梯度散度旋度公式总结

1-3 梯度散度旋度-公式總結

2.梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度的定义及公式表达梯度、散度和旋度的定义及公式表达 一、梯度是个向量 或表示为 二、散度是个标量 设有一个向量场 通量可写为 则散度 并有运算关系式

三、旋度是个向量 rotA或curlA 或可以写成 例如求F沿路径r做的功 矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流

说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA 点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。其计算也就是我们常说的“点乘”。散度是标量，物理意义为通量源密度。 散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式 梯度物理意义：最大方向导数（速度） 散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。 旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。 附：

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负). 一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯. 欧拉定理 在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做 欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 （1）分式里的欧拉公式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

(完整版)梯度、散度、旋度的关系

梯度 散度 散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改 变率。简单地说，流体在运动中集中的 区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 用以表示的量称为散度，值为负时为辐 合，此时有利于天气系统的的发展和增 强，为正时表示辐散，有利于天气系统 的消散。表示辐合、辐散的物理量为散 度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。 上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。 散度（divergence ）的运算法则： div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数) div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数) 旋度 设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy 的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即 rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。 行列式记号 旋度rot A 的表达式可以用行列式记号形式表示： 若 A=Ax·i+Ay·j ， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k

麦克斯韦方程中的梯度、散度、旋度

MAXWELL方程组 向量场数量场 有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场） 保守场=有势场=无旋场------环流等于零! 有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性! 3.含时磁场可以感生出电场 4.含时电场可以感生处磁场 上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处 （1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度； （2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。 （3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值； （4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\ 把不明白的字母列举一下： E 是电场强度矢量 D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+? B 是磁感应强度矢量 H 是磁场强度矢量 H=B+? 其中内在的联系是： D=εE B=μH

注意上面这些大写字母都是矢量 物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分 ▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来） ·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的 第一个说的是，电场的源是电荷。＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。 第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。 第三个公式，也是看微分形式。这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。负号是方向。这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。 第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。 、 倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。 向量场A，数量场u ▽称为汉密尔顿算子，▽·▽=▽2=△，

梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有：

而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：

梯度旋度散度Word版

梯度、散度和旋度 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一 下的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X 度”。 I.梯度的散度：

根据麦克斯韦方程有： 而

(5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度： 散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。

梯度、散度、旋度的关系

麦克斯韦方程组 向量场数量场 有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场） 保守场=有势场=无旋场------环流等于零! 有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性! 3.含时磁场可以感生出电场 4.含时电场可以感生处磁场 上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处 （1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度； （2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。 （3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值； （4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\ 把不明白的字母列举一下： E 是电场强度矢量 D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+? B 是磁感应强度矢量 H 是磁场强度矢量 H=B+? 其中内在的联系是： D=εE B=μH

注意上面这些大写字母都是矢量 物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分 ▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来） ·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的 第一个说的是，电场的源是电荷。＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。 第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。 第三个公式，也是看微分形式。这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。负号是方向。这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。 第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。 、 倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。 向量场A，数量场u ▽称为汉密尔顿算子，▽·▽=▽2=△，

关于梯度旋度和散度的直观理解 (1)

关于梯度、旋度和散度的直观理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负). 一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯. 梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是" 在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围, 学过微积分该知道甚么叫极限吧?) 纯量值最小处指向周围纯量值最大处. 而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度" 举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示, 纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后, 会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡. 散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场, 如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域), 在这个点上,向量场的发散程度, 如果是正的,代表这些向量场是往外散出的. 如果是负的,代表这些向量场是往内集中的. 一样,举例子: 因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象, 这

梯度、散度、旋度的关系

梯度 gradient 设体系中某处的物理参数(如、、等)为w，在与其垂直距离的dy处该为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为、或。 在向量微积分中，的梯度是一个。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的的情况，梯度只是，或者，对于一个，也就是线的。 梯度一词有时用于，也就是一个沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。 《现代汉语词典》附：新词新义 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。散度 散度（divergence）的概念： 在F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 div F=▽·F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改 变率。简单地说，流体在运动中集中的 区域为辐合，运动中发散的区域为辐

梯度散度旋度的关系

梯度gradient 处该dy为w，在与其垂直距离的设体系中某处的物理参数(如、、等)，也即该物理参数的变化率。如果参数梯度为w+dw，则称为该物理参数的为速度、浓度或温度，则分别称为、或。在向量微积分中，的梯度是一个。标量场中某一点上的梯度指向标量 场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧某一点最佳的线性近似。在这个意义Rn到R的函数的梯度是在氏空间Rn 上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的的情况，梯度只是，或者，对于一个，也就是线的。 梯度一词有时用于，也就是一个沿着给定方向的倾斜程度。可以通过 取向量梯度和所研究的方向的来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。内具有一阶连续，则Dz=f(x,y)在平面区域在二元函数的情形，设函数D，都可以定出一个向量对于每一点P(x,y)∈(δf/x)*i+(δf/y)*j 的梯度，记作gradf(x,y) 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y) 记为类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。 《现代汉语词典》附：新词新义 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 考试命题要讲究题型有变化，难易有～。依照一定次序分出的层次： 4. 散度 散度（divergence）的概念： 在F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合S，当S所限定的体积ΔV 以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 div F=▽·F

梯度、散度和旋度——定义及公式

梯度、散度和旋度——定义及公式 1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ） 哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为?。 三维坐标系下，有 =i j k x y z ????++???r r r 或者 (,,)x y z ????=??? 其中,,i j k r r r 分别为xyz 方向上的单位矢量。 2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义 梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。 (,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ??????=?=++=??????r r r 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。 2.2 梯度的性质 ?c=0 ?(RS)= ?R+?S 21()(),0R S R R S S S S ?=?-?≠ [()]()f S f S S '?=? 其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ） 散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。设矢量函数 =(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++r r r r 则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z ??????=?==++??????r r g g 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。 当0div f >r ，该点有散发通量的正源（发散源）； 当0div f

梯度_散度_旋度

提要 转行搞科研之后，发现最重要的是数学和物理。 偏导，方导，梯度，散度，旋度是高等数学的几个基本概念，在图形学中会经常用到，这里重新来学习一下，同时也当作一个记录。 偏导 定义：一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。 数学表示：函数关于变量x的偏导数写为或。偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的正体。 由定义可求得： 几何含义：偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。

例子：求z=x^2+3xy+y^2 在P（1,2）处的偏导数。 解： = 2x + 3y, = 3x + 2y. 将（1,2）带入得 = 8， = 7. 方向导数 定义：方向导数（Directional derivative）是一个多变量可微函数上的任意一点沿着某一向量方向的瞬时变化率。偏导数是沿坐标轴方向的变化率，方向导数是偏导数的概念的推广。 数学描述：设函数z = f(x,y) 在点p(x,y) 的某一邻域内有定义.自点P 引射线l ， 称为z 在f方向的偏导。其中。 梯度 定义：标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

数学描述：在二维情况下，设函数z=f(x,y),在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于D内某个点P，可以确定一个向量这个向量称为z在点P的梯度。记为gradf(x,y). 多维情况依次扩展。 假设有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场\phi给出的，即点(x,y,z)的温度是\phi(x,y,z)。假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。 考虑一座高度在(x, y)点是H(x, y)的山。H这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。 和方导的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。 散度 定义：散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。散度是个标量。 数学描述：设有一个向量场 一个区域内的通量为：

散度梯度旋度

散度，旋度，梯度的学习与探究 摘要：本论文主要介绍了梯度、散度与旋度的概念、性质以及相关公式，研究了它们的一些应用，其中包括共轭梯度法、斯托克斯定理等等。 关键词：梯度；散度；旋度；共轭梯度法 英文题目： Key word: 一引言：近年来,梯度、散度以及旋度广泛应用于地球物理学、生命科学、材料科学、遥感技术、模式识别、信号处理等领域,有着广泛而重要的应用背景,成为应用数学和系统科学的一个热门学科。而且物理学中，梯度、散度、旋度更加发挥了它的魅力所在， 二研究问题及结果 相关公式：设F ，G 为标量场，a ，b 为矢量场，并设它们连续且存在二阶偏导数。 grad()()F G F G F G +=?+=?+? grad()()FG FG G F F G =?=?+? div()()+=??+=??+??a b a b a b curl()()+=??+=??+??a b a b a b div()()()() F F F F =??=??+??a a a a curl()()()() F F F F =??=??+??a a a a div()()()()?=???=???-???a b a b a b a b

curl()()()()()()?=???=??-????-??a b a b b a a b+b a a b grad()()()()()() ?=??=??+??+???+???a b a b b a a b b a a b 2div grad ()F F F =???=? curl grad ()F F =???=0 div curl ()=????=a a 0 2curl curl ()()=????=???-?a a a a 1梯度 定义： 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn 到R 的函数的梯度是在Rn 某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。在二元函数的情形，设函数z=f (x,y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D ，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j ，这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j +(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

详细说明(梯度 散度 旋度)

详细说明（梯度散度旋度） 绘图 x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点 y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点 [xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是25x25的矩阵zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 计算函数值，zz也是25x25的矩阵 mesh(xx, yy, zz); % 画出立体网状图

x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是25x25的矩阵 zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 计算函数值，zz也是25x25的矩阵 surf(xx, yy, zz); % 画出立体曲面图 x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点

y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点 [xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是25x25的矩阵 zz=sqrt(xx.^2+yy.^2); % 函数变化，zz也是25x25的矩阵mesh(xx, yy, zz); % 画出立体网状图 x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上 取25点 y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上 取25点 [xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和 yy都是25x25的矩阵 zz=sqrt(xx.^2+yy.^2); % 计算函数 值，zz也是25x25的矩阵 surf(xx, yy, zz); % 画出立体曲面图 梯度