§3.1.1数系的扩充和复数的概念导学案
【学习目标】
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾及数系扩充必性。
(2)理解复数的有关概念以及符号表示;
(3)掌握复数的代数表示形式及其有关概念.
【重点难点】
重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念.
难点:复数的有关概念及应用.
【学法指导】
回顾以前学习数的范围扩充过程,体会数系扩充的必要性及现实意义;思考数系扩充后需考虑的因素,譬如运算法则、运算律、符号表示等问题,为本节学习奠定方法基础.
【知识链接】
1.前两个学段学习的数系扩充:N Z Q R
2.我们知道方程210x +=在实数集中无解,因为在实数范围内,没有一个实数的平方等于负数.联系从自然数到实数系的扩充过程,你能设想一种方法,使这个方程有解吗?
【问题探究】
探究一、复数的引入
引导1: 为了解决方程2
10x +=在实数集中无解的问题,我们设想我们引入一个新数 , 并规定:(1)=2i ;
(2)实数可以与i 进行加法和乘法运算:
实数a 与数i 相加记为: ;实数a 与数i 相乘记为: ;实数a 与实数b 和i 相乘记为: ;
(3)实数与i 进行加法和乘法时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i !
(4)i 的周期性:i 4n+1= ,i 4n+2= , i 4n+3= i 4n = .
引导2:复数的有关概念:
(1)我们把形如 ()R b a ∈,的数叫做复数,其中i 叫做 全体复数所组成的集合叫做复数集,常用大写..
字母 表示。 (2)复数的代数形式:
复数通常用小写字母 表示,即 ()R b a ∈,,这一表示形 式叫做复数的代数形式,其中 叫做复数z 的实部, 叫做复数z 的虚部。 点拨:当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时,可以适当地引入一些新的规定,譬如这里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律,但是切记引入的 规定要合理,要有一定的依据基础.
探究二、两复数相等
复数()R b a bi a z ∈+=,1与()R d c di c z ∈+=,2相等的充要条件
是 .
思考:(1)a +bi =1+i ?a=b=1成立吗?为什么?
(2)复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据 一般地,两个
复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.
现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?如果不对 应该怎样说?
点拨:考虑到一个复数是由其实部和虚部共同决定,所以两个复数相等的充要条件为实部 与实部相等且虚部与虚部相等.
探究三、复数的分类:对于复数()R b a bi a z ∈+=,
当且仅当0=b 时,复数z 表示:
当且仅当0,0==b a 时,复数z 表示:
当0≠b 时,复数z 叫做
当0,0≠=b a 时,复数z 叫做
点拨:将新生知识合理分类不仅便于后续学习的应用,还可以培养我们分类划归解决问题 的思想,也体现了知识形成的规范性.
探究四、复数集C 和实数集R 之间的关系
点拨:引入复数后,每一个实数都可以写成复数形式,即每个实数也是一个复数,因此引入 复数的过程相当于数系的再一次扩充,所以实数集R 和复数集C 的关系为R C ?. 【典例分析】
例1请说出复数i i i i 53,3
1,213,32---+-+的实部和虚部,有没有纯虚数? 引导:考虑复数的有关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈,a 叫实部,b 叫虚部. 解:
点拨:牢记复数的相关概念.
例2 实数m 分别取什么值时,复数()i m m z 11-++=是
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
引导:因为m R ∈,所以1m +,1m -都是实数,由复数(),z a bi a b R =+∈是实数、虚数、
()()()()
????????????非纯虚数
纯虚数虚数实数()R b a bi a ∈+,复数
纯虚数的条件可以确定实数x 的值.
解:
点拨:注意区分复数(),z a bi a b R =+∈是实数、虚数、纯虚数的条件.
例3 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中,,x y R ∈,求x 与y .
引导:因为,x y R ∈,所以由两个复数相等的定义,可列出关于x ,y 的方程组,解这个方程组,可求出x ,y 的值.
解:
点拨:两个复数相等,则实部与实部相等,虚部与虚部相等,实质上建立了两个等式关系,也即是相当于建立两个方程,解题时注意体会运用.
【目标检测】
1.判断下列命题是否正确:
(1)若a 、b 为实数,则z a bi =+为虚数;( )
(2)若b 为实数,则z bi =必为纯虚数; ( )
(3)若a 为实数,则z a =一定不是虚数; ( )
2.(2010四川),设i 是虚数单位,计算23i i i ++=( )
A-1 B 1 C -i D i
3.指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数? 72+,618.0,i 7
2,0,i ,2i ,85+i ,i 293- 实数:
虚数:
江苏省海头高级中学2014-2015学年第二学期周末训练(15) 高二数学试题(选修物理) (考试时间120分钟,总分160分) 1、设复数满足,其中为虚数单位,则 . 2、若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率______ 3、的二项展开式中,的系数是___________(用数字作答). 4、圆的极坐标方程为 ,则该圆的半径为 . 5、函数的最大值是 . 6、 P 为椭圆22 143 x y +=上的一点,M 、N 分别是圆22(1)4x y ++=和22(1)1x y -+=上的点,则|PM | + |PN |的最大值为 . 7、已知曲线的极坐标方程分别为和,则曲线交点的极坐标为 . 8、过点()0,4-作直线l 与圆0204222=--++y x y x 交于A 、B 两点,若AB=8,则直线 l 的方程为__ __ 9、从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为 . 10、某校学生在上学路上要经过2个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2分钟.则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的均值等于 分钟. 11、已知函数,下列四个条件:①②③
④,其中是的充分条件的是(填正确答案的序 号). 12、关于的方程至少有一个负实根的充要条件是. 13、小东购买一种叫做“买必赢”的彩票,每注售价10元,中奖的概率为,如果每注奖 的奖金为300元,那么小东购买一注彩票的期望收益是元.14、在证明恒等式时,可利用组合数 表示,即推得.类似地,在推导恒等式 时,也可以利用组合数表示推得。则 ______________. 15、已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量,并且在矩阵作用下将 点变换成点。(1)求矩阵; (2)求矩阵的另一个特征值,及对应的一个特征向量的坐标之间的关系; (3)求直线在矩阵作用下的直线的方程。 16、已知命题:≥0;:≤0()。 (1)若命题为真命题,求实数的取值范围; (2)若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围。 17、已知。 (1)若,,求∑ =- 2012 )1 ( i i i a的值;
附件 江苏省教授级中学高级教师 评审通过人员名单 一、南京市(17人) 高淳县湖滨高级中学夏季云物理 溧水县教学研究室黄本荣语文 南京航空航天大学附属高级中学蒋国和政治 南京师范大学附属中学孙小红地理 南京师范大学附属中学李晓晖音乐 南京师范大学附属中学徐险峰英语 南京市第十三中学张桂宁体育 南京市第一中学尤小平数学 南京市建邺高级中学胡云信语文 南京市江宁区教育局研究室叶平物理 南京市教学研究室官思渡音乐 南京市教学研究室杨昭政治 南京市金陵中学陈益化学 南京市金陵中学蒋桂林生物 南京市科利华中学高建君信息技术南京田家炳高级中学马春生化学 南京外国语学校谢嗣极语文
二、无锡市(5人) 江苏省锡山高级中学王汉权物理江苏省锡山高级中学张克中语文无锡市滨湖区教育研究发展中心吴伟昌语文无锡市第一中学顾军生物无锡市市北高级中学李树民地理 三、徐州市(10人) 江苏省丰县中学王素芬政治徐州高级中学秦晓华语文徐州市第八中学徐明物理徐州市第三十五中学赵伟数学徐州市第三中学张裕琴英语徐州市第一中学郭军英生物徐州市第一中学陈美兰政治徐州市贾汪区英才中学肖桂林化学徐州市铜山区铜山中学姚焕成历史徐州市中小学教学研究室徐永峰语文 四、常州市(8人) 常州市第一中学房宏化学常州市第一中学李金蛟数学
常州市第一中学陶兆宝物理 常州市第一中学陈宝祥语文 常州市教育教研室龚国胜政治 常州市教育教研室顾润生政治 常州市武进区教育局教研室徐惠仁政治 常州市中天实验学校仇定荣语文 五、苏州市(7人) 江苏省木渎高级中学钱家荣心理健康苏州市草桥中学校蒋玉红体育 苏州市第一中学校汪慧琴物理 苏州市教育科学研究院徐祥宝物理 苏州市教育科学研究院袁卫星语文 苏州外国语学校曹伦华英语 张家港市教育局教学研究室袁建中语文 六、南通市(13人) 海门市东洲中学陈铁梅美术 江苏省海门中学黄晏物理 江苏省南通中学姚天勇物理 江苏省南通中学周建民政治 江苏省启东中学陈仲刘语文
江苏省连云港新海高级中学2011-2012学年高一下学期期中考试试题 (物理) 、注意:本试卷満分100分,考试时间90分钟。请将选择题答案填涂到答题卡上,简答题和计算题答案填写在答题卷上。 一、单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。每小题只有一个选项符合题意。)1.最早对行星的运动作出全面而又准确地描述的科学家是 A.哥白尼 B.第谷 C.开普勒 D.牛顿 2.关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力,下列说法中错误 ..的是 A.物体除其他的力外还要受到一个向心力的作用 B.物体所受的合外力等于向心力 C.向心力始终不做功D.向心力的方向一直在变化 3.一物体以6m/s的线速度做匀速圆周运动,转动周期为2 s,则物体在运动过程中的任一时刻,速度变化率的大小为 A.3m/s2 B.0 C.4πm/s2 D.6πm/s2 4.把动力装置分散安装在每节车厢上,使其既具有牵引动力,又可以载客,这样的客车车辆叫做动车。而动车组就是几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组,就是动车组,如图所示。假设动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比,每节动车与拖车的质量都相等,每节动车的额定功率都相等。若1节动车加4节拖车编成的动车组的最大速度为120km/h;则6节动车加4节拖车编成的动车组的最 大速度为 A.120km/h B.240km/h C.360km/h D.480km/h 5.“天宫一号”宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动,它比地球同步卫星轨道 低很多,则“天宫一号”宇宙飞船与同步卫星相比 A.“天宫一号”宇宙飞船的线速度较小B.“天宫一号”宇宙飞船的周期较短 C.“天宫一号”宇宙飞船的向心加速度较小D.“天宫一号”宇宙飞船受到的万有引力一定较大 6.2009年9月14日上午9时20分许,我国海南航天发射场在海南省文昌市破土动工,标志着我国新建航天发射场已进入全面实施阶段。发射场建成使用后,对于优化和完善我国航天发射场布局,推动航天事业可持续发展具有重要战略意义。海南航天发射场主要用于发射新一代大型无毒、无污染运载火箭,承担地球同步轨道卫星、大质量极轨卫星、大吨位空间站和深空探测航天器等航天发射任务,预计于2013年建成并投入使用。这样选址的优点是,在
江苏省海州高级中学2020-2021学年高三第一学期1月调研考试 英语试题 第一部分听力(共两节, 满分30分) 做题时,先将答案标在试卷上。录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。 第一节(共5小题; 每小题1.5分, 满分7.5分) 听下面5段对话。每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。每段对话仅读一遍。 例:How much is the shirt? A.19.15 B.9.18 C.9.15 答案是C。 1.What does the man always do on Saturday? A. See a film. B. Have a class. C. Review his notes. 2. How does the woman deal with difficult lectures? A. By recording them. B. By talking with lecturers. C. By attending them again. 3. Where will the man fetch his notebook?
A. In the library. B. In the classroom. C. In the teachers’ office. 4. What kind of music does the man often listen to? A. Jazz music. B. Classical music. C. Rock music. 5. What are the speakers mainly talking about? A. Sarah’s happy retirement. B. The man’s art classes. C. Their hobbies. 第二节(共15小题,每小题1.5分,满分22.5分) 听下面5段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题将给出5秒钟的作答时间。每段对话或独白读两遍。听下面一段对话,回答第6和第7两个小题。 6. Why does the man apologize to the woman? A. He lost her dictionary. B. He made her desk dirty. C. He damaged her glasses. 7. What does the woman ask the man to do? A. Buy her an ice cream. B. Look up some new words. C. Tidy up her desk carefully. 听下面一段对话,回答第8和第9两个小题。 8. What makes the man change his appointment? A. An unexpected visitor.
高一(下)数学周练4 命题:张文花 审题:王哈莉 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共70分.请把答案填写在答题卡的相应位置上.) 1、计算:sin210°= . 2、在空间直角坐标系O xyz -中,点)3,2,1(P 关于xOz 平面的对称点的坐标是 . 3、已知扇形的半径长为2,面积为4,则该扇形圆心角所对的弧长为 4、已知3 4tan - =θ(0<θ<π),则cos θ= . 5、以点)13(, C 为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是 . 6、 如果 α α α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5,那么tan α的值为 . 7、函数f (x ) = 4 sin ??? ??+3π2x (x ∈R )的对称中心为 . 8、圆224640x y x y ++-+=与圆222430x y x y ++--=的公共弦所在的直线方程为 _______. 9、已知函数y = sin (ωx +φ) π(0,0)2 ω?><≤ 的图象如图所示,则点(ω,φ)的坐标是__________.
10、方程sin(x -2π)=lg x 的实根个数是__________. 11、过点(3,1)作一直线与圆22(1)9x y -+=相交于M 、N 两点,则MN 的最小值为 12、函数y = lg (sin x ) +216x -的定义域为 . 13、如果 sin α + cos α = 43,那么 sin 3α – cos 3 α 的值为 . 14.函数2sin 2cos y x x =+在区间2[,]3a π-上的值域为1[,2]4-,则a 的范围是 . 二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、已知角α是第三象限角, 求:(1)角 2 α是第几象限的角;(2)角2α终边的位置. 16、已知圆024102:22=-+-+y x y x M 和圆0822:22=-+++y x y x N 相交与B A ,两点.
'. 一、四星级普通高中(97所) 南京市(13所) 南京师范大学附属中学南京市金陵中学 南京市第一中学江苏教育学院附属中学 南京市第十三中学南京市中华中学 南京市第九中学南京师范大学附属扬子中学南京市行知实验中学南京市江宁高级中学 江苏省六合高级中学南京市宁海中学 江苏省高淳高级中学 无锡市(16所) 无锡市第一中学无锡市辅仁高级中学 江苏省锡山高级中学江苏省天一中学 江苏省梅村高级中学江苏省太湖高级中学 江苏省羊尖高级中学江苏省南菁高级中学 江苏省江阴高级中学江阴市华士高级中学 江阴市第一中学江阴市青阳中学 江阴市长泾中学江苏省宜兴中学 宜兴市第一中学江苏省怀仁高级中学 徐州市(5所) 徐州市第一中学丰县中学 江苏省郑集高级中学中国石化管道储运公司中学江苏省侯集高级中学 常州市(7所) 江苏省常州高级中学常州市第一中学 江苏省前黄高级中学江苏省武进高级中学 江苏省奔牛高级中学江苏省华罗庚中学 江苏省溧阳中学 苏州市(12所) 江苏省苏州中学苏州市第一中学 江苏省苏州第十中学苏州市第六中学 江苏省苏州实验中学江苏省梁丰高级中学 江苏省木渎高级中学江苏省昆山中学 江苏省太仓高级中学太仓市沙溪高级中学 江苏省常熟中学常熟市中学 南通市(11所) 江苏省南通第一中学江苏省如东高级中学 江苏省海门中学江苏省启东中学江苏省海安高级中学江苏省通州高级中学江苏省西亭高级中学江苏省如皋中学 江苏省白蒲高级中学江苏省平潮高级中学南通市第三中学 连云港市(4所) 江苏省新海高级中学江苏省海州高级中学江苏省灌云高级中学江苏省赣榆高级中学 淮安市(4所) 江苏省淮阴中学江苏省淮安中学 涟水县中学江苏省清江中学 盐城市(9所) 江苏省盐城中学盐城市第一中学 江苏省东台中学江苏省滨海中学 江苏省建湖高级中学江苏省射阳中学 江苏省响水中学江苏省上冈高级中学江苏省阜宁中学 扬州市(3所) 江苏省扬州中学江苏省邗江中学 江苏省江都中学 镇江市(4所) 江苏省镇江第一中学江苏省镇江中学 江苏省丹阳高级中学江苏省扬中高级中学 泰州市(7所) 江苏省泰州中学江苏省姜堰中学 姜堰市第二中学江苏省靖江高级中学江苏省泰兴中学江苏省黄桥中学 江苏省口岸中学 宿迁市(2所) 江苏省泗阳中学江苏省沭阳高级中学 二、三星级普通高中(113所) 南京市(7所) 南京市第四中学南京市第六中学 南京市人民中学南京大学附属中学