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算术—几何平均值不等式
陈名银
(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首，416000)
摘要：均值不等式是一个重要的基本不等式，学过高等数学之后，有很多的方法可以证明，即可以利用已学的Jesse不等式，也可利用多元函数求极值，再转换为最大值的方法。此方法牵涉到矩阵的有关知识，该文将给出判断矩阵负定的定理。利用这些知识可以解决需要讨论的问题.
关键词：均值不等式；极值；函数；Hesse矩阵；最大值
Arithmetic - geometric mean inequality
Chen ming-yin
(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000)
Abstract: The mean inequality is an important basic inequalities, such as math after high school, there are many ways to prove that Jesse can take advantage of inequality have been studied, but also demand the use of multi-function, extreme value, and then converted to the maximum approach. This method involves matrix of knowledge, the paper will give a theorem to determine negative definite matrix. Use of such knowledge can solve the problem needed to be discussed.
Key words: Mean inequality; extreme; function; Hesse matrix; max
前言
中学时学过二元均值不等式x+y
2
≥xy x>0,y>0,本文将其
推广至n元的情况即x1+x2+?+x n
n ≥x1x2?x n
n(x i>0,i=1,2,?,n)。并
给出证明方法。方法一，是利用Jesse不等式，方法二和方法三都是利用多元函数求极值的方法，并且法三引入了lagrange函数，这三
种方法有一个共同点，就是都构造了函数，这足以看出函数在证明不等式中的重要性。
正文
预备定理
定理 1 （Jesse 不等式）若f 为上的凸函数，则对任意的
x i ∈[a,b],x i >0(i=1,2,?,n), λi n i=1=1,有
f( λi n i=1x i )≤ λi n
i=1f(x i )
定理2 对称矩阵A 为负定矩阵的充分必要条件是：奇数阶主子式为
负，而偶数阶主子式为正，即 (?1)r a 11
?a 1r ?
??a r1
…a rr
>0 定理3 设n 元函数f(x 1,x 2,?,x n )在点p 0(x 10,x 20,?,x n0)的某邻域u
（p 0）内具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点，则当H f （p 0）是负定矩阵时，f 在P 0取得极大值。其中H f （p 0）为f 在的Hesse 矩阵，记为
H f （p 0）= F x 1x 1
?F x 1x n ?
??F x n x 1
?F x n x n
法一 构造函数f （x ）=—lnx （x>0）,由f （x ）的一阶和二阶导数
f ′
x =?1
F
′′
x =1
2≥0
可见f （x ）=—lnx 在x>0时为严格的凸函数，依Jesse 不等式（定
理一）,取x i =1
n
,i=1,2,?,n ,所以
f(
x i
n i=1n
)≤
f(x i)
n i=1n
即
-ln
x 1+x 2+,?,+x n
n
≤1
n
(-ln x 1- ln x 2???lnx n )
也就是
ln
x 1+x 2+?+x n
n
≥1
n
ln ?(x 1x 2…x n )
从而
x 1+x 2+?+x n
n
≥ x 1x 2…x n n
法二 构造函数f(x 1,x 2,?,x n )= x i n i=1，下面求其在条件
x i n i=1=r(r>0,x i >0, i=1,2,?,n )下的最大值。
设F(x 1,x 2,?,x n ?1)= x i n ?1i=1(r- x i n ?1
i=1)
对F 求偏导并令它们都等于零，则有
F x j =1
x j x i n ?1i=1(r- x i n ?1
i=1?x j )=0(j=1,2,?,n ?1)
解之可得x 1=x 2=?=x n ?1=x n =r
n
从而函数F(x 1,x 2,?,x n ?1)的稳定点是(r n ,r n
,?,r
n
)
为了判断F （r n ,r n ,?,r
n ）= r n n
为所求条件下的极大值，我们考虑其
Hesse 矩阵，为此计算如下：
F x i x i =-2x i
x i n ?1
i=1(i=1,2,?,n )
F x i x j =
1
x i x j
x i n ?1i=1(r- x i n ?1i=1?x j ?x i )(i ≠j,i =1,2,?,n,j =1,2,?,n )
将稳定点代入可得 当i=j 时F x i x j =-2 r n
n ?2
当i ≠j 时F x i x j =- r n
n ?2
所以Hesse 矩阵为
H f （p 0）= ?2 r n
n ?2
? r n
n ?2?? r n n ?2? r n n ?2?2 r n
n ?2
?? r n n ?2
?
??
?
? r n
n ?2
? r n
n ?2
??2 r n
n ?2
由于 r n
n ?2
≥0，要讨论H f （p 0）的正负定性只要讨论
A=
?2?1??1?1?2??1
?????1?1
??2
的正负定性。
计算可得，A 的r 阶主子式有相同的结构为（-1-r ） ?1 r ?1 由定理二
?1 r ?2??1????1??2 = ?1 2r (r+1)=r+1>0
所以A 为负定矩阵. 从而H f （p 0）为负定矩阵
有定理三知F （r n ,r
n ,?,r
n ）= r n n
为F 的极大值，并且此极大值就是最
大值。 从而 x i n i=1≤ r n
n
= x 1+x 2+?+x n n
n
即
x 1+x 2+?+x n
n
≥ x 1x 2…x n n
引言中提到的不等式得证。
法三 要求 x i n i=1在条件 x i n
i=1=r 下的最大值，问题可转换为 lnx i n i=1在条件 x i n i=1=r 下的最大值。
设lagrange 函数L(x 1,x 2,?,x n )= lnx i n i=1 +λ x i n i=1
对L 求偏导数并令它们都等于零，则有
L x i =1
x i
+λ（i=1,2,?,n ）
解出x 1=x 2=?=x n ?1=x n =r
n
以D 记n-1维平面上的开区域{（x i ）:x i >0, x i n i=1=r , i=1,2,?,n },则当某个x j →0,即（x i ）
趋近于D 的边界时，因此必在D 内部某点取得最大值，这一点只能是（r n ,r
n
,?,r
n
）
所以 x i n i=1≤
max x i n
i=1= r n
n
即x 1+x 2+?+x n
n
≥ x 1x 2…x n n
上述三种方法从横向和纵向都有所展开，方法一得先给出重要不等式，方法二和三得有高等数学的极值理论作基础，但是方法的思路都相似，这也体现了数学各方面知识的联系性。
参考文献：
[1].华东师范大学数学系.数学分析（上）【M 】.北京：高等教育出版社，2001.
[2].华东师范大学数学系.数学分析（下）【M 】.北京：高等教育出版社，2001.
[3].胡适耕 姚云飞.数学分析定理问题方法【M 】.北京：科学出版社，2007.
[4].宋国柱.分析中的基本定理和典型方法【M 】.北京：科学出版社，2004.