复变数习题一

习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

π/43513;;(2)(43);

711i i

e i i i i i

-++++++

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )

(z a a z a -∈+

); 33

3;;;.n z i

3.求下列复数的模和共轭复数

12;3;(2)(32);.2i

i i i +-+-++ 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．

5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤

6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+?+ ()2222Re z w z z w w -=-?+ ()22222z w z w z w ++-=+

并给出最后一个等式的几何解释．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

3

352π2π

;;1;8π(1);.

cos sin

7199

i

i i

i

+??

--+

?

+??

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)

的平方根.

9.设2π

e,2

i

n

z n

=≥. 证明：1

10

n

z z-

+++=

11.设Γ是圆周{:},0,e.i

z r r a c r

z cα

=>=+

-令

:Im0

z a

L z

b

β

?-?

??

==

??

?

??

??

,

其中e i

bβ

=.求出Lβ在a切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

(1)argπ;

(2);

1

(3)1|2;

(4)Re Im;

(5)Im1 2.

z

z z

z i

z z

z z

=

=

-

<+<

>

><

且

复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

小学一年级复韵母单元测试题

小学一年级复韵母单元测试题 班级：姓名：成绩： 一、写出由下列单韵母可以组的复韵母。 ɑ o e i u ü 二、你能给拼音宝宝找到家吗？ un enɡ zhi c si p u ei wu yi q r iu onɡ ye yuan yun 声母： 韵母： 整体 认读 音节： 三、按顺序填空。 b ( ) m ( ) ( ) t ( ) l ( ) k ( ) ( ) ( ) x zh ( ) ( ) r ( ) c ( ) ( ) ( )

四、把下列韵母表补充完整。 ɑ ( ) e i u ( )( ) ei ( ) ɑo ( ) ( )( ) üe er ɑn en ( ) ( ) ( )( ) enɡ ( ) ( ) 五、写出下面音节的韵母。 kāi ( ) xuě ( ) jú ( ) mǐn ( ) què ( ) jīnɡ ( ) hǔ ( ) jùn ( ) kǒu ( ) zhēnɡ( ) qǔ ( ) lǜ ( ) 六、把下面音节的声母写在（）里。 cǎo（ ) hiú ( ) zhuō ( ) ruì( ) xiónɡ( ) yǎnɡ ( ) 七、连线，挑选两种你喜欢的动物，把拼音抄在四线格上 fánɡ zi hú dié xiǎo niǎo qīnɡ wā

八、连线。 là zhú tài yánɡ qiān bǐ qì qiú九、请你把下面音节补充完整。 十、连一连. fēi jī xué xiào xiǎo hé yuè er 月儿小河飞机学校十一、知道这些动物爱吃什么吗？找一找连一连。

c ǎo y ú lu ó bo ɡǔ tou 十二、你能根据下面的图画写出复韵母吗？ 十三、根据汉字提示，给音节标声调。 轮 船 写 作 业 小 牛 排 队 lun chu ɑn xie zuo ye xi ɑo niu p ɑi dui you yon ɡ zhe zhi

一年级复韵母拼音练习

一年级复韵母拼音练习 一、读熟带调复韵母和单韵母。 uíài ti uìai ?ái u? áaǎi uǐ?i úǜí 二、熟读下列音节。 bɑi dɑi ɡɑi hɑi zhɑi cɑi fei bei pei mei lei nei dui tui cui rui chui sui 三、熟读下列音节词。 pái tài nǎi lái sài chái bai p?i mai f?i nai lai ɡuǐkuíhuìzuǐshuǐcuì 拼音练习14 一、复习带调复韵母。 üi uíài ti uìai yi ái u?ǎi uǐ?i 二、熟读下列音节。 duìmti huídǎi fyi hǎi nai mái wài zhu?chái ɡuüi kuài shuüi huái chuài 三、熟读下列音节词。 pái duìbái tùfyi j?cìwei küi huìhǎi dài mti lìhuíjiü dài shǔshūɡuìzuǐbɑlái huízhu?zhútuìbùqíɡuài kuài lax?shuài ɡuüi hái zi 拼音练习15 一、读熟带调复韵母。 ǎo ai iúiùào ái ōu iū áo uǐǒu uǐ?i ?u iǔ?u 二、熟读下列音节。 pɑo shɑo cɑo rɑo mɑo lɑo hou zhou lou mou ɡou sou jiu liu diu niu xiu qiu 三、熟读下列带调音节。 bào düo nǎo ɡào hǎo yǎo

dǒu t?u k?u chǒu yǒu zǒu niúdiūqiúxiùjiǔliǔ 拼音练习16 一、读熟带调复韵母。 ǎo ai iúiùào ái ōu iū áo uǐǒu uǐ?i ?u iǔ?u 二、熟读下列带调音节。 dào büo cài chái ɡǒu h?u jiǔniúkuízhu?nai mti y?u r?u sōu l?u diūshuǐ tiüo niǎo xiào piüo liáo jiào 三、熟读下列音节词。 jiǔcài niǔk?u bào zhǐ chǎo nào lǎo sh?jiüo ào ɡu?qiáo duōshǎo yüo qiú xiǎo cǎo tiào shuǐhǎi ōu 注意：下面划横线的音节为三拼音节。 拼音练习17 一、读熟带调复韵母和整体认读音节。 ?aitar i??y?r iyyr iatr yayuyy?yuaytyy 二、熟读下列音节。 yazi yuayátr duo yawǎn ?r ɡylu?yayyshùyuyhuì yuaqìy?ye yttù?r nǚ yúer yuaer huüer niǎo er 注意：划横线的为整体认读音节，只能直呼，不能拼读。 拼音练习18 一、熟练背诵复韵母 ɑi ei ui ɑo ou iu ie ?e 特殊韵母：er 二、熟读下列音节。 zìju?húdi?titlùtabi? píxuyyuaqiúbái xutxiüo mia máquatiào yuaquyshǎo zh?di?

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

第一章复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

小学一年级上册复韵母练习题

复韵母练习题 一、读一读，抄一抄。 ao ou iu 二、请你帮助小兔把音节完整的写下来。 三、读一读 1. hu ü er z ǎo z ǎo de k üi le 。 2. ni ú ni ú p üi p í qi ú。 3. b ǎo b ǎo z ài h y shu ǐ。 ao b m z

四、读读这首古诗，然后，背一背，做一做。 长cháng 歌g y 行xíng 百bǎi 川chuün 东dōng 到dào 海hǎi ，何h ? 时shí复f ù 西x ī 归guī 。 少shào 壮zhuàng 不b ù 努n ǔ 力l ì，老lǎo 大d à 徒t ú 伤shüng 悲byi 。 找出学过的复韵母，用红笔圈出来。 ie ?e er 五、你能根据下面的图画写出复韵母 吗？ 六、请你把下面音节补充完整， 七、连一连？ f yi j ī xu ? xi ào xi ǎo h ? yu a er 月儿 小河 飞机 学校 ?e j q x ( ) ( ) ( ) ie j q x ( ) ( ) ( )

八、把音节补充完整 y m ? h j 要门爷回家 你栽树，他培土， 我去提水。 九、图画音节连一连。 wū guī cì wei xǐ qua bái cài 十、知道这些动物爱吃什么吗？找一找连一连。 cǎo yú luó bo gǔ tou

十一、对号入座，读准音节选一选。 hu ǒ ni ú y óu xu y bi ǎo p ǎo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 十二、读一读，想一想，做一做。 看月亮kànyualiàng 初一看chūyīkàn ，一条线yītiáoxiàn ；初二三chūarsün ，眉毛弯m?imáowün ； 初五六chūwǔliù，挂银镰guàyínlián ；初七八c h ūq īb ü，像小船xiàngxiǎochuán ； 初九十chūjiǔshí，切半圆qiybànyuán ；十五六shíwǔliù，像玉盘xiàngyùpán 。 1.照样子，填一填。 弯弯的月亮像小船，圆圆的月亮像 。 2.你喜欢圆圆的月亮还是弯弯的月亮？能给它画张像吗？ 动动脑 筋啊！

人教版小学语文一年级上册复韵母ai ei ui 详细教案

ɑi、ei、ui教学设计案例 第一课时 教学目标： 1、学会复韵母ɑi、ei、ui及其四声，读准音，记清形，正确书写。 2、学习声母与ɑi、ei、ui组成的音节，能准确拼读音节，正确书写音节。 3、知道ɑi、ei、ui的标调位置。 4、能够看图说话，根据音节拼读句子。 5、能够自己拼读儿歌，做到词语连读。 二、教学重点： 学会复韵母ɑi、ei、ui，明确单韵母与复韵母之间的不同之处。 三、教学难点： 复韵母既不能读成两个音，也不能不表示口型变化的过程。 教学过程： 一、创设情境，激趣导入 1、复习单韵母 这是谁啊？对了，喜洋洋在跟你们打招呼呢？你们也跟喜洋洋问声好吧！（出示课件：喜洋洋） 看到你们这么聪明，喜洋洋要带我们去拼音乐园玩哦，拼音乐园有好多好玩的字母朋友哦，想不想去？生：想。（出示拼音乐园）欢迎小朋友来到拼音乐园，单韵母已经等了好久了，我们一起把这六个单韵母朋友读出来。（出示六个单韵母） 2、复习单韵母四声 同学们，这六位朋友来的时候，还戴了四顶小帽子呢?还记得四

声歌谣吗？生：记得。一起把四声歌谣朗读出来。一声平，二声扬，三声拐弯，四声降。这些单韵母朋友已戴上帽子，一起来边读边做动作。（出示ɑ、o、e、i、u、ü的四声）(用亲切有趣的导语，使枯燥的复习趣味盎然，同时利用创设的情境调动学生学习新课的积极性。) 二、熟读儿歌，引入新知 （一）读儿歌引出要学习的韵母。 1.多种形式读儿歌。如，老师大点儿声，学生小点儿声；老师小点儿声，学生大点儿声；谁能自己读一读等。 2、小朋友快看看，喜洋洋要带我们去学习3个复韵母和它们的拼音。单韵母ɑ、e、u最喜欢和i做朋友了。你看，它们在一起就成了ei ui，它们都是由两个单韵母合起来的，我们给它们取个名字叫复韵母ɑi。这节课我们就一起来学习复韵母ɑi ei ui（板书ɑi ei ui） 3.仔细观察一下，这3个韵母和我们以前学过的单韵母有什么不一样？你发现了吗？对呀！两个单韵母合在一起就组成了新的韵母，这样由几个字母组成的韵母就叫作复韵母。 (运用儿歌引出音节，引导学生去发现复韵母这个新知识。这样，可初步培养学生自主探究的学习能力。) （二）学习复韵母ɑi。 ɑ学习ɑi 1、看插图说话，引出ɑi：图上画了什么？（一个姐姐和一个弟弟）谁个儿高？谁个儿矮？（姐姐高，弟弟矮。） 2、ǎi是第几声？第一声该怎么念？板书：ɑi 3、教学ɑi的发音，认清字形。 ɑi 就是我们今天要学的第一个复韵母，“复韵母”念两遍。复韵母ɑi 是哪两个单韵母组成的？怎么把ɑ和i合

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++

人教版一年级语文上册复韵母aieiui教学

教学目标： 1学会3个复韵母ai ei ui和它们的四声，能够读准音，认清形，并能准确书写。 2、能够认读声母与ai ei ui 组成的10个音节，会拼读本课的复韵母音节，会读拼音词。 教学过程 第一课时教学要求：学会复韵母ai ei ui 的四声与书写。教学过程： 一、复习检查。 1、抽读字母卡片：a o e i u u。 2、复习单韵母的四声 (2)单韵母发音嘴巴不动，复韵母发音嘴巴要滑动：发第一个字母音后马 上要发下一个字母的音，中间不能停，要一口气完成? (3) ai怎样发音呢？它与单韵母的口形有什么联系？教师再示范并边讲边提问：嘴巴先怎么样?(先张大)为什么?(因为有个a)发a音后嘴巴马上滑动，滑动到怎样为止，为什么?(滑动到上下牙齿对齐，因为a后面有个i。) (4) 师生有节奏地双边活动： 师：ai ai怎样发？ 生：ai ai这样发，因为有个a,嘴巴先张大，因为有个i，牙齿再对齐，ai ai ai 。 师：口形很重要。 生：一定要记牢。 (5) 复韵母的标调规则

学习标调歌：有a不放过，没a找o e, iu 都有标在后。 （6）对照标调歌，仔细看认真想，复韵母ai怎样标调？同桌讨论讨论。 指名学生板书调号。 小结标调方法：按单韵母排列顺序标调。 （7）练读ai的四声 （二）学习复韵母ei （1）出示ei ，说说组成，想想我们应该怎样发音。（先读e，然后向i 滑行） （2）生自由练习试读，明确ei也由两个单韵母组成，因此，也叫复韵母。 （3）复习标调歌，指名说说调号应标在谁的头上 （4）练读四声 （三）学习复韵母ui （1）根据ai ei的发音方法，谁来说说我们应该怎样发ui? （2）学生自由试读 （3）学习ui的四声，强调调号标在i上，但上面的点要去掉。 （4）练读四声。 四、学习ai ei ui 的书写 1、指导观察，写的时候注意什么？（两个字母靠近） 2、练习描红 五、巩固练习。 1、抽读韵母卡片。 2、比较3个复韵母的异同。 3、读顺口溜。 四、作业］ 1、练读复韵母。 2、抄写ai ei ui 各两遍。 第二课时 教学要求：学习声母与复韵母的拼读，练读音节词。 教学过程： 一、复习检查 1、什么叫复韵母？读好复韵母要注意什么？ 2、复习复韵母ai ei ui 和它们的四声。 二、学习复韵母ai ei ui 的拼读。 1、复习声母。 2、复习拼音节的方法。 3、出示:

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

一年级汉语拼音过关测试卷

一年级拼音过关测试卷 一、我会按顺序写声母。（7分） 二、我能把这些单韵母组合成8个复韵母并按顺序写下来。（8分）ɑ o e i u ü 三、我会把拼音按要求送到小房子里。（12分） o p niu q ün ui b yun d inɡ sɑnɡ ri 四、我能把带有整体认读音节的气球圈出来。（7分） 五、照样子，写一写。（12分） 1、例：pu （p ）—（u ） huà（）—（）—（）jué（）—（） guàng （）—（）—（）qún （）—（） xù（）—（）juǎn （）—（）—（）2、例：h—u—hu q—ǚ—( ) h—u—ǎng—( ) ch—u—an—( ) x—üè—( ) l d k yuɑn yue ci wu zhi yɑn shu rui wen yin ye

n—ǚ—( ) l—üè—( ) 六、我会连。（5分） chábēi jǔzhònɡ zhīzhū chǐ zi chuī pào pɑo 六、我会把音节补充完整。（6分） íq h d w ɡ 七、读音节词，在正确的音节后面打“”。（6分） yuèli a n g ( ) shùyè( ) dòu jǐa o ( ) yuèliàn g ( ) shùiè( ) dòu jiǎo ( ) ěr dou ( ) jīn g yú( ) pìquí( ) ěr duo ( ) jīn yú( ) qìqiú( ) 八、把下面的音节连成词。（12分） lún guìrìtou xióng yáng shuǐchuán zhěn qiáo qīng chá jūn píng xiǎo shīshān māo shū jiàn chúchū rèwā 九、看图加声调。（10分）

复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i π ππ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i + 解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2 221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα ?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解： 3/4 11cos 3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) a ib + 解： 1ar 2ar 2 2 22 4 21ar 2 2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b i ctg a b i ctg a a i b a b e a b e a b e a b e ππ?? ?? ++ ? ? ?? ?? += += +?+?=? ?-+? (2) 3 i 解：6 226 36346323 2332 2322 i k i i i i k i e i i e e e e i π ππππππππ?? ??++ ? ???????+ ?????+ ??? ?=+ ?? ??====-+? ??=-?

一年级复韵母测试卷(二)(最新整理)

一年级汉语拼音测试卷（二） 姓名： 得分： 一、按要求书写韵母。（25 分） 单韵母： 复韵母： 特殊韵母： 二、我会拼，我会填。(15 分) d —u ì→（ ） m —ěi →（ ） j —üé→（ ） l —i è→（ ） q —üé→（ ） x —üé→（ ） l —üé→（ ） （ ）—āi →k āi （ ）—üé→xu é （ ）—ào →h ào （ ）—ōu →y ōu n —（ ）→n üe j —（ ）→jue q —（ ）→qu è x —（ ）→xi ě 三、给下面划横线的字音补充韵母。(20 分) n h t b t p z 你 和 他 白 兔 皮 子 xi y n zh f c 小 鱼 牛 爱 桌 飞 草 j h sh h x x ji 机 河 水 好 学 校 家

四、读音节，在整体认读音节下面画“”，在三拼音节下面画“～～～”。（20 分） yìzhīxiǎo niǎo tiào wǔyuè er yěxiào shīzi chīyú yào tǔcìsìhái shìyījiā 五、我会按要求给下面的音节戴上帽子。（12 分） tie fei mai lou (第三声) (第一声) (第四声) (第二声) qiao kou fou jue (第三声) (第一声) (第二声) (第四声) shui liu niu zhui (第四声) (第三声) (第二声) (第一声) 六、我能帮下面的汉字找到朋友。(8 分) 土骑吃大花在飞河 马米鱼地水家儿机

“” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

复变函数经典例题

第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但

在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则

由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简

复变函数习题解答

复变函数练习题解答 一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别<对于极点，要指明它 们的阶），对于无穷远点也要加以讨论. <1），<2） 解.<1）有奇点，因在扩充复平面上 有一阶零点，故有一阶极 点，易见0是的一阶极点的 极限点，因而0不是的孤立奇点. 解.<2）有奇点，因 0是的可去奇点，易见有一阶极点.事实 上

因而是的一阶极点的极限点，不是的孤立奇点. 二、考查函数的可微性和解读性，并求出导数<如 存在）. 解.因，，，， ，，故仅在两个点满 足条件，，因此函数处处不 解读，仅在两个点可导和可微，且， . 三、求出圆到半平面的共形映射，使符合条件 1．将圆映为圆， 2．因将半平面映为圆，故逆映射 将圆映为上半平面 3．将上半平面映为右半平面 4．上述三个映射的复合将圆映为半平面 ，且符合 条件.

四、证明：级数收敛，但不绝对收敛，提示，写成实 部和虚部. 因 其实部条件收敛，虚部绝对收敛 因此级数收敛，但不绝对收敛. 五、计算下列积分 <1） <2） 解.<1），事实上 <2）已知，为求，令，则原积分 ， 记，，则 六、设函数在区域内解读，试证

<1）设，则， <2）左 <3）由<2）和Laplace方程，知， 左， <4）由<3）和条件，知，左 <5）由<4）和知，右 <6）由<4）和<5）知，左=右. 七、设在内解读，且，，如果原点0是 的阶零点，则 <1）当时 <2） <3）如对于某一点，有，或者， ，那么，在内，其中是一复常数， 因原点0是的阶零点，故可以将在展成如下的幂级数，且， 记，则在内解读，， ， 设，，则由最大模定理知， ， 令，得，因此 （1）当时得证；

完整小学一年级复韵母单元测试题

班级：__________ 姓名：_______________ 成绩：_____________ 、写出由下列单韵母可以组的复韵母。 a o e i u u 二、你能给拼音宝宝找到家吗？ un en g zhi c si p u ei wu yi q r iu on g ye yuan yun 声母：_____________________________________________ 韵母： 整体_______________________________________________

认读_______________________________________________

首节： 三、按顺序填空。 b( ) m()() t ( ) l ( ) k

()()x zh ( ) ( ) r () c ()()() 四、把下列韵母表补充完整 五、写出下面音节的韵母 k a ( )xu e ( )j u( )m in ( ) qu e ( )j in g ( )h )j Cn ( ) k Su ( )zh )q )1 u ( ) 六、把下面首节的声母与在( )里。 c ao ( ) hi u ( ) zhu o () ru i( ) xi cn g ( ) y m g () 七、连线，挑选两种你喜欢的动物，把拼音抄在四线格上 f cn g zi h u d i e xi a ni a o q in g w a a ( ) e i u ()() ei ( ) co ()()() ()()en ue er a n en ()( )

复变函数习题答案,习题一

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ） (1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33 )sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

(完整版)部编版一年级拼音测试题

部编版一年级拼音测试卷 一、按顺序写声母。（7分） 二、把单韵母组合成8个复韵母。（8分） ɑ o e i u ü 三、按要求把拼音送到房子里。（12分） o p niu q ün ui b yun d in ɡ s ɑn ɡ ri 四、给整体认读音节涂上颜色。（7分） l d k yu ɑn yue ci wu zhi y ɑn shu rui wen yin ye

五、用“○”圈出三拼音节。（8分） yuǎn duō quàn suǒ xuě tiɑn jiānɡ lonɡ shuo jiǎ zhɑnɡ nuǎn 六、补充音节。（8分） l—üè→( ) r—( )—ɑn→ruɑn h—u—ó→( ) q—ǘn→( ) ( )—inɡ→minɡ x—ü—ǎn→( ) ch—én→( ) ɡ—u—（）→ɡuànɡ 七、连一连。（10分） chá bēi jǔ zhònɡ zhī zhū chǐ zi chuī pào pɑo mì fēnɡ jiǎn dāo tái dēnɡ dēnɡ pào dǎ diàn huà八、给下面的音节加上声调。（6分） 水牛shui niu天桥tiɑn qiɑo水田shui tiɑn 飞机fei ji左右zuo you六朵云 liu duo yun

九、找出正确的音节打上“√”。（6分） qié( ) níu( ) yǚ( ) xué( ) quán( ) lǜ( ) qióu( ) xu( ) dùi ( ) zoǔ( ) kǒu( ) ɡuèi( ) 十、在正确的音节下划“”。（4分） pínɡ zi lào zhōnɡ qān bǐ qì chē qínɡ zi nào zhōnɡ qiān bǐ qì cē 十一、把音节补充完整。（4分） í q m f w ɡ h á chu 十二、把词语和音节连起来。（10分） 洗衣服吃鱼老师小鸡读书 chī yú xiǎo jī dú shū lǎo shī xǐ yī fu 河水弟弟爸爸过桥我家 hé shuǐ bà bɑ dì di wǒ jiāɡuò qiáo