北师大最新版八年级下册数学知识点

北师大版八年级下册数学考试知识点

第一章 三角形的证明

一、全等三角形的判定及性质

※1性质：全等三角形对应 角 相等、对应 边 相等 ※2判定：①判定一般三角形全等：（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）.

②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形

※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. ※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．

※3. 推论：等腰三角形 顶角平分线 、 底边中线 、 底边上的高 互相重合（即“ 三线合一 ”）． ※4. 等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60° ；等边三角形是轴对称

图形，有 3 条对称轴.

判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形

※1. 勾股定理及其逆定理http://w ww.xk b1. com

如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系22b a =2

c ，那么这个三角形是直角三角形

（勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 ※2. 含30°的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对应的直角边 等于 斜边 的一半.

※3.直角三角形斜边上的中线等于 斜边 的一半。

要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜

边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．

②直角三角形的全等判定方法，HL 还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法． 四. 线段的垂直平分线

※1. 线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到 线段两端点 的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上 .

※2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

五. 角平分线

※1. 角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到 角两边 的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

※2. 三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 六．多边形的内角和与外角和：

任意n 边形的内角和为0

180)2(?-n （n ≥3）；任意n 边形的外角和为 3600

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组

一. 不等式的基本性质

※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向 不变 。 (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向 不变 。 (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变 。 ※2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)

一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;

如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a

一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a

解集

图示

叙述语言表达

???>>b x a

x x>b

b

a 同大取大

???<

x x>a

b

a

???<>b x a

x a

b

a

?

??>

x 无解

b

a

三．平面直角坐标系

1、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 坐标平面内的点和有序实数对一一对应。

2、点的坐标：点的坐标用（a ，b ）表示，

口诀：横坐标在前，纵坐标在后，中间隔开用逗号，莫忘加括号。 3、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x ；点P(x,y)在第二象限0,0>

点P(x,y)在第三象限0,0<?y x 。 4、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数； 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数； 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

与x 轴平行的直线上的点：纵坐标相同。 与y 轴平行的直线上的点：横坐标相同。 7、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征

点P 与点p’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数

（口诀记忆法：关于什么轴对称，什么坐标不变；关于原点对称，横变纵也变） 8、点到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于

y

；

（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于

x

（3）点P(x,y)到原点的距离等于

2

2y x +

补充公式：若),(11y x A ，),(22y x B ，则A ，B 两点之间的距离AB=2

21221)()(y y x x -+-线段AB

的中点坐标为)2

,2(2

121y y x x ++

四．函数及其相关概念

1、变量与常量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数的三种表示法：（1）公式法 （2）列表法 （3）图像法

3、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表 （2）描点 （3）连线

五．正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。特别地，b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数

b

kx

y+

=的图像是过点（0，b）的直线；

正比例函数

kx

y=的图像是过原点（0，0）的直线

4、一次函数的图像和性质：

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式

kx

y=（k≠0）中的常数k。确定一个一次函数，

需要确定一次函数定义式

b

kx

y+

=（k≠0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

第三章平移和旋转

一.图形的平移

※1. 概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

※2. 性质：（1）平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。

二.图形的旋转

※1. 概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

※2. 性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等．

三.中心对称

※1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

※2. 基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ※3. 中心对称图形

（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

第四章 因式分解 一．因式分解的定义

※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法

※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. X k B 1 . c o m

如: )(c b a ac ab +=+ 三. 运用公式法

※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

※2. 主要公式:

(1)平方差公式: ))((2

2

b a b a b a -+=-

(2)完全平方公式: 2

2

2

)(2b a b ab a +=++；2

2

2

)(2b a b ab a -=+-

第五章 分式

一. 分式

※1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B

A

为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

※2. 整式和分式统称为有理式,即有: ??

?分式

整式

有理式 ※3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

)0(,≠÷÷=

??=M M

B M A B A M B M A B A w W w .X k b 1. c O m

※4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除法

※1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 即:

BD AC D C B A =?, C

B D A

C

D B A D C B A ??=?=÷ ※2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.

即: )(为正整数n B A B A n

n n

=??

?

??

逆向运用n

n n B A B A ??? ??=,当n 为整数时,仍然有n n n

B A B A =??

?

??成立.

※3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法

※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

※2. 分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. (1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:

C

B

A C

B

C A ±=±

(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是:BD

BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 四. 分式方程

※1. 解分式方程的一般步骤: 新|课 |标| 第 |一| 网

①去分母，在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; ②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根, 必须舍去.

※2. 列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意; ②设未知数; ③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根; ⑤写出答案.

第

6章 四边形

四种特殊四边形的性质

边 角 对角线 对称性 平行四边

形

对边平行且相等

对角相等

互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等

轴对称中心对

称

菱形 对边平行四条边

相等

对角相等

互相垂直平分且每条对角线平分对角 轴对称中心对

称

正方形

对边平行四条边相等 四个角都是直角

互相垂直平分且相等，每条对角线平分对角 轴对称中心对

称

四种特殊四边形常用的判定方法：

平行

四边形

①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形

③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形

⑤对角线互相平分的四边形

矩形

①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形

③对角线相等的平行四边形

菱形

①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形

③对角线互相垂直的平行四边形 ④对角线垂直且平分的四边形 正方形

①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 ②一组邻边相等的矩形

③一个角是直角的菱形 ④对角线垂直且相等的平行四边形

面积公式： S 平行四边形=底边长×高=ah S 矩形=长×宽=ab S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 222

1

对角线边长正==S

【几个重要结论】

1．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．正方形同样如此。 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

3．直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半．