一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式是一个重要的知识点，有极为广泛的应用．下面举例说明判别式的几种常见应用．

一、判断方程根的情况

例1 方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）

（A ）有两个不相等的实数根 （B ）无实数根

（C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个根为零

分析：由041329)4(243422>=+=-??-=-ac b 知方程有两个不相等的实数根．

二、证明方程根的情况

例2 已知关于x 的方程0)12()2(2=+--+m x m x ，求证：无论m 取什么数，这个方程总有两个不相等的实数根．

分析：由

++=+++-=+-?--=-m m m m m m m ac b 44844)]12([4)2(42222

04)2(82>++=m ，所以不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．

三、判断方程中未知系数的取值范围

例 3 已知关于x 的一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

分析：由题意得???>-?---≠-.

0)1()1(4)2(,012k k 解得2

四、确定二次三项式是完全平方式的条件

例4 已知关于x 的二次三项式1)1(2+++mx x m 是一个完全平方式，求m 的值．

分析：因关于x 的二次三项式1)1(2-++mx x m 是一个完全平方式，故关于x 的方程01)1(2=-++mx x m 有两个相等的实数根，所以

0)1(4422=++=-m m ac b ，解得2-=m ．

五、讨论两函数图象的交点情况

例5 直线2-=x y 与双曲线x y 6=

有没有交点？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．

分析：要判断直线与双曲线有没有交点，只要看它们的解析式组成的方程组有没有实数根，即看消去y 的方程0622=--x x 有无实数解，易知=-?--=-)6(4)2(422ac b 28>0,故直线与双曲线有交点．

一元二次方程根的判别式还有其它方面的应用,这里不在一一举例,但同学们学习时要注意根的判别式与其它知识之间的联系和区别,掌握将所研究的问题转化为一元二次方程问题的方法，通过对知识的归纳、整理进一步提高分析问题解决问题的能力．