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第七讲行程问题（一）

教学目标：

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；

4、单位“1”变化的比例问题

5、方程解比例应用题

知识点拨：

发车问题

（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；

汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔

汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔

汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔

（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡

火车过桥

火车过桥问题常用方法

⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.

⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.

⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.

对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.

接送问题:

根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：

（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）

（2）车速不变-班速不变-班数多个

（3）车速不变-班速变-班数2个

（4）车速变-班速不变-班数2个

标准解法：画图＋列3个式子

1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；

2、班车走的总路程；

3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指

针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

流水行船问题中的相遇与追及

①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速

②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.

甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速

也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.

说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.

例题精讲：

模块一发车问题

【例1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？

【解析】这个题可以简单的找规律求解

时间车辆

4分钟 9辆

6分钟 10辆

8分钟 9辆

12分钟 9辆

16分钟 8辆

18分钟 9辆

20分钟 8辆

24分钟 8辆

由此可以看出：每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了12*9=108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。

【例2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？

【解析】设电车的速度为每分钟x米．人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟75米．根据题意可列方程如下：()()

757.27512

x x

+?=-?，解得300

x=，即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆电车之间的距离为：()

30075122700

-?=(米)，所以电车之间的时间间隔为：27003009

÷=(分钟)．

【巩固】某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?

【解析】这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题，他们的路程和（差）即为相邻两车间距离，设两车之间相距S，

根据公式得()10min

S V V

=+?

人车，

12.55

x x

+=，那么6(6)3(3)

x t y x t y

--=+-，解得

(3)

x t y

=-，所

以发车间隔T =2.5 2.53(3)

x y x t y

+=+-

【巩固】某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．

【解析】设电车的速度为a，行人的速度为b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为l．由电车能在12分钟追上行

人l的距离知，(21)

x t y

=-；由电车能在4分钟能与行人共同走过l的距离知，

,所以有

l=12(a-b)=4(a+b)，有a=2b，即电车的速度是行人步行速度的2倍。那么l=4(a+b)=6a，则发车间隔上：16

50(1)54

1211

÷-=．即发车间隔为6分钟．

【例3】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？

【解析】要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？

由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，

这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析.

因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：间隔距离=（V汽-V人）×6（米），间隔距离=（V汽-V自）×10（米），V自=3V人。综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，

则：间隔距离=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）

所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）。

【巩固】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？

【解析】这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，他们的路程和即

为相邻两车间距离，根据公式得

，类似可得

(1210)605465

1111

-?-=，那么

，即

，解得54米/

分，因此发车间隔为9020÷820=11分钟。

【例4】甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？

【解析】先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的1/20，那么每分钟自行车在平路上行驶汽车平路上间隔的1/80，所以在平路上自行车与汽车每分钟合走汽车平路上间隔的1/20+1/80=1/16，所以该学生每隔16分钟遇到一辆汽车，对于上坡、下坡的情况同样用这种方法考虑，三种情况中该学生都是每隔16分钟遇到一辆汽车.

【例5】甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了分钟．

【解析】由题意可知，两辆电车之间的距离

10电车行8分钟的路程（每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车）

10电车行5分钟的路程1小张行5分钟的路程

24电车行6分钟的路程72小王行6分钟的路程

由此可得，小张速度是电车速度的10，小王速度是电车速度的12，小张与小王的速度和是电车速度的10，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的12，即53分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了60分钟．

【例6】小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？

【解析】间隔距离=（公交速度-骑车速度）×9分钟；间隔距离=（出租车速度-公交速度）×9分钟所以，公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；公交速度=（骑车速度+出租车速度）/2=3×骑车速度.由此可知，间隔距离=（公交速度-骑车速度）×9分钟=2×骑车速度×9分钟=3×骑车速度×6分钟=公交速度×6分钟. 所以公交车站每隔6分钟发一辆公交车.

【例7】某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净水中的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是__________分钟。

【解析】由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距离为“1”，逆水两货船之间的距离为（7－1）÷（7＋1）＝3/4。

所以，货船顺水速度－游船顺水速度＝1/40，即货船静水速度－游船静水速度＝1/4，货船逆水速度＋游船顺水速度＝3/4×1/20＝3/80，即货船静水速度＋游船静水速度＝3/80，可以求得货船静水速度是（1/40＋3/80）÷2＝1/32，货船顺水速度是1/32×（1＋1/7）＝1/28），所以货船的发出间隔时间是1÷1/28＝28分钟。

模块二火车过桥

【例8】小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5 米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了 20秒．已知火车全长 390米，求火车的速度．

【答案】18米/秒

【例9】小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?

【解析】火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小时)，车身长是:20×15=300(米)

【例10】列车通过 250 米的隧道用 25秒，通过 210 米长的隧道用 23秒．又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长 320米，速度为每秒17米．列车与货车从相遇到相离需要多少秒？

【解析】列车的速度是 (250 －210) ÷(25 －23) =20 (米／秒)，列车的车身长： 20 ×25－ 250 =250 (米)．列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，根据路程差=速度差?追击时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间为： (250 ＋320)÷ (20 －17)= 190 (秒)．

【例11】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

【解析】根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒），

某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米），

两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）。

【例12】李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒．已知货车车厢长15.8米，车

厢间距1.2 米，货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？

【解析】本题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口，相当于一个相遇问题，总路程为货车的车长．货车总长为： (15.8× 30＋ 1.2× 30 ＋10) ÷1000 =0.52 (千米)，

火车行进的距离为：60×18/3600=0.3 (千米)，

货车行进的距离为： 0.52－ 0.3 =0.22(千米)，

货车的速度为：0.22÷18/3600=44 (千米／时)．

【例13】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

【解析】行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。

法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。

解得x=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。

法二：直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/26＋3＝x/22＋1

这样直接也可以x=286米

法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。

两次的追及时间比是：22：26＝11：13，所以可得：（V车－1）：（V车－3）＝13：11，

可得V车＝14米/秒，所以火车的车长是（14-1）×22=286（米）

【例14】一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后

离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？

【解析】工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米

学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米

14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟

14时16分+24分=14时40分

【例15】同方向行驶的火车，快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，如果从辆车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车。快车长多少米，满车长多少米？

【解析】快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，每秒快8米，24秒快出来的就是快车的车长192m，如果从辆车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车那么看来这个慢车比快车车长，长多少呢？长得就是快车这4秒内比慢车多跑的路程啊 4×8＝32，所以慢车224．

【例16】两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.

【解析】首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.

此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一个简单的相遇问题。（10＋15）×14＝350（米），所以乙车的车长为350米.

【例17】在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？

【解析】先统一单位：54千米/小时15

=米/秒，

=米/秒，72千米/小时20

-分36

=秒．

=分56秒2216

1分24秒84

=秒，48分56秒12

货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：15841260

?=(米)；

列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：20531060

?=(米)．

考虑列车与货车的追及问题，货车10时到达铁桥，列车10时12分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为()

-?-?=(米)，

2015221615720280那么铁桥的长度为1060280780

-=(米)．

-=(米)，货车的长度为1260780480

【例 18】一条单线铁路上有A ,B ,C ,D ,E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从A ,E 两站

相对开出,从A 站开出的每小时行60千米,从E 站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 【解析】

两列火车同时从A ,E 两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.

从图中可知,AE 的距离是:225+25+15+230=495(千米) 两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时) 相遇处距A 站的距离是:60×4.5=270(千米) 而A ,D 两站的距离为:225+25+15=265(千米)

由于270千米>265千米,从A 站开出的火车应安排在D 站相遇,才能使停车等待的时间最短.

因为相遇处离D 站距离为270-265=5(千米),那么,先到达D 站的火车至少需要等待:2:1(小时) ，x 小时=11分钟

模块三流水行船

【例 19】乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返

回原地比去时多用了几小时?

【解析】乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）。水流速度：（60-30）÷2

＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O ÷3＝4O （千米/小时）。甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）．

【例 20】船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，

该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时?

【解析】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要

求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度. 船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）. 暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）. 暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）.

暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）．【例 21】 (2009年“学而思杯”六年级)甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行

112

千米，乙艇每小时行54千米．现

在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．水流速度是每小时千米．

【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为10小时．

相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需要10小时，那么甲艇的逆水速度为1(千米/小时)，则水流速度为24(千米/小时)．

【例 22】一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用

16 时。求水流的速度。

【解析】两次航行都用 16 时，而第一次比第二次顺流多行 60 千米，逆流少行 40 千米，这表明顺流行60 千米与

逆流行 40 千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航行了 120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流速度为 240÷16＝15（千米／时），逆流速度为15÷1.5=10（千米／时），最后求出水流速度为（15－10）÷2＝2.5（千米／时）。

【例 23】一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，

两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物距客船 5 千米。客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。求水流的速度。

【解析】 5÷1/6=30(千米/小时)，所以两处的静水速度均为每小时 30 千米。 50÷30=5/3(小时)，所以货船与物品相

225千米

25千米 15千米 230千米

遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。由于两船静水速度相同，所以客船行驶 20 千米后两船仍相距 50 千米。 50÷(30+30)=5/6(小时)，所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。 30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小时)，所以水流的速度是每小时 6 千米。

【例 24】江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头

出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？

【解析】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是 15

千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 15÷5=3 千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距 3×1=3千米。这时货船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度×1/10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了 1/10 小时，帮两者的速度和是每小时 33/10÷1/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15 千米。

【例 25】 (2008年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行

与顺行所用的时间比是2:1．一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距千米．

【解析】设平时水流速度为x 千米/时，则平时顺水速度为()9x +千米/时，平时逆水速度为()9x -千米/时，由于平时

顺行所用时间是逆行所用时间的一半，所以平时顺水速度是平时逆水速度的2倍，所以()929x x +=-，解得

3x =，即平时水流速度为3千米/时．

暴雨天水流速度为6千米/时，暴雨天顺水速度为15千米/时，暴雨天逆水速度为3千米/时，暴雨天顺水速度为逆水速度的5倍，那么顺行时间为逆行时间的1

5，故顺行时间为往返总时间的

，为15106

小时，甲、

乙两港的距离为5

15253

?=(千米)．

【例 26】一条小河流过A ，B , C 三镇.A ,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B ,C 两镇之间

有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A ,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A ,B 两镇间的距离是多少千米?

【解析】如下画出示意图

有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB 长x 千米,有

50712.5

x x -+=,解得x =25．所以A ,B 两镇间的距离是25

千米.

【例 27】河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A 点到 B 点，然后穿过湖到C 点，共

用 3 小时；若他由 C 到 B 再到 A ，共需 6 小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从 B 流向 C ，那么，这名游泳者从 A 到 B 再到 C 只需 2.5小时；问在这样的条件下，他由C 到 B 再到 A ，共需多少小时？

【解析】设人在静水中的速度为 x ，水速为 y ，人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时．

根据题意，有 6(6)3(3)x t y x t y --=+- ，即2(3)3

x t y =-

，同样，有 2.5 2.53(3)x y x t y +=+- ，即(21)x t y =-；所以，

112

，即 1650(1)54

÷-

=，所以 65411

；65(1210)6054

-?-= (小时)，所以在

这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A 共需 7.5 小时．

模块四时钟问题

【例 28】现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？

【解析】时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分)，分针的速度是 360÷60=6(度/分)

即分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分)，10点时，分针与时针的夹角是60度，第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，

即分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。所以答案为 12(分)

【例 29】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与

时针第二次重合? 【解析】

在lO 点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l ”，有时针速度为“112

”，于是需要时间：1650(1)54

÷-

=．

所以，再过65411分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过

65(1210)60546511

-?-=分钟，时针与分针第二次重合．

标准的时钟，每隔56511分钟，时针与分针重合一次．我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的

表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．

所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的112

．如果设分针的速

度为单位“l ”，那么时针的速度为“54”．

【例 30】某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）。当这只钟显示5点时，

实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？

【解析】标准钟一昼夜是24×60=1440（分），怪钟一昼夜是100×10=1000（分）

怪钟从5点到6点75分，经过175分，根据十字交叉法，1440×175÷1000=252（分）即4点12分。

【例 31】手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是

几点几分几秒？

【解析】按题意，闹钟走3600秒手表走3660秒，而在标准时间的一小时中，闹钟走了3540秒。所以在标准时间的一

小时中手表走3660÷3600×3599 = 3599（秒），即手表每小时慢1秒，所以12点时手表显示的时间是11点59分56秒。

【巩固】某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每时慢30秒，而闹钟比标准时间每时快30秒。问：这块手表一昼夜比标准时间差多少秒？

【解析】根据题意可知，标准时间经过60分，闹钟走了60.5分，

根据十字交叉法，可求闹钟走60分，标准时间走了60×60÷60.5分，而手表走了59.5分，

再根据十字交叉法，可求一昼夜手表走了59.5×24×60÷（60×60÷60.5）分，

所以答案为24×60-59.5×24×60÷（60×60÷60.5）=0.1（分），0.1分=6秒

【例32】一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢3分。将两个钟同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。此时的标准时间是多少？

【解析】根据题意可知，标准时间过60分钟，快钟走了61分钟，慢钟走了57分钟，即标准时间每60分钟，快钟比慢钟多走4分钟，60÷4=15（小时）经过15小时快钟比标准时间快15分钟，所以现在的标准时间

是8点45分。

课后练习：

练习1.一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？

【解析】紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离．当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用10分才能追上步行人．即追及距离=（汽车速度-步行速度）×10．对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距离除以5倍的步行速度．即： 10×4×步行速度÷（5×步行速度）=8（分）

练习2.甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔8分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔9分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是45分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了分钟．

【解析】由题意可知，两辆电车之间的距离

10电车行12分钟的路程

48电车行8分钟的路程56小张行8分钟的路程

=小王行9分钟的路程

54电车行9分钟的路程15

由此可得，小张速度是电车速度的72，小王速度是电车速度的20

=，小张与小王的速度和是电车速度的1，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的24，即84

=分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了54分钟．

练习3.慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22，慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?

【解析】根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况，（142＋173）÷（22－17）＝63（秒）

练习4.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常，每个白天快30秒，每个夜晚慢20秒。如果在10月一日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？

【解析】根据题意可知，一昼夜快10秒，（3×60-30）÷10=15（天），所以挂钟最早在第15+1=16（天）傍晚恰好快3分钟，即10月16日傍晚。

练习5.某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计乙船出发后

几小时可与此物相遇。

【解析】物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速（水速作用抵消），甲的船速

为 1÷1/15=15 千米/小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相遇时间为：45÷15=3 小时

月测备选：

【备选1】小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明

骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？

【解析】设公交车之间的间距为一个单位距离，设自行车的速度为x ，汽车的速度为y ，根据汽车空间和时间间距与车

辆速度的关系得到关系式：12×（y -x ）=4×（y +1x /3），化简为3y =5x .即y /x =5/3，而公交车与自行车的速度差为1/12，由此可得到公交车的速度为5/24，自行车的速度为1/8，因此公交车站发车的时间间隔为24/5=4.8分钟. 【备选2】2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？

【解析】根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度），

10（分）

【备选3】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看

见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？

【解析】 8s ，可以把车上的人给抽象出来看成一点，那么就类同题1。得出快车和慢车的速度和是35，反之，由车长

和速度得到280/35＝8

【备选4】甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行72千米，乙艇每小时行10千米．现甲、乙两艘小游艇于

同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距18千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．问水流速度为每小时多少千米？

【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为12小时．相遇

后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶18千米需要10小时，那么甲艇的逆水速度为12(千米/小时)，那么水流速度为53(千米/小时)

第八讲行程问题（二）

教学目标：

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；

4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．

知识精讲：

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分

别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，

；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的

速度之比。

s v t s v t =???

=??甲甲甲乙乙乙

，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s

t t v v ==甲乙乙甲乙

甲，得到s s t v v =

甲乙乙

甲

，

s v s v =

甲甲乙

乙

，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比

2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速

度的反比。

s v t s v t =???

=??甲甲甲

乙

乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲，得s v t v t =?=?乙乙甲甲，

v t v t =

甲乙乙

甲

，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

例题精讲：

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例 33】甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，

甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A 、 B 两地相距多少千米？

【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 :

3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了4531

?=个全程，与第一次相遇地点的距离为

42(1)777--=个全程．所以 A 、 B 两地相距2

301057

÷= (千米)．

【例 34】 B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出

发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。

【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：

若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信

5分钟

当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经距B 地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信

在给乙送信，此时乙已经距B 地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B 地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）同理先追及甲需要时间为120分钟

【例 35】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A 、B 两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发

一段时间后，两人在距中点的C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D 处相遇，且中点距C 、D 距离相等，问A 、B 两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的

，乙

走了全程的

．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的

，

甲行了全程的

．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了

3374

?，所以甲停留期间乙行了4

317

=，所以A 、B 两点的距离为1

607=16804

?÷(米)．

【例 36】甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速

度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米．那么 A 、B 两地相距多少千米？【解析】两车相遇时甲走了全程的

，乙走了全程的

，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的

速度比为5(120%):4(120%)5:6

?-?+= ，所以甲到达 B 地时，乙又走了4689

，距离 A 地

5819

，所以 A 、 B 两地的距离为11045045

= (千米)．

【例 37】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间

的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，两人之间的

距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。

【例 38】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。

陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？

【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．

从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1

小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．

如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．

所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．

⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为525306

÷=

小时，其余的

小时在走上坡路；

因为第一小时比第二小时多走了15千米，而

1小时的下坡路比上坡路要多走()130157.56+?

=千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为()1157.5152

-÷=小时，所以在第一小时中，有

1122

小时是在下坡路

上走的，剩余的

1小时是在平路上走的．

因此，陈明走下坡路用了

2小时，走平路用了1573

小时，走上坡路用了1716

小时．

⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是

:4:736

=．那么下坡路的速度为()7301510574

=-千米/时，平路的速度是每小时1051590-=千米，上坡路的速度是每小时903060-=千

米．

那么甲、乙两地相距27710590602453

=(千米)．

模块二、路程相同速度比等于时间的反比

【例 39】甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，经过3小时，甲先到B 地，乙还需要1小时到达B 地，此时甲、乙共行

了35千米．求A ，B 两地间的距离．

【分析】甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:3，那么在3小时内的路程之比也是4:3；

又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为4352034

=+千米，即A ，B 两地间的距离为20千米．

【例 40】在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又

过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.

【例 41】上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇后甲将

速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地

出发时是 8 点几分．

【解析】甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程

一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分．

【例 42】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路

所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

【解析】设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是51 1.68÷=，因此，走上坡路需要的时间是511

288-=，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为111:8:118=，所以，上坡速度是平路速度的

811倍．

【例 43】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的3

5时，出了故障，用5

分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？

【分析】当以原速行驶到全程的3

时，总时间也用了3

，所以还剩下3

50(1)205

?-=分钟的路程；修理完毕时还剩下

20515-=分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:154:3=，根据路程一定，速度比等

于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快4

7507502503

?-=米．

小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．

【例 44】 (2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的

前进，最终

到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的34

前进，则到达

目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里．

【解析】如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的

前进，最终到达目的地晚1.50.51-=小时，在一小时以后的那

段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花()14333÷-?=小时，现在要花

()14344÷-?=小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的

前进，则到达目的地仅晚

10.50.5-=小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划

要花()0.5433 1.5÷-?=小时，现在要花()0.54342÷-?=小时．所以按照原计划90公里的路程火车要用3 1.5 1.5-=小时，所以火车的原速度为90 1.560÷=千米／小时，整个路程为()6031240?+=千米．

【例 45】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返

回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的

1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为： 5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．

【例 46】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度

提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为51(1)66

÷-=小时；如果

按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度

后面这段路程需要的时间为10

11(1)4133÷-

=小时．所以前面按原速度行使的时间为15

6433

-=小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的55

6318

÷=

【例 47】一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，

再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？

【分析】车速提高20%，速度比为5:6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原速度行完全程的时间为

65166

-÷=小时．

以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5，所用时间比应为5:4，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要40541060

-÷

小时，所以以原速行驶120千米所用的

时间为108633

=小时，甲、乙两地的距离为8

12062703

÷?=千米．

【例 48】甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程．乙火车上午8:00从B 站开往A 站，开出若干分钟后，

甲火车从A 站出发开往B 站．上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A 、B 两站的距离的比是15:16．甲火车从A 站发车的时间是几点几分？

［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知．由此可以求得甲火车单独行驶的距

离与总路程的比．

根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5:4．从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:415:12=，而相遇点距A 、B 两站的距离的比是15:16．

说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的()11612164

-÷=

．也就是说乙比甲先走了

一个小时的四分之一，也就是15分钟．所以甲火车从A 站发车的时间是8点15分．

模块三、比例综合题

【例 49】小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴

突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？

【解析】小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为100:9010:9=；那么

把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了91109910

=米，离终点还

差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．【例 50】甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，此时甲、

乙共行了 35 千米．求 A ， B 两地间的距离．

【解析】甲、乙两个人同时从A 地到B 地，所经过的路程是固定

所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3

当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A 、B 两地间距离为20千米

【例 51】 A 、B 、C 三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后1小时A 车出了事故，B 和C 车照常前进．A

车停了半小时后以原速度的

继续前进．B 、C 两车行至距离甲市200千米时B 车出了事故，C 车照常前

进．B 车停了半小时后也以原速度的45

继续前进．结果到达乙市的时间C 车比B 车早1小时，B 车比A 车早

1小时，甲、乙两市的距离为千米．

【分析】如果A 车没有停半小时，它将比C 车晚到1.5小时，因为A 车后来的速度是C 车的

，即两车行5 小时的路

A 车比C 车慢1小时，

所以慢1.5小时说明A 车后来行了5 1.57.5?=小时．从甲市到乙市车要行17.5 1.57+-=小时．

同理，如果B 车没有停半小时，它将比C 车晚到0.5小时，说明B 车后来行了50.5 2.5?=小时，这段路C 车

需行2.50.52-=小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的27

．

故甲、乙两市距离为220012807?

÷-= ??

?(千米)．

【例 52】甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过

的地方．此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？

［分析］根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为2:2.258:9=，

乙的速度是甲的速度的1.125倍；

乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.754:5=．加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；

由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为()500 1.25 1.1254000÷-=米/小时．【例 53】甲、乙两人分别骑车从A 地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟后丙也骑车从A 地出发去追

甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？

丙

［分析］丙的速度为7.5215?=千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了1215360

=千米后与甲、乙同时

出发．

如图所示，相当于甲、乙从A ，丙从B 同时出发，丙在C 处追上甲，此时乙走到D 处，然后丙掉头走了3千米在E 处和乙相遇．

从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了32 1.5÷=千米，故CD 为4.5千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了3 4.57.5+=千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.5 4.512+=千米，因此速度为12112÷=(千米/小时)．

【例 54】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，

而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，

说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）

【例 55】一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处．一列火车以每小时84千米的速度从西边开过来，

车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？

【分析】设铁路桥长为x 米．

在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为(5)2x

-米，火车走的路程为(33)x -米；

在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(50.5)( 4.5)2

+-=+米，火车走的路程为(40.5)x -米；

两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了(5)( 4.5)(0.5)2

x x

x -++=-米，火车一共走了

(33)(40.5)(7 3.5)x x x -+-=-米；

因为(7 3.5)x -是(0.5)x -的7倍，所以火车速度是小狗速度的7倍，所以小狗的速度为84712÷=(千米/时)；因为火车速度为小狗速度的7倍，所以(33)7(5)2x

x -=?-，解此方程得：64x =．

所以铁路桥全长为64米，小狗的速度为每小时12千米．

【例56】如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发，丙由D向A走去，8点24分与乙在E点相遇，丁由D向C走去，8点30分在F点被乙追上，则连接三角形BEF的面积为平方米．

乙

甲

A D

【分析】如图，由题意知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲、乙速度

是丙、丁速度的()7

4106

+÷=倍．因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用

770

?=(分钟)，走AE用

7058

-=(分钟)．

因为乙走()

BA AE

+用14分钟，所以丙走AB用

75840

333

?-=(分钟)．

因为AB长60米，所以丙每分钟走

409

÷=(米)．于是求出

958

AE=?=(米)，

418

ED=?=(米)，8718105

BC AE ED

=+=+=(米)．

BEF BAE EDF FCB

ABCD

S S S S S

????

=---

矩形

601056087218452151052

=?-?÷-?÷-?÷

63002610405787.52497.5

=---=(平方米)．

【例57】如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．

所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．

将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．

2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．

3个单位时间的时候甲在AD 上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于4分钟． 10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C 、B 、A 的位置第二次构成最大三角形．所以再过40分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

课后作业

练习1. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地出发，在 A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的

，并且

甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A 、B 两地之间的距离等于多少千米？

【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次

相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.

练习2. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2，他们第一次相遇后甲的

速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有14千米，那么A 、B 两地的距离是多少千米？

【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，相遇后，甲、

乙两人的速度比为()()3120%:2130% 3.6:2.618:13?+?+==????????；到达B 地时，即甲又行了2份的路程，这

时乙行的路程和甲行的路程比是18:13，即乙的路程为13

21189

=．乙从相遇后到达A 还要行3份的路程，还剩下4531199-=(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是5

14199

÷=(千米)．

A 、

B 两地有这样的325+=(份)，因此A 、B 两地的总路程为：()93245?+=(千米)．

练习3. 小明和小刚进行100米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)．当小刚跑了90米时，小明距离终点还有25米，

那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？

【分析】当小刚跑了90米时，小明跑了1002575-=米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程之比，为

90:756:5=；在小刚跑完剩下的1009010-=米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程之比等于相应的

速度之比6:5，则可知小明这段时间内跑了5251063

=米，还剩下255022516

=米．

练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，已知货

车与客车的速度比为5:6，甲、乙两地相距多少千米？【分析】货车与客车速度比5:6，相同时间内所行路程的比也为5:6，那么客车走的路程为65221326

-÷

=(千米)，为

全程的一半，所以全程是1322264?=(千米)．

练习5. 甲、乙两人从A ，B 两地同时出发，相向而行．甲走到全程的

511

的地方与乙相遇．已知甲每小时走4.5千米，

乙每小时走全程的1

3．求A ，B 之间的路程．

【分析】相同的时间内，甲、乙路程之比为()5:1155:6-=，因此甲、乙的速度比也为5:6，所以乙的速度为64.5 5.4

=千米/时．两地之间的路程为：15.4116.23

?÷=千米．

(完整版)奥数题_专题训练之比和比例应用题

比和比例比和比例比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。比和比例的意义也不同。比和比例应用题 [例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为25∶9，猪与马的只数比为10∶3。求鸡、猪、马和羊的只数比。 [分析] 该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。 [解] 由题设，鸡∶猪=26∶5，羊∶马=25∶9，猪∶马=10∶3，由比的基本性质可得：猪∶马=10∶3=30∶9，羊：马=25∶9，鸡：猪=26∶5=156∶30，从而鸡∶猪∶马∶羊=156：30∶9∶25。答：鸡、猪、马、羊的只数比为156∶30∶9∶25。 [注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。如，鸡∶猪=26∶5，猪∶马=10∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=52∶10∶3；再注意到羊∶马=25∶9可得，鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶25。 [例2]．下列各题中的两个量是否成比例?若成比例，请说明成正比例还是成反比例。 (1)路程一定时，速度与时间； (2)速度一定时，路程与时间； (3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量； (4)圆的面积与该圆的半径； (5)两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。 [分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。 [解] (1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。 (3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。 (4)设圆的半径为R，则圆的面积为∏R2，所以圆的面积与半径的积为∏R3，随半径的变化而变化，即圆的面积

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的倍，求A，B两地的距离。【解】甲车速度是乙车的倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行15千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去1 1小时。甲地到乙地共有多少千米 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。

完整word版,高思导引四年级第十八讲行程问题三教师版

第18讲行程问题三内容概述运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律. 典型问题兴趣篇 1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米? 答案：159 详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍 53×3=159 2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间．答案：30分钟详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50 步行+步行=70得知一个全程骑车比步行多用20分钟 70－2×20=30分钟 3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了? 答案：差4分钟详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分，在这段时间小悦行走了4000/260×60=12000/13米同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程差，路程差÷速度差=追及时间，所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800米，走这2800米的速度为175米/分所以用的时间是2800÷175=16分，因此本题所用总时间分三部分从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。所以距离8点还有4分钟。 4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳

六年级重点易错专题之比和比例应用题

比和比例应用题典型例题例1：幼儿园大班和中班共有32个男生，18个女生。已知大班男生人数与女生人数的比为5：3，中班男生与女生人数的比为2：1。那么大班女生有多少人？分析：题目中涉及到两个比例关系，看起来是无从下手。注意到两个班的男、女总数都已知，于是我们可以设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），再利用比例关系表示出两个班男生的人数，列方程即可求出。解：设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），根据题意列方程，得（5/3）X＋2（18－X）=32 X=12 即大班女人有12人。说明：这是1998年全国小学生奥林匹克数学竞赛预赛试题，属按比例分配类型应用题，利用方程解比和比例应用题是十分有效易懂的方法。例2：甲、乙两厂人数的比是7：6，从甲厂调360人到乙厂后，甲、乙两厂比为2：3。甲、乙两厂原有多少人？分析：从甲厂调360人到乙厂，甲、乙两厂人数的总数不变，因此，可将这个不变量看作是单位“1”。甲厂原有人数占总人数的7/13，甲厂现有人数占总人数的2/5，360人就是总人数的7/13－2/5=9/65，总人数=360/（9/65）=2600人。又因为甲、乙两厂原有人数之比为7：6，所以甲厂原有2600×7/13=1400人，乙厂原有2600×6/13=1200人。说明：解这类应用题时，可抓住题目中的不变量，把它看作单位“1”，然后找已知数量的对应分率，逐步推出所求的量。例3：王师傅原定在若干小时内加工完一批零件，他估算了一下，如果按原速度加工120个零件后工作效率提高25%，可提前40分钟完成；如一开始工

作效率就提高20%，就可提前1小时完成。他原计划每小时加工多少个零件？分析：此题的关键还是在于找出不变量，确定正反比例关系。由于加工120个零件后，加工余下的零件工作效率提高25%，则提高后的工作效率与原工作效率比为（1＋25%）：1=5：4，而工作量（即加工120个零件后余下的零件）没有改变（不变量），所以，所需时间与原工作时间的比应与效率成反比例关系，即4：5。这样加工余下零件原来所用时间是： 40÷（5－4）×5=200分钟=10/3小时。如果一开始工作效率就提高20%，提高后的工作效率与原工作效率比为（1＋20%）：1=6：5，所需工作时间与原工作时间之间的比是5：6，于是原工作时间为1÷（6－5）×6=6小时，这样便可知道加工120个零件原来需要6－10/3=8/3小时，所以，他原计划每小时加工零件120÷8/3=45个。说明：根据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例的关系推出王师傅加工120个零件原来所需的时间，进而就可推出他原计划每小时加工的零件数。例4：有A、B、C三种盐水，按A与B数量之比为2：1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B数量之比为1：2混合，得到浓度为14%的盐水；如果按A、B、C数量之比为1：1：3混合成的盐水浓度为10.2%。问：盐水C的浓度是多少？分析：这是一道利用比例关系来解的浓度问题，关于浓度配比有这样一个性质：两种不同浓度的溶液混合，两种溶液的浓度与混合后的浓度分别相减所得的比与所需数量之比恰好成反比例关系，我们将以此为理论依据对此题做出解答。解答：设A种盐水的浓度为X，B种盐水的浓度为Y。（13%－X）：（Y－13）=1：2 （14%－X）：（Y－14%）=2：1 解得X=12%，Y=15Y。当A、B、C三种盐水按数量1：1：3混合时，相当于A、B按1：1混合，混合后再与盐水C混合；由于A、B两种盐水按数量1：1混合后的浓度为（12%＋15%）÷2=13.5%，

巧用比例解行程问题

巧用比例解行程问题方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出， 6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多行52 千米，乙车的速度是甲车的2 3 。求两城之间的距离。 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船的5 6 。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？

3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。AB两地相距多少千米？例3：甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时？例4：客车和货车同时从AB两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的1 15 ，相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。AB两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3： 5，乙车行完全程需多少小时？

六年级奥数-行程问题(一).教师版

行程问题（一）知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个

（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲：模块一发车问题【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？【解析】这个题可以简单的找规律求解时间车辆4分钟9辆6分钟10辆8分钟9辆12分钟9辆

小学奥数比例解行程问题.学生版

1. 理解行程问题中的各种比例关系. 2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲，得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲，得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。知识精讲教学目标比例解行程问题

行程问题训练题教师版

1、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，当甲车驶过A、B距离的1 3 多50千米时，与乙车相遇， A、B两地相距多少千米？速度比是甲：乙＝50：40＝5：4 路程比是甲：乙＝5：4 相遇时,甲行了5÷（5＋4）＝5/9 A、B两地相距50÷（5/9－1/3）＝225千米 2、张大力和王涛从环形公路上的A点同时出发，沿相反方向跑，第一次相遇在B点，张大力第二次到达B点后立即掉头沿相反方向跑，已知张大力跑完一圈需4分钟，王涛跑完一圈需5分钟，问张大力掉头之后经过多长时间追上王涛？ 3、甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行，一列长180米的火车以60千米/时的速度与甲车同向前进，火车从追上甲车到遇到乙车，相隔5分钟，若火车从追上到超过甲车用时30秒，从与乙车相遇到离开用时6秒，求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇？（甲乙两辆汽车的长度忽略不计）设甲速度x m/s,乙速度y m/s,火车速度60 km/h=50/3 米/秒=1000米/分则：(50/3-x)*30=180, (50/3+y)*6=180 所以：x=32/3 米/秒,y=40/3 m/s 5分钟火车所走路程为：5000米,甲车向前行驶了32/3*5*60=3200米则甲乙相距5000-3200=1800米所以需要时间为：1800/(32/3+40/3)=75秒 4、A、B两地相距90千米，甲骑自行车每小时行15千米，乙开汽车，每行1千米比甲少用3分钟，若甲、乙两人同时从A地出发去B地，乙到B地后立即返回，则当乙遇到甲时，他们距离B地多少千米？甲行1千米的时间是：60÷15=4（分钟），可得乙行1千米的时间是4-3=1（分钟），所以乙的速度是：1×60=60（千米每小时），所以甲乙相遇时行驶的时间为：90×2÷（15+60）=180÷75，=2.4（小时），则距离B地的距离为：90-15×2.4=90-36=54（千米）；答：他们距离B地54千米．

(完整版)小升初比和比例解决问题专项练习

比和比例解决问题 1.有一批树苗，原计划40人去栽，每人要栽15棵，后来又增加了10人去栽，每人要栽多少棵？（用比例解） 2.在比例尺是1:3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为 3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？（用比例解） 3.工程队修一条公路，计划每天 4.5千米，20天完成，实际每天多修1.5千米，实际几天可修完?(用比例解) 4.某加工小组计划加工一批零件。如果每天加工20个，15天可以完成。实际4天加工了100个。照这样计算，几天可完成任务？（用比例解） 5.实验小学装修多媒体教室。计划用面积为9平方分米方砖铺地，需要480块。如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解）

6.某工程队修一条公路，前4天修了1200米。照这样的速度，再修16天可以修完。这条公路长多少米? 7. A、B两种商品的价格比是7：3，如果它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比是7：4.两种商品原来的价格各是多少元？ 8. 红旗小学的师生植树节栽种柳树、杨树、槐树共860棵，其中柳树和杨树的棵数比是3：4，杨树与槐树的棵数比是5：2，请问，这三种树各栽了多少棵？ 9.李师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总个数比是1：3，如果再加工15个，就完成了这批零件的一半。这批零件共有多少个？ 10.用84分米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度比是3：4：5。这个三角形的三天各是多少分米？ 11.蓝天小学原有女生人数与男生人数比是5：7，转来2名男生后，女生人数与男生人数的比是2：3，原来蓝天小学有男、女生各多少人?

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

用比例解答行程问题例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米？【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距 120×2=240千米。例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

【解】甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分？【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行1 5千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米？ 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。

六年级奥数第七讲1行程问题教师版

第七讲行程问题（一）知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个

标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲：模块一发车问题【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？【例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？

比和比例易错题集及答案

易错题一、化成最整数比 1211:24 11=(2:1) 800dm:4mm=(2000:1) 二、解比例 2:9=x :15 32：60%=x :1.2 x ：7.5=2.2：4 3 1 85:0.6=83:x 214:31=4 3 :x 120%：=0.8：6 三、把下面的等式改写成比例 75×1.4=125×2.4 (75:12 5 =2.4:1.4) 41÷51=433×31 (41:433=31:5 1) 一、填空题 1. 13÷4＝（）∶8＝＝（）％。 2．如果甲数是乙数的1.2倍,那么甲、乙两数的比是（） 3.在含盐10%的500克盐水中，再加入50克盐，这时盐与盐水的比是（）。 4.东风小学六年级人数是五年级人数的 9 8 ，五年级与六年级人数的比是（）。 5.甲数的 5 3是甲乙两数和的41 ，甲、乙两数的比是（）。 6.把甲数的71 给乙，甲.乙两数相等，甲数是乙数的，甲数比乙数多。 7.把13 2 与它的倒数的比化成最简整数比是（），比值是（） 8．星期天，小丽看一本书用了2小时15分，小红同样一本书用了2.15小时，小丽和小红看书用的时间比是（）。 9．如果甲数是乙数的1.2倍,那么甲、乙两数的比是( ) 10．一杯糖水，糖与水的比是1：4，喝去2 1 杯糖水后，又用水加满，这时杯中糖与水的比是（）。 11．一车水果重1.8吨，按2：3：5的比例分配给甲、乙、丙三个水果店，乙水果店分得这批水果的（）。 12.一个三个角形三个内角度数的比是1∶4∶1，这是一个（）三角形。 13.五个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个如图的大长方形，那么小长方形的长与宽的比是（），大长方形的长与宽的比是（） 14 37，差是13，比值是6 5 ，这个比例式可以是（）。 15.如果 a b 与c d 互为倒数，那么a 、b 、c 、d 这四个数写成比例是（）。 16.在一个比例里，两个外项互为倒数，一个内项是最小的质数，另一个内项是（）。

小学数学六年级下：《巧用比例解行程问题》习题

班级学生方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 1、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，ab两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船的5/6。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？ 3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从ab两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距b地340千米，乙车行1小时距a地360千米。ab两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：5，乙车行完全程需多少小时？ 6、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：11。货车平均每小时行多少千米？ 7、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的1/5，货车每小时行50千米。相遇时客车和货车所行的路程的比是3：2。甲、乙两地相距多少千米？ 8、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：4，这时乙车行了多少千米？

小学奥数行程问题(追击问题)(教师版)

行程之相遇问题 1、通过小组合作、自主探究，使学生知道速度的表示法；理解和掌握行程问题中速度、时间、路程三个数量的关系。 2、通过课堂上的合作学习、汇报展示、互动交流，提高学生分析处理信息的能力，培养学生解决实际问题的能力。 3、让学生通过提出问题、解决问题，感受数学来源于生活，在交流评价中培养学生的自信心，体验到成功的喜悦。追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题)，也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间速度差=快速-慢速解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 1：甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行;乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲?(适于高年级程度) 解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是： 10-5=5(千米) 再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。 9÷5=1.8(小时) 综合算式： 9÷(10-5) =9÷5 =1.8(小时) 答略。 2：甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行5千米;甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙?(适于高年级程度) 解：甲每小时行：

5×1.2=6(千米) 甲每小时能追上乙： 6-5=1(千米) 相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。 6÷1=6(小时) 答：甲6小时才能追上乙。 3：甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙?(适于高年级程度) 解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时间是：400÷(350-250) =400÷100 =4(分钟) 4 ：在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间?(适于高年级程度) 解：敌我两军行进的速度差是： 8.5-5.5=3(千米/小时) 我军追上敌军用的时间是： 6÷3=2(小时) 从开始追击到全歼敌军，共用的时间是： 2+0.5=2.5(小时) 综合算式： 60÷(8.5-5.5)+0.5 =6÷3+0.5 =2.5(小时) 5：一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍?(适于高年级程度) 解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍(10÷5=2)，通讯员返回到驻地时，队伍又前进了(3÷2)千米。这样，通讯员需追及的距离是(3+3÷2)千米，而速度差是(10-5)千米/小时。根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。 (3+3÷2)÷(10-5) =4.5÷5 =0.9(小时) 6：甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲可以追上乙？【解析】甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲可以追上乙？ 18÷（14－5）＝2（小时）

比和比例在行程问题中的应用

比和比例在行程问题中的应用一、知识导学路程一定，速度和时间成；时间一定，路程和速度成；速度一定，路程克时间成。例：①甲、乙两车相向而行，相遇时甲、乙路程比为5:4 ，则甲、乙两车的速度比为；两车分别从A、B两地相向开出，相遇时，甲比乙多行驶10 千米，则A、B 两地的距离为千米； ②从A地到B地，甲需5 小时，乙需4 小时，则甲、乙的速度比为；从C地到D地，若两车同时出发，则甲比乙晚 3 个小时到D地，那么甲行完全程需小时，乙行完全程需小时； ③甲车从A地开到B地需 5 小时，从B地开到C地需4 小时，则A到B之间的距离与B到C之间的距离之比为。 ④在环形跑道上，甲、乙两人的速度之比为5:4 。若两人同时同向出发， 10 分钟后，两人第一次相遇时，此时甲比乙多走400 米，则这个环形跑道的周长为，甲的速度为，乙的速度为。

二、典例剖析例1： 1、从东城到西城，甲需要20小时，乙需要15 小时，乙的速度比甲的速度快百分之几？ 2、甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行。相遇时，甲、乙的路程比是5:3 。若甲行完全程要 2 小时，那么乙行完全程要几小时？变式： 1、甲、乙两人步行速度之比是3:2 ，甲、乙分别从A、B 两地同时出发，若相向而行，则 1 小时后相遇。若同向而行，甲要花多少时间才能追上乙？ 2、甲、乙两车分别同时从A、B两地相向开出，速度比是7:11 。两车第一次相遇后继续按

10 原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇时甲车离多少千米？ 3、小王和小李骑摩托车分别从 A 、B 两城同时相对开出，经过 4 小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过 3小时，小王到达 B 地，小李离 A 地还有 50千米。 A 、B 两地相距多少千米？ 4、一辆货车每小时行 70 千米，相当于客车速度的 7 。现两车同时从甲、乙两地相对开出， 8 结果在距中点 50 千米处相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 1 5、客车、货车同时从 A 地、B 地相对开出，客车每小时行 60 千米，货车每小时行全程的， B 地 80 千米。 A 、B 两地相距

行程问题集锦教师版

行程问题集锦教师版行程问题（一）专题简析：行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。行程问题的主要数量关系是：距离=速度 ×时间。它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差×时间。解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。例题1：两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。可以先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时）甲行完全程的时间：165÷30—4860 =4.7（小时）解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时）答：甲车行完全程用了4.7小时。练习1： 1、甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？ 2、A 、B 两地相距900千米，甲车由A 地到B 地需15小时，乙车由B 地到A 地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B 地还有多少千米？ 3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A 、B 两城同时相向而行。到10点钟时两车相距112.5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。A 、B 两地间的距离是多少千米？例题2：两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？

比和比例综合练习题及答案

{ 比和比例练习题一、填空： 1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的) () (，乙数占甲、乙两数和的 ) () (。甲、乙两数的比是3:2，甲数是乙数的（）倍，乙数是甲数的 ) () (。 2. 某班男生人数与女生人数的比是4 3，女生人数与男生人数的比是（），男生人数和女生人数的比是（）。女生人数是总人数的比是（）。 3. 一本书，小明计划每天看7 2，这本书计划（）看完。 4. 一根绳长2米，把它平均剪成5段，每段长是) () (米，每段是这根绳子的 ) () (。 5. 王老师用180张纸订5本本子，用纸的张数和所订的本子数的比是（），这个比的比值的意义是（）。 6. 一个正方形的周长是5 8 米，它的面积是（）平方米。 7. , 8. 89吨大豆可榨油3 1 吨，1吨大豆可榨油（）吨，要榨1吨油需大豆（）吨。 9. 甲数的3 2 等于乙数的5 2，甲数与乙数的比是（）。 10.把甲数的7 1 给乙，甲、乙两数相等，甲数是乙数的 ) () (，甲数比乙

数多 ) () (。 11.甲数比乙数多41 ，甲数与乙数比是（）。乙数比甲数少 ) () (。 12.在6 ：5 = 中，6是比的（），5是比的（），是比的（）。在4 ：7 =48 ：84中，4和84是比例的（），7和48是比例的（）。 13.4 ：5 = 24÷（）= （）：15 14.一种盐水是由盐和水按 1 ：30 的重量配制而成的。其中，盐的重量占盐水的（—），水的重量占盐水的（—）。图上距离3厘米表示实际距离180千米，这幅图的比例尺是（）。一幅地图的比例尺是图上6厘米表示实际距离（）千米。实际距离150千米在图上要画（）厘米。 15.12的约数有（），选择其中的四个约数，把它们组成一个比例是（）。写出两个比值是8的比（）、（）。 16.( 17. 加工零件的总个数一定，每小时加工的零件个数的加工的时间（）比例；订数学书的本数与所需要的钱数（）比例；加工零件的总个数一定，已经加工的零件和没有加工的零件个数（）比例。 18.如果x ÷y = 712 ×2，那么x 和y 成（）比例；如果x:4=5:y ，那么x 和y 成（）比例。二、判断

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行15千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。 5.甲乙两车分别从AB两地同时相对开出，相遇时，甲车行了全程的1/3，当乙车到达A 地时，甲车离B地还有10km，AB两地相距km 6.客车从甲地到乙地需要6小时，火车每小时行驶36km，现在客货两车分别从甲乙两地相向而行，相遇时客货两车所行的路程比5：3，求甲乙两地相距多少千米 1、一辆客车从甲城到乙城8小时，一辆卡车从乙城到甲城12小时，两车同时从两地相向开出，相遇时，甲车行了264千米，求A、B两地的距离

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