探究单摆振动周期影响因素

探究单摆振动周期的影响因素

教学任务：

通过实验，运用控制变量法探究得出单摆振动周期和哪些物理量有关，提出单摆周期公式。

教学目标：

1、通过实验得出单摆振动周期和振幅无关，和摆球质量无关，和摆长有关，且摆长越长周期越大，和重力加速度有关，且重力加速度越大周期越小，提出单摆周期公式。

2、培养学生观察现象、分析处理问题的能力，会运用等效的思想处理问题。 教学设计思想：

1、采用控制变量法探究单摆振动周期的影响因素。

2、用超失重和电场等效增大或减小重力加速度。

3、用效果积累的思想处理实验结果。

教学流程图：

实验仪器：

三个摆球：两个摆长相同，质量不同；两个摆长不同。

一个特制单摆，铁架台，绝缘夹子数个，金属铝板两块（其中一块有细缝），学生电源组，静电起电机，红外线探灯，电键开关一个，导线若个。

教学过程：

前面我们已经学习了单摆的回复力，知道单摆在摆角很小时作简谐振动。今天我们来研究单摆的振动周期。

教师：请大家思考一下，单摆的振动周期T 应该和哪些因素有关呢？

引导学生得出可得相关的因素：振幅A ，摆球质量m ，摆长l ，重力加速度g 。（若有学生提出体积、球半径等因素可通过分析归纳到m 和l 。）

教师：在物理里面，要研究一个物理量和几个物理量间的关系，是

怎样一种关系，通常采用什么方法？

学生：控制变量法。

（1）研究T 和A 的关系，可先令m 、l 、g 保持不变，改变振幅A 值。

【演示1】：

取两摆长摆球质量均相同的两单摆（展示单摆，摆已固定在铁架台

上），装置如图1。

将两摆拉到不同高度同时释放（摆角不能太大）。

现象：两摆球同步振动。

教师：请问同学们看到了什么现象，说明了什么问题？ 图1

学生：两摆摆角不同即振幅不同，两摆球振动同步，说明单摆的周期和振幅A 无关。 结论1：单摆的振动周期T 和振幅A 无关。

教师：刚才我们用控制变量法研究了周期和振幅的关系，那么要研究周期和摆球质量的关系，应怎么做？

学生：可用两摆长相同，质量不同的两单摆。

（2）研究T 和m 的关系，可令A 、l 、g 不变，改变摆球质量m 。

【演示2】：

取两摆长相同，质量不同的摆球（展示单摆），装置如图2。

在摆角很小的情况下将两摆拉到相同的高度同时释放。

现象：两摆振动同步。

教师：上面的实验现象怎样，又说明了什么？

学生：振动同步，说明单摆振动周期和摆球的质量无关。 结论2：单摆的振动周期T 和摆球质量m 无关。

（3）研究T 和l 的关系，可令A 、m 、g 不变，改变l 的值。

【演示3】：

取两质量相同摆长不同的单摆（展示单摆），装置如图3。

将两摆拉到相同的高度同时释放。

现象：两摆振动不同步，且摆长越长，振动越慢。

教师：上面实验现象怎样，说明了什么？

学生：振动不同步，说明单摆周期和摆长有关，且摆长越长，振动

越慢，周期越大。

结论3：单摆周期T 和摆长l 有关，且摆长l 越长，振动越慢，周

期T 越大。

教师：大家可再来看一个有趣的现象。．．．．．．

【演示4】：

将一单摆拉至某高度释放，在摆动过程中用手指捏住摆线，然后将手指．．．．．．．．．．．．．．．．．．．顺着摆线往下移．．．．．．．

，如图4。 现象：可以看到摆球摆动越来越快。

教师：请思考一下这是为什么？

学生（教师引导）：手指捏住摆线向移，相当于单摆的悬点下移，摆长

减小，故周期减小，振动加快。 (4)研究T 和g 的关系，则令A 、m 、l 不变，改变g 值。

教师：我们知道在同一地点重力加速度是不变的，那么请大家思考一下，现在我们要探索重力加速度和单摆振动周期的关系，在同一个地方行不行？有什么办法？

学生讨论：在同一地点不行。但因为重力加速度随纬度增大而增大，故可以在纬度不同的地方同时用两个完全相同的单摆做实验，现代通讯这么发达，这是完全可以实现的。

教师：不错，在通讯如此发达的时代，我们完全可以在纬度不同的两地同时做实验，如北京和广州，来探索单摆振动周期和重力加速度的关系。另外我们也

可以用等效的方法来增大或减小重力加速度，下面我们来看几个实验。

【演示5】：

展示一单摆。让单摆振动起来，在摆动过程中将整个装置竖直释放

（提醒学生注意在下落过程中单摆的摆动情况）。

现象：单摆在下落至地过程中，保持释放前状态，几乎没有再摆动。

教师：大家思考一下上面的现象又说明什么问题呢？

图

2

图

3

图5

图

4

请同学思考后教师分析说明。

教师：整个装置在下落过程中处于完全失重状态，我们可以等效的认为此过程中物体受到的重力加速度趋向于零，而单摆在下落过程中没有摆动，说明在自由下落过程中，单摆的振动周期趋向于无穷大，说明单摆的振动周期和重力加速度有关，且重力加速度越小，单摆周期越大。关于单摆振动周期和重力加速度的关系我们还可以通过下面这个实验来说明。

【演示6】：

展示实验装置，如图5。

教师介绍实验装置：将两块锌板用绝缘夹子平行安装在铁架台上，其中上锌板有一细

图6

缝，将一特制单摆穿过细缝，恰能自由摆动；在两锌板上接上一学生电源组，并和电键相连；摆球和一细金属线相连，且金属线始终处于自由松散状态，金属细线和一静电起电器相连；有一红外线探灯照在两锌板间。

教师说明实验原理：在两平行锌板间加上电压，则在两板间会产生一个匀强电场，当摆球带上电量时，在电场中会受到电场力的作用，如小球的带电量一定，则电场力的大小恒定且方向可根据需要调成竖直向下或竖直向上。用等效的思想，则通过上述实验装置可增大或减小等效重力加速度，达到实验探究单摆振动周期和重力加速度关系的目的。其中静电起电器用来使小球带电，且可以在实验过程中给小球随时补充电量，金属细线始终处于自由状态故在单摆摆动过程中阻碍作用可忽略不计。红外线探灯用来干燥空气，避免电量跑逸且可增大小球的最大带电量。

实验步骤：

1、打开电键，令单摆摆动起来，叫一学生用秒表记下单摆振动n次(n>50)的时间t1。

2、闭合电键，上锌板接电压正极，下板接负极。打开红外线探灯，用静电起电器给摆球带上电量（如正电），令小球振动起来，在振动同时持续给摆球加电量（教师完成）。

3、叫上位学生用秒表记下单摆振动n次（n应和上面相同）的时间t2。

4、比较t1和t2。

5、改变小球带电性（或改变电压极性），重复上述步骤，比较两时间。

实验结果：

1、上锌板接正极，下板接负极，摆球带正电时，t1>t2。

2、变摆球电性（或改变电压极性）后，t1

实验分析：

1、上板接电压正极，下板接负极，摆球带正电时，摆球受到竖直向下的电场力，故等效重力加速度变大，而t 1>t 2说明单摆的振动周期变小。

2、 当改变电性（或改变电压极性）后，摆球受到竖直向上的电场力，故等效重力加速度减小，而t 1

由上面实验我们可以看出：

结论4：单摆的振动周期和重力加速度有关，且重力加速度变大，周期变小，重力加速度变大，周期变大。

教师：通过前面的实验我们得出了单摆的振动周期和单摆的振幅和摆球的质量无关，和单摆的摆长和重力加速度有关，且得到了定性的关系，科学家们通过反复的实验，得到了单摆的振动周期公式：g

l T π2= 。 由单摆振动周期可知，单摆的振动周期和振幅及摆球的质量无关，和单摆的摆长的平方根成正比，和重力加速度的平方根成反比。

总结：本节课一方面我们通过实验得出了影响单摆振动周期的因素，另一方面我们学习了控制变量处理实验的方法，等效的方法，效果累积等实验方法。

说明：

本案例中等效探究周期T 和重力加速度的关系时，进行的实验中要注意如下问题：

1、 锌板间电压应尽量大些，两锌板间距应小些，以增大静电场；

2、 实验设计中的摆球为一特制摆球，其内部空心，质量相对较小，而半径相对较大，目

的在于减小重力而增大带电量；

3、 实验中用红外线探灯目的在于干燥空气，使电量不易逃逸；

4、 和一金属细线相连此金属线应始终处于自由状态，即在单摆摆动过程中起到阻碍作用

很小；金属细线和静电起电器相连目的在于在单摆摆动过程中随时补充电量，保证小球受到恒定的电场力；

5、在实验中，单摆振动一次增大或减小的时间不是非常明显，故本实验中运用效果积累

的实验方法，通过测量振动多次的时间来判断重力加速度的改变而引起的周期的变化。

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第四节探究单摆的振动周期 从化中学李东贤 【教学目标】 一、知识与技能 1.知道什么是单摆；理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动； 2.知道单摆做简谐运动时具有固定周期（频率）； 3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算； 4.知道探究单摆的振动周期时采用的科学探究方法。 二、过程与方法 1. 通过单摆的教学，知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型. 2.猜想单摆的固定周期跟那些因素有关，进一步认识到有根据的、合理的猜想与假设是物理学的 研究方法之一。 3.通过探究单摆的周期，使学生领悟用“控制变量”来研究物理问题的方法，学习设计 实验步骤，提高学生根据实验数据归纳物理规律的能力。 三、情感态度与价值观 1．在实验探究的过程中，培养兴趣和求知欲，体验战胜困难、解决物理问题时的喜悦； 2．养成实事求是、尊重自然规律的科学态度，知道采用科学方法解决问题，而不是乱猜、盲从。 【教学重点、难点】 重点： 1. 了解单摆的构成。 2.单摆的周期公式。 3.知道单摆的回复力的形成。 难点： 1.单摆振动的周期与什么有关。 2.单摆振动的回复力是由什么力提供的，单摆做简谐运动的条件。 【教学用具】 教师演示实验：多媒体投影仪、铁架台、沙子、单摆、秒表、米尺、磁铁 学生分组实验：游标卡尺，铁架台，铁夹，细线，秒表，米尺，磁铁，一组质量不同的带小 孔的金属小球

【教材分析和教学建议】 教学方法： 1.关于单摆的构成的教学——采用问题教学法. 电教法和讲授法进行 . 2.关于单摆周期的教学——采用猜想、实验验证、分析推理、归纳总结的方法进行. 3.关于单摆的振动 . 单摆做简谐振动的条件及单摆回复力的教学——采用分析归纳法、 电化教学法、讲授法、推理法进行 . 4. 关于单摆在摆角很小时做简谐运动的证明——采用数学公式推导法进行. 教材分析： 1.课标要求：通过观察与分析，理解谐运动的特征，能用公式和图像描述 谐 运动的特征 2.本节主要定性研究单摆作简谐运动的周期和那些因素有关，最后给出定量的公式。首先，教师 应当实际生活使用的各种各样的摆抽象出单摆，例如挂钟，秋千等通过对单摆的受力分析，使学生掌握单摆作谐运动的条件。通过观察和猜想，估计单摆的振动周期和那些因素有关，并且通过设计实验验证自己的猜想。主要分三步：⑴从实际的摆中抽象出单摆，⑵探究单摆运动周期，⑶研究单摆作谐运动的条件。 【教学过程】 一．创设情境，引入新课 在日常生活中，我们经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，如摆钟、秋千，等等。生活中的这些摆动都属于振动。如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆. 为什么对单摆有上述限制和要求呢?①线的伸缩和质量可以忽略, 就使质量全部集中在摆 球上 .②线长比球的直径大得多，就可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度 就是摆长。这样，单摆就抽象成一种物理模型，便于我们研究它们振动的情况。 二、进行科学探究 1．提出问题 弹簧振子做简谐运动时具有固有周期，做简谐运动的单摆是否也有固有周期呢？ 2．猜想或假设 弹簧振子做简谐运动的固有周期取决于振子本身的质量和弹簧的劲度系数，与振幅等外 界条件无关。即固有周期仅仅取决于弹簧振子的组成系统。那么，做简谐运动的单摆的固有 周期又取决于哪些因素呢？ 引导学生可从单摆的结构思考：单摆振动的周期可能与振幅、摆球质量、摆长、当地的 重力加速度及空气阻力有关，也可能与摆线的质地、小球的密度、体积有关

高中物理实验探究单摆的摆长与周期的关系学案

实验十三 探究单摆的摆长与周期的关系 考纲解读1.知道把单摆的运动看做简谐运动的条件.2.会探究与单摆的周期有关的因素.3.会用单摆测定重力加速度． 基本实验要求 1．实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2 l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值． 2．实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺． 3．实验步骤 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆． (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示． (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r. (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33. (5)根据单摆周期公式T ＝2π l g 计算当地的重力加速度g ＝4π2 l T 2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值． (7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因． 规律方法总结 1．注意事项 (1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.

大摆角下单摆周期变化的实验分析

大摆角下单摆周期变化的实验分析 摘要：详细讨论了单摆运动情况，指出柔性摆在大摆角的情况下运动情况，并与小摆角的情况做了对比，从而对单摆的运动规律有了一个更加完美的认识。 关键词：单摆，大摆角，单摆周期 单摆的运动方程 单摆就是挂在长为λ的一根质量可以忽略的杆和弦线下端的一个质点m，它的上端在支点上可以自由的转动，整个摆在竖直平面内作运动，如图1所示。（忽略空气阻力与摩擦力）设任意时刻t，弦与竖直线成θ角，质点对它的平衡位置的 弧位移S=λθ，所受合力的切向分量为其中负号表示这个分力 的指向恒与弧位移的指向相反。根据牛顿第二定律，可以建立单摆运动的微分方程是 （1） 在θ很小的情况下，（如θ不大于5°） sinθ近似等于θ（以弧度为单位），于是方程（1）可化为 这是简谐振动方程。对方程（2）求解，得单摆的振动周期为 以上结果是一般教科书中对单摆的解。但是，必须注意到只有在振幅很小的情况下，单摆的运动才能近似看作是简谐振动，一般情况下单摆远远比上述结果复杂。单摆的一般运动规律 在方程（1）中，令v=dθ/dt,于是(1)式化为等价的方程组是： dθ/dt=v, dv/dt=-g/λsinθ, 将方程组中第二式乘以vdt，第一式乘以sinθdt，然后相加，得vdv+g/λ·sin θdθ=0,即 由此得出的一个首次积分是（其中C是积

分常数，称C为“约化的总能量”，C=E/mλ，E为总能量，m是质量，λ是摆长），于是 对于柔线摆（即弦线构成的摆），由于弦线只产生张力，二不产生支持力。设平衡位置（θ=0）为时能零点这时摆绕轴转动的最小能量为E=5/2·mgλ，即方程中的C≥5g/2λ时，角度θ在全部运动时间内是单调增加或单调减小的，摆将绕轴转动。如果C<5g/2λ，将不能达到最高点，由于其动能减小（而弦线又不能提供支持力），已经不能维持圆周运动了，摆会“落下来”。当g/λ

高中物理第一章第四节探究单摆的振动周期自我小测案

自我小测 1单摆做简谐运动的回复力是( ) A ．摆球的重力 B ．摆球重力沿圆弧切线的分力 C ．摆线的拉力 D ．摆球重力与摆线拉力的合力 2已知在单摆a 完成10次全振动的时间内，单摆b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m ，则两单摆摆长l a 与l b 分别为( ) A ．l a ＝2.5 m ，l b ＝0.5 m B ．l a ＝0.9 m ，l b ＝2.5 m C ．l a ＝2.4 m ，l b ＝4.0 m D ．l a ＝4.0 m ，l b ＝2.4 m 3在一个单摆装置中，摆动物体是个装满水的空心小球，球的正下方有一小孔，当摆开始以小角度摆动时，让水从球中连续流出，直到流完为止．由此摆球的周期将( ) A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．先增大后减小 D ．先减小后增大 4若单摆的摆长不变，摆球质量变为原来的2倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的1 2 ，则该单摆振动的( ) A ．频率变大，振幅变小 B ．频率变小，振幅变大 C ．频率不变，振幅变小 D ．频率不变，振幅变大 5摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(取作t ＝0)，当振动至t ＝ 3π 2l g 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象为图1－4－9中的( )

图1－4－9 6一个摆长为L 1的单摆，在地面上的周期为T 1，已知地球质量为M 1，半径为R 1，另一摆长为L 2的单摆，在质量为M 2、半径为R 2的星球表面做简谐运动，周期为T 2.若T 1＝2T 2，L 1＝4L 2，M 1＝4M 2，则地球半径与星球半径之比R 1∶R 2为( ) A ．2∶1 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．3∶2 7同一单摆在地面上振动周期为T 1，在加速上升的升降机中摆动周期为T 2，在轨道上运行的人造卫星中摆动周期为T 3，在月球表面摆动周期为T 4，则( ) A ．T 3＞T 4＞T 1＞T 2 B ．T 2＞T 1＞T 4＞T 3 C ．T 1＞T 2＞T 3＞T 4 D ．T 4＞T 3＞T 2＞T 1 8有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为( ) A.12 min B.2 2 min C. 2 min D ．2 min 9一单摆的振动周期是2 s ，则下列做简谐运动的情况下单摆的周期为 (1)摆长缩短为原来的1 4时，T ＝______s ； (2)摆球质量减小为原来的1 4时，T ＝______s ； (3)振幅减小为原来的1 4 时，T ＝______s. 10有一单摆，在地球表面为秒摆，已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的16 . (1)将该单摆置于月球表面，其周期多大？ (2)若将摆长缩短为原来的1 2，在月球表面时此摆的周期是多大？ (3)该秒摆的摆长是多长？(g ＝9.8 m/s 2) 11两个同学想测一下单摆的周期，来验证一下T ＝2π l g 是否正确，可是现在只有尼龙细线、钢球、刻度尺等物品，找不到计时器，他们利用现有仪器能否测出单摆周期来？

《实验：探究单摆周期与摆长的关系》参考教案

实验：探究单摆周期与摆长的关系 一、教学目标 1、知识与技能： （1）探究摆长对单摆周期的影响及其定量关系 （2）理解单摆周期与摆长的定量关系 （3）学会借助计算机处理实验数据 2、过程和方法： 体验用计算机辅助系统进行科学探究的过程，学会科学探究的基本思想和基本方法 3、情感、态度和价值观：科学研究的浓厚兴趣，培养科学探究能力，培养团队合作精神 二、教学重点与难点 重点：实验探究单摆周期与摆长的定量关系 难点：精确测量摆长 三、教学结构 四、教学过程 （一）情景导入，提出问题 复习单摆理想模型，分析描述单摆作简谐振动的条件。 （二）观察实验，做出猜测 1.两摆的振幅不同 2.两摆的质量不同 3.两摆的摆长不同 （三）设计方案与讨论 1：利用米尺和游标卡尺分别测量出细线长度和小球的半径，算出摆长。 2；让单摆做简谐运动，用秒表测出振动周期。（课件出示注意事项） 注意事项 1.为减小误差，测量时间时从摆球经过平衡位置计时，此处摆球速度最大，计时误差相对较小。 2.为提高测量准确度，采取叠加测量，即测量30个周期时间，再除以次数，也

可减小测量误差。 （四）学生实验，教师辅导 每个小组改变摆长测量10组摆长和周期的数据。（直接记录到电脑的Excel 表格中） 学生进行实验，老师辅导，约10分钟 （五）实验总结，数据分析 1、原始数据定性分析大致规律 学生观察采集到的原始数据，根据数据定性分析。 学生观察采集的数据，可以从数据中看到：随着摆长逐渐减小，单摆的周期也在逐渐减小。 2、作图并拟合曲线分析定量关系 从数据的变化我们已经可以看出，摆长的确是影响单摆周期的因素之一，而且他们的大致关系是摆长越小周期也越小。excell 中，提供了对表格数据的绘图功能，利用这个功能，可以用计算机快捷地把原始数据绘制成图象。 学生活动:在计算机上画出图象，用各种函数进行拟合一次函数、二次函数、三次函数、平方根函数、三次方根函数等，观察哪条函数图线拟合得最好。 学生观察结果：平方根函数拟合得最好。 3、转化参量提高定量分析精度 师：曲线的拟合程度高低看起来还不是非常直观，最好能把图线转化成直线，这样更能说明问题。可以把周期的数据平方，当然也可以选择把摆长的数据开平方根，都可以更加精确地证明我们的猜想。而且利用软件提供的功能，可以非常快捷地完成这个过程。 学生活动，分两大组分别用两种方法处理数据，重新绘制图线。 4、找到规律总结思想方法 学生分析：从重新绘制的拟合图线中可以看出，将周期平方或者将摆长开平方根以后得到的拟合图线与正比例函数拟合得非常好，从而表示出了周期与摆长的定量关系，那就是L T ∝2，或L T ∝。 （六）讨论摆长与其他因素的关系 1、设计实验讨论细节

单摆周期公式的推导与应用

单摆周期公式的推导与特殊应用 新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。而查看《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）》，在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力F 与其位移x 大小成正比，方向与位移x 的方向相反为止。最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。 一．简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F -=，其中k 是比例系数。对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有： kx ma F -==，即x m k a - = 因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。因为x （或F ）是变 量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k 写成2 ω得到 x dt x d 2 2 2ω-=。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(?ω+=t A x 。这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T m k π ω2= = ，从而得到作简谐运动物体的周期为k m T π 2=。 二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。 当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P 时，重力G 沿着圆弧 切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很 小﹝如θ＜0 10﹞时，l x ≈ ≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x l mg F - =，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数， 所以l mg 可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F -=。因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回 复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把l mg k =代入到简谐运动物体 B G G 图 1

物理14《探究单摆的振动周期》教案

第四节探究单摆的振动周期 【教学目标】 一、知识与技能 1.知道什么是单摆；理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动； 2.知道单摆做简谐运动时具有固定周期（频率）； 3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算； 4.知道探究单摆的振动周期时采用的科学探究方法。 二、过程与方法 1.通过单摆的教学，知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型. 2.猜想单摆的固定周期跟那些因素有关，进一步认识到有根据的、合理的 猜想与假设是物理学的研究方法之一。 3.通过探究单摆的周期，使学生领悟用“控制变量”来研究物理问题的方法，学习设计 实验步骤，提高学生根据实验数据归纳物理规律的能力。 三、情感态度与价值观 1．在实验探究的过程中，培养兴趣和求知欲，体验战胜困难、解决物理问题时的喜悦； 2．养成实事求是、尊重自然规律的科学态度，知道采用科学方法解决问题，而不是乱猜、盲从。 【教学重点、难点】 重点：1.了解单摆的构成。 2. 单摆的周期公式。 3. 知道单摆的回复力的形成。 难点：1. 单摆振动的周期与什么有关。 2.单摆振动的回复力是由什么力提供的，单摆做简谐运动的条件。 【教学用具】 教师演示实验：多媒体投影仪、铁架台、沙子、单摆、秒表、米尺、磁铁 学生分组实验：游标卡尺，铁架台，铁夹，细线，秒表，米尺，磁铁，一组质量不同的带小 孔的金属小球

【教材分析和教学建议】 教学方法： 1.关于单摆的构成的教学——采用问题教学法.电教法和讲授法进行. 2. 关于单摆周期的教学——采用猜想、实验验证、分析推理、归纳总结的方法进行. 3. 关于单摆的振动.单摆做简谐振动的条件及单摆回复力的教学——采用分析归纳法、电化教学法、讲授法、推理法进行. 4.关于单摆在摆角很小时做简谐运动的证明——采用数学公式推导法进行. 教材分析： 1.课标要求：通过观察与分析，理解谐运动的特征，能用公式和图像描述 谐 运动的特征 2.本节主要定性研究单摆作简谐运动的周期和那些因素有关，最后给出定 量的公式。首先，教师应当实际生活使用的各种各样的摆抽象出单摆，例如挂钟，秋千等通过对单摆的受力分析，使学生掌握单摆作谐运动的条件。通过观察和猜想，估计单摆的振动周期和那些因素有关，并且通过设计实验验证自己的猜想。主要分三步：⑴从实际的摆中抽象出单摆，⑵探究单摆运动周期，⑶研究单摆作谐运动的条件。 【教学过程】 一．创设情境，引入新课 在日常生活中，我们经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，如摆钟、秋千，等等。生活中的这些摆动都属于振动。如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆. 为什么对单摆有上述限制和要求呢?①线的伸缩和质量可以忽略,就使质量全部集中在摆球上. ②线长比球的直径大得多，就可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度就是摆长。这样，单摆就抽象成一种物理模型，便于我们研究它们振动的情况。 二、进行科学探究 1．提出问题 弹簧振子做简谐运动时具有固有周期，做简谐运动的单摆是否也有固有周期呢？ 2．猜想或假设 弹簧振子做简谐运动的固有周期取决于振子本身的质量和弹簧的劲度系数，与振幅等外界条件无关。即固有周期仅仅取决于弹簧振子的组成系统。那么，做简谐运动的单摆的固有周期又取决于哪些因素呢？ 引导学生可从单摆的结构思考：单摆振动的周期可能与振幅、摆球质量、摆长、当地的重力加速度及空气阻力有关，也可能与摆线的质地、小球的密度、体积有关……

2021届新高考物理第一轮复习课时强化训练：探究单摆周期与摆长的关系(解析版)

2021届新高考物理第一轮复习课时强化训练 探究单摆周期与摆长的关系 一、选择题 1、利用单摆测定重力加速度g时，下列情况中会导致所测得的g值偏大的是( ) A．小球质量过大 B．摆线太长 C．把悬线长和小球直径之和当作摆长 D．把悬线长当作摆长 解析：选C.由单摆周期T＝2π l g ，得g＝ 4π2l T2 .由此可得，摆球 质量不影响测量结果，摆长l应是悬线长加上小球半径，加上小球直径使得l偏大，从而导致g偏大．故只有选项C正确． 2、（多选）某同学测得g值比当地标准值偏大，其原因可能是( ) A．测量摆长时忘记加上小球半径 B．振幅过小 C．将摆长当成了摆线长和球直径之和 D．摆动次数多记了一次

E ．小球不是在竖直平面内摆动 F ．摆球质量过大，空气阻力影响所致 解析：因为T ＝2π l g ，所以g ＝4π2l T2，由g 的表达式可知g 测偏大的原因可能是l 测偏大或T 测偏小，可知C 、D 正确，A 错；小球 做圆锥摆的周期T ＝2π lcos θg

D ．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 解析：为减小计时误差，应从摆球经过最低点的瞬间开始计时，A 错误；通过最低点100次的过程中，经历的时间是50个周期，B 错误；应选用密度较大的球以减小空气阻力的影响，D 错误；悬线的长度加可知记录l ＋r g 2π ＝T 摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式的摆长偏大时，测得的重力加速度也偏大，C 正确． 答案： C 4、单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是 ( ) A ．摆线质量不计 B ．摆线长度不伸缩 C ．摆球的直径比摆线长度短得多 D ．只要是单摆的运动就是一种简谐运动 解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A 、B 、C 正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<10°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动． 答案：ABC

单摆受力与摆角关系的研究

一、实验目的 1．研究不同起始摆角单摆的受力情况 2．研究大角度下阻尼对单摆摆动周期的影响 二、实验原理 1，绳的张力 如图１，从小球受力分析中可知, 小球受两个力的作用:重力mg 和绳的拉力T。设单摆初始释放角度为θ０，摆动过程中某一角度为θ．根据牛顿第二定律，可知: （１） 由机械能守恒关系得： （２） 式中ｈ０为初始摆角θ０时摆球离最 低点高度，ｈ为摆角θ处的高度，又: 图（一）ｈ＝Ｌ（１－ｃｏｓθ） ｈ０＝Ｌ（１－ｃｏｓθ０） 代入式（２）可得: （3） 联立式（１）可得 Ｔ＝ｍｇｃｏｓθ＋２ｍｇ（ｃｏｓθ－ｃｏｓθ０） ＝ｍｇ（３ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ０）（4）

当θ＝θ０，即单摆位于最高点时，由式（4）知 Ｔ０最小＝ｍｇｃｏｓθ０，此时绳中张力最小。 当θ＝０，即单摆位于最低点时，由式（4）知 Ｔ０最大＝ｍｇ（３－２ｃｏｓθ０），此时绳中张力最大。 单摆绳中张力与绳子长度Ｌ无关，无论摆球的初始角度如何， 张力表达式都相同。ma= - mg sinθ 即, 2，大角度下阻尼对单摆张力的影响 在大角度情况下摆动周期做，会引起了多次摆动后阻尼累积带来的影响。在多次摆动中，可以把第一次摆动近似为无阻尼摆动。此后单摆的摆动角度会逐渐减小，摆动情况会接近越来越接近小角度。由于数学推导多次摆动后的单摆所受的张力较难。可通过拉力传感器直接测量、观察。 三、实验装置 1，铁架台，绳子，摆球，力传感器

四、实验步骤 1，按实验装置图连接实验装置，调节铜管口方向，和拉力传感器的位置，使静止时单摆线成一直线。 2，测量用螺旋测微计小球直径，用米尺测量摆长，用力传感器测量小球重力。 3，打开力传感器，把摆球拉高到一定角度，静止释放小球，记录力传感器受到的拉力。比较测量值与理论值的误差。画出 θ０—T最高图及θ０—T最低图。 4，把摆球拉高到不同的角度，重复步骤2.比较不同角度下落的摆球对力传感器的拉力大小。观察多次摆动后单摆受力的改变 五、数据处理 1，把第一次摆动当作是无阻尼摆动，测量不同起始摆角条件下第一

【物理】1.4《探究单摆的振动周期》教案(粤教版选修3-4)

探究单摆的振动周期教案

摆是理想化模型），是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。 补充：机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为了减少阻力；第二个条件说到回复力。 提问：单摆的回复力又由谁来提供？ 2．单摆的回复力 要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。单摆从A位置释放， 沿AOB圆弧在平衡点O附近来回运动，以任一位置C为例，此时 摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分 解成切线方向分力G1和沿半径方向G2，悬线拉力T和G2合力必然 沿半径指向圆心，提供了向心力。那么另一重力分力G1不论是在O 左侧还是右侧始终指向平衡位置，而且正是在G1作用下摆球才能 回到平衡位置。（此处可以再复习平衡位置与回复力的关系：平衡位置是回复力为零的位置。）因此G1就是摆球的回复力。 回复力怎么表示？由单摆的回复力的表达式能否看出单摆的振动 是简谐运动？书上已给出了具体的推导过程，其中用到了两个近 似：（1）sinα≈α；（2）在小角度下AO直线与AO弧线近似相等。 这两个近似成立的条件是摆角很小，α＜5°。 在分析了推导过程后，给出结论：α＜5°的情况下，单摆的回复力为 满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。所以，

1.4 探究单摆的振动周期 教案

1.4 探究单摆的振动周期教案 （一）知识与技能 1、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 2、知道用单摆可测定重力加速度。 （二）过程与方法 通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。 （三）情感、态度与价值观 培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。 【教学重点】 通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。 【教学难点】 与单摆振动周期有关的因素。 【教学方法】 分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。 3、单摆的周期 （1）实验研究 问题：单摆的周期与哪些因素有关呢? 学生猜想：可能与振幅、摆球质量、摆长、重力加速度及空气阻力有关。 说明：在摆角很小，观察时间不长时，空气阻力的影响较小，可以忽略不计。 对比实验： ①当摆长为1ｍ时，使振幅A1=8cm，测出单摆的周期T1；当摆长为1ｍ时，使振幅A2=5cm，测出单摆的周期T1′。 ②当摆长为1ｍ时，使摆球质量为ｍ，测出单摆的周期T2；当摆长为1ｍ时，换用质量为2m的摆球，测出单摆的周期T2′。 ③当摆长为1ｍ时，使用一定的质量的摆球，测出单摆的周期T3；当摆长为0.64ｍ时， 1

2 使用质量相同的摆球，测出单摆的周期T 3′。 ④单摆的摆球用铁球（质量为ｍ），测出单摆的周期T 4；在单摆摆球的平衡位置下方放一块磁铁（相当于重力加速度增大）测出单摆的周期T 4′。（实验结果分析、比较） 结论：单摆摆动的周期与单摆的振幅无关，与单摆的摆长、重力加速度有关。 （2）周期公式 荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，定量得到：单摆做简谐运动的周期T 跟摆长L 的二次方根成正比，跟重力加速度g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。 g L T π2= 4、单摆的应用 （1）利用单摆的等时性计时 单摆振动的周期与振幅的大小无关，这一特点叫做单摆振动的等时性。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便。 （2）测定当地的重力加速度 单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以利用单摆能准确地测定各地的重力加速度。 引导学生阅读17页有关内容，了解用单摆测重力加速度的原理及实验误差的分析，了解减小实验误差的措施。 巩固练习 1、秒摆的周期是______（G =9.8 m/s 2时，秒摆的摆长大约是_______米 （取两位有效数字）。（参考答案：2s ，0.99m ） 2、关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是（ BCD ） A ．就是振子所受的合外力 B ．振子所受合外力在振子运动方向的分力 C ．振子的重力在运动方向的分力 D ．振子经过平衡位置时回复力为零 3、用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ） A ．不变 B ．变大

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究 摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。对单摆运动进行分析。其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。从而验证单摆周期公式。并对影响单摆周期的因素展开研究。最后总结出影响单摆周期的因素。 关键词：数学模型；单摆运动；周期公式 单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。单摆问题是物理学中经典问题。从阅读物理学史并可知道，早在1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。但现在这个故事的真实性受到怀疑,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。他还指出周期与摆球质量无关。他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens）。由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。事实上，反过来重力加速度是1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。他在巴黎用一个周惠更斯期为2s的单摆(即秒摆)，测出摆长为 3.0565英尺，从而计算出2 /2.9s g=。惠更斯于1657 年取得了关于摆钟的专利权。惠更斯最伟大的著作《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》于1673 年在巴黎问世。这本书共分5部分，第一与或第五部分讨论时钟，第二部分讨论质点在重力作用下的自由落体运动以及沿光滑平面或曲面所作的约束运动，并证明了在大摆动下约束在旋轮线上的物体等时降落的性质，第三部分建立渐屈线理论，第四部分解决了复摆问题。这是人类第一次系统地研究约束运动的论著。1659 年，在对单摆的研究中，他导出了摆动周期和沿着摆的长从静止开始的自由落体时间之间

1.4《探究单摆的振动周期》

§1.4《探究单摆振动的周期》学案 【学习目标】 1．利用实验探究单摆振动周期的决定因素； 2．利用实验探究单摆振动周期与各决定因素之关系； 3、利用单摆的周期公式测定当地的重力加速度。 【重点难点】 重点：1、学习实验探究周期决定因素的方法和步骤； 2、学会根据所收集的原始实验数据分析、探究规律的一种重要方法——控制变量法。 3、学会根据所收集的原始实验数据分析物理量之间数量关系重要方法——图像法。 难点：1、根据单摆的理想化条件恰当的构成单摆； 2、正确、准确地测量周期、摆长等物理量。 【学习方法】实验探究法 【基本知识点】 一．单摆的振动周期与哪些因素有关 1、 实验探究单摆周期决定因素的实验思想及方法步骤： 单摆的周期可能与哪些因素有关？ 可能与小球质量、振幅、摆长……… 怎样测摆长？用什么器材？怎样测周期？用什么器材？测量方法是什么？在什么地方启动秒表？ 针对猜想的因素设计记录数据的用的表格； 将各步收集的数据如实填入所设计的表格中。 观察数据表看能否得到某些结论； 作图法探究T 与相关物理量的定量关系。 同学们之间交流自己的探究结果：与什么因素无关？ 与什么因素有关？是怎样的数量关系？ 比较从T-l 图像得到的结论和从T 2-l 图像所得到的结 论，那一种更容易得到明确的时量关系？

二．单摆的周期公式 1、惠更斯在摆角很小时，推导的的周期公式为T=2。 2、对公式的理解： ⑴同一地点，g值一定，摆长如果不变，那么单摆的周期也一定。惠更斯正是利用 摆的等时性发明的摆钟。 ⑵利用公式说说我们常用的摆钟是怎样调时间的；注意鈡慢钟快与周期大小的关 系。注意中其大小与摆长的关系 三、追寻惠更斯的足迹 1、测定当地的重力加速度： ⑴测量原理：可推得 2 2 4l g T π =，应测的物理量有。 ⑵数据处理：①如果采用计算法应该怎么办？ （取各次测量的各次测量g值的平均值） ②如果采用图像法又该做出什么图像？ （应该作T2-l关系图像） 根据做出的图像又怎样计算重力加速度的数值？ （可推得， 2 2 4π T= g l，故求出T2-l图像的斜率k，则2 g=4πk） ⑶实验结果：g= m/s2. 2、**《推导单摆的周期公式》(多学一点) 仔细看书P.21 理解推导的过程。 【问题探究】1、本探究实验总体上采用的是什么方法？ （控制变量法，这在物理学实验中应用比较多。） 2、测量周期是正确的应当采用什么方法？ （微小量累积法：是指把多个相同的微小量累积起来测量总的量，从而可以得 到一个微小量的值，这种测量方法可以减小测量误差。这是比较简便而巧妙的 方法，在物理学实验中应用比较多。） 【课堂练习】课本：P.18 《家庭作业与活动》1、2、3随堂练习 4、5、6学生课后分析讨论 【课后检测】见下页

探究单摆周期与哪些因素有关

探究单摆周期与哪些因素有关（单摆第2课时教学设计） 长兴华盛虹溪中学沈卫忠 一、教材分析和处理 本节内容是通过实验探究单摆周期规律，是学生自主设计、探索的好素材，在本章中有着重要的地位。《课程标准》要求学生通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系。会用单摆测定重力加速度。为了研究周期与各种因素是否有关以及有怎样的关系，可以采用控制变量的方式进行定性和定量相结合的方案来研究这些关系。本节课的教学力求贯彻新课程体验，将课本演示实验改为探究性的学生分组实验。首先提出单摆的周期可能与哪些因素有关，让学生猜想，并设计实验验证让学生在获得知识的同时，体验科学探究过程，了解科学研究方法，发展探索自然的兴趣与热情，培养实验探究能力和交流协作能力。 二、学情分析 1．通过前面的学习，学生已经知道了单摆的概念，单摆的回复力等知识。也了解了单摆做简谐运动的条件。 2．高二学生已有一定的物理学科方法，如观察实验，控制实验，假说方法，从现象归纳规律等，可以实现教材渗透的方法教育意图 3.可能存在的困难：学生对实验的数据处理。 三、教学目标 1．知识与技能目标 （1）知道单摆周期与哪些因素有关。 （2）知道单摆的周期公式。 （3）能运用单摆的周期公式解答有关实际问题。 2．过程与方法目标 （1）通过单摆振动周期规律探究，培养学生猜想能力，实验设计能力，数据处理能力，交流协作能力。 （2）通过单摆周期公式的应用，培养学生运用物理知识解答实际问题的能力。 3．情感态度与价值观目标 （1）结合物理学史介绍物理学家对单摆的研究，法展学生对自然的好奇性，激发学生乐于探究自然的奥秘。 （2）在单摆周期规律的探究中，培养学生的交流协作精神，使学生体验科学探究的艰辛和喜悦。 四、教学重点和教学难点 1．教学重点：自足探究单摆的周期与哪些因素有关。 2．教学难点：定量实验，得出单摆的周期T与L的关系并对数据的处理。 五、教学方法和教学手段 1．教学方法：运用物理“科学探究”教学模式实施教学。 2．教学手段：学生实验与演示实验结合。 六、教学用具： 铁架台小钢球小木球长1m左右的细线秒表各25套

单摆周期原理及公式推导

关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂 直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向 及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ ③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回 复力. 单摆做简谐运动的条件 ①推导：在摆角很小时，sin θ＝l x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x （ｘ 表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长） ②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相 反，大小成正比，单摆做简谐运动. ③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线. 单摆周期公式推导 设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。 则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t 的二次导数）。对摆进行力学分析， 由牛顿第二运动定律，有 (m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ 即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0 令 ω = (g/l)1/2 ,有 θ’’ + (ω2)*sin θ = 0 当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有 θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0 该方程的解为 θ = A*sin(ωt+φ) 这是个正弦函数，其周期为 T = 2π/ω = 2π*√(l/g)

实验：探究单摆的摆长和周期的关系 (2)

实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系 1.实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度 g 的值. 2.实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示. 图1 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r . (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N (N 为全振动的次数)，反复测3次， 再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 3 3 .

(5)根据单摆周期公式T ＝2π l g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T 2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值. (7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因. 1.注意事项 (1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°. (2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放. (3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大. ②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次. (4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g 4π2.这是在众多的实验中经常采 用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理 处理数据有两种方法： (1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t N 求出周期；不改变摆长，反复测量 三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2l T 2求重力加速度. (2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g 4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ， 作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝Δl ΔT 2，即 可利用g ＝4π2k 求重力加速度. 图2

经典课件：2020年高考物理总复习课时作业五十三实验十一单摆的周期与摆长的关系

课时作业五十三实验十一：单摆的周期与摆长的关系 受迫振动和共振 (限时：45分钟) (班级________ 姓名________) 1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是 ( ) A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 2．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( ) A．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成了摆长 B．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，记为第0次，此后摆球第30次通 过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由计算式T＝t 30 求得周期 C．开始摆动时振幅过小 D．所用摆球的质量过大 3．(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于摆球形状不规则，无法准确测量摆长l，但摆线的长度l′可以准确测量．现使用同一摆球，多次改变摆线长度l′并测得每一次相应的摆动周期T.对于数据的处理方法，下列说法中正确的是( ) A．l′与T2不是直线关系 B．摆长l可以利用l′-T2图线求出 C. l′与T2是直线关系，在理论上，l′-T2直线的斜率与 l-T2直线的斜率相同 D．l′与T2是直线关系，在理论上，l′-T2直线的斜率与 l-T2直线的斜率不同 4．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦地探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题，在飞机机翼前装置配重杆的主要目的是 ( ) A．加大飞机的惯性 B．使机体更加平衡 C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率 5．(多选)一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )