ELM极限学习机相关

简单易学的机器学习算法——极限学习机(ELM)

一、极限学习机的概念

极限学习机(Extreme Learning Machine) ELM，是由黄广斌提出来的求解单隐层神经网络的算法。

ELM最大的特点是对于传统的神经网络，尤其是单隐层前馈神经网络(SLFNs)，在保证学习精度的前提下比传统的学习算法速度更快。二、极限学习机的原理

ELM是一种新型的快速学习算法，对于单隐层神经网络，ELM 可以随机初始化输入权重和偏置并得到相应的输出权重。

(选自黄广斌老师的PPT)

对于一个单隐层神经网络(见Figure 1)，假设有个任意的样本，其中，。对于一个有个隐层节点的单隐层神经网络可以表示为

其中，为激活函数，为输入权重，为输出权重，是第个隐层单元的偏置。表示和的内积。

单隐层神经网络学习的目标是使得输出的误差最小，可以表示为

即存在，和，使得

可以矩阵表示为

其中，是隐层节点的输出，为输出权重，为期望输出。

，

为了能够训练单隐层神经网络，我们希望得到，和，使得

其中，，这等价于最小化损失函数

传统的一些基于梯度下降法的算法，可以用来求解这样的问题，但是基本的基于梯度的学习算法需要在迭代的过程中调整所有参数。而在ELM 算法中, 一旦输入权重和隐层的偏置被随机确定，隐层的输出矩阵就被唯一确定。训练单隐层神经网络可以转化为求解一个线性系统。并且输出权重可以被确定

其中，是矩阵的Moore-Penrose广义逆。且可证明求得的解的范数是最小的并且唯一。

三、实验

我们使用《简单易学的机器学习算法——Logistic回归》中的实验数据。

原始数据集

我们采用统计错误率的方式来评价实验的效果，其中错误率公式为：

对于这样一个简单的问题，。

MATLAB代码

主程序

[plain]view plain copy

%% 主函数，二分类问题

%导入数据集

A = load('');

data = A(:,1:2);%特征

label = A(:,3);%标签

[N,n] = size(data);

L = 100;%隐层节点个数

m = 2;%要分的类别数

%--初始化权重和偏置矩阵

W = rand(n,L)*2-1;

b_1 = rand(1,L);

ind = ones(N,1);

b = b_1(ind,:);%扩充成N*L的矩阵

tempH = data*W+b;

H = g(tempH);%得到H

%对输出做处理

temp_T=zeros(N,m);

for i = 1:N

if label(i,:) == 0

temp_T(i,1) = 1;

else

temp_T(i,2) = 1;

end

end

T = temp_T*2-1;

outputWeight = pinv(H)*T;

%--画出图形

x_1 = data(:,1);

x_2 = data(:,2);

hold on

for i = 1 : N

if label(i,:) == 0

plot(x_1(i,:),x_2(i,:),'.g');

else

plot(x_1(i,:),x_2(i,:),'.r');

end

end

output = H * outputWeight;

%---计算错误率

tempCorrect=0;

for i = 1:N

[maxNum,index] = max(output(i,:)); index = index-1;

if index == label(i,:);

tempCorrect = tempCorrect+1;

end

end

errorRate = 1-tempCorrect./N;

激活函数

[plain]view plain copy

function [ H ] = g( X )

H = 1 ./ (1 + exp(-X));

end

ELM(Extreme Learning Machine)是一种新型神经网络算法，最早由Huang于2004年提出【Extreme learning

machine: a new learning scheme of feedforward neural networks】。

与SVM，传统神经网络相比，ELM的训练速度非常快，需要人工干扰较少，对于异质的数据集其泛化能力很强。

Huang在【Extreme learning machines: a survey，2011】这篇论文中对ELM进行了总结，包括最初的ELM算法和后来被发展延伸的ELM算法(比如在线序列ELM算法、增量ELM算法和集成ELM算法等)，里面的很多知识点值得学习。

ELM的原理

从神经网络的结构上来看，ELM是一个简单的SLFN，SLFN示意图如下：

该SLFN包括三层：输入层、隐含层和输出层（忽略输入层则为两层）。其中隐含层包括L 个隐含神经元，一般情况下L远小于N，输出层的输出为m维的向量，对于二分类问题，显然该向量是一维的。

对于一个训练数据样本，忽略输入层和隐含层而只考虑隐含层神经元的输出和输出层，则神

经网络的输出函数表达式为：ai和bi是隐含层节点的参数，

表示第i个隐含层神经元和输出神经元之间的连接权值，即它是一个m维的权值向量。公式里面的G是隐含层神经元的输出。针对加法型隐含层节点，G为：

其中，小g为激励函数，激励函数可以是线性函数，也可

以是sigmoid函数；针对RBF型隐含层节点，G为：ai和

bi分别表示了第i个径向基函数节点的中心和影响因子。

神经网络输出函数可以写成：，其中：

如果神经网络能够无误差的预测训练样本，那么隐含层和输出层的权值是有解的，特别的，当L=N时，肯定有解。但是实际问题中，L往往是远小于N的，那么求解权值向量的问题是无解的，即网络输出和实际值之间有误差，可以定义代价函数为：

接下来如何求解最优的权值向量，使得损失函数J最小呢

针对这个问题ELM分两种情况解决：

a.如果H是列满秩的，那么可以通过最小二乘找到最佳的权值，其解为：

，其中：

b.如果H是非列满秩的，则使用奇异值分解求解H的广义逆来计算最佳权值。

和BP使用梯度下降迭代更新所有层之间权值不同，ELM不调整SLFN的输入层和隐含层的权值，这些权值是随即设定的，因此ELM的训练速度非常快。ELM注重于隐含层到输出层的权值的选取，其采用的方法是最小二乘。

ELM算法一般可以描述如下：

在Huang的survey中描述了一种思想，该思想把SVM也看成了神经网络，该思想把神经网络的输入层到最后一层隐含层的部分或者SVM核函数映射的部分都看成了从输入空间到一个新的空间的转换，然后，BP会将误差反向传播更新权值使得误差最小化，而SVM则力求找到最大分界间隔的分界面，将新空间映射到输出空间，从这个角度来看，SVM确实可以看成是一种神经网络。

ELM最初算法就如上所述，从2004年至今，后来的学者对其进行了很多改进，主要包括对输入层和隐含层权值随即确定权值的优化、求解隐含层和输出层权值的优化（使得ELM更适应于噪声数据集）、核函数ELM以及加入了正则化项的损失函数（求解结构风险而不再是经验风险）、ELM和其他方法相结合等。ELM为神经网络的结构设计提供了一个新的思路，使我们更好地理解神经网络，但是还有很多问题需要解决，比如隐含层节点个数的确定，正则化项的选择等等。作为一个性能很好的机器，我们也可以将其应用到诸多交叉学科的应用中。

极限学习机（ELM）算法的matlab与C++实现

极限学习机的原理

极限学习机（Extreme learning machine，ELM）是单隐层神经网络的算法，其最大特点就是能在保证学习精度的前提下比传统的学习算法快。其结构如下图所示：

对于一个单隐层神经网络，假设有N个任意的样本(Xi,ti)，其中，

X i=[x i1,x i2,?x in]T∈R n t i=[t i1,t i2,?t im]T∈R m

一个有L个隐层节点的单隐层神经网络可以表示为:

∑i=1Lβi h(W i?X j+b i)=o j j=1,?,N

其中，h(x)为激活函数，W i=[w i1,w i2,?,w in]T

为输入权重，βi为输出权重，bi是第个隐层单元的偏置。Wi·Wj表示Wi和Wj的内积。单隐层神经网络学习的目标是使得输出的误差最小，可以表示为:

∑j=1N∥∥o j?t j∥∥=0

即存在βi，Wi和bi使得

∑i=1Lβi h(W i?X j+b i)=t j j=1,?,N

可以矩阵表示为:

Hβ=T

其中，是H隐层节点的输出，β为输出权重，为T期望输出。

H(W1,?,W L,b1,?,b L,X1,?,X L)=????h(W1?X1+b1)?h(W1?X N+b1)???h(W L?X1+b L)?h (W L?X N+b L)????

β=????βT1?βTL????

T=????T T1?T TN????N×m

传统的一些基于梯度下降法的算法，可以用来求解这样的问题，但是基本的基于梯度的学习算法需要在迭代的过程中调整所有参数。而在ELM算法中, 一旦输入权重Wi和隐层的偏置bi被随机确定，隐层的输出矩阵就被唯一确定。训练单隐层神经网络可以转化为求解一个线

性系统Hβ=T。并且输出权重β可以被确定。

β∧=H+T

其中，H+是矩阵H的Moore-Penrose广义逆。且可证明求得的解的范数是最小的并且唯一。以一个简单的二分类为例，分别用matlab和c++实现。matlab代码如下：

traindata=load('');

feature=traindata(:,1:2);%特征

label=traindata(:,3);%标签

X=feature;

[N,n]=size(X);

L=100;

m=2;%二分类

W=rand(n,L)*2-1;%权重-1到1

b_1=rand(1,L);

b=ones(N,1)*b_1;

H=1./(1+exp(-X*W+b));

temp_T=zeros(N,m);

for i=1:N

if(label(i)==1)

temp_T(i,1)=1;

temp_T(i,2)=0;

else

temp_T(i,1)=0;

temp_T(i,2)=1;

end

end

T=temp_T*2-1;

beta=pinv(H)*T;

x_1=X(:,1);

x_2=X(:,2);

hold on

for i=1:N

if(label(i)==1)

plot(x_1(i),x_2(i),'.g');

else

plot(x_1(i),x_2(i),'.r');

end

c++代码如下，这里的矩阵运算采用Eigen工具包，最难的地方就是广义逆矩阵怎么求，参照网上的资源，代码如下：

#include

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

using namespace Eigen;

template

bool pseudoInverse(const _Matrix_Type_ &a, _Matrix_Type_ &result, double epsilon = std::numeric_limits::epsilon())

{

Eigen::JacobiSVD< _Matrix_Type_ > svd = (Eigen::ComputeThinU |

Eigen::ComputeThinV);

if () < ())

{

typename _Matrix_Type_::Scalar tolerance = epsilon * std::max(), ()) * ().array().abs()(0);

result = () * ().array().abs() > tolerance).select().array().inverse(),

0).matrix().asDiagonal() * ().adjoint();

}

rray().abs().maxCoeff();

rray().abs().maxCoeff();

result = () * (().array().abs() > tolerance).select().array().inverse(), 0)).matrix().asDiagonal() * ().adjoint();

}

return true;

}

int main()

{

ifstream trainfile;

("");

vector> traindata;

vector rowdata;

double temp[3];

while (!())

{

for (int i = 0; i < 3;i++)

{

trainfile >> temp[i];

(temp[i]);

}

(rowdata);

(), ());

}

();

MatrixXd feature(), 2);

VectorXd label());

for (int i = 0; i < (); i++)

{

for (int j = 0; j < 3; j++)

{

if (j < 2)

feature(i,j) = traindata[i][j];

else

label(i) = traindata[i][j];

}

}

int L = 50;xp() + 1;

H = ().inverse();

MatrixXd temp_T,T;

temp_T = MatrixXd::Zero(N, m);

for (int i = 0; i < N;i++)

{

if (label(i)==1)

{

temp_T(i, 0) = 1;

temp_T(i, 1) = 0;

}

else

{

temp_T(i, 0) = 0;

temp_T(i, 1) = 1;

}

}

T = temp_T * 2 - MatrixXd::Ones(N, m);

MatrixXd result(L,N);

pseudoInverse(H, result);

MatrixXd beta = result*T;

MatrixXd output = H*beta;

for (int i = 0; i < N;i++)

cout << T(i,0) << " ";

cout << endl;

for (int i = 0; i < N; i++)

cout << output(i,0) << " ";

return0;

}

极限思想及其应用

本科毕业论文（设计） 极限思想及其应用 学生姓名：孙金龙 学 号：071611140系 部：应用数学系专业：金融数学 指导教师：刘炎讲师 提交日期：2011年3月21日 广东金融学院 2008-JX16-

毕业论文基本要求 1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。 2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。 3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。 4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。 5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学生签名： 时间：年月日 关于论文（设计）使用授权的说明 本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务； 3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 本人同意上述规定。 学生签名： 时间：年月日

摘要 极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。 其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程做出初步的探索和分析。 [关键词]：极限思想；微积分；经济学

文献翻译-变分贝叶斯独立分量分析

(本科毕业设计论文) 毕业设计（论文）外文资料翻译 作者： 学科专业： 学号： 班级： 指导老师： 2014年6月

变分贝叶斯独立分量分析 摘要 信号的盲分离通过info-max 算法在潜变量模型中被视为最大似然学习潜变量模型。在本文我们提出一个变换方法最大似然学习这些模型,即贝叶斯推理。它已经被证明可以应用贝叶斯推理来确定在主成分分析模型潜在的维度。在本文我们为去除在独立分量分析模型中不必要的来源维度获得类似的方法。我们给一个玩具数据集和一些人为的混合图像提出结果。 1.引言 独立分量分析的目的是为一个基于概率性的独立原件找到一个表示法。实现这样的表示方法是给潜变量是独立约束的潜变量模型拟合一个数据。我们假设一个,有潜在的尺寸W ,观察到的尺寸P 和我们的数据集包含样本n 的模型M 。在ICA 方法中通常把潜在的维度称为“来源”。因此我们为独立生成潜在变量X 寻找模型表示，我们将任何给定的数据点n 带入 ∏== I i in n x p x p 1 )()( 假设高斯噪声,观察到的变量的每个实例化的概率,带入 )2 exp(2),,,(2μβ πβμβ--= n x n n n W t W x t p 其中W 是PXI 矩阵的参数,B 代表了一种逆噪声方差和u 是一个向量的方法。 1.1源分布 众所周知在独立分量分析,潜在分布的选择是很重要的。特别说明它必须是非高斯。非高斯源分布可以分成两类,那些积极的峰度或“沉重的尾巴”和那些消极的峰度或“光明的尾巴”。前者被称为超高斯分布，后者是亚高斯。如果我

们真正的源分布属于这两个中的任何一个类我们可以尝试分开。对于我们的ICA 模型,我们遵循?(1998)选择超高斯或者是亚高斯灵活的源分布。的运算结果的模型应用于两个可能发生的事。阿蒂亚斯选择了每个因素的混合物M 高斯模型 () ∏∑==?? ????=I i m m ni M m m n m x x N p 121 ,)(σπ }{m π是混合系数和每个组件是由一个意思毫米和方差q2m 。 阿蒂亚斯提到作为独立的因子分析模型。我们可能现在写下一个可能性,是一个函数的参数W,β,μ ()()()?∏==x x x t n n n n N n d p W p W p μβμβ,,,,,t 1 这个功能现在可以最大化的参数来确定独立的组件。传统的优化执行限制作为B 倾向于零。这种方法由贝尔和介绍了盲源分离作为信息最大化算法。与最大的关系可能是由不同的作者包括卡多佐指出(1997)和麦(1996)。 2.ICA 的贝叶斯形式主义 在本文中我们提出，按照推断模型的参数化的贝叶斯方法，而不是通过最大似然学习的参数。这要求我们把先验对模型参数。我们的目标是如何通过一个特定的选择我们的先验分布的显示P(W)我们可能自动判断哪些已经产生了数据源的数量。我们是主教的贝叶斯PCA （1999年），它的目的是确定在启发我们的方法主要子空间的自动维数。我们选择将噪音精密β，与以前的马, ()() b ββαββ，gam p = 这里我们定义伽玛分布 ()() ()τττ b a b a a a b -Γ= -exp ,gam 1 对于混合矩阵W ,我们认为高斯之前。特别是每一个的相关性输入可通过使用自动相关性确定（ARD ）来确定前（尼尔，1996；麦凯，1995年） ()() ∏∏==-=I i P p i ip N W p 11 1 ,0αωα

极限思想在高中数学及应用

极限思想在高中解题中的运用 宜宾县一中 雷勇 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 例1、过抛物线 )0(2 >=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,则q p 1 1+等于（ ） (A)a 2 (B) a 21 (C) a 4 (D) a 4 分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关 系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了， 它是弦的一种极限情形，因为 a OF p QF 41 = ==，而+∞→=q PF ，所以 a q p 41 1→+，故选择（C ）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。 例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A （ 2,n n ππ-） B （1 ,n n ππ-） C （0,2 π ） D （ 21 ,n n n n ππ--） x y F P Q O H A n A 1 A 2 A 3 S

数学中的极限思想及其应用

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用 Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. Keywords:the limit idea，application

分布式变分贝叶斯算法及其应用

分布式变分贝叶斯算法及其应用 随着现代通信技术、嵌入式系统、分布式计算系统的蓬勃发展,传感器网络上的分布式信息处理受到了越来越广泛的关注。为实现传感器网络上更加可靠更加鲁棒的信息处理,完全去中心化的分布式处理机制逐渐被提出。 在本文,我们考虑网络中的各节点使用自身采集的数据进行局部计算,并且与邻居节点进行少量的信息交换,从而实现完全去中心化的分布式信息处理。在当前的分布式信息处理的算法研究中,数据建模主要分为两种模式:频率建模和贝叶斯建模。 基于频率建模的分布式算法已被广泛研究,而基于贝叶斯建模的分布式算法则相对较少。一方面是由于贝叶斯模型本身相较于非贝叶斯模型会更复杂,研究的难度更高;另一方面是由于贝叶斯模型中的参数估计和推断问题往往是非常困难的。 虽然存在困难,但贝叶斯建模具有许多优点。首先,贝叶斯方法基于概率论能够对模型结构、参数和数据噪声的不确定性进行建模。 其次,通过贝叶斯法则我们能够推断未知参数、调整模型、从数据中学习并作出预测。关于分布式贝叶斯学习的研究具有很高的学术和应用价值。 然而在贝叶斯学习中,后验概率的计算通常存在困难。一种经典且广泛使用的近似方法是变分贝叶斯。 本文针对网络上的贝叶斯学习问题,系统地研究了分布式变分贝叶斯算法及其在联合稀疏信号恢复、鲁棒卡尔曼滤波和扩展目标跟踪问题中的应用。具体地,针对贝叶斯框架下的分布式推断/估计问题,本文提出了两种通用的分布式变分贝叶斯算法,可适用于一大类共轭指数族模型。

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数学毕业论文极限思想在中学数学中的应用

百度文库- 让每个人平等地提升自我 分类号 编号 毕业论文 题目极限思想在中学数 学中的应用 学院数学与统计学院 姓名x x x 专业数学与应用数学 学号3 研究类型x x x x x x 指导教师x x x 提交日期2013-5-10

原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：

目录 摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 0 关键字：极限思想中学数学教学 0 极限思想在中学数学中的应用 (1) 引言 (1) 1、极限思想的发展 (2) 最早的极限思想 (2) 极限思想的早期应用 (2) 2、极限思想在中学数学中的应用 (3) 在运动变化过程中把握极限位置 (3) 利用函数图像把握极限位置 (4) 极限思想在函数中的渗透 (5) 用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8) 总结 (9) 参考文献 (9)

极限思想在中学数学中的应用 x x （天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，） 摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学 Application of limit thought in mathematics teaching in high school Wang Hui (School of mathematics and statistics, Tianshui Normal University, Gansu, Tianshui, 741000,) Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help. Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school

基于变分贝叶斯算法的线性变参数系统辨识

CIESC Journal, 2018, 69(7): 3125-3134 ·3125· 化工学报 2018年 第69卷 第7期 | https://www.wendangku.net/doc/b58636822.html, DOI ：10.11949/j.issn.0438-1157.20171563 基于变分贝叶斯算法的线性变参数系统辨识 李寒霜，赵忠盖，刘飞 （江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122） 摘要：线性变参数系统 (LPV) 将多阶段、非线性的过程建模转化为线性多模型的辨识问题，是解决非线性过程建 模的一个有效手段。由于实际工业过程存在各种干扰因素，导致被建模系统呈现随机性及模型参数的不确定性。 针对这一问题，考虑采用变分贝叶斯 (VB) 算法对LPV 模型进行辨识。该算法首先给定参数相应的先验分布，通 过最大化目标函数的下界，从而估计得到参数的后验分布。不仅可实现对参数的点估计，同时量化了估计值的不 确定性。针对典型二阶过程和连续搅拌反应釜 (CSTR)，运用提出的算法进行仿真实验，表明了该贝叶斯估计方法 的优越性。 关键词：非线性过程；线性变参数系统；多模型；变分贝叶斯算法；参数估计 中图分类号：TP 301.6 文献标志码：A 文章编号：0438—1157（2018）07—3125—10 Identification of linear parameter varying systems with variational Bayesian algorithm LI Hanshuang, ZHAO Zhonggai, LIU Fei (Key Laboratory of Advanced Control for Light Industry Processes , Ministry of Education , Jiangnan University , Wuxi 214122, Jiangsu , China ) Abstract: Linear parameter varying (LPV) method is an effective tool for nonlinear process modeling, which converts modeling of multi-stage nonlinear complex process into identification of multiple linear models. Various disturbance factors in industrial processes result in stochasticity of system modeling and uncertainty of model parameters. Identification of LPV models was studied under the variational Bayesian (VB) framework. After prior probability distributions were assigned to variables and parameters, posterior distributions of these variables and parameters were estimated by maximizing lower limits of objective functions. This full Bayesian system identification approach not only provided point estimates of parameters, but also quantified uncertainty of estimation. Numerical simulation on typical two-stage process and continuous stirred tank reactor (CSTR) demonstrated effectiveness and superiority of the proposed method. Key words: nonlinear process; linear parameter varying system; multiple models; variational Bayesian algorithm; parameter estimation 引 言 实际工业过程大多呈现显著的非线性特性，并 且机理复杂，工况多变，很难采用单一模型描述过程的全局动态行为。线性变参数 (linear parameter varying ，LPV) 模型基于简单的线性结构，通过参数2017-11-23收到初稿，2018-02-05收到修改稿。 联系人：刘飞。第一作者：李寒霜（1992—），女，硕士研究生。 基金项目：国家自然科学基金项目（61773183，61573169）。 Received date: 2017-11-23. Corresponding author: Prof. LIU Fei, fliu@https://www.wendangku.net/doc/b58636822.html, Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (61773183, 61573169). 万方数据

极限思想在高中数学解题中的应用

极限思想在高中解题中的运用 多伦县第三中学 刘洪庆 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。 给大家介绍说明本文要用到的数学符号: ”。 “负向趋近于”表示③“”。 “正向趋近于”表示②““趋近于”。”表示①“a :a a :a : -→+→→ 举例: 大”。且比“正向趋近于”表示“11:1+→ 小”。且比“负向趋近于”表示“11:1-→ 例1、函数x x x x e e e e y ---+=的图象大致为（ ） 解析： x x x x x x x x e e e e e e e e y 11-+ =-+=--

当 +→0x 时，+→1x e ， -→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+ =∴02y 。 故排除B 、C 、D 。 选A 例2、函数x x x y --=226cos 的图象大致为（ ） 解析：当 +→0x 时，+→12x ， -→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+ =01y 。 当 -→0x 时，-→12x ， +→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→- =01y 。 排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D 例3、函数x x x f tan 2)(-=在?? ? ??-2,2ππ上的图象大致为（ ） 解析: 当-→2π x 时, +∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2, -∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项 当 +-→)2 (π x 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项 故选C 例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）

数列极限的运算性质

极限的运算 教学目标 1熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限. 2 ?理解和掌握三个常用极限及其使用条件?培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力. 3?正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想. 教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件. 教学过程 （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个 例1 ：求下列极限: 3^2 7n 3n (1) lim n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限. 生：可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限. 7- 0+ 0^- 0 7 师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？ 生；可以转化咸11啤JO的形式.分子、分母同时除臥" 心0 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何? 生：结果应该一样. 常用极限: 1 lim — =0,lim C=C , lim q n=0 (|q|<1 )来解决。 n 4n3 1 ,315 7 ----- 1 -------- p— 解‘原式牡叮山 lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~? lim4 - IL-KX* nf gfi 解：原式=lim肮— CO孑Z怕I?丿 Mi） 1 z 0-1 3 -lim I l旳

生；不能-因为limq" = 0中! 时，一般方法是把分子、分母同除以n的最高次為转化威求数列￡} 的极限问题. % rr^w 师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀耒大家分析、 判断正误. 0^~ 3 1-0 1 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限? |q|1 （二）先求和再求极限 例2求下列极限： 由学生自己先做，教师巡视.

【文献综述】极限思想在实际生活中的应用

文献综述 信息与计算科学 极限思想在实际生活中的应用 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里, 许多人尝试解决微积分理论基础的问题, 但都未能如愿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量. 而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚. 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解. 对有限和无限的对立统一关系还不明确. 人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法, 就不能适应变量数学的新需要, 仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系. 早在我国春秋战国时期, 中国就有了极限思想的萌芽. 在《庄子·天下篇》中有名家惠施(约公元前370-310年)提出的“至大无外谓之大一, 至小无内谓之小一”以及“一尺之锤, 日取其半, 万世不竭”的无限观. 在《庄子·秋水》中还有“至精无形, 至大不可围”的说法, 与惠施的观点相同. 在墨家的代表作 《墨经》中, 包含有一定的极限思想. 墨子(约公元前478-392年) 认为:“宇, 弥异所也”（《经上》）; 宇, 东、西、家、南、北”(《经说上》); “久, 弥异时也”(《经上》); “久, 古, 今, 旦, 莫”(《经说上》). “弥”有“遍”、“满”的意思, 可用来表示无穷. 墨子认为宇宙无边无际, 时间无始无终, 含有无穷大的观念. 而且, 墨家已用具体、形象的语言给出了“有穷”、“无穷”的定义. “穷, 或有前不容尺”(《经上》) . “穷, 或不容尺, 有穷; 莫不容尺, 无穷”(《经说上》). “或”指“域”, “穷”指一个区域向前量去只剩不到一尺的距离. 一个区域向前量去只剩不到一尺的的距离, 这是有穷; 如果继续量下去, 前面总是长于一尺, 就是无穷. 《墨经》中关于极限思想还有一个精辟的论述:“非半, 勿著斤则不动, 说在端”（《经下》）; “非著斤半, 进前取也, 前则中无为半, 犹端也; 前后取, 则端中也, 著斤必半, 毋与非半, 不可著斤也. ”（《经说下》）; “著斤”有“斫取”、“分割”的意思. 墨家认为把一段木棒不断地斫去一半, 当这种斫半的过程不能再进行下去的时候, “半”就变成了“非半”, 这是因为有“端”（点）存在的缘故. 而且他们还给出了得到“端”的两种方式： 一是“进前取”, 即设木棒长为, 如图1, 去掉的一半, 得, 去掉的一半AB AB AC AC 得, 去掉的一半得, 依此至无穷次, 便得到端点. 1AC 1AC 2AC A

数列极限的运算性质

极限的运算 教学目标 1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限． 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点 使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程 （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个 常用极限：n n 1 lim ∞→=0，∞→n lim C=C ，∞ →n lim q n =0（|q|<1）来解决。 例1：求下列极限： 1 45 37lim )1(323-++-∞→n n n n n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限． 生：可以分子、分母同除以n 3，就能够求出极限．

师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？ 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样． 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？

（二）先求和再求极限 例2求下列极限： 由学生自己先做，教师巡视． 判断正误． 生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n →∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的． 师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和． =12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件． 例3求下列极限： 师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策． 生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形． 生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．

极限思想和在数学中的应用

极限思想及其在数学中的应用 摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。 关键词：极限；求解方法；应用状况 Limit thought and its application in mathematics Abstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit. Key words:limit; Solution method; Application status

极限的产生与应用解读

目录 摘要........................................- 2 - Abstract ......................................- 3 - 引言..........................................- 4 - 1．极限思想的产生及发展.......................- 4 - 1.1极限思想的产生........................................... - 4 - 1.2极限思想的发展........................................... - 5 - 1．3极限思想的完善.......................................... - 6 -2、极限思想的概念及其性质.....................- 7 - 2.1极限的现代定义........................................... - 7 - 2.2函数极限的性质........................................... - 7 - 3 极限思想在解题中的应用......................- 7 - 3.1在开方方面的应用......................................... - 7 - 3.2 在求某一点的应用........................................ - 9 - 3.4 在解析几何中的应用..................................... - 12 - 4 探索极限思想在各个领域的应用............... - 1 5 - 4.1在物理学中的应用........................................ - 15 - 4.2 在化学中的应用......................................... - 16 - 4.3在建筑学中的应用........................................ - 17 - 4.4 在宏观经济学中的应用................................... - 17 - 4.4.1计划经济.......................................... - 18 - 4.5 在微观经济学中的应用................................... - 20 - 4.5.1完全竞争市场...................................... - 20 -参考文献..................................... - 22 - 致谢......................................... - 24 -

2014公务员考试行测技巧：极限思想在数量关系中的应用

2014公务员考试行测技巧：极限思想在数量关系中的应用 极限思想是行测考试中非常重要的一种思想，与之联系最密切的两种题型分别是“最不利原则”和“和定最值思想”，下面中公教育专家同大家一起学习一下极限思想的这两种题型。 先看简单的例子：21个三好学生名额分给5个班级 (1)若每个班级分得的三好学生名额各不相同，则分得三好学生名额最多的班级至少分了多少个名额? (2)若每个班级分得的三好学生名额各不相同，则分得三好学生名额最少的班级至多分了多少个名额? 中公解析：(1)求第一多最小，要使其他的量都达到最多。先均分，21÷5=4……1，可知这五个名额分配分别为6，5，4，3，2余1，因为每个班级分得的三好学生名额各不相同，所以余的1只能分给第一多，所以最终分得三好学生名额最多的班级至少分了7个名额; 求分得名额最少的班级即第五多的最大值，要使其他的量都达到最小。先均分，21÷5=4……1，可知这五个名额分配分别为6，5，4，3，2余1，因为每个班级分得的三好学生名额各不相同，所以余的1只能分给第一多，所以最终分得三好学生名额最少的班级至多分了2个名额。 这是一个最基础的和定最值问题，用到的就是极限的思想。对于和一定，求最值的问题，应把握的基本原则： (1)在和一定的情况下，求其中某个数的的最大值，就是让其余部分的值尽可能小。 (2)在和一定的情况下，求其中某个数的的最小值，就是让其余部分的值尽可能大。 接下来我们看一看在考试中出现的真题。 某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店? A.2 B.3 C.4 D.5 中公解析：典型的和为定值求最值问题。若想使排名最后的数量最多，则其他专卖店数量尽可能少。第五名为12个，则第四、第三、第二、第一分别为13、14、15、16个，则前五名的总数量为14×5=70个，则后五名的总数量为100-70=30个。求最小值的最大情况，让所有值尽可能接近，则第六到第十分别为8、7、6、5、4个。则排名最后的最多4个。 一副扑克牌54张，无论怎么抽，

考研数学数列极限内容概括及考点总结

考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论 （1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=.

（2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2,n n n x x x x n +<<=-=L ，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2,n n n x x x x n +-<<=+=L ，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111lim 1111212n n →∞?? +++ ?+++++??L L