验证泊松分布近似二项分布的条件和结论

验证泊松分布近似二项分布的条件和结论

二项分布的泊松定理：

设0< p 〈1,如果p 充分小，自然数n 充分大，λ=np ，则对于每个k 〈= n ，有近似公式：b(k;n,p)≈λλ-e k k

!。

通常，我们取这个n 为10。以下，就针对n>=10的条件与结论进行验证。

在本文中，我们通过数学软件R 计算并在Matlab 上绘出相应的图形，对定理得条件和结论进行验证，为了使p 足够小，我们取p=0.09。作出当n = 5,n =10,n =20,n =30,n =50的情况下，二项分布与泊松分布的近似情况。

在R 软件上对n = 5,n =10,n =20,n =30,n =50上分别计算：

当 n =5时：

> x<-0:5

> y<-dbinom(x,5,0.09)

> y

[1] 0.6240321451 0.3085873245 0.0610392510 0.0060368490 0.0002985255

[6] 0.0000059049

> z<-dpois(x,0.45)

> z

[1] 6.376282e-01 2.869327e-01 6.455985e-02 9.683978e-03 1.089447e-03

[6] 9.805027e-05

在Matlab 上作图,并用折线连结。

>> x=[0 1 2 3 4 5];

>> y=[0.6240321451 0.3085873245 0.0610392510 0.0060368490 0.0002985255 0.0000059049]; >> z=[6.376282e-01 2.869327e-01 6.455985e-02 9.683978e-03 1.089447e-03 9.805027e-05]; >> plot(x,y,'ro',x,z,'bo',x,y,'r',x,z)

在R上计算y与z的差值：

> y-z

[1] -1.359601e-02 2.165466e-02 -3.520599e-03 -3.647129e-03 -7.909220e-04 [6] -9.214537e-05

当n =10时：

> x<-0:10

> y<-dbinom(x,5,0.09)

> y

[1] 0.6240321451 0.3085873245 0.0610392510 0.0060368490 0.0002985255 [6] 0.0000059049 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 [11] 0.0000000000

> z<-dpois(x,0.45)

> z

[1] 6.376282e-01 2.869327e-01 6.455985e-02 9.683978e-03 1.089447e-03

[6] 9.805027e-05 7.353770e-06 4.727424e-07 2.659176e-08 1.329588e-09 [11] 5.983146e-11

在Matlab上作图,并用折线连结。

>> x=[0:1:10];

>> y=[0.6240321451 0.3085873245 0.0610392510 0.0060368490 0.0002985255 ...

0.0000059049 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 ...

0.0000000000];

>> z=[6.376282e-01 2.869327e-01 6.455985e-02 9.683978e-03 1.089447e-03 ... 9.805027e-05 7.353770e-06 4.727424e-07 2.659176e-08 1.329588e-09 ...

5.983146e-11];

>> plot(x,y,'ro',x,z,'bo',x,y,'r',x,z)

用R计算二项分布与泊松分布的差值：

> y-z

[1] -1.359601e-02 2.165466e-02 -3.520599e-03 -3.647129e-03 -7.909220e-04 [6] -9.214537e-05 -7.353770e-06 -4.727424e-07 -2.659176e-08 -1.329588e-09 [11] -5.983146e-11

当n =20时：

> x<-0:20

> y<-dbinom(x,5,0.09)

> y

[1] 0.6240321451 0.3085873245 0.0610392510 0.0060368490 0.0002985255 [6] 0.0000059049 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 [11] 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 [16] 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 [21] 0.0000000000

> z<-dpois(x,0.45)

> z

[1] 6.376282e-01 2.869327e-01 6.455985e-02 9.683978e-03 1.089447e-03

[6] 9.805027e-05 7.353770e-06 4.727424e-07 2.659176e-08 1.329588e-09 [11] 5.983146e-11 2.447651e-12 9.178690e-14 3.177239e-15 1.021255e-16 [16] 3.063766e-18 8.616842e-20 2.280929e-21 5.702322e-23 1.350550e-24 [21] 3.038737e-26

在Matlab上作图,并用折线连结。

>> x=[0:20];

>> y=[0.6240321451 0.3085873245 0.0610392510 0.0060368490 0.0002985255 ...

0.0000059049 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 ...

0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 ...

0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 ...

0.0000000000];

>> z=[6.376282e-01 2.869327e-01 6.455985e-02 9.683978e-03 1.089447e-03 ... 9.805027e-05 7.353770e-06 4.727424e-07 2.659176e-08 1.329588e-09 ...

5.983146e-11 2.447651e-12 9.178690e-14 3.177239e-15 1.021255e-16 ...

3.063766e-18 8.616842e-20 2.280929e-21 5.702322e-23 1.350550e-24 ...

3.038737e-26];

>> plot(x,y,'ro',x,z,'bo',x,y,'r',x,z)

用R计算二项分布与泊松分布的差值：

> y-z

[1] -1.359601e-02 2.165466e-02 -3.520599e-03 -3.647129e-03 -7.909220e-04 [6] -9.214537e-05 -7.353770e-06 -4.727424e-07 -2.659176e-08 -1.329588e-09 [11] -5.983146e-11 -2.447651e-12 -9.178690e-14 -3.177239e-15 -1.021255e-16 [16] -3.063766e-18 -8.616842e-20 -2.280929e-21 -5.702322e-23 -1.350550e-24 [21] -3.038737e-26

当n =30时（部分操作程序同上，略）：

> x<-0:30

> y<-dbinom(x,5,0.09)

> z<-dpois(x,0.45)

在Matlab上作图,并用折线连结。

用R计算二项分布与泊松分布的差值：

> y-z

[1] -1.359601e-02 2.165466e-02 -3.520599e-03 -3.647129e-03 -7.909220e-04 [6] -9.214537e-05 -7.353770e-06 -4.727424e-07 -2.659176e-08 -1.329588e-09 [11] -5.983146e-11 -2.447651e-12 -9.178690e-14 -3.177239e-15 -1.021255e-16 [16] -3.063766e-18 -8.616842e-20 -2.280929e-21 -5.702322e-23 -1.350550e-24 [21] -3.038737e-26 -6.511580e-28 -1.331914e-29 -2.605919e-31 -4.886098e-33 [26] -8.794976e-35 -1.522207e-36 -2.537012e-38 -4.077341e-40 -6.326909e-42 [31] -9.490363e-44

当n =50时（部分操作程序同上，略）：

> x<-0:50

> y<-dbinom(x,5,0.09)

> z<-dpois(x,0.45)

在Matlab上作图,并用折线连结。

用R计算二项分布与泊松分布的差值：

> y-z

[1] -1.359601e-02 2.165466e-02 -3.520599e-03 -3.647129e-03 -7.909220e-04

[6] -9.214537e-05 -7.353770e-06 -4.727424e-07 -2.659176e-08 -1.329588e-09

[11] -5.983146e-11 -2.447651e-12 -9.178690e-14 -3.177239e-15 -1.021255e-16

[16] -3.063766e-18 -8.616842e-20 -2.280929e-21 -5.702322e-23 -1.350550e-24

[21] -3.038737e-26 -6.511580e-28 -1.331914e-29 -2.605919e-31 -4.886098e-33

[26] -8.794976e-35 -1.522207e-36 -2.537012e-38 -4.077341e-40 -6.326909e-42

[31] -9.490363e-44 -1.377633e-45 -1.937297e-47 -2.641768e-49 -3.496458e-51

[36] -4.495446e-53 -5.619308e-55 -6.834293e-57 -8.093242e-59 -9.338356e-61

[41] -1.050565e-62 -1.153059e-64 -1.235421e-66 -1.292882e-68 -1.322266e-70

[46] -1.322266e-72 -1.293521e-74 -1.238477e-76 -1.161073e-78 -1.066291e-80

[51] -9.596620e-83

结论：

可以发现，当n<10时，前边所列的n=5的情况下，定理的近似情况并不明显，而当n>=10时，随着k值得升高，二项分布与泊松分布几乎分布在了相同的概率上，特别是当n=50时，这种近似达到了一种很好的效果。由此我们可以推断出用泊松分布去近似二项分布所取的n>=10的假定是正确的。

社会统计学习题集--二项分布与正态分布.

第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定 第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验·关于总体成数的检验一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（正态）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( 显著性水平，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（大），原假设为真而被拒绝的概率越（小）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p视为（( np ，npq查表进行计算。 5．已知连续型随机变量～(0,1，若概率P{≥}=0.10，则常数= （）。 6．已知连续型随机变量～(2,9，函数值，则概率=（）。 二、单项选择

1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（ B ）。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差 2．二项分布的数学期望为（ C ）。 A n(1-np B np(1- p C np D n(1- p。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（ D ）。 A 大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。 4．假设检验的基本思想可用（ C ）来解释。 A 中心极限定理 B 置信区间 C 小概率事件 D 正态分布的性质 5．成数与成数方差的关系是（D）。 A 成数的数值越接近0，成数的方差越大 B 成数的数值越接近0.3，成数的方差越大 C 成数的数值越接近1，成数的方差越大 D 成数的数值越接近0.5，成数的方差越大 6．在统计检验中，那些不大可能的结果称为( D 。如果这类结果真的发生了， 我们将否定假设。 A 检验统计量 B 显著性水平 C 零假设 D 否定域 7．对于大样本双侧检验，如果根据显著性水平查正态分布表得Zα/2＝1．96，则当零假设被否定时，犯第一类错误的概率是( C 。 A 20% B 10% C 5% D．1% 8．关于二项分布，下面不正确的描述是（ A ）。 A 它为连续型随机变量的分布；

泊松分布的概念及表和查表方法

目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例

泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质

命名原因 泊松分布实例 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： 例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。 推导 泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

二项分布与正态分布 练习题

二项分布与正态分布 1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于1 3 的概率为( ) A.1 27 B.23 C. 827 D.49 解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于1 3的概率为P ＝ 1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为? ????233＝8 27.故选 C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和3 4，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中 恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×? ????1－34＋34×? ????1－23＝5 12 ，故选D. 3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B.35 C.18125 D.54125 解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23? ????352? ????1－35＝ 54 125 . 4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( ) A.2 9 B.49

C.23 D.79 解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 3 3＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 2 2＝8 种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79 .故选D. 5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的1 10，则此次数学考试成绩在100 分到110分之间的人数约为( ) A ．400 B ．500 C ．600 D ．800 解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2× 1 10＝45，所以P (100≤X ≤110)＝2 5，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×2 5 ＝400.故选A. 6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1 5， 则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝1 5，则在第一次闭合后出现红灯的条件 下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝1 512 ＝25 .故选C. 7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～ N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：

离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布

3二项分布、泊松分布与泊松逼近

二项分布、泊松分布与泊松逼近 雅各布·伯努利与二项分布公式 雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）来自数学史上的传奇家族—瑞士巴塞尔的伯努利家族，该家族的三代成员中产生了8位数学家，在17世纪和18世纪微积分理论及应用的发展中占有领先地位，雅各布·伯努利是其家族第一代数学家中的第一位，他与弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）、侄子丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）在数学史上享有声誉。 家族简介 在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见，其中，瑞士的伯努利（也译作贝努力、伯努利）家族最为突出。 伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一 代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。 老尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布（Jocob，公元1654～1705年）和第三个儿子约翰（Johann，公元1667～1748年）成为著名的数学家，第二个儿子小尼古拉（Nicolaus I，公元1662～1716年）在成为彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔尼的第一个法律学教授。 雅各布·伯努利

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布 [最新考纲] 1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．条件概率及其性质 设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发 生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 4．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a

机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)． 函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ

浅析二项分布与泊松分布之间的关系

学年论文 题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系 学生： 学号： 院（系）：理学院 专业：信息与计算科学 指导教师：安晓钢 2013 年11月25日

浅析二项分布与泊松分布之间的关系 信息121班; 指导教师：安晓钢 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。它们有着密切的关系。泊松分布是二项分布的特例。某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。 关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似 The Application of Asignment Poblem ABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality. KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate

数据分析-分布类别

各种分布 泊松分布 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积、单位体积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 特征函数为： 泊松分布与二项分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的。 泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若 ,其中n很大， p很小，因而不太大时，X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，某放射性物质发射出的粒子，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 卡方分布 卡方分布( 分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。n 个独立的标准

正态分布变量的平方和服从自由度为n 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成 一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution），即分布（chi-square distribution），其中参数n称为自由度。正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记为或者。 卡方分布与正态分布 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时，分布 近似为正态分布。对于任意正整数x，自由度为 k的卡方分布是一个随机变量X 的机率分布。 期望和方差 分布的均值为自由度n，记为E( ) = n。分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为D( ) = 2n。 均匀分布 均匀分布（Uniform Distribution）是概率统计中的重要分布之一。 顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。 (1) 如果，则称X服从离散的均匀分布。 (2) 设连续型随机变量X的概率密度函数为，则称随机变

二项分布与正态分布的特点及联系

二项分布与正态分布的特点及他们的联系 2008-05-23 09:22:10| 分类：数学|举报|字号订阅 正态分布的特点如下： 1．正态分布的形式是对称的，它的对称轴是过平均数点的垂直线，即关于x=u对称。 2．曲线在Z=0处为最高点，向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。从正负1个标准差开始，既向下又向外弯。拐点位于正负一个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸和接近，但不相交。 3．正态分布下的面积为1，过平均数的垂直线将面积分为左右各0.50的部分。正态曲线下的每一面积都可以被看成是概率，即对应着横坐标值的随机变量出现的概率。 4．正态分布是一族分布，它随着随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。但是所有的正态分布都可以通过公式Z＝(Xl—M)／S，转换成标准正态分布，即平均数为0，标准差为1的正态分布。 5．在正态分布曲线中，标准差与概率(面积)有一定的关系。 二项分布的特点如下： 1、二项分布的均值为np，方差为npq。 2、以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出： （1）、二项分布是一种离散性分布 （2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的。p>q 时，呈负偏态； 3、n->∞时，趋近于正态分布N(np,npq）

一般1/2np>=5且nq>=5时，二项分布就非常接近正态分布。 二项分布函数在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限，例如，求测验猜测行为的判断标准：在选择题测验中，通过二项分布计算得出被试凭猜测答对N道以上的概率。 阅读(744)|评论(0)

二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系

二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系 二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览8,9732 个回答猴子微信公众号：猴子聊人物之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中有哪些应用的例子，可以看我之前的《投资赚钱与概率》）。 今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。这个知识目前来看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。相比熟悉公式，我更想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜，还没有人讲清楚。今天，就让我来当回雷锋吧。 首先，你想到的问题肯定是：1. 什么是概率分布？2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？好了，我们先看下：什么是概率分布？ 1. 什么是概率分布？要明白概率分布，你需要知道先两个东东：1）数据有哪些类型2）什么是分布数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种。第1种是离散数据。离散数据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。例如掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要么是正面，要么是反面）。你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调到另一个数

值，同时每个数值之间都有明确的间隔。 第2种是连续数据。连续数据正好相反，它能取任意的数值。例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。 什么是分布呢？数据在统计图中的形状，叫做它的分布。 其实我们生活中也会聊到各种分布。比如下面不同季节男人的目光分布.。 各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地方。美女也看了，现在该专注学习了吧。现在，我们已经知道了两件事情：1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时间）2）分布：数据在统计图中的形状现在我们来看看什么是概率。概率分布就是将上面两个东东（数据类型+分布）组合起来的一种表现手段：概率分布就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。很显然的，根据数据类型的不同，概率分布分为两种：离散概率分布，连续概率分布。那么，问题就来了。为什么你要关心数据类型呢？因为数据类型会影响求概率的方法。对于离散概率分布，我们关心的是取得一个特定数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p(x=正面)=1/2而对于连续概率分布来说，我们无法给出每一个数值的概率，因为我们不可能列举每一

06二项分布及泊松分布

●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）： 将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验 ●二项分布（binomial distribution）： 是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。 ●Poisson分布（Poisson distribution）： 随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为 …的分布。 ★二项分布成立的条件： ①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。 ★二项分布的图形： 当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。 ★二项分布的应用 总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较 ★Poisson 分布的应用 总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。 ★Poisson 分布成立的条件： ①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。 Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX ★Poisson分布的性质 1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。 2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。 3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。 4、泊松分布具有可加性。 ★泊松分布的图形 当总体均数越小，分布就越偏态，当总体均数越大，泊松分布就越趋近正态分布。当总体均数小于等于1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当总体均数大于1时，P(X)值先增大而后变小，若总体均数取整数时，则P(X)在X=总体均数，和X=总体均数—1取得最大值。 ★二项分布和泊松分布的特性 1．可加性 二项分布和Poisson 分布都具有可加性。 如果X1，X2，?Xk 相互独立，且它们分别服从以ni，p（i=1,2, ?,k）为参数的二项分 布，则X=X1＋X2＋?＋Xk 服从以n，p（n=n1+n2+?+nk）为参数的二项分布。如果X1，X2，?，Xk相互独立，且它们分别服从以μi（i=1,2, ?,k）为参数的Poisson 分布，则X=X1＋X2＋?＋Xk服从以μ（μ=μ1+μ2+?+μk）为参数的Poisson 分布。 2．近似分布

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均 为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ?? ???，． 3 03 1464(0)55125P X C ???? ==?= ? ????? ∴； 12 13 1448(1)55125 P X C ???? ==?= ? ?????； 21 231412(2)55125P X C ???? ==?= ? ?????； 3 33 141(3)55125 P X C ???? ==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101 (2)15 C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 超几何分布和二项分布都是离散型分布

泊松分布推导

泊松分布推导 如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在18XX年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在18XX年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。 在一段时间t（比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如在1个小时内来200个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 也就是在单位时间内有k个学生到达的概率为： 其中为单位时间内学生的期望到达数。 问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的 一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。 二项分布很容易理解，比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是p，如果我们让他开10枪，如果每击中一次目标就得1分，问他一共能得几分？虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分k，但可以求出k的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8分的概率是30%……并且根据k的分布来判断他的枪法如何，这便是概率统计的思想。 具体计算的方法就是求出“得k分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第1发，而命中其余的9发”，它的概率是p的9次方乘上1-p。 X O O OO O OOOO O X O OOOOOOO O O X O OOOOOO …… 根据组合数性质，在种情况下，牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率。 同理，“得k分”的概率就是。而对于一个神枪手（p=1）来讲，他“得 10分”的概率就是1。 二项分布和泊松分布最大的不同是前者的研究对象是n个离散的事件（10次射击），而后者考察的是一段连续的时间（单位时间）。因此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。 如果我们把单位时间划分成n个细小的时间片，假设在每个时间片内牛仔都在射击，只

正确理解泊松分布

正确理解泊松分布 很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。虽然那个时候大家都会背“当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正的理解还有很大距离。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。 而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在18XX年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在18XX年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。 在一段时间t（比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如在1个小时内来200 个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 也就是在单位时间内有k个学生到达的概率为： 其中为单位时间内学生的期望到达数。 问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。

浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系

浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 1预备知识 1.1二项分布 在同一条件下重复做n次独立试验，每次试验只可能有两种对立的结果:A和A之一，并设在同一次试验中A发生的 概率是P (A) = p，00是常数， 则称X服从参数为兄的泊松分布，记为X一‘(刃。 泊松分布的重要性质是它的数学期望和方差都等于参数兄。 1 .3正态分布 设连续型随机变量x的概率密度为: I(x) _ 1- e 一J27rs (x一月产 2,5' -00 < x < +00，其中PIC为 常数，口>0，则称溯及从参数为从口的正态分布或高斯分 布，记为X一N(u,a2)。 正态分布的概率密度中的两个参数产和a，分别就是该分 布的数学期望和方差。特别地，当,t=O,a2 =1时的正态分 布.称为标准正态分布，记为X一N(0,1)，标准正态分布的 产 密度函数记为(Pkx) -了歹e2r‘，-0o < x <+00· 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。文献【1]指出，

二项分布与正态分布习题理含答案

一、选择题 1．某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是() A．0.18B．0.28 C．0.37 D．0.48 [答案] A [解析]C0.43·0.6＋C·0.44＝0.1792.故应选A. 2．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为() A．0.2 B．0.41 C．0.74 D．0.67 [答案] C [解析]设事件A为“预报一次，结果准确”P＝P(A)＝0.8，至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报，恰有4次准确；5次预报，恰有5次准确，故5次预报，至少有4次准确的概率为P5(4)＋P5(5)＝C×0.84×0.2＋C×0.85×0.20≈0.74.故应选C. 3．(2011·湖北理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝() A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 [答案] C [解析]本题考查利用正态分布求随机变量的概率． ∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝0.2，又μ＝2， ∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝0.5－P(ξ≥4) ＝0.5－0.2＝0.3.

4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是() A．()5B．C()5 C．C()3D．CC()5 [答案] B [解析]由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C()3·()2＝C()5＝C()5.故应选B. 5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是() A．[0.4,1) B．(0,0.6] C．(0,0.4] D．[0.6,1) [答案] A [解析]CP(1－P)3≤CP2(1－P)2,4(1－P)≤6P，P≥0.4，又01>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 [答案] D [解析]当μ一定时，曲线由σ确定，当σ越小，曲线越高瘦，反之越矮胖．故选D. 二、填空题 7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________． [答案]0.8