基于焦点值曲线预测模型的数码相机自动对焦方法
基于焦点值曲线预测模型的数码相机自动对焦方法
邱立诚，傅楸善
台湾大学计算机科学与信息工程系
台湾，台北106
本文从点光源聚焦测量计算来模拟焦点值曲线。该模型表明：一个场景中的一个重点对象的值将在相机中形成一个单值钟形曲线。我们提出的自动对焦方法将采用该模型焦点子窗口选择性的预测焦点值曲线的峰值。对最佳聚焦透镜的位置的精准预测将大大缩短搜索时间。此外，在从相机反馈焦点值进一步考虑确定透镜的移位时去优化实际的耗时。通过实验，我们对焦点值曲线的模拟是准确的并且提出的自动对焦方法也缩短了整体的搜索时间。
关键词：焦点值曲线，对焦测量，自动对焦，子窗口，最佳聚焦透镜位置
1、引言
在过去的几年当中，全球的数码相机需求逐年增长。自动曝光（AE），自动白平衡(AWB)，自动对焦(AF)是低成本和高质量数码相机市场里面控制图像质量的三个关键技术。自动对焦主要是搜索最佳聚焦透镜位置，在高端的单反相机（SLR）里面采用了专门的距离传感器。为了降低成本，在低成本消费市场不采用该传感器，所以才提出了各种各样的自动对焦方法来提高搜索速度和聚焦精度。
详细的爬山法（EMC）[1,2]从一开始到最后透镜位置的确定一步一步地扫描了图像的焦点值。EMC是最准确的自动对焦算法，由于要搜索每一步透镜的位置，耗时就成了EMC的一大缺点。自适应变步长爬山法[3]通过动态镜头移动步长的选择减少了搜索的步骤，从而有效降低了EMC的搜索时间。从理论上说还不错，但在实际的运行中还有很大的局限性。例如，焦点值从摄像机芯片反馈期间需要一段时间来考虑镜头移动的步长。
除了搜索方法，还设计了各种焦点检测滤波器来提高搜索精度和缩短最佳聚焦位置的搜索时间。C. H. Park et al. [4]设计了一个使用更少系数的滤波器来降低焦点检测计算的耗时和保持较高的搜索精度。J. H. Lee et al. [5]提出两个阶段使用不同滤波器的搜索算法来避免旁瓣问题和进一步提高搜索精度，不幸的是，该方法需要额外的硬件而增加了成本。
根据焦点值曲线模型的点扩散函数，我们提出了模型预测的自动对焦方法。仅仅需要几个镜头位置的检测就能够预测焦点值曲线的峰值。第2节将讨论光学系统和相机摄像芯片的焦点检测计算之间的关系，实际的搜索时间和镜头电机转速也将在这一章来讨论。详细的自动对焦方法将在第3章描述。第4章将验证我们的自动对焦方法和在我们的原型相机里面来
演示他的性能，然后第5章将做一个总结和对未来工作的展望。
2、焦点值曲线的制定和耗时的评价
在以往的实验中发现，当一个对象聚集在一个固定的位置时，焦点值曲线总是形成一个钟形曲线，如演示图1（a），并且这个曲线的峰值就是对应的镜头最佳位置。如果有多个对象出现在一个场景，那么焦点值曲线就会出现多个峰值，如演示图1（b）。本节描述了场景中单个对象的焦点值曲线的形成，同时也表明多峰值的焦点值曲线是由一个个单一对象所对应的焦点值曲线结合而成。图像传感器所输出的噪声和镜头对焦电机与对焦滤波器之间的关系也将在本节讨论。
图1,(a)表示单个目标的焦点值曲线，（b）表示两个目标的焦点值曲线
2.1、光学透镜系统
由薄透镜法则知，点光源通过透镜系统将收敛到最佳聚焦位置的一个点。如果像平面不是在最佳聚焦位置，将在平面上形成一个园斑，叫做模糊圈（coc）。图2显示了简单的薄透镜系统和相应的模糊圈。用Q,D,L来分别表示图像距离、孔径大小、像平面的位置。根据几何光学，模糊圈的半径R定义为：
D
=*-（1）
R L q
q
R的大小可以确定聚焦的程度，R越小表明越接近最佳聚焦位置。
图2,光学系统中的模糊圈
从能量的角度来看，在镜头是理想的情况下，一个单位的点光源入射到透镜上，仍然有一个单位的光透过透镜系统，此外，圈内的亮度是均匀分布的。透镜系统对点光源的响应被称作点扩散函数（PSF ），理想的点扩散函数[6]被描述为：
(,)1ideal h x y dxdy ∞∞
-∞-∞=?? （2）
其中：
22210(,)x y R R ideal h x y π+=??=???，如果，其它
（3） 其中R 是COC 的半径。然而，真正的透镜并不是理想的，所以实际的点扩散函数被修改为：
22
2
(,)x y R G h x y +-= （4）
现在我们可以通过光学系统来显示图像：
(,)(,)(,)G G x y I x y h x y =* （5）
其中(,)I x y 是原始图像，(,)G x y 是经过透镜后的图像，*代表卷积运算。式子（5）表明透镜系统可以被视为一种光学模糊系统。
2.2、焦点值曲线
锐度预示着图像的高频分量可以通过高通滤波器，由此，高通滤波器通常用来提取图像的高频分量。在我们的设计当中，图像梯度、图像的一阶导数常被用来提取图像的高频分量而平方梯度用作焦点值的计算。设(,)G x y 是通过透镜的模糊图像，然后图像梯度为：
(,)(,)(,)x y G x y G x G G x y y G x y ???????????==????????
（6） 焦点值（FV ）表示为:
[]2
2x y FV G dxdy G dydx ∞∞
∞∞-∞-∞-∞-∞??=
?+??????? （7） 假设公式(5)中的原始图像是点光源，即狄拉克函数(7)可简化为：
2222222()2()22224444x y x y R R x y FV e dxdy e dydx R R ππ++∞∞∞∞---∞-∞-∞-∞=+????
22
22
22
)
y x
R R
e dy e dx
∞∞
--
-∞-∞
=+
??（8）由于几何对称性，焦点值方程可进一步计算：
2
1
FV
R
=（9）使用方程(10)和(11)：
2
ax
e dx
∞
-
-∞
=
?（10）
2
2ax
x e dx
∞
-
-∞
=
?（11）从（1）式知，R是由图像距离、孔半径、像平面的位置决定的。于是方程(9)可由下式给出：
2
2
2
q
FV
D L q
=
-
（12）
图3,厚透镜系统中的像差
方程(12)是在假设薄透镜是理想的情况下成立的。但是在实际当中，透镜系统不是一个薄透镜，他有光学像差。如图3所示，点光源通过透镜系统没有形成一个零半径大小的圆，这意味着COC是一个半径大于零的小尺寸圆。所以焦点值可归纳为：
1
2
c
FV
k x x
=
+-
（13）这里：
1
c: 恒定常数
x: 合适的透镜位置
x：最佳聚焦透镜位置
k: coc的最小半径（恒定）
式(13)表明：单个对象通过薄透镜以后经过焦点值计算可得到一个钟形曲线。很明显，透镜系统的孔径尺寸和光学像差将被视为常数，仅高通滤波器会影响焦点值曲线的功率。
通过上面的研究讨论，在不同位置的多目标焦点值曲线可表示为：
21n i i i i c FV k x x ==+-∑ （14）
其中：i 表示场景中的对象数目，方程(14)是(13)的拓展形式，同时论证了一个场景中的多个目标对应在焦点值曲线上有多个峰值。
2.3、噪声的影响和焦点值比
图像的聚焦测量如图（4）所示，结果表明，通过透镜的模糊图像将会在芯片中检测到另外的噪声。这种另外的噪声是一个附加的噪声震动，在焦点值曲线当中，相比高值区域会更加影响到低值区域的聚焦检测。这就意味着焦点值曲线的平坦区域不应该被用做预测过程来提高搜索精度。焦点值比r 的定义为：
r =当前焦点值上一个焦点值
（15） (,)(,)(,)G x y I x y h x y n =*+
图4,图像焦点值的计算流程
表1显示了焦点值曲线和焦点值比率的关系，1≦r 表1,焦点值曲线与焦点值比率之间的关系 焦点值是每一个像素的聚焦检测的总和，所以焦点值曲线将会受到传感器噪声的影响。为了进一步降低噪声的影响，定义了一个噪声阈值来消除累计起来的噪声。通过式子(6)计算的图像梯度值低于此阈值时将不被纳入后续的焦点值求和公式(7)当中。加阈值和不加阈值的焦点值曲线如图5所示，很明显，加了阈值的焦点值曲线更加平滑并且能够更好地接近真实 的焦点值。 图5,带噪声阈值的焦点值曲线和不带噪声阈值的焦点值曲线 2.4、镜头的移步和电机的转速 图像的聚焦检测是定期的计算，反馈的频率受到传感器的性能影响。在一般情况下，无论是互补金属氧化物半导体（CMOS）还是电荷耦合器件（CCD），反馈周期都会满足预期的要求。例如，每秒30帧，即每33毫秒的周期。 镜头电机转速是一个很重要的问题，必须考虑耗时的问题。一个每秒200脉冲的的电机每走一步需要5毫秒，但另一个每秒1000脉冲的电机每走一步只需要1毫秒的时间。如图6，无论是采用每秒200脉冲的电机还是采用每秒1000脉冲的电机，如果一个周期只走一步的话需要33秒的时间。这两个电机，200脉/秒和1000脉/秒，在一个周期内最多能够带动镜头走6步和30步。EMC在一个周期每移动一步需要更多的时间来等待下一个焦点值。为了缩短等待时间提高整体的搜索效率，镜头的移步和电机的转速是关键因数。 图6 3、本文提出预测性的自动对焦算法 从第2节的讨论，我们知道真实的场景当中不止一个对象，所以最后得出的焦点值曲线往往是有多个峰值。传统的方法是在多个峰值当中选择最大的一个峰值作为对应的最佳聚焦位置的选取，这就意味着一个对象的很多细节在一个场景当中将被视为最重要的。但是，一个对象的大多数细节在当前的自动对焦系统当中往往不是对焦的对象。例如人脸检测的自动对焦，人脸总是在自动对焦前就被确认为该场景中最重要的特征。还有一个例子就是用户自定义的目标自动对焦。所以，为了寻找最佳聚焦位置，聚焦对象往往是提前就从场景里面挑选出来。这样一来，在自动对焦期间从多个自动对焦窗口选择一个窗口将是一个独一无二的窗口，由此，焦点值曲线就必须是但峰值的曲线。我们的方法是基于窗口选择的自动对焦，具体过程细节如下： 我们的完整方案如图7所示。首先，方程（13）是我们用图像梯度滤波器来搭建的焦点值曲线模型。在整个搜索过程当中，只要滤波器不改变，我们的模拟方程也不会改变。为了更好的利用焦点值反馈的时间，镜头的移动步数是由电机的运转速率决定的。在这一阶段确定阈值来降低噪声对焦点值累积的影响。在整个搜索期间，这些预定义的参数均为常数。除了参数的初始化以外，应该在聚焦搜索前完成子窗口的选择。复杂对象的识别是一个比较大的话题，本文不涉及。由于用户常常把一个场景的中心作为该场景最重要的部分，所以我们把中心窗口作为我们的目标窗口。 在参数初始化之后才开始聚焦搜索。在一个周期当中镜头移动M步，同时摄像机芯片会计算对应子窗口的焦点值且得出与之相匹配的焦点值比率。如果焦点值比率位于1<=r 图7, 4、实验 在这一部分当中，我们提出的相机自动对焦方法应用到了我们的原型相机当中，如图8所示。我们的原型系统搭载了数码相机的所有功能，包括一个六万像素的CCD 传感器、图像信号处理芯片、5倍光学变焦镜头、200pps 的电机、2.5液晶显示器和USB 等等。 初始化 动对焦搜索 图8,多功能模型相机 在这个原型相机当中，图像梯度聚焦滤波器被用来计算和聚焦测量的累加，方程（13）是我们的焦点值曲线的模型。由于镜头电机是200pps的转速，所以把镜头的移步定位6步/周期。选择60分贝的噪声阈值来降低噪声振动和平滑焦点值曲线。在该系统里面，大多数的传感器使用该噪声阈值都可以获得比较满意的结果。中心窗口是进行聚焦测量累加的目标窗口。用我们的方法可以搜索三种不同距离的目标对象。图9、10、11显示了实际的焦点值曲线和通过预测曲线得到的公式（13）中的参数，这些参数被列在表2当中。表3列出了所有详细的爬山所消耗的时间。本文提出的方法与主动对焦[8,9]相比较发现我们所消耗的时间只有EMC所耗时间的六分之一，接近额外增加聚焦传感器的主动对焦所消耗的时间。 图9,（a）物距等于1米；（b）实际和预测的焦点值曲线 图10,（a）物距等于1.5米；（b）实际和预测的焦点值曲线 图11,（a）物距等于2米；（b）实际和预测的焦点值曲线 表2,未知参数的计算 表3,三种方法的耗时比较 单位：毫秒 5、结论和未来的工作 我们模拟单一对象的焦点值曲线并且发现仅仅改变聚焦滤波器就可以找到最有效的焦点值等式。虽然一般情况下的焦点值曲线有多个峰值，但是由于对焦系统通常是搜索特定的对象，所以通过子窗口的选择以后的曲线会变成但峰值的曲线。我们的方法是用子窗口来模拟焦点值曲线以用来预测在一个场景当中的最佳对焦位置。为了减少噪声的影响和去平滑曲线，聚焦测量的时候常常引进焦点值比和噪声阈值来提高预测精度。镜头电机的转动速率的引进是为了减少透镜的等待时间以进一步缩短搜索时间。实验结果显示良好，在我们原型相机中的耗时也接近实际的主动对焦方法的耗时。 虽然我们的方法通过了理论分析和实际的验证，但是在后面还会面对很大的挑战。当传感器的噪声太大的时候，曲线会明显不稳定，从而相对降低了预测的精度。为了预测精度，传感器噪声的进一步抑制是有必要讨论的。除此之外，在我们的方法中子窗口的选择会大大影响精度，于是在未来需要做进一步的研究。 参考文献： 1、K. Ooi, K. Izumi, M. Nozaki, and I. Takeda，基于准条件推理的相机自动对焦系统，IEEE Transactions on Consumer Electronics，36卷，1990，526-530页。 2、K. S. Choi, J. S. Lee, and S. J. Ko，含频率选择性加权中值滤波器的相机自动对焦技术，IEEE Transactions on Consumer Electronics，45卷，1999，820-827页。 3、J. He, R. Z. Zhou, and Z. L. Hong，改进的数码相机快速爬山搜索自动对焦算法和自适应步长搜索技术，IEEE Transactions on Consumer Electronics，49卷，2003，257-262页。 4、C. H. Park, et al，自动对焦滤波器的设计和实现自动对焦标准与滤波器之间的对应，IEEE Conference on Consumer Electronics，2000，250-251页。 5、J. H. Lee, et al，被动自动对焦算法在数码相机中的实现，41卷，1995，449-454页。 6、R. N. Bracewell，二维成像，Prentice Hall，Upper Saddle River，NJ，1995。 7、J. M. Tenenbaum，计算机视觉调节，1970年斯坦福大学计算机科学部分，博士专题。 8、N. Kehtarnavaz and H. J. Oh，基于规则自动对焦算法的发展和实时实现，实时成像，卷9，2003，197-203页。 9、Y. Yoshida, S. Shinohara,H. Ikeda ,K. Tada,H. Yoshida,K. Nishide and M. Sumi，在自动对焦相机当中使用半导体激光器控制透镜的位置，出自第34届中西部关于电路与系统的讨论会记录，卷1，1991，359-398页。 作者简介： 邱立诚： 2000年在台湾台北的国立台湾大学获得机械工程学士学位，2002年在国立台湾大学获得机械工程硕士学位，现在是该校计算机科学和信息工程的一名博士生，主要研究方 向为数码相机系统的设计和算法的研究。 傅楸善： 1983年在台湾台北的国立台湾大学获得计算机科学与信息工程学士学位，1987年在 宾夕法尼亚州立大学分校区获得计算机科学硕士学位，1992年获得哈佛大学计算机科学博士学位和剑桥大学文学硕士。1992到1993年，他在贝尔实验室从事网络电开关控制，且表现优异。1993年到2000年是台北台湾大学计算机科学与信息工程系的副教授，后来晋升为正教授，其当前的研究包括数字图像处理，计算机视觉，模式识别和缺陷检测、工业自动化、数字照相机、数字摄像机和相机组件方面的应用。 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。 圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二 . 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长 （2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三 其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为 的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一 圆锥曲线焦点弦问题 θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θ cos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +- =. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有 ep NF MF 211=+. 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θ θπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中， 若M 、N 在双曲线同一支上，θ θπθ2222 cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2 222 cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2； 2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点， 当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF + =. 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep 2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2 类型三：综合练习 1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为 （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线 A 和 B 且（其中为原点），求k 的取值范围。 2．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。 （1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值； 3．(1)椭圆C:122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)上的点A ），（231到两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程； (2)设K 是(1)中椭圆上的动点，F 1是左焦点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程； 对接高考（圆锥曲线） 1 、【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 12 ，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 2、【2015高考四川，文7】过双曲线2 2 13y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( ) ()2,0) :=l y kx 2?> OA OB O (A (B (C )6 (D 3、【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 4、【2015高考湖南，文6】若双曲线22 221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( ) A B 、54 C 、43 D 、53 5、设是椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线上一点，12PF F ?是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（） ()A 12()B 23()C 34 ()D 45 6、 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（） () A () B () C 4() D 8 7、【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭 圆C 交于A ， B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （I ）求椭圆C 的离心率； （II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； 8、【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A - . (I)求椭圆E 的方程； 12F F 32a x =30 焦点弦公式及其应用 焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用 在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错． 为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式． 设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简． １、当时,圆锥曲线为椭圆, ； ２、当时，圆锥曲线为抛物线, ． 图1 下面对焦点弦公式进行证明． 证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线L:上．由直线L和椭圆C的方程可得 ． 设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为 ∵焦准距为,∵．当时，公式也成立． 对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明． 证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，． ∵ ．即． 当时，同理可以推得． 利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下． 一、在椭圆中的应用 例1 （2008年高考安徽卷文科22题） 已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4． （∵）求椭圆C的方程； （∵）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证： （∵）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值． 解：（∵）由已知得，又，所以． 故所求椭圆C的方程为． （∵）因为直线AB倾斜角为，，，，。 由焦点弦，可得=得证． 三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 课题：探究抛物线中的焦点弦问题 【学习目标】： 探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法. 【问题探究】： 抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹. 问题一：已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB 问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，' ',A B 为,A B 在准线上的射影， 则' ' ?A FB ∠= （3）：' ' 90A FB ∠= （4）：以Q 为圆心，以'' A B 为直径的圆切AB 于F 点 (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′ (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y F′B′ A′Q 问题三、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'' ,A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？ （5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠ = 问题四、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：22 121 2,4 p x x yy p ==- 问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11 ?AF BF += （8）：112A F B F p += (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′Q P (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y 圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨 数学系2008级6班唐流聪 指导教师 XXX 摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。 关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点 On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems. Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point 1引言 圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用. 圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文 第 1 页 共 1 页 双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦） 双曲线 ()0,01- 2 22 2>>=b a b y a x 与直线m kx y l +=:相交于AB 两点，求AB 的弦长． 设 设()()2211,,,y x B y x A 则()()()2122122 1221241x x x x k y y x x AB -++=-+-= 将 m kx y +=代 入 1 - 2 22 2=b y a x 得： ( ) ??? ????---=?-=+∴=-2222 222212222212 22222222-20-2--a k b b a m a x x a k b km a x x b a m a kmx a x a k b () 2 2 2 2 2222 212 212 2141k a b m a k b ab k x x x x k AB -+-+=-++==∴． 双曲线与直线交点的判别式：() 2222224m a k b b a +-=?用来判断是否有两个交点问题． 面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ?．设C 到l 的距离为d ，则222222200200-1 21 21a k b m a k b ab m y kx k m y kx AB d AB S ABC -+?+-=++-==△． 直线与双曲线交点问题： （1）直线m kx y +=与双曲线()0,01- 2 2 2 2 >>=b a b y a x 有两个交点时， ( )04222222>+-=?m a k b b a ；() 04222222=+-=?m a k b b a ，有仅有一个交点； ()042 222 2 2<+-=?m a k b b a ，没有交点． （2）过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论： ①当a b x y ±=00时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条 渐近线平行的直线）；②当a x ±≠0时，且在双曲线外部，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）； ③当()0,01-220220>>>b a b y a x 时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率a b k ±=时， 有一交点，当直线斜率a b k ±≠时，有两个交点． 圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问 与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 圆锥曲线焦点弦公式及应用 湖北省阳新县高级中学邹生书 焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有 ；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有 。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为， 点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右 焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的 离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得， 所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜 角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴 左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代 入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式 ，代入公式得，所以所以，所以。 定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准 距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹 高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导 周华生 本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用。 定理1 若 AB 是椭圆 )0b a (b a y a x b :2222221>>=+Γ或双曲线 2222222b a y a x b :=-Γ或抛物线)0p (px 2y :23>=Γ的焦点弦，F 为焦点且λ=，（A 在B 之上），则弦AB 所在直线斜率k 满足 )1,0(1e ) 1()1(k 2 2 22 ±≠λ≠λ--λ+λ= （1） 证明：设AB 的倾角为α。 （1）当?<α<900时，l 为F 对应的准线，如图1对曲线1Γ： ?? ?α-α=±=+-=+-=+λ-λ== λ) F (cos e ) F (cos e |AB ||)BC |(e |BF ||AF ||)'BB ||'AA (|e | BF ||AF || BF ||AF |11,|'BB || 'AA ||BF ||AF |为右焦点为左焦点 所以2 22 2 )1()1(e sec -λ+λ=α，即1e )1()1(tan 2222--λ+λ=α。 （2）当?<α 与焦点弦相关的问题 8. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为 常数 1 1 2 ---- 1 ---- = --- I Af ； I IBf ； I ep 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 AB 在同支 Ill _ 2 IA 存 I IBFJ 一亦 AB 在异支I ________ I=Z IAFil IB 斤 I 一印 备用课件 拋物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 1 1 _ 2 IAF I + IBF ?~7p 备用课件 已知椭圆｝ +十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线交椭圆于力，B 两点、,是否存在 = λFA ? FB 恒成立?并由此求I AB \的最小值.（借用柯西不等式） FiB = 2.09 . AFI = 1.56 ?ie ?? FB = 3.54 JlJK AfiiF = 2.44 穌 FO ≡ 1.44 P = 2.89 米 一 + ”.—=— BF AF ep ?+?=0? 69l ^i ?, - = 0,69.Ψ??1 问题探究8 9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦 性质（定值2） 实验成果动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e1 ----- + ------- = -------- IABl ICDl 2ep 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e2 + = IABl ICDl 2ep 备用课件 问题探究9 2 2 已知椭圆丄- + 2- = 1, Fl为椭圆之左焦点，过点片的直线人 仏分别交椭圆于儿3两点和 C, Q两点，且厶丄心，是否存在实常数几，^IASI+ ∣CD∣ = 2∣ΛB∣?∣CD∣恒成立.并由此求四边形 =15.03凰米 B = 6.91 O 同支线段 a = C = 398 A?+?= 0?21,,,?^ 异支线段 A拖 B CD z°08,r^ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 _\2-e 2 I ? AB ?+? CD ?~ Iep 备用课件 - IBBiI的IE交焦点孩性J? J 0X 圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用.
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线焦点弦问题
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
双曲线弦长公式例题
焦点弦公式及其应用
与焦点弦相关的问题
圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)
圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的
双曲线的弦长公式与面积(不过焦点的弦)
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
圆锥曲线焦点弦公式及应用
高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式