第十讲 不等式的解法_数学

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文章标题： 《第十讲 不等式的解法》
发表日期：2003年2月19日 已经有1895位读者读过此文











一、知识要点
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，而不等式的性质是不等式同解变形的理论依据。
1、整式不等式（主要是一次，二次不等式）的解法是解不等式的基础，常用“数轴标根法”解整式不等式。
2、利用不等的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式、无理不等式、指数对数不等式化归为同解的整式不等式（组）是解不等式的基本思路。
3、解较复杂的不等式时常常运用分类讨论、换元引参、数形结合的方法。



二、例题解析
例1、不等式的解集为（ ）
A、[-2，2） B、（-1 ，2）
C、[ 0，2） D、（-∞，2）

解法一：用排除法,由不等式成立条件
知：x+2≥0，即x≥-2，排除D。
取x= -2代入，满足不等式，排除B，C 选A。

解法二：直接求解法,


0≤x<2 或 -2≤x<0 -2≤x<2，选A。

解法三：用数形结合法，如图，在同一坐标系中作出曲线C：
，直线 l：y=x

由图形可知，曲线C在直线l上方部分的点的横坐标的范围即为原不等式的解集： ,
选A。



例2、已知不等式的解集为（4，b），求a , b的值。

解：换元，令，则
原不等式化为
∵4 < x < b ∴
即二次方程的解为
从而2，是方程的两根
由韦达定理，得



例3、已知 a >0且a≠1,解关于x的不等式



解：化同底，换元转化为绝对值不等式，再对底数a分类讨论。原不等式化为：


即-2< t≤1或1< t <2，得-2 < t < 2
当a > 1时，
当0 < a < 1时,



例4、已知a > 0且 a≠1，求使方程有解的实数k的取值范围。


解：将对数方程等价转化为代数方程：

要使原方程有解，显然k≠0，且
满足x > ak，

∴实数 k的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）。




例5、设函数f (x)是定义在R上的减函数，
且
对一切成立，求实数a的取值范围。

解：由题设，只要恒成立，



∴ a的取值范围是（-∞，-1]∪[2，+∞）。


三、复习思考
1、设全集I=R，，，那么（ ）
A、 B、 C、 D、


2、不等式的解区间是（ ）



3、不等式的解集是



4、不等式的解集是


5、已知a > 0且a≠1，解关于x的不等式

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