//FM CD ，由线面垂直的性质可得//CD AB ，可得四边形ABMF 是平行四边形，于是//AF BM ，即可证明//AF 平面BCE ． 试题解析：（Ⅰ）在Rt ΔADE 中，

所以AE ⊥平面CDE ．又因为AE ?平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面CDE ．

（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ，且

使//AF 平面BCE ．

解：设F 为线段DE 上一点， 过点F 作//FM CD 交CE 于M ， ．因为CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，所以//CD AB ．

所以M F AB =，//FM AB ，所以四边形ABMF 是平行四边形， ．又因为AF ?平面BCE ，BM ?平面BCE ，所以//AF 平面BCE ．

考点：几何体的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定与证明． 8．选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，设倾斜角为的直线：，（为参数）与曲线

，（为参数）相交于不同两点

、．

(Ⅰ)若，求线段

中点的坐标；

(Ⅱ)若

，其中

，求直线的斜率．

【答案】（I ）；（II ）.

【解析】 试题分析：（I ）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标代入直线再求出中点纵坐标；（II ）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t 的一元二次方程，运用直线参数方程中的参数t 的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可得. 试题解析：将曲线的参数方程化为普通方程

．

(Ⅰ)当

时，设点

对应参数为．

直线方程为（为参数），代入曲线

的普通方程

，

得

，设直线上的点

对应参数分别为

．

则，所以点的坐标为．

(Ⅱ)将代入曲线的普通方程

，

得，

因为

， ，所以

，得．

由于

，

故．所以直线的斜率为．

考点：参数方程化成普通方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系.

9．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小． 【答案】（1）详见解析; （2）． 【解析】 试题分析：（1）连结PD ,根据等边三角形三线合一可证得PD AB ⊥,由中位线可得,即可得DE AB ⊥, 根据线面垂直的判定定理可证得AB ⊥平面PDE ,从而可证得AB PE ⊥．（2）由面面垂直的性质定理可证得PD ⊥平面ABC ,从而可得证DE PD ⊥,根据线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAB ,过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥．根据二面角的定义可知DFE ∠即为所求,在DEF ?中求DFE ∠即可．

试题解析：（1）连结PD ，PA PB = ，PD AB ∴⊥． ，BC AB ⊥，

DE AB ∴⊥．

又D DE PD = ，AB ∴⊥平面PDE ,PE ? 平面PDE ,AB PE ∴⊥． （2） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ∴⊥平面ABC ．

∴DE PD ⊥,

又ED AB ⊥，PD 平面AB D = DE ∴⊥平面PAB ,

∴过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥ DFE ∴∠为所求二面角的平

面角

P ABC -2PA PB AB ===3BC =90=∠ABC PAB ⊥ABC D E AB AC AB PE ⊥A PB E --60?//DE BC //DE BC

故二面角的大小

考点：1线面垂直;2二面角．

【解析思路点拨】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直,属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直、直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．求二面角常用的方法有定义法、垂面法等．

10．某中学调查了某班

全部45

名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345

,

A A A A A

，，，，3名女同学

123

.

B B B

，，现从这5名男同学和3名女同学中各随

机选1人，求

1

A被选中且

1

B未被选中的概率．

【答案】（1（2

【解析】

试题分析：（1）由表可知至少参加上述一个社团的有453015

-=人,根据古典概型概率公式可求得所求概率．（2）将从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人所包含的

基本事件一一例举,再将包含

1

A但不包含

1

B的事件一一例举,根据古典概型概率公式可求得所求概率．

试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故

人，所以从该班级随机选1名同学，该同学

（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件

有：

111213212223313233 {,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},

A B A B A B A B A B A B A B A B A B

414243515253

{,},{,},{,},{,},{,},{,}

A B A B A B A B A B A B，共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“

1

A被选中且

1

B未被选中”所包含

的基本事件有：

1213

{,},{,}

A B A B，共2个．因此

1

A被选中且

1

B未被选中的概率为2

15

P=．

考点：古典概型概率．

A P

B E

--

60?

11．在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点

的轨迹为．

（1）写出曲线的方程；

（2）设直线与曲线交于A 、B 两点，为何值时，，此时的值为多少？

【答案】（1）；（2）． 【解析】

试题分析：（1）由椭圆的定义可知所求点的轨迹为以和为焦点的椭圆，由即可得出的值，即可得出曲线的方程；（2）首先设出点，

，然后联立直线与椭圆的方程并消去可得一元二次方程

，由韦达定理可得，，再由可得，将其代入即可得出的值，最后求出其弦长即

可．

试题解析：（1）∵点到和的距离之和等于且

是以

和为焦点的椭圆

，设椭圆方程为，

则

，故，∴曲线的方程为．

（2）设，，则联立方程，得,此时恒成立,又由韦达定理可得，………………① 由点在直

线上，可得，又∵, ∴

即

即,整理得,将①式代入得

,故． 当时，，当时，,综上所述，．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系．

【解析思路点拨】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法和直线与椭圆的相交的综合问题，考查学生综合知识的能力和简单的计算能力，属中档题．对于第二问其解题的一般

xOy P (0,、P C C 1y kx =+C k OA OB ⊥ ||

AB 2214y x +=AB =P (0,24,a c ==b C 11(,)A x y 22(,)B x y y 22(4)230k x kx ++-=12234x x k =-

+122

24k

x x k

+=-+OA OB ⊥ 12120x x y y +=k ||AB

P (0,4

4>P (0,

22

221(0)x y a b

a b +=>>24,a c ==222

4,3,1a c b ===C 2214

y x +=11(,)A x y 22(,)B x y 22

114

y kx y x =+???+=??22

(4)230k x kx ++-=222(2)4(4)(3)4120k k k ?=-+-=+>122

24k

x x k +=-

+122

3

4x x k =-

+,A B 1y kx =+111y kx =+221y kx =+OA OB ⊥0OA OB ?=

12120x x y y +=1212(1)(1)0x x kx kx +++=21212(1)()10k x x k x x ++++=221404k k -=+1

2

k =±12k =

||AB =1

2

k =-||AB =AB =

思路为：首先设出直线方程和交点的坐标，然后联立直线与椭圆的方程并消去参数可得一元二次方程，运用韦达定理可得和的表达式，再将已知条件转化为与

和有关的表达式，最后代入即可求出直线方程，进而得出所求的结果．

12．某市举行了“高速公路免费政策”满意度测评，共有1万人参加了这次测评（满分100分，得分全为整数）．为了解本次测评分数情况，从中随机抽取了部分人的测评分

（1）求出表中的值；

（2）若分数在（含60分）的人对“高速公路免费政策”表示满意，现从全市参加了这次满意度测评的人中随机抽取一人，求此人满意的概率； （3）请你估计全市的平均分数．

【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】

试题分析：（1）利用频率分布表以及进行求解；（2）利用互斥事件的概率公式进行求解；（3）利用平均数的计算公式进行求解． 试题解析：（1）

，

（2）A=“此人满意”， （3） 考点：1.频率分布表；2.互斥事件的概率公式；3.平均数. 13 （1）求()f x 的单调区间；

（2）令()2

2ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围；

12x x +12x x 12x x +12x x c b a ,,26.0,500,10===c b a 88.020.73总数

频数

频率=

60

10,60120180130105000.020.12

a a

b =?==++++=1(0.120.240.360.02)0.26

c =-+++=()0.240.360.260.020.88P A =+++=550.12650.24750.36850.26950.0273.20x =?+?+?+?+?=

（3）存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使成立，求k 的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）

01a <<（3【解析】 试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，首先确定定义域，再求导函数，最后根据导函数符号确定单调区间（2）利用导数研究方程根的个数，首先确定定义区间，再求导函数，讨论导函数有没零点，有零点情况下，研究零点在不在定义区间：①当时，导函数无零点，函数单调，不满足题意；②当时，定义区间有零点，且存在最小值，因此要满足题意，需保证最小值小于1即可（3）本题关键点，根据绝对值定义，将不等式转化为对应函数单调性：当

，，原不

等式转化为()()2211ln ln f x k x f x k x +≥+，令令()()ln h x f x k x =+，则()h x 在

()1,+∞存在减区间，即

试题解析：解：（1令()0f x '=得1x =，()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．

综上，()f x 单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞．

（2①当时，，单调递减，故不可能有两个根，舍去

②当时，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以得

01a <<． 综上，01a <<

（3）不妨设121x x >>，由（1）知()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减．

，等价于()()()2112ln ln f x f x k x x -≥-

即()()2211ln ln f x k x f x k x +≥+

存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()2211ln ln f x k x f x k x +≥+成立

0a ≤0a >121x x >>()()2112,ln ln f x f x x x >>0a ≤()0

g x '<0a >

令()()ln h x f x k x =+，()h x 在()1,+∞存在减区间

时，()0f x '>，()f x 单调递增， 时，()0f x '<，()f x 单调递减，

考点：1．利用导数求函数单调区间；2．利用导数研究方程根的个数；3．利用导数研究不等式有解问题．

【解析思路点拨】1．利用导数确定三次式、分式、以e 为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的方法（1）构建函数()g x （要求()'g x 易求, ()'0g x =可解）,转化为确定()g x 的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等,画出()g x 的图像草图,数形结合求解．（2）利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数． 2．根据三次式、分式、以e 为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的个数求参数取值范围的方法：构建函数()g x （要求()'g x 易求, ()'0g x =可可解）,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的情况等,画出()g x 的图像草图,数形结合得参数的取值范围或关于参数的不等式（组）再求解． 14．设函数，

（Ⅰ）求

的最大值，并写出使

取最大值时x 的集合；

（Ⅱ）已知ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，1a =，

求ABC ?的面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）最大值为

，

的集合为

；

【解析】

试题分析：第一问利用差角公式，倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据函数的性质，求得结果，第二问根据题的条件求得

，结合三角形内角的取值

范围，确定出

，利用余弦定理，求得bc 的最大值，最后得出三角形面积的最大

值．

试题解析：（Ⅰ）

所以的最大值为

此时

故的集合为

（Ⅱ）由题意，，即

化简得

8分

，

，只有

，

在

中，1,3a A π==

由余弦定理，222

2cos 3

a b c bc π=+- 即22

1b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =取等号，

考点：差角公式，倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质，余弦定理，三角形面积．

15．如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，

，，分别是棱，，的中点，为的中点．

（1）求异面直线和所成的角的大小； （2）求证：直线平面． 【答案】（1）;（2）见解析． 【解析】

A BCD -ABC BCD 2BC =AD =E F H A

B BD A

C G F

D AD EC //GH CEF 45?

试题分析：（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．

试题解析：（1）∵，分别是，的中点， ∴，

∴为异面直线和所成的角． 在△中，可求，

，

故，即异面直线和所成的角是． （2）连接交于点，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴为△的重心，

∴

． ∵为的中点，为的中点， ∴

， ∴， ∴，

∵面，面， ∴面．

考点：1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质． 16．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 与

曲线交于A ，B 两点． （1）求的长；

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【答案】（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于的二次方程

，由直线参数的几何意义及韦达定理可求；（2）

将点的极坐标转化为直角坐标，由直线参数的几何意义可知，由韦达定理求之即可．

EF //AD FE CEF ∠AD EC //GH CEF CEF GH BH CE O FO //FO GH E F AB BD //AD FE CEF ∠AD EC CFE CF CE =FE =

90ECF ∠=?45CEF ∠=?AD EC 45?BH CE O FO E AB H AC O ABC 2

1

BO OH =F BD G FD 2

1BF FG =BO BF

OH FG =//FO GH FO ?CEF GH ?CEF //GH CEF ?

??-=--=t y t

x 3221)2(:2

2

=--x y C AB )4

3,22(π

2C t 01042=-+t t t 14221=-=t t AB P 12

2

t t PM +=

试题解析：（1）直线l 的参数方程化为标准型（t 为参数），

代入曲线C 方程得，设A ，B 对应的参数分别为，，

则，． 所以．

由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标（-2,2），所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为

，由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离． 考点：1．直线的参数方程；2．直线与圆的位置关系；3．极坐标与直角坐标的互化． 【解析思路点拨】本题主要考查直线参数方程、直线与圆的位置关系、极坐标与直角坐标的互化等知识，属中档题．涉及到直线的参数方程时，一定要注意直线参数方程中参

数的几何意义：表示有向线段的数量，涉及到弦长问题量有，即

消元转化为关于的二次方程，利用根与系数关系求之即可． 17．已知数列的首项，前项和为，

且． （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性． 【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ），是单调递增数列．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据求得

，两式相减求得，判断出是一

个等比数列，进而根据首项和公比求得数列的通项公式；（Ⅱ）化简得

．用错位相减法得出通项公式，然后利用导数确定

其单调性．

试题解析：（I ）由（）得（）,

两式相减得，可得（），

???

????

+=+-=t y t x 23221201042

=-+t t 1t 2t 421-=+t t 1021-=t t 14221=-=t t AB 22

2

1-=+t t 2=PM t 0M M

12AB t t =-t {}n a 14a =n n S )(04231*+∈=---N n n S S n n {}n a 23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++ /

()f x ()f x /(1)n b f ={}n b 1531()n n a n N -*=-∈ 15315(6)

42

n n n n b +?-+=-{}n b )(04231*+∈=---N n n S S n n 041-231-=---）（n S S n n 0231=+-+n n a a {+1}n a n b 11=()2n n n b f x a a na -'=+++ {}n b 13240n n S S n +---=n +

∈N 132240

n n S S n ---+-=2n ≥1320n n a a +--=()1131n n a a ++=+2n ≥

又由已知，所以，即是一个首项为，公比的等比数列，

所以（）．

（II ）因为，

所以

, 令，则

,

所以，作差得，所以, 即,

而所以，作差得, 所以是单调递增数列．

考点：1、数列的递推公式；2、等差数列和等比数列定义及求和；3、数列的求和． 【解析思路点拨】根据题目中的条件，出现时经常会先写出的关系式，两式相减，利用或进行转化，得到关于数列项的递推关系式，判断构造适当的等差或等比数列，进而求出数列的通项公式．当一个等差数列

和一个等比数列对应项相乘得到新数列，进行求和时应想到用错位相

减法，由乘数列

公比得到

，相减得到

，利用等比数列求和公式运算之后不

要忘了除以．

18．如图，过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M ，

214a =()21131a a +=+{}1n a +53q =1531n n a -=?-n *∈N ()1

112n n n f x a a x na x --'=++???+()1112n n f a a na -'=++???+()()()1205312531531n n n --=?-+?-+???+?-()

1230

153233332

n n n n n n ---+??=+?+?+???+?-

??1230

323333n n n S n ---=+?+?+???+?1213323333n n n S n --=+?+?+???+?13324n n S +-=--()()165315142n n n f ++?-'=-15315(6)42

n n n n b +?-+=-215315(1)(7)42n n n n b ++?-++=-11537

022

n n n b b n +?-=-->{}n b n S -1+1n n S S 或1n n n S S a --=+1+1n n n S S a -=n a {}n a {}n b {}n n a b 11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=++++ {}

n b 12233411n n n n n qS a b a b a b a b a b -+=++++ 112311(1)()n n n n n q S a b d b b b b a b -+-=+++++ 1q -22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>(0,1)A l

N 两点，当平行于x 轴和垂直于x 轴时，被椭圆所截得的线段长均为.

（1）求椭圆的方程；

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点的

动直线都满足？若存在，求出定点B 的坐标，若不存在，

请说明理由.

【答案】（1）；

（2）存在点B 的坐标．

【解析】

试题分析：（1）由已知得

在椭圆上代入求得椭圆方程；

（2）当直线平行、垂直于轴时，可得满足条件的点坐标为

，当直线的斜率存在时，将

直线与椭圆联立，利用韦达定理证明任意直线均有.

试题解析：（Ⅰ）由已知得

在椭圆上， 所以

，解得， 所以椭圆

的方程为．

（Ⅱ）当直线l 平行于x 轴时，则存在y 轴上的点B ，使，设；

当直线l 垂直于x 轴时，， 若使，则，

有

或．

所以，若存在与点A 不同的定点B 满足条件，则点B 的坐标只可能是．

l l ΓΓ(0,1)A l ||||||||BM AN AM BN ?=?

22142

x y +=(02)，b =1)l x (02)，l l ||||||||BM AN AM BN ?=? b =1)2221

1a b

+=2a =Γ22

142

x y +=||||||||BM AN AM BN =

0(0)B y ，(0(0M N ，，||||||||BM AN AM BN = ||||||||BM AM BN AN =

=

01y =02y =(02)，

下面证明：对任意直线l ，都有，即．

当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；

当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为． 设M ，N 的坐标分别为， 由得， 其判别式， 所以，， 因此，． 易知点N 关于y 轴对称的点的坐标为 又， ， 所以，即三点共线， 所以． 故存在与点A 不同的定点，使得．

考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与椭圆的位置关系；

【解析思路点拨】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及其应用，属难题.本题还考查了考生的推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般、分类与整合等数学思想，设直线方程时一定要讨论直线的斜率是否存在，当直线斜率存在时，将直线方程与圆锥曲线联立，利用韦达定理求得与的关系，由三点共线，从而得出结论.

19．设曲线：，表示的导函数。 （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当时，对于曲线上的不同两点，是否存在唯一，使直线的斜率等于？并证明你的结论。

||||||||BM AN AM BN ?=? ||||

||||

BM AM BN AN =

1y kx =+1122()()x y x y ，，，22

1421x y y kx ?+

=???=+?

，22(21)420k x kx ++-=22(4)8(21)0k k ?=++>121222

42

2121

k x x x x k k +=-

=-++，1

2

1212

112x x k x x x x ++==N '22()x y -，，11111

211

BM y kx k k x x x --===-222221

2111BN y kx k k k x x x x '--=

==-+=---BM BN k k '=B M N '，，12

||||||||

||||||||x BM BM AM x BN BN AN ==='

(02)B ，||||||||BM AN AM BN ?=?

12,x x k B M N '，，C ()ln , ( 2.71828)f x a x ex e =-= ()f x '()f x 1a =()f x ()f x 1a =C 1,12,212(),()(0)A x y B x y x x <<1,2()x x x ∈ AB ()f x '

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.

2018高考试题一题多解

2018高考题一题多解 1. （2018年天津高考真题理科和文科第13题） 已知R b a ∈,，且063=+-b a ，则b a 8 1 2+的最小值为 . 思路一：基本不等式ab b a 2≥+ 解析一：由于063=+-b a ，可得63-=-b a ， 由基本不等式可得，4 1222222222228123 6333= ?===?≥+=+ -----b a b a b a b a ， 当且仅当???=+-=-0 63223b a b a ，即???=-=13 b a 时等号成立。 故b a 812+ 的最小值为4 1 。 思路二：轮换对称法(地位等价法） 方法二：轮换对称性：因为b a 3,-的地位是样的，当取最值时，b a 3,-在相等的时候取到： 33-=-=b a ，得1,3=-=b a ，418128121 3 =+=+ -b a 所以最小值为4 1 思路三：换元+等价转化 方法三：令x a =2， y b =81 ，则x a 2log =，y b 2log 3=-， 则已知问题可以转化为：已知06log log 22=++y x ，则y x +的最小值为 . 已知06log log 22=++y x ，可得6 2-=xy ， 4 12223= ?=≥+-xy y x ， 当且仅当y x =，?????=+-=0 638 1 2b a b a ，即???=-=13 b a 时取得等号， 故b a 812+ 的最小值为4 1 。 2.【2018课标2卷理12】 已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点， 点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为（ ）． A ． 23 B ．12 C ．13 D ．1 4

高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

2014高考数学难题集锦(一)含详细答案及评分标准

2014高考数学难题集锦(一) 1、已知集合，若集合，且对任意的，存在 ，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，. （Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：； （Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的 一个基底. 2、设函数 （1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围； （2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值. （3）证明不等式： 3、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为， 直线与轴的交点为． （1）用表示和; （2）求证:;

（3）设,,求证:． 4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当 时，,；当时，，. （Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式； （Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有. 5、已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R） （1）求f（x）的解析式； （2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+; （3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由． 6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”. （1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”； （2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”； （3）设数列，构造

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学经典高考难题集锦(解析版)

2015年10月18日杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=43 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=43 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = αα cos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+= 2516 cosα=54 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于 tana=43 ,在直角△ ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sinα= 53 ，cosα=54

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠）

高中趣味数学题锦集

高中数学趣题集锦 猴子搬香蕉 一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被压死了），它每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里？ 解答： 100只香蕉分两次，一次运50只，走1米，再回去搬另外50只，这样走了1米的时候，前50只吃掉了两只，后50只吃掉了1只，剩下48＋49只；两米的时候剩下46＋48只；...到16米的时候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的时候剩下16＋33只，共49只；然后把剩下的这49只一次运回去，要走剩下的33米，每米吃一个，到家还有16个香蕉。 河岸的距离 两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？ 解答： 当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离

之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮现在所走的距离应该等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。 变量交换 不使用任何其他变量，交换a，b变量的值？ 分析与解答 a = a+b b = a-b a= a-b 步行时间 某公司的办公大楼在市中心，而公司总裁温斯顿的家在郊区一个小镇的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火车回小镇。小镇车站离家还有一段距离，他的私人司机总是在同一时刻从家里开出轿车，去小镇车站接总裁回家。由于火车与轿车都十分准时，因此，火车与轿车每次都是在同一时刻到站。 有一次，司机比以往迟了半个小时出发。温斯顿到站后，找不到他的车子，又怕回去晚了遭老婆骂，便急匆匆沿着公路步行往家里走，途中遇到他的轿车正风驰电掣而来，立即招手示意停车，跳上车子后也顾不上骂司机，命其马上掉头往回开。回到家中，果不出所料，他老婆大发雷霆：“又到哪儿鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分

2014高中数学 一题多变一题多解特训(一)

高中数学一题多解和一题多变 根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 一题多解和一题多变（一） 类型一：一题多解 例题： 已知tan α=43 ,求sin α,cos α的值 分析：因为题中有sin α、cos α、tan α，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tan α= 43= αα cos sin ，且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cos α= 54 或者cos α= -54 ；而s in α=53或者sin α=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tan α=43 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=25 16 cos α=54 sin α=αcos 2 1-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 54 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：

法三 tan α= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α = ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sin α=53，cos α= 54 或sin α=-53，cos α=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin α、cos α、tan α，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=43 ,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得， c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sin α= 53 ，cos α=54 或sin α= -53 ，cos α= -54 分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广： 法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ， 因为tan α= 43 ，则T 点坐 标是T(1, 43 ),由勾股定理得：OT= ?? ? ??+432 1= 45

高中数学经典高考难题集锦解析版

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

高中数学解题思路大全—组合问题的解决方案

A B 组合问题的解决方案 一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义． 例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点. (2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个. （3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以 把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ （4）如图是由12个小正方形组成的43?矩形网格，一质点 沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条 解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为4 10C 个. (2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ?个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为3 6C 种； （4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步， 所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =． 附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不． 一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．360 D ．720 解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为7 102240C ?=种．故选（ B ）． 2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . 解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()12221n C n n n ?-=-种． 二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．

高中数学解析几何大题专项练习.doc

解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的

高中数学真题与经典题一题多解解法与解析

函数篇 【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2- 解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是 11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +． 则切线分别为：111ln 1y x x x =?++，()2 2221ln 111x y x x x x = ++-++ ∴()12 2 12 21 11ln 1ln 11x x x x x x ?=?+?? ?+=+-?+? 解得112x = 21 2x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=- 解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和 22(,)x y ． ∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1 ln 11ln 22 b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e - B 33,24e - （）C.33[,)24e D.3 [,1) 2e

解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设 ()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x g x e x =+，可知()g x 在1(,)2 -∞-上单调递减， 在1 (,)2-+∞上单调递增，故 (0)(0) (1)(1)h g h g >-≤-?? ?得312a e ≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立； ②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21) ()1 x e x g x x -=-，则22 (23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2 x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32 min 3()()42 g x g e ==，即3 24a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。 ③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21) ()1 x e x g x x -=- 同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e ≥-= 此时3 [ ,1)2a e ∈ 综上所述，a 的取值范围是3[ ,1)2e 解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。 当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2 -∞-递减，在1(,)2 -+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B. 当34 a =时，33()(21)4 4 x f x e x x =--+，3'()(21)4 x f x e x =+-，因为3'()(21)4 x f x e x =+-为增函数，且31'(0)104 4 f =-=>，13'(1)04 f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3 (0)104 f =-+<，13(1)302 f e --=-+>，