2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)理科数学
2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）
数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.
锥体的体积公式Sh V 3
1
=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1.i 为虚数单位,复数
i
i
++13= A.i +2 B. i -2 C.2-i D. 2--i
2.下列命题中,正确命题的个数为
①若0=xy ,则0=x 或0=y ”的逆否命题为“若0≠x 且0≠y ,则0≠xy ； ②函数()2-+=x e x f x 的零点所在区间是()2,1；
③2=x 是0652
=+-x x 的充分不必要条件；
A ．0
B ．1
C ．2 D. 3 3.如果执行右面的程序框图，那么输出的S = A ．119 B.719 C ．4949 D.600
4. 在正项等比数列{}n a 中，442=a a ,143=S ,数列{}n b 满足
n n a b 2log =,则数列{}n b 的前6项和是
A ．0
B ．2
C ．3 D. 5 5 . 在5)(x
a x +
二项展开式中,第4项的系数为80,则a 的值为
A ．-2
B ． 2
C ．-2或2
D ．22-或22 6.要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象
A ．向右平移
π
6个单位
B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
6
个单位
D ．向左平移π
3
个单位
7.设()x x x f --=22. 若当??????-∈0,2π
θ时，0)3(1cos 12
>-+???
?
?--m f m f θ恒成立，则
实数m 的取值范围是 A ．()2,-∞- B.(]),1[2,+∞?-∞- C ．()1,2- D.()()+∞?-∞-,12,
8.定义一种运算??
?>≤=?b
a b b
a a
b a ,,，令()()
t x x x x f -?-+=224(t 为常数),且[]3,3-∈x ，
则使函数()x f 最大值为4的t 值是
A ．2-或6 B.4或6 C ．2-或4 D.4-或4
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.下面是用茎叶图表示CBA 总决赛的五场比赛中，马布里和 布鲁克斯两名球员得分情况，两名运动员得分的中位数之和 为
10.
下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
正视图
侧视图
俯视图
第10题
第12题
第9题
11.曲线12:221=-y x C 与曲线???
????+==t y t x C 22122:2(t 为参数)交于A 、B 两点，则AB ＝
12.如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若42==BP AP ,1=PC ,6=MN ，则MC 的长为
13．设集合{}R m m m x x A ∈---==|,3||1||，{}
R a a ax x x B ∈≤--=,0103|22,若集合A 、B 满足A B A =?,则实数a 的取值范围是
14.已知ABC ?中的重心为O ,直线MN 过重心O ，交线段AB 于M ，交线段AC 于N 其中
n m ==,,且AC AB AO μλ+=,其中μλ,为实数.则n m 36+的最小值为
_________________
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.在ABC ?中，C A ,为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且5
3
2cos =
A ，10
10
sin =
C . （I ）求)cos(C A +的值； （II ）若12-=-c a ，求,,a b c 的值；
（Ⅲ）已知2C A tan(
=++）α, 求α
αα2cos cos sin 21
+的值.
16.盒内有大小相同的10个球，其中3个红色球，3个白色球，4个黑色球.
（Ⅰ）现从该盒内任取3个球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分。设三个球得分之和ξ，求ξ的分布列与数学期望； （Ⅱ）甲乙两人做摸球游戏，设甲从该盒内摸到黑球的概率是2
1
，乙从该盒内摸到黑球的概率是3
2
，甲，乙两人各摸球3次，求两人共摸中2次黑球的概率.
17.直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （Ⅰ）求证：直线BD A AB 11平面⊥； （Ⅱ）求二面角B D A A --1的大小正弦值；
（Ⅲ）当1AB AE λ=时，异面直线DE 和AC 所成的角为
90时，求CE 的长.
18．已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b
x a y ，其下焦点1F 与抛物线y x 42
-=的焦点重合，
过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与y 轴垂直时，
CD AB
=
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II ）求过点O 、1F （其中O 为坐标原点）
，且与直线c
a y 2
-=（其中c 为椭圆半焦距）相切的圆的方程； （Ⅲ）求22F A F B ?=
4
5
时直线l 的方程，并求当斜率大于0时的直线l 被（II ）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长.
19.已知数列{}n a 的首项3,121==a a ，前n 项和为n S ，且
n
n n n n n a a S S S S 1
211+=
---+，),2(*∈≥N n n ，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++.
（Ⅰ）判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；
（II ）设11
1
14
n b n n n n c a a +-++=，证明：11
<∑=n
k k C ；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列{}n a ，若数列}{n l 满足)1(log 2+=n n a l （*n N ∈），在每两个k l 与
1+k l 之间都插入12k -（ ,3,2,1=k *k ∈N ）个2，使得数列}{n l 变成了一个新的数列}{p t ，)(*∈N p 试问：是否存在正整数m ,使得数列}{p t 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出
m 的值；如果不存在，说明理由.
20.设函数x c bx ax x f ln )(2++=，（其中c b a ,,为实常数） (Ⅰ)当1,0==c b 时，讨论)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)曲线)(x f y =（其中0>a ）在点))1(f 1
(，处的切线方程为33-=x y ， （ⅰ）若函数)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，求c b a ,,的值； （ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点，证明)(x f 的极小值小于4
3
－.
2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）
数学理科参考答案
一、选择题:每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C B
C
D
C
二、填空题: 每小题5分，共30分.
9．44；10．22+π ； 11．62； 12．3； 13．),1[]1,(+∞?--∞； 14． 223+ 三、解答题 15．解：（Ⅰ）
A 、C 为锐角，10
10
sin =
C ， 10
10
3sin 1cos 2=
-=∴C C …………1分
又2
3cos 212sin 5A A =-=
，sin A ∴=，…………2分
cos A =3分 2
2
sin sin cos cos )cos(=
-=+∴C A C A C A …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
2)cos(=
+C A π<+ π = +∴C A …………5分 43π= ∴B ,2 2sin =∴B …………6分 由正弦定理 sin sin sin a b c A B C ==得…………7分 c b a 1025==∴，即c b c a 5,2==，…………8分 12-=-c a ，122-=-∴c c ， 1=∴c …………9分5,2==∴b a ………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知4 π = +C A 且2C A tan( =++）α， 2tan 1tan 1)4tan(=-+=+∴ααπα …………11分 解得3 1 tan =α…………12分 ααα2cos cos sin 21+∴=3 2 1tan 2tan 1cos cos sin 2cos sin 22 22=++=++ααααααα…………13分 16. 解：（Ⅰ）ξ可能取的值为3,2,1,0,1,2,3--- 1201 )3(3103 3= ==C C P ξ …………1分 403 1209)2(3 101 323====C C C P ξ …………2分 407 12021)1(3 102 3131423==+==C C C C C P ξ …………3分 12037 )0(3 103 3131413=+==C C C C C P ξ …………4分 41 12030)1(3 102 3141324==+=-=C C C C C P ξ …………5分 203 12018)2(3 101 324===-=C C C P ξ …………6分 30 1 1204)3(3103 4= ==-=C C P ξ …………7分 ξ的分布列为： ξ 3- 2- 1- 0 1 2 3 P 301 203 41 12037 407 403 120 1 …………8分 经计算得10 3 - =ξE …………9分 （Ⅱ）两人共摸中2次黑球的概率为： 216 3 )31(21)21(3032231==C C P …………10分 216 12 )21(31)32(3032232==C C P …………11分 216 18)31)(32()21(212 132133==C C P …………12分 72 11 21633321==++=P P P P …………13分 17.解：解：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC ? 为正三角形，BC AO ⊥∴ 111C B A ABC -直棱柱 11B BCC ABC 平面平面⊥∴且相交于 BC 11B BCC AO 平面⊥∴ 取11C B 中点1O ，则11//BB OO BC OO ⊥∴1 …………1分 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系xyz O -， 则()()()() ())0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,111--C B A A D B ()()() 3,2,1,0,1,2,3,2,111-=-=-=∴BA AB …………2分 0,0111=?=?AB AB ，111,BA AB AB ⊥⊥∴．…………3分 ⊥∴1AB 平面1A BD ．………4分 （Ⅱ）设平面AD A 1的法向量为()z y x n ,,=．() ()0,2,0,3,1,11=--=AA AD ． ,,1AA n AD n ⊥⊥ ???==-+-∴0 203y z y x 令1=z 得() 1,0,3-=n 为平面AD A 1的一个法向量．……6分 由（Ⅰ）() 3,2,11-=AB 为平面1A BD 的法向量．……7分 4 6 ,cos 1- >=<∴AB n ．…………8分 ∴所以二面角B D A A --1的大小的正弦值为 4 10 ．…………9分 （Ⅲ）由已知1AB λ==)3,2,(λλλ- )33,2,(λλλ-E 故)33,12,1(λλλ--+=DE …………10分 又)3,0,1(--=AC 异面直线DE 和AC 所成的角为 900,cos >=<∴即AC DE ⊥ 0=?∴AC DE …………11分 解得2=λ …………12分)3,4,2(-∴E )3,4,3(-=∴ 723169||=++=∴CE …………13分 18．（Ⅰ）由抛物线方程得)1,0(1-F …………1分 设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b x a y ，解方程组???-=-=1 42y y x 得)1,2(),1,2(---D C ……2分 由于抛物线，椭圆都关于y 轴对称，所以 2211== AB CD B F D F ，所以2 2 1= B F ……3分 )1,2 2 ( -B 带入椭圆方程得121122=+b a ，又因为1222==-c b a 解得,12 =b 22 =a ，所以椭圆方程为1222 =+x y …………4分 （II ）∵1,1,2===c b a ，∴22 -=-c a ∵圆过点Ｏ（０，０），)1,0(1-F ，∴ 圆心Ｍ在直线21-=y 上，设)2 1 ,(-t M …5分 依题意圆Ｍ半径|)2(21 |--- =r ＝2 3，…………6分 故r OM =，即2 3 412 =+ t ，∴22=t 解得2±=t …………7分 ∴圆的方程为() 492122 2 =??? ? ? ++±y x …………8分 （Ⅲ）)1,0(1-F ，)1,0(2F 由题意可知直线斜率一定存在，令直线ＡＢ方程为1-=kx y ???=+-=2 212 2x y kx y 得012)2(2 2=--+kx x k 令),(),,(2211y x B y x A ,2 1 ,222 21221+-=+= +k x x k k x x …………9分 )1,(),1,(222112-=-=y x F y x F 4)(2)1()1)(1(21212212122++-+=--+=?x x k x x k y y x x B F A F ＝ 4 5 274242)1(222222=+-=++-+++-k k k k k k 解得2±=k ，…………10分 此时直线012012:=++=--y x y x l 或…………11分 当0>k 时，直线012:=--y x l 圆心在第四象限圆Ｍ4 9)2 1()2(2 2 = ++-y x 圆心M 到直线l 的距离2 3 = d …………12分 ∴截得的弦长为6222=-d r …………13分 19. （Ⅰ）由题意得 11121 21n n n n n n n n S S a a a S S a ++--+=?=+-),2(*∈≥N n n ………1分 ∴112(1)n n a a ++=+),2(* ∈≥N n n ………2分 又412=+a ，211=+a ………3分 ∴1 12(1)n n a a ++=+)(*∈N n ∴数列{1}n a +是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列。………4分 （II ）由（Ⅰ）知12 n n a +=∴21n n a =-（*n N ∈）] ………5分 由21n n a =-及12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +=+ 11-=--n b b n n 221-=---n b b n n 112=-b b 以上式子相加………6分 ∴(1)12 n n n b -=+ ，)2,(≥∈* n N n 1=n 也适合 ∴(1) 12 n n n b -=+ ，)(*∈N n ………7分 则111 1142(21)(21)n b n n n n n n n c a a +-+++==--1 211211---=+n n …………………9分 ??? ??---++??? ??---+??? ??---+??? ??---=+=∑121121 1211211211211211211 433221n n n k k C 11 2 111 <-- =+n ………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得n n n a l 2log )1(log 22=+=，即)(*∈=N n n l n ，………11分 数列}{p t 中，k l （含k l 项）前的所有项的和是： 0122(1)123)(2222)2222 k k k k k -++++++++++?= +-（……12分 当10=k 时，其和是10552210772011+-=< 当11=k 时，其和是11662221122011+-=> ………13分 又因为2011-1077=934=467?2，是2的倍数 所以当2810(1222)467988m =++++ ++=时，T 2011m =， 所以存在m =988使得T 2011m = ………14分 20．解：（Ⅰ）当1,0==c b 时x ax x ax x f 1 212)('2+=+=，)0(>x ………1分 当0≥a 时，0)(' >x f 很成立，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数；………2分 当0 =x f 得a x 21- = 或a x 21--=（舍）………3分 令0)(' >x f 得a x 210- < <；令0)(' x 21-> )(x f ∴在上)21,0(a - 是增函数，在),21 (+∞-a 上是减函数………4分 (Ⅱ)x c b ax x f + +=2)('由题得? ??==3)1('0)1(f f ， 即?? ?=++=+320c b a b a ?? ?-=-=?a c a b 3．………5分 则x a ax ax x f ln )3()(2 -+-=，x a ax ax x a a ax x f -+-=-+-=3232)('2…6分（ⅰ）由)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，得0)3(82=--a a a )0(>a ………7分 解得38= a ，于是38-= b ，3 1 -=c ．……………………………………………8分 （ⅱ）由(Ⅱ)知)0(32)('2>-+-= x x a ax ax x f ，要使函数)(x f 有两个极值点，只要方程0322=-+-a ax ax 有两个不等正根， 设两正根为21,x x ，且21x x <，可知当2x x =时有极小值)(2x f ．其中这里,4 1 01< x ，所以2 1 x 412<<，………9分 且03222 2=-+-a ax ax ，得1 2322 2---= x x a ………10分 【也可用以下解法：由(Ⅱ)知)0(32)('2>-+-=x x a ax ax x f ，要使函数)(x f 有两个极值 点，只要方程0322 =-+-a ax ax 有两个不等正根， 那么实数a 应满足 ????? ???? >>->--0) 2(2030)3(82a a a a a a ，解得338< a a a a a a x 24 941414)3(822- +=--+=
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