椭圆性质小结
椭圆的特殊性质
一、椭圆的几何性质（以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 2、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ， 连接OM 由已知有1PF FP =， M 为1F F 中点 ∴212OM FF ==()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222 x y a +=。 3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 4、过焦点F 的弦AB ， )(2112定值b a BF AF =+ 5、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点，则22 a b K K OP AB -=?（定值） 证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y 则()1202 x x x += ()1202 y y y += x x
22 1122 22 222211x y a b x y a b ?+=????+=?? ()()()()1212121222 ..0x x x x y y y y a b +-+-?+= ∵ ()()1212AB y y k x x -=-，00OP y k x =， ∴ 2 2A B O P b k k a ?=-。 6、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点，则M 、N 与对应准线的焦点张角为900 证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ???? ? ????? ，()1,0A a -，()2,0A a ∴()()100200,,,,A P x a y A P x a y =+=-uuu r uuu r 221122,,,a a A M a y A N a y c c ???? =+=- ? ????? uuuu r uuu u r ∵ 由于1A 、P 、M 共线 ，∴ 2 0001210() a y a x a y c y a y x a a c ?++=?=++ ∵ 由于2,,A P N 共线 ，∴ 2 0002220() a y a x a y c y a y x a a c ?--=?=-- ∴ 22 242200012222 000()() a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ?-?+-==?-+-， ∵ 2222 0002222201x y y b a b x a a +=?=-- ∴ 2422 1222 b a a c y y a c -=-?42b c =-， ∵ 2122,,a F M c y c a F N c y c ? ??=-? ???????? =- ?? ??? uuu r uuu r 4 122b FM FN y y c ??=+uuu r uuu r ∴ 0FM FN ?=u u u r u u u r ， ∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为900 7、圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定 x
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(<
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）
椭圆性质总结及习题
椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ?? ?==θθ s i n c o s b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； |PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max ,
最新椭圆标准方程及其性质知识点大全
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点
?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1；
椭圆的基本性质
课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换
椭圆的第一定义与基本性质的练习题
椭圆的第一定义与基本性质的练习题 1.椭圆2x 2 +3y 2 =6的焦距是 A.2 B.2(3－2) C.25 D.2(3+2) 2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0 椭圆的第二定义与性质的练习题 16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 18.设点A (－2，3)，椭圆16 2 x + 12 2 y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐 标是__________. 19.设椭圆 2 2a x + 2 2b y =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30° 的直线l 交椭圆于A 、B 两点. (1)求直线l 和椭圆的方程； (2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上. 20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程； (2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程. 2.2.2 椭圆的几何性质 【教学内容解析】 1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上 的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何 2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用. 3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用. 4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点. 【教学目标设置】 1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质； 能解释椭圆标准方程中,, a b c的几何意义； 2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型； 3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】 （1）学生已有的认知基础 本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. （3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化； 突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立b a 与椭圆圆扁程度的对应 关系，再利用b a 与 c a 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， 丰富学生的直观感悟与经历； 第十章 圆锥曲线 本章知识结构图 第一节 椭圆及其性质 考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究 椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型 预测2019年高考对本节考查内容为： （1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题. （2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标 准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线） 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1 ) 曲线f (x ，y ) ───────→ 关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ? ????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2 2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1 特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0 直接代入法 点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于 直线Ax ＋By ＋C ＝0对称 《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 椭圆常见性质 1. 11 || 1PF e d =< 2.PT 平分12PF F ?在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切. 5.设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ?在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ). 6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 7.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c . 8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c . 9.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c . 10.椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 11.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 12.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点. 13.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦半径公式: 1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 是P 点横坐标). 14.设P 点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记 12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2 PF F b PF PF S b θ θ?= =+ 15.若P 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点, 1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则 tan tan .22 a c a c αβ -=+ 16.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, 椭圆的基本概念及性质 适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域苏教版课时时长（分钟）120 知识点1、椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、椭圆的基本量. 教学目标1、使学生掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、使学生掌握椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法 教学重点1、椭圆的标准方程的求法； 2、椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法； 教学难点椭圆离心率的求法 教学过程课堂导入 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为1 2 ，焦距为8，则该椭圆的方程是________ 椭圆中的基本量a.b.c分别代表什么，离心率、准线方程的公式，标准方程的公式分别应该怎么求？下面进入我们今天的学习！ 复习预习 1、椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、椭圆的基本量. 知识讲解 考点1 椭圆的定义 平面内到两个定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于F 1 F 2 )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点F 1、F 2 间的距离叫做椭圆的焦距． 考点2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0，0) 顶点 A 1 (－a，0) A 2 (a，0) B 1 (0，－b) B 2 (0，b) A 1 (0，－a) A 2 (0，a) B 1 (－b，0) B 2 (b，0) 轴长轴A 1 A 2 的长为2a 短轴B 1 B 2 的长为2b 焦距F 1F 2 ＝2c 离心率e＝c a ∈(0，1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 相交于两点 11(,)A x y 、22(,)B x y ， 把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122 22=+b y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。 ●弦长公式： ① 212212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1（含M N F x y 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1) 第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个 定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2) 第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线l 的距离的比是常数e(0 (2)椭圆上一点P 与两焦点F1，F2构成△ PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)．( ) 典例 1】 (1)(2014 ·全国大纲卷改编 )已知椭圆 C ： x a 2＋ y b 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点为 F 1 、F 2，离心率 (3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆． ( ) (4) 已知点 F 为平面内的一个定点， 直线 l 为平面内的一条定直线． 设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l 的 5 距离，若 d ＝ 4|PF |，则点 P 的轨迹为椭圆． ( ) ［解析］ (1)错误， |PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点 P 的轨迹为线段 AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知 PF 1＋ PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△ PF 1F 2的周长为 2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁． (4)正确，根据 椭圆的第二定义． [答案 ] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 3．椭圆的焦点坐标为 (0，－6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为 ___ x 2 y 2 ［解析］ 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c ＝6,2a ＝20，∴ a ＝10，b 2 ＝a 2 －c 2 ＝64，故椭圆方程为 64＋ 100＝ 1. x 2 y 2 ［答案 ］ x ＋ y ＝1 64 100 x 2 y 2 4．(2014 无·锡质检 )椭圆4 ＋ 3 ＝1的左焦点为 F ，直线 x ＝m 与椭圆相交于点 A ，B ，当△ FAB 的周长最大 时， △ FAB 的面积是 ______ ［解析］ 直线 x ＝m 过右焦点 (1,0)时，△ FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a ＝8， 此时， |AB|＝2× b a 2× 3 22 C ： x a 2＋b y 2＝1(a>b>0)相交于 A ，B 两点，若 M 是 y 1－y 2 b 2 x 1＋ x 2 ＝－ 2 · x 1－ x 2 a y 1＋ y 2 12 ，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－ a b 2＝－ 12， ∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴ a 2＝2c 2，∴a c ＝ 22.[答案 ] 考向 1 椭圆的定义与标准方程 2． (教材习题改编 )焦点在 x 轴上的椭圆 x ＋y ＝1 的离心率为 10，则 m ＝ 5 m 5 ［解析］ 由题设知 a 2＝ 5，b 2＝m ，c 2 ＝5－m ， 1 2 ＝3，∴S △FAB ＝2×2×3＝3.[答案 ] 3 5． (2014 ·江西高考 )过点 1 M(1,1) 作斜率为－ 12的直线与椭圆 线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ［解析］ 设 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1－x 2 x 1＋ x 2 y 1－ y 2 y 1＋y 2 ＝ 0， a 2 b 2 ∵ y 1－y 2＝ x 1－ x 2 5－ m 5 2 5 ，∴5－m ＝2，∴m ＝3.［答 案］ b y 122 ＝1 椭圆的基本性质 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若 125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 椭圆性质总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1 >e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个 ?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ? ??==θθ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性 质： 椭圆定义及性质的应用 一、椭圆的定义 椭圆第一定义 第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. ★过点1F 作12PF F ?的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222 x y a +=. 推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ， 由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1 F M 中点，212OQ F M ==()121 2 PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222 x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题） 椭圆第二定义 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 推导过程： 2 200 a PF ed e x a ex c ?? ==-=- ? ?? ；同理得 10 PF a ex =+. 简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=＞ ＞的离心率为 3 ，过右焦点F且斜率为(0) k k>的直线与C相交于,A B两点．若3 AF FB = u u u r u u u r ，则k=（） A.1 D.2 B【解析】解法一：1122 (,),(,) A x y B x y，∵3 AF FB = u u u r u u u r ，∴12 3 y y =-，∵ 2 e=，设2, a t c ==，b t=，∴222 440 x y b +-=，直线AB方程为x my =.代入消去x，∴222 (4)0 m y b ++-=，∴ 2 1212 22 , 44 b y y y y m m +=-=- ++ ，则 2 2 22 22 2,3 44 b y y m m -=--=- ++ ，解得2 1 2 m=，则k= 0 k>. 解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11 , AA BB垂直于l， 11 , A B为垂足，过B作BH垂直于1 AA与H，设BF m =，由第二定义得， 11 , AF BF AA BB e e ==，由3 AF FB = u u u r u u u r ，得 1 3m AA e =, 2m AH e =，4 AB m =，则 2 1 cos 42 m AH e BAH AB m e ∠====，则sin BAH ∠=tan BAH ∠=，则k=0 k>.故选B. （离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为 6 π 的直线过椭圆)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x 的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3 AF BF =，求椭圆的离心率.2.2.2椭圆的几何性质
椭圆及其性质
(完整版)《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
椭圆常见性质
椭圆的基本概念及性质
椭圆标准方程及其性质知识点大全(供参考)
椭圆的定义与性质
椭圆的基本性质教学内容
椭圆性质总结
椭圆定义及性质整合