复习题理论力学09-10年解答

理论力学复习题
1. 式。 解： r = ri 速度： 根据平面极坐标系速度 v = ri + rθ j 公式 ，导出平面极坐标系加速度公
v=
dr d = ( ri ) dt dt
v=
dr d dr di = (ri ) = i + r = ri + ri dt dt dt dt
di dj = θ j , = ?θ i dt dt
加速度
v = ri + rθ j = vr i + vθ j
a=
d v d ri + rθ j = dt dt
(
)
同理
di dr d (ri ) = i + r = r i + rθj dt dt dt d dr dθ dj (rθj ) = θj + r j + rθ = rθj + rθj ? rθ 2 i dt dt dt dt
a = r ? rθ 2 i + rθ + 2rθ j
ar = r ? rθ 2 aθ = rθ + 2rθ
(
) (
)
2.
kθ 若质点沿对数螺旋线 r = ae 运动时，极点为力心。用比内公式求作用
于质点上的力与距离的关系。 解：由比内公式得
=-
u= =
=
=
F=-m(k2+1)
= ?mh 2 (k 2 + 1)
1 r3
1

3.
一质量为 m 的质点， 在有阻力的空气中无初速的自离地面为 H 的地方竖
直下落。如阻力与速度的平方成正比，求解质点的运动规律。 解： （见教材 P40 例 2） 设： R = mgk 2υ 2
mx = ?mg + mgk 2υ 2
x=
dυ = ? g (1 ? k 2υ 2 ) dt
dυ = ? gdt 1 ? k 2υ 2
υ = ? tgh( gkt )
x = h?
1 k
1 ln cosh( gkt ) gk 2
4.
证明由 F = ( y 2 z 3 ? 6 xz 2 )i + 2 xyz 3 j + (3xy 2 z 2 ? 6 x 2 z )k 定 义 的 场 是 保 守 力
场，并求其势能函数。 解：由判断保守力条件： ? × F = 0
?Fx ?Fy ? = 18abxz 2 ? 18abxz 2 = 0 ?y ?z
?Fx ?Fz ? = 18abyz 2 ? 18abyz 2 = 0 ?z ?x
?Fy ?x ? ?Fx = 6abz 2 ? 4abx 3 y ? (6abz 2 ? 4abx 3 y ) = 0 ?y
所以，该力是保守力。存在势函数。
V = ?W = ? ∫ F idr + V0 = ? ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) + V0
= ? ∫ ( y 2 z 3 ? 6 xz 2 )dx + 2 xyz 3dy + (3xy 2 z 2 ? 6 x 2 z )dz + V0
2

= 3x 2 z 2 ? xy 2 z 3 + V0
5.
一质量为 m，长为 l，绕通过杆端点 O 的铅直轴以角速度转动，杆与转
轴间夹角保持恒定。求按图示坐标系杆对 O 点的惯量张量，以及对 O 点的角动 量。
解： 对 O 点惯量张量
? ?0 0 ? 1 2 I = ?0 ml ? 3 ? ?0 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 2? ml ? 3 ?
1 J = I xxωx i + I yyω y j + I zzωz k = ml 2ω sin θ j 3
6.
一质量为 m，半径为 R，高为 h 的均匀圆柱体，它绕着过质心偏离其对
称轴角度为 θ 的定轴以角速度 ω 转动。已知，圆柱绕中心轴线的转动惯量为
1 I = mR 2 ， 圆 柱 对 通 过 质 心 并 垂 直 于 圆 柱 轴 线 的 轴 的 转 动 惯 量 为 2 I= 1 m(h 2 + 3R 2 ) 。求圆柱体转动的动能。 12
解：圆柱体的动能
T=
1 2 Iω 2
3

求绕定轴的 I，建立主轴坐标系 0 – xyz,三个坐标轴即对称轴。 轴转动惯量： 1 I 1 = I 2 = m( h 2 + 3R 2 ) 12 1 I 3 = mR 2 2 而
∵ I = I1α 2 + I 2 β 2 + I 3γ 2
π α = cos( ? θ ) = sin θ
2
,
β = cos
π
2
=0
,
γ = cos θ
1 1 ∴ I = m(h 2 + 3R 2 ) sin 2 θ + mR 2 cos 2 θ 12 2 1 2 1 2 1 2 2 ∴T = Iω = mω [ (h + 3R ) sin 2 θ + R 2 cos 2 θ ] 2 4 6
质量为 m 、 半径为 a 的均质圆盘， 绕与垂直于盘面的几何轴成 θ = 45 角
7.
的轴转动，如图 2 所示。求： （1）绕该轴的转动惯量。 （2）若圆盘绕轴转动的角速度为 ω ，求圆盘转动的角动量。 解： （1）取盘的对称轴为坐标轴，转轴在 OXZ 平面内，则
I1 = I 2 = I3 =
1 mR 2 4
1 mR 2 2
2 2 , β = 0, γ = cos 45 = 2 2
3 mR 2 8
α = sin 45 =
I l = I 1α 2 + I 2 β 2 + I 3γ 2 =
（2）O 点的惯量张量 ?1 2 ? 4 mR ? ? I =? 0 ? ? 0 ? ?
0 1 mR 2 4 0
? ? ? 0 ? ? 1 2? mR ? 2 ? 0
4

角速度
ω=
→
2 → 2 → ω i+ ωk 2 2
→
?→ J =?i ?
→
j
?1 2 ? 4 mR → ? ? k ?? 0 ?? ? 0 ? ?
0 1 mR 2 4 0
?? ?? ?? 0 ?? ?? 1 2 ?? mR ? ? 2 ?
0
2 ? ω? 2 ? → → 2 2 0 ?= mR 2 i + mR 2 k 4 2 ? 8 ω? 2 ?
转动动能
T= 1 2 2 2 I 1ω x + I 2ω y + I 3ω Z 2
(
) )
1 = ω 2 I 1α 2 + I 2 β 2 + I 3γ 2 2 1 = I lω 2 2 3 = mR 2ω 2 16
(
8.
一圆盘型陀螺，半径为 r，绕轴线 OC 以恒定角速度 ω1 转动，轴线则以
匀角速度 ω 2 绕竖直轴转动。已知陀螺高为 h ，与铅直线间的倾角为 θ ，如图 1 所示。求圆盘最低点 B 处的速度。
解：建立如图坐标系。做 BD.CE 两垂线
ω2 = ω2 k
→
→
5

ω1 = ω1 sin θ j + ω1 cos θ k
→ → →
→
→
→
ω合 = ω1 + ω2 = ω1 sin θ j + (ω2 + ω 1 cos θ ) k
BD = OB cos ∠OBD = r 2 + h 2 cos ∠OBD = r 2 + h 2 cos(θ + ψ ) = h cos θ ? r sin θ
→
OD = OB sin ∠OBD = h sin θ + r cosθ
OB = (h sin θ + r cos θ ) j + (h cos θ ? r sin θ ) k
→ → →
→ → → → → → → ? ? v B = OB× ω 合 = [(h sin θ + r cos θ ) j + (h cos θ ? r sin θ ) k ] × ? ω1 sin θ j + ω1 cos k ? ? ?
= ?[ω1 r + ω 2 (r cos θ + h sin θ )] i
→
9.
如图所示，杆AB在oxy平面内运动，其下端沿OA滑动，而杆本身则于任
何时刻均通过M点。试由几何法确定杆的瞬心位置，并证明杆的空间极迹方程为
x 2 = hy 。
解：C 点位瞬心位置 x = h tan θ y = x tan θ 得 x 2 = hy
10. 如图所示，重量为 P、长为 l 的匀质直杆的一端靠在光滑的水平地面上，
而杆身与水平成? =60°角，此杆自静止状态开始下滑。求运动开始时，杆对地 面的压力。 （用牛顿力学方法求解，用其它方法求解不得分） 解：建立如图所示坐标系
6

?myC = N ? P ? ? I C ? = ? N ? l cos ? 2 ? ? ? 1 2 ? I C = 12 mgl ? ? y = l sin ? ? C 2 ?
∴ yc = l cos ? ? ? 2 yC = l l cos ?? ? sin ?? 2 2 2
N = P + myC t = 0, ? = 60 0
∴N = 4 P 7
?=?
12 g 7 l
? =0
11. 有一直管，管内有一小球质量为 m，直管可以绕通过一端且垂直于直管 的轴在水平面内转动。开始时，直管绕轴转动的角加速度为 ω 0 ，小球离管一端 的距离为 a，与直管相对静止。试求小球相对于直管的速度与管端距离之间的关 系。 设转轴处无摩擦力矩， 管子光滑， 管子转动惯量为 I 。 解：以直管为参照系，Ox 方向沿管， Oz 沿竖直轴建立坐 标系 Oxyz ，则小球受力为：
G = mg = N , F牵 = mω 2 xi , F科 = ?2 mω x j
故沿 Ox 方向运动的微分方程为：
mx = mω 2 x
x ?ω2x = 0
2 2 小球与直管系统角动量守恒， ( I + ma )ω0 = ( I + mx )ω
（1） （2）
I + ma 2 2 )ω 0 x （2）代入（1） x = ?( I + mx 2 ω2 1 解得： x 2 = ?( I + ma 2 ) 0 +C m ( I + mx 2 )
7

由初始条件： t = 0, x = a, x = 0 可得， C = ( I + ma )
2
ω 20
m 可得小球相对于直管的速度与管端距离之间的关系为 x 2 = ( I + ma 2 )
ω 20
1 1 ? ] 2 m I + ma I + mx 2 [
12. 一半径为 r，质量为 m 的小圆柱体沿一固定的半径为 R 的圆柱面内表面 纯滚动。试求圆柱体在其平衡位置附近微振动周期。
解：Ⅰ 牛顿力学解法 由 mrC = ∑ Fi 选取自然坐标系
? m( R ? r )θ = ? mg sin θ + f ? 2 ? m( R ? r )θ = N ? mg cos θ ? J? = ? f ? r ?
? 为小圆柱沿大圆柱内表面相对于 O 点转过 θ 角度时自身转过的角度。
又因为小圆柱与大圆柱内表面的接触点速度为 0，所以
r? = ( R ? r )θ
结合上述四式可得：
θ+
2g sin θ = 0 3( R ? r )
又因为小圆柱体在其平衡位置附近做的是微振动运动，所以
sin θ ≈ θ
即
θ+
2g θ =0 3( R ? r )
可得小圆柱体在其平衡位置附近做微振动运动的频率为
ω=
2g 3( R ? r )
8

即小圆柱体在其平衡位置附近微振动的周期为
T= 2π
ω
=π
6(R ? r ) g
Ⅱ 拉氏方程求解
由题意可得，系统的自由度为 1，选取广义坐标 θ 。 设 ? 为小圆柱沿大圆柱内表面相对于 O 点转过 θ 角度时自身转过的角度。 又因为小圆柱与大圆柱内表面的接触点速度为 0，所以
r? = ( R ? r )θ
以 O 点所在平面为势能 0 点，可得系统的势能为
V = ?mg ( R ? r ) cos θ
系统的动能为
T= 1 2 1 2 mv + I ω 2 2
对应本题有
?v = ( R ? r )θ ? ?ω = r? ? (R ? r) ?? = θ r ? ? 1 2 ? I = mr 2 ?
可得
T= 1 1 1 R?r 2 θ] m[( R ? r )θ ]2 + ? mr 2 [ 2 2 2 r 3 = m[ R ? r ]2 θ 2 4
拉氏函数为
L = T ?V 3 = m[ R ? r ]2 θ 2 + mg ( R ? r ) cos θ 4
求偏导得
? ?L ? ?θ = ?mg ( R ? r ) cos θ ? ? ? ?L = 3 m( R ? r ) 2 θ ? ?θ 2 ?
9

带入拉式方程
d ? ?L ? ?L = 0得 ? ?? dt ? ?θ ? ?θ
θ+
2g sin θ = 0 3( R ? r )
接下来同经典力学解法可得小圆柱体在其平衡位置附近微振动的周期为
T= 2π
ω
=π
6(R ? r ) g
13. 半径为 R 的圆盘以匀角速 ω 绕通过其中心并与盘面垂直的竖直轴转动，
盘上有一半径为 r 的圆槽，一质点在此槽内以等速 v 沿槽运动，求此质点的绝对 速度和绝对加速度。
解：平面转动参照系 设动系原点总与静系原点重合 轴 ζ 与 k 永远重合， 动坐标以 ω 绕 ζ 轴转动： v = v′ + ω × r 由题设：相对速度 v = v′ （沿槽切线） 牵连速度 | ω × r |= ω r sin 90 = ω r （沿切线） 所以 v绝对 = v + ω r （沿切线）
a = a′ + at + ac = a′ + ω × r + ω (ω ? r ) ? ω 2 r + 2ω × v′
加速度： a = a′ ? ω 2 r + 2ω × v′ 依题意： a ′ = an + at 因为 v = 常数,at = 0,| an |= 又 v = v′ （沿槽切线） 所以 | 2ω × v′ |= 2ω v sin 90 (法向)
v2 (法向) r
10

所以 a =
v2 + 2ω v + ω 2 r (沿半径 ) r
14. 一质点 P 离开 B 点，沿直角三角形 ABC 的斜边 AB
以速度 v ′ 匀速运动， ∠ABC = θ ，此三角形以匀角速 ω 绕 BC 轴转动。试求质点 P 在 t 秒后的相对加速度、牵连加速度、 科氏加速度以及绝对加速度的量值。
解：以 B 点为原点， BC 为 x 轴， CA 为 y 轴，垂直纸面向外为 z 轴。 因为 P 点匀速运动，所以相对加速度为 0。 牵连加速度为
a牵 = ?ω 2 R = ?ω 2 O′p = ?ω 2 ? Op ? sin θ j = ?ω 2 ? v′t ? sin θ j
科氏加速度为
a科 = 2ω × v′ = 2ω i × v′(cos θ i + sin θ j ) = 2ω v′ sin θ k
绝对加速度为
a = a′ + a牵 + a科 = ?ω 2 v′t sin θ j + 2ω v′ sin θ k
量值为
a = ω v′ sin θ ω 2 t 2 + 4
15. 粒子质量为 m，在一个有心力场作用下运动，力的大小与距离的三次方
11

成反比： F （1） （2） （3）
= ?k
1 r r
3
（k >0，
0
r 为径向单位矢量）
0
。求：
粒子的势能； 粒子的拉氏函数； （提示用 r ,θ 作广义坐标比较方便） 由拉格朗日方程求质点运动的微分方程。
解： 1）由势能和保守力的关系可得： （ （以无穷远处势能为零）
V = ? ∫ F idr 1 dr r3 k =? 2 2r = k∫
（2）系统的自由度为 2，选取 r ,θ 作广义坐标 粒子的动能为
T= 1 m(r 2 + r 2θ 2 ) 2
所以粒子的拉氏函数为
L = T ?V 1 k = m( r 2 + r 2θ 2 ) + 2 2 2r
求偏导得
k ? ?L 2 ? ?r = mθ r ? r 3 ? ? ? ?L = mr ? ?r ?
带入拉氏方程
d ? ?L ? ?L = 0得 ? ?? dt ? ?r ? ?r r ? rθ 2 + k 1 ? =0 m r3
同理：
? ?L ? ?θ = 0 ? ? ? ?L = mr 2θ ? ?θ ?
12

带入拉氏方程
d ? ?L ? ?L = 0得 ? ?? dt ? ?θ ? ?θ d 2 (r θ ) = 0 dt
即
r 2θ = C
带入 r ? rθ 2 +
k 1 ? = 0得 m r3 ?k ? r + ? ? C2 ? = 0 ?m ?
即质点运动的微分方程组为
?r 2θ = C ? ? ?k 2? ?r + ? m ? C ? = 0 ? ? ?
16. 已知：质量为 m 长度为 l 的均质杆 AB ， A 端与钢性系数为 C 的弹簧相连
并限制在铅垂方向运动，AB 杆还可以绕过 A 的水平轴摆动， 如图 16.4 所示， 求：
AB 杆的运动微分方程，
解：1，研究对象：整体， κ = 2 广义坐标 x,θ （图 16.4）
2，分析运动，计算动能
l l AB 杆作平面运动 xC = x ? θ sin θ ， y C = θ cosθ 2 2
m 2 ml 1 ml 2 2 m 2 ml 2 θ = x ? T= xC + y C + xθ sin θ + θ 2 2 2 12 2 2 6
13
(
)

3，分析主动力，计算势能，并写出拉氏函数
设平衡时 A 点的位置为坐标原点 O ，并设平衡位置为弹力和重力的零势能 点，有：
V = c (x + λ 0 )2 ? λ0 2 ? mg ? x + l cosθ ? ? ? 2 2 ? ?
[
]
其中 cλ0 = mg , λ0 =
mg c l 代入上式，整理后得： V = x 2 ? mg cosθ c 2 2
m 2 ml ml 2 2 c 2 l θ ? x + mg cosθ x ? xθ sin θ + 2 2 6 2 2
拉氏函数 L = T ? V =
4，计算偏导数，代入拉氏方程
?L ml ?L = mx ? θ sin θ , = ?cx ?x ?x 2 d ?L ?L l ? ? ? = 0 , m ? x ? (θ sin θ + θ 2 cos θ )? + cx = 0 dt ?x ?x 2 ? ?
(a )
?L ml l ?L ml ml 2 =? xθ cosθ ? mg sin θ θ , =? x sin θ + ?θ 2 2 2 3 ?θ d ?L ?L ? =0 dt ?θ ?θ
? ml ml 2 ml l θ+ x sin θ + xθ cosθ + xθ cosθ + mg sin θ = 0 2 3 2 2 ,
(
)
(b )
5，整理 (a ) , (b ) 两式，得：
2c ? x=0 ?2 x ? l θ sin θ + θ 2 cosθ + ? m ? ? 3 x sin θ + 2lθ + 3g sin θ = 0 ? 17. 摆长为 l 的单摆，悬挂点 O 在水平方向以位移 x = A sin ω t ，在一个平面
内运动。用拉格朗日方程求单摆运动的微分方程。
(
)
解：非稳定约束(运动约束)，系统不守恒
S=1 广义坐标θ
14

拉氏函数：
L = T ?V =
=
m 2 2 ( A ω cos 2 ωt + l 2θ 2 + 2 Alωθ cos θ cos ωt ) + mgl cos θ 2
代入拉氏方程，得：
l 2θ ? Alω 2 cos θ cos ωt + mgl sin θ = 0
18. 质量为 M 半径为 r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上。 柱的外面绕有轻绳， 绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为 m 的物体。设圆柱体只滚不滑，并且 圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。试用拉格朗日方程求解圆柱体质心的加速度
a1 ，物体的加速度 a 2 。
r
M
m
解 如题图 （1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动， 自由度 s = 1. （2）选取广义坐标 q = θ . （3）根据刚体力学
T=
1 1 1 2 3 Mv c2 + I Cθ 2 + mv B = Mr 2θ 2 + 2mr 2θ 2 2 2 2 4
其中绕质心转动惯量
IC =
1 Mr 2 , vC = rθ , v B = 2vC 2
V = C ? 2mgr θ
15
选 Ox 为零势面，体系势能：

其中 C 为常数. 拉氏函数
L = T ?V =
3 Mr 2θ 2 + 2mr 2θ 2 + 2mgrθ ? C 4
(4)
?L 3 ?L = 2mgr , = Mr 2θ + 4mr 2θ ?θ ?θ 2
代入保守系拉氏方程
d ? ?L ? ?L =0 ? ?? dt ? ?θ ? ?θ
得：
3 Mr 2θ + 4mr 2θ ? 2mgr = 0 2
θ=
4mg (3M + 8m)r 4mg a1 = rθ = 3M + 8m 8mg a 2 = 2a1 = 3M + 8m
对于物体 B ，有
mg ? T = ma 2 T = mg ? ma 2 = 3Mmg 3M + 8m
19. 如图所示，质量为 m 和质量为 2m 的重物 A 和 B 以及质量为 m 半径为 r
的定滑轮（质量均匀分布在轮边上）所组成的物体系。在 A 和 B 之间以一长为 的细线和无质量的劲度系数为 k 的弹簧联接，试用拉格朗日方程求 A 和 B 的 运动微分方程。 （弹簧原长为 λ） 解：自由度数为s=2。选取物体A和B的竖直坐标x为体 系的广义坐标，即 q1 = x1 , q2 = x2 。由于滑轮与线之间 有摩擦约束，故有 r? = x1（ ? 是滑轮的角速度的量值） 两物体对点 O 的水平线的重力势能为
16

U = ?mgx1 ? 2mgx2 弹簧的弹性势能为 k 2 U ′ = [x 2 ? (l ? πr ? x1 ) ? λ 0 ] 2 因此得到体系的 L 函数
m 2 2m 2 m 2 2 k 2 x1 + x 2 + r ? ? (U + U ′) = m( x12 + x 2 ) + mg ( x1 + 2 x 2 ) ? ( x1 + x 2 ? C ) 2 2 2 2 2 式中常数 C = l + λ 0 ? πr 。求出 L=
?L ?L = 2mx1 = mg ? k ( x1 + x 2 ? C ) ?x1 ?x1 ?L ?L = 2 mx 2 = 2mg ? k ( x1 + x 2 ? C ) ?x 2 ?x 2 代入拉格朗日方程，由此得到 A 和 B 的运动微分方程 2mx1 = mg ? k ( x1 + x2 ? C ) 2mx2 = 2mg ? k ( x1 + x2 ? C )
20. 半径为 R 质量为 M 的均质圆轮（ I c =
1 mr 2 ） ，其轮心 C 处系一细绳并 2
绕过滑轮 o，绳的另一端系一质量为 m 的重物，轮子在水平面上作纯滚动，不计 滑轮质量。试用哈密顿正则方程求轮心 C 的加速度及轮子与地面的摩擦力。
19. 解：自由度：1，广义坐标：x、c
.
∵ x = Rω ∴ ω =
.
x
c
R 1 1 2 1 2 2 T= 体系动能： Mxc + I ω + mxc 2 2 2 x 1 1 1 1 2 2 = Mxc + ? MR ? ( c ) 2 + mxc2 2 2 2 2 R 1 = (3M + 2m ) xc2 4
V 体系势能： = ? m gxc (以原点o为0势能)
1 ∴ L = T ? V = (3M + 2m ) xc2 + mgxc 4
p xc = ?L 1 = (3M + 2m ) xc , ?xc 2 2 p xc 3 M + 2m
17
∴ xc =

∴ H = p xc x c ? L =
1 ? (3 M + 2m ) xc2 ? mgxc 3 M + 2m 4 2 2 px 4 p2 1 xc c = ? (3M + 2m ) ? mgxc 3 M + 2m 4 (3M + 2m ) 2
c
2 p2 x
=
p2 x
c
3 M + 2m
? mgxc
2 p xc ? 1 ?H = ? pxc = (3 M + 2m ) xc ? xc = 2 ?pxc 3 M + 2m ? ∴? ? p = ? ?H = mg ? xc ?xc ? 1 ∴ (3 M + 2m ) xc = mg 2 2mg ∴ xc = 3 M + 2m f = mg ? (m + M ) xc 2(m + M )mg = mg ? 3 M + 2m = Mm g 3 M + 2m
21. 半径为 c 的匀质圆球，自半径为 b 的固定圆球的顶端无初速地滚下，试
由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。
21. 解：自由度 S=1，取广义坐标 θ，设球滚动的角速度ω
vc = (c + b)θ = ω c
?ω =
c+b θ c
由柯尼希定理，得：
1 1 2 L = m(c + b) 2 θ 2 + ( mc 2 )ω 2 ? mg (c + b) cos θ 2 2 5 = 7 m(c + b) 2θ 2 ? mg (c + b) cos θ 10
18

pθ =
?L 7 = m( c + b ) 2 θ ?θ 5
θ=
pθ 5 pθ 2 5 = + mg (c + b) cos θ 7 m(c + b) 2 14 m(c + b) 2
∴ H = ? L + pθ θ
由正则方程 pθ = ?
?H = mg (c + b) sin θ ?θ
?θ = 5 g sin θ 7
5 g sin θ 7 c+b
球心下降的切向加速度 at = (c + b)θ =
22. 粒子质量为 m，在一个有心力场作用下运动，力的大小与距离的二次方
成反比： F = ?k 12 r0 （k >0，
r
r 为径向单位矢量）
0
。求：
（1） （2） （3）
粒子的势能； 粒子的拉氏函数； （提示用 r ,θ 作广义坐标比较方便） 由哈密顿正则方程求质点运动的微分方程。
r r
→ → 1 1 k （ 22. 解： 1）∵ F = ?k 3 r0 ∴V=— ∫ F d r = ∫ k 2 dr= ? r r r ∞ ∞
1 2 1 .2 2 .2 （2） T = mv = m(r + r θ ) ，而 L=T-V 2 2 1 .2 2 . 2 k L= m( r + r θ ) + r 2
pr ?L ? ? pr = ?r = mr , r = m ? （3） ? ? p = ?L = mr 2θ , θ = pθ ? θ ?θ mr 2 ?
pθ2 α 1 2 2 2 α 1 2 (r + r θ ) + (? ) = ( pr + 2 ) ? 故 H = Pr ? r + P θ ? L = θ r r r 2m 2m
?
.
19

?H pr ? ?r = ?p = m ? r 可得正则方程 ? 2 ? p = ? ?H = pθ ? α ? r ?r mr 3 r 2 ?
? m(r ? rθ 2 ) = ?
α
r2
即
pθ ?H ? ?θ = ?p = mr 2 ? θ ? ? p = ? ?H = 0 ? θ ?θ ?
? pθ = mr 2θ = 常数
23. 已知一质点对某点的角动量分量为
J x = ypz ? zp y , J y = zpx ? xpz , J z = xp y ? ypx
（1）试证明泊松括号 [ J x , J y ] = J z 。 （2）若Jx＝C1 ，Jy＝C2， C1、C2是恒量） （ ，由泊松定理证明Jz是守恒量。 解：(1) 由泊松括号定义得：
? ?J ?J y ?J x ?J y ? ? ?J x ?J y ?J x ?J y ? ? ?J x ?J y ?J x ?J y ? [Jx , J y ] = ? x ? ? ? ?+? ?+? ? ?x ?px ?pα ?x ? ? ?x ?px ?px ?x ? ? ?x ?px ?px ?x ? ?
= xp y ? ypx = J z
（2）由泊松定理， [ J x , J y ] = C ，是守恒量 则： J z = [ J x , J y ] = C ，也是守恒量
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理论力学复习题及答案哈工大版

一、是非题 1、力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （√） 2、在理论力学中只研究力的外效应。（√） 3、两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（×） 4、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。（√） 5、作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（×） 6、三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（×） 7、平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （√） 8、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（×） 9、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（×） 10、用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x，y轴一定要相互垂直。 （×） 11、一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （×） 12、静摩擦因数等于摩擦角的正切值。（√） 13、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（×） 14、已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。（×） 15、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点 系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。（×） 16、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 （×） 17、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 18、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（×） 19、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mvx =mvcos a。（√） 20、用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备：已知 F1和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √) 21、某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( ×) 22、图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P由A点传至B点，其作用效果不变。 (×)

理论力学试卷1及答案

湖南工程学院试卷用纸 至 学年第 学期 （装 订 线 内 不 准 答 题） 课程名称 理 论 力 学 考试 _ __（A 、B 卷） 适用专业班级 考试形式 （开、闭） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 计分 一、填空题：（每小题6分，共30分） 1. 在光滑的水平面上，静止放着一个均质圆盘。如图所示。试问：若在圆盘上作用两个等值、反向、作用线相互平行的力F 和F ˊ后，圆盘和盘心作什么运动 答： 。 a) 圆盘静止不动。 b) 圆盘绕C 点转动，盘心不动。 c) 圆盘绕C 点转动，盘心作匀速直线运动。 d) 圆盘绕C 点转动，盘心作匀加速直线运动。 2. 如图两平行摆杆O 1A =O 2B =R ，通过托架提升重物M ，摆杆O 1A 以匀角速度 ω转动，则物块质心M 点的速度v M = ，加速度a M = 。 3.“全约束力与法线之间的夹角，即为摩擦角。”这样的说法是否正确若不正确，应怎样改正。 答： 。 姓名 ____________ 学号 _________ 共_ 2 _ 页 第___ 1___ 页

4. 飞轮作加速转动，轮缘上一点M 的运动规律为S =（S 的单位为m ，t 的单位s ）, 飞轮的半径为R =100cm 。当点M 的速度达到v =30m/s 时，该点的切向加速度 t a = ，法向加速度n a = 。 5. 虚位移和虚位移原理的概念是：虚位移即某瞬时，质点在 条件下，可能实现的 。虚位移原理即对于具有理想约束的质点系，使质点系平衡的充要条件是作用于质点系的 在任何虚位移上 等于零。即 0=?∑i i r F δ 二、计算题：（每题14分，共70分） 1、重量为P 圆球放在墙和杆之间，杆的A 端用铰链联接于墙上，B 端用水平绳BC 拉住。若ο30=α，5/AB AD =，绳与杆的自重都不计，各接触面都是光滑的。试求绳索BC 的拉力。 湖南工程学院试卷用纸 （装 订 线 内 不 准 答 题） 2、图示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA =10cm ,绕O 轴转动。当?=30°时，其角速度ω=1rad/s ，角加速度α=1rad/s 2，求导杆BC 的加速度和滑块A 在滑道中的相对加速度。 3、图示四连杆机构中，OA = O 1B =AB /2 ，曲柄OA 的角速度ω= 3 rad/s 。求：当φ =90且曲柄O 1B 与OO 1的延长线重合时，AB 杆和曲柄O 1B 的角速度。 专业班级____________ 姓名______________ 学号____ _ 共 2 页 第 2 页

精选-理论力学试题及答案

理论力学试题及答案 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩M 10kN F '=，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4

第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则 杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 3. 在图示机构中，已知m r B O A O 4.021===，AB O O =21，A O 1杆的角速度4rad ω=，角加速度22rad α=，求三角板C 点的加速度，并画出其方向。 F O R ' O M

理论力学习题及答案(全)

第一章静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （） 2．在理论力学中只研究力的外效应。（） 3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（） 6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（） 7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 二、选择题 1．若作用在A点的两个大小不等的力 1和2，沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1－2； ②2－1； ③1＋2； 2．作用在一个刚体上的两个力A、B，满足A=－B的条件，则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。 3．三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 4．已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢 关系如图所示为平行四边形，由此。 ①力系可合成为一个力偶； ②力系可合成为一个力； ③力系简化为一个力和一个力偶； ④力系的合力为零，力系平衡。 5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 三、填空题

理论力学复习试题参考答案

理论力学复习题 一、判断题。（10分） 1. 若作用在刚体上的三个力汇交于同一个点，则该刚体必处于平衡状态。 ( × ) 2. 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 ( √ ) 3. 凡是受到二个力作用的刚体都是二力构件。 ( × ) 4. 平面汇交力系用几何法合成时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。 ( × ) 5. 如果一个平面力系是平衡的，那么力系中各力矢的矢量和不等于零。 ( × ) 6. 选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度相同。 ( × ) 7. 势力的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。 ( √ ) 8. 对于整个质点系来说，只有外力才有冲量。 ( √ ) 9. 当质系对固定点的外力矩为零时，质系对该点的动量矩守恒。 ( √ ) 10. 动能定理适用于保守系统也适用于非保守系统，机械能守恒定律只适用于保守系。( √ ) 11. 速度投影定理只适用于作平面运动的刚体，不适用于作一般运动的刚体。（×） 12. 应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（×） 13. 如果一个平面力系是平衡的，那么力系中各力矢构成的力多边形自行封闭。 ( √ ) 14. 用自然法求速度，则将弧坐标对时间取一阶导数，就得到速度的大小和方向。（√） 15. 速度瞬心等于加速度瞬心。（×） 16. 质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 ( √ ) 17. 质系动量矩的变化率与外力矩有关。 ( √ ) 18. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。（×） 19. 质点系动量的方向，就是外力主矢的方向。（×） 20. 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 21. 若一平面力系对某点之主矩为零，且主矢亦为零，则该力系为一平衡力系。（√） 22. 牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合的点相对于动系的运动。（×） 23. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。（×） 24. 动能定理既适用于保守系统也适用于非保守系统，而机械能守恒定律只适用于保守系。（√） 25. 质点系动量的方向，就是外力主矢的方向。（×） 26. 一个刚体若动量为零，该刚体就一定处于静止状态。（×） 27. 内力不改变质点系的动量，但可以改变质点系内质点的动量。（√） 28. 刚体在3个力的作用下平衡，这3个力不一定在同一个平面内。（×） 29. 刚体的平移一定不是刚体的平面运动。（×） 30. 两自由运动质点，其微分方程完全相同，但其运动规律不一定相同。（√） 31. 在自然坐标系中，如果速度v= 常数，则加速度a = 0。（×） 32. 在平面力系中，只要主矩不为零，力系一定能够进一步简化。（×） 33. 点在运动过程中，若速度大小等于常量，则加速度必然等于零。（×） 34. 弹簧从原长拉长10cm再拉长10cm，这两个过程中弹力做功相等。（×） 35. 外力偶不能改变质心的运动。（√） 36. 变力的冲量等于零时，变力F必为零。（×） 二、填空题（20分） 1. 若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的合力等于零。 2. 多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是平面力偶__系的作用。 3. 作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_力偶矩 __代数和为 零。 a n a 4. 切向加速度只反映速度大小随时间的变化，法向加速度只反映速度方向随时间的变化。 τ

理论力学试题1及答案

一、判断题（10分） 1、某平面任意力系向A、B两点简化主矩皆为零，则此力系简化的最终结果不可能为一个力偶。（） 2、当作用于物体上的主动力系的合力作用线与接触面法线间的夹角小于物体与接触面间的摩擦角时，不论该合力的大小如何，物体总是处于平衡状态。（） 3、平面图形上各点的速度大小与该点到速度瞬心的距离成正比；各点加速度的大小也与该点到速度瞬心的距离成正比。（） 4、已知平面图形中基点A的速度为υA，平面图形相对于A点的角速度ωA≠0若选另一点B为基点，则有υB≠υA，ωA=ωB。（） 5、两个运动着质量完全相同的质点，初速度大小、方向也完全相同，以后任一瞬时的速度大小都相同，则任何瞬时，这两个质点受力大小一定相同。（） 6、圆盘在粗糙的地面上作纯滚动，地面对圆盘的静滑动摩擦力为F，由于摩擦力F作用点是圆盘速度瞬心，因此摩擦力不作功。（） 7、刚体瞬时平动时，其上任意两点的速度相同，因此，加速度也一定相等。（） 8、利用虚位移原理只能求解主动力，而不能求解约束反力。（） 9、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。（） 10、平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。（） 二、（42分）简要计算与回答下列各题 1、如图所示结构中，各杆的自重略去不计，在构件BC上 作用一力偶矩为M的力偶，其它尺寸如图所示，求支座A 的约束力。 2、如图所示，正方体的边长为a，求图示力F对三个坐标轴的 矩。 3、刚体在图示平面内绕O轴转动，在平面内有A，B两点。已知OA=2OB，某一瞬时 a A=10m/s，方向如图所示。求此时B点加速度的大小，并在图上绘出B点加速度的方

理论力学题库(含答案)---1

理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？

理论力学复习题

1.图示结构中的各构件自重不计。已知P =5 kN ，M=5 kN. m，q = 2.5kN/m 。 试求固定端A及滚动支座B处的约束反力。 2、一重W的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f， 且tgα

理论力学试题及答案

理论力学试题及答案 一、是非题（每题2分。正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（） 3、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（） 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mv x =mvcos a。 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果 是。 ①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M时（如图），圆柱处于极限平衡状态。此时按触点处的法向反力N A与N B的关系 为。 ①N A = N B；②N A > N B；③N A < N B。 3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。 ①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆O1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 20cm，O2 C = 40cm，CM = MD = 30cm，若杆AO1 以角速度ω= 3 rad / s 匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。 ①60；②120；③150；④360。

理论力学期末考试试卷(含答案)B

工程力学（Ⅱ）期终考试卷（A ） 专业 姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 25 15 15 20 10 15 100 得分 一、填空题（每题5分，共25分） 1. 杆AB 绕A 轴以=5t （ 以rad 计，t 以s 计） 的规律转动，其上一小环M 将杆AB 和半径为 R （以m 计）的固定大圆环连在一起，若以O 1 为原点，逆时针为正向，则用自然法 表示的点M 的运动方程为_Rt R s 102 π+= 。 2. 平面机构如图所示。已知AB //O 1O 2，且 AB =O 1O 2=L ，AO 1=BO 2=r ，ABCD 是矩形板， AD =BC =b ，AO 1杆以匀角速度绕O 1轴转动， 则矩形板重心C '点的速度和加速度的大小分别 为v ＝_ r _，a ＝_ r 。 并在图上标出它们的方向。

3. 两全同的三棱柱，倾角为，静止地置于 光滑的水平地面上，将质量相等的圆盘与滑块分 别置于两三棱柱斜面上的A 处，皆从静止释放， 且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A 处运动到B 处， 则此两种情况下两个三棱柱的水平位移 ___相等；_____（填写相等或不相等）， 因为_两个系统在水平方向质心位置守恒 。 4. 已知偏心轮为均质圆盘，质心在C 点，质量 为m ，半径为R ，偏心距2 R OC =。转动的角速度为， 角加速度为 ，若将惯性力系向O 点简化，则惯性 力系的主矢为_____ me ，me 2 ；____； 惯性力系的主矩为__2 )2(22α e R m +__。各矢量应在图中标出。 5.质量为m 的物块，用二根刚性系数分别为k 1和k 2 的弹簧连接，不计阻尼，则系统的固有频率 为_______________，若物体受到干扰力F =H sin （ωt ） 的作用，则系统受迫振动的频率为______________ 在____________条件下，系统将发生共振。 二、计算题（本题15分）

理论力学__期末考试试题(答案版)

理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解：

1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。

1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。

1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解：

2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。

理论力学期末复习题(附答案)

理论力学基础期末复习题 一、填空题 1. 在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力v k R -=，若选择坐标轴x 铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。 2. 质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①0=t a ，0=n a （答）： ；②0≠t a ，0=n a （答）： ；③0=t a ，0≠n a （答）： ；④0≠t a ，0≠n a （答）： 。 3. 质量为kg 10的质点，受水平力F 的作用，在光滑水平面上运动，设t F 43+=（t 以s 计，F 以N 计），初瞬间（0=t ）质点位于坐标原点，且其初速度为零。则s t 3=时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。 4. 在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______。 5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ， 。 6. 质量kg m 2=的重物M ，挂在长m l 5.0=的细绳下端，重物受到水平冲击后获得了速度105-?=s m v ，则此时绳子的拉力等于 。 7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ，法向加速度为 。 8. 如果V F -?= ，则力所作的功与 无关，只与 的位置有关。 9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流 岸冲刷较为严重。 10. 已知力的表达式为axy F x =，2az F y -=，2ax F z -=。则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）。 11. 一质量组由质量分别为0m 、20m 、30m 的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速 度分别为j i r +=1、i v 21=、k j r +=2、i v =2、k r =3、 k j i v ++=3。则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等 于 ，相对于坐标原点的动量矩等于_ 。 12. 一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，直管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球到达距O 点的距离为a 的P 点，取x 轴沿管，y 轴竖直向上， 并垂直于管，z 轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为 v

理论力学试题和答案

2010 ～2011 学年度第 二 学期 《 理论力学 》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 1、如图1.1所示结构,已知力F ，AC ＝BC ＝AD ＝a ，则CD 杆所受的力F CD ＝（ ），A 点约束反力F Ax =（ ）。 2、如图1.2 所示结构，,不计各构件自重，已知力偶矩M ，AC=CE=a ，A B ∥CD 。则B 处的约束反力F B =（ ）；CD 杆所受的力F CD =（ ）。 E 1.1 1.2 3、如图1.3所示，已知杆OA L ，以匀角速度ω绕O 轴转动，如以滑块A 为动点，动系建立在BC 杆上，当BO 铅垂、BC 杆处于水平位置时，滑块A 的相对速度v r =（ ）；科氏加速度a C =（ ）。 4、平面机构在图1.4位置时， AB 杆水平而OA 杆铅直，轮B 在水平面上作

纯滚动，已知速度v B ，OA 杆、AB 杆、轮B 的质量均为m 。则杆AB 的动能T AB =（ ），轮B 的动能T B =（ ）。 1.3 1.4 5、如图1.5所示均质杆AB 长为L ,质量为m,其A 端用铰链支承,B 端用细绳悬挂。当B 端细绳突然剪断瞬时, 杆AB 的角加速度 =（ ），当杆AB 转到与水平线成300角时，AB 杆的角速度的平方ω2=（ ）。 6、图1.6所示机构中,当曲柄OA 铅直向上时,BC 杆也铅直向上,且点B 和点O 在同一水平线上；已知OA=0.3m,BC=1m ，AB=1.2m,当曲柄OA 具有角速度ω=10rad/s 时,则AB 杆的角速度ωAB =（ ）rad/s,BC 杆的角速度ωBC =（ ）rad/s 。 　 A B 1.5 7、图1.7所示结构由平板1、平板2及CD 杆、EF 杆在C 、D 、E 、F 处铰接而成，在力偶M 的作用下，在图上画出固定铰支座A 、B 的约束反力F A 、F B 的作用线方位和箭头指向为（ ）（要求保留作图过程）。

理论力学试题答案

理论力学试题 一、填空题(1×20=20分) 1、力就是物体间相互的机械作用,这种作用会使物体的运动状态发生变化或使物体变化。(3页) 2、力对物体的作用效果取决于力的大小、方向、作用点,称为力的三要素。(3页) 3、平衡就是指物体的运动状态不变。它包括静止与匀速直线运动。(3页) 4、平面汇交力系的合力其作用线通过力系的汇交点,其大小与方向可用力多边形的封闭边表示。(15页) 5、空间力偶等效条件就是力偶矩矢相等。(44页) 6、工程中常见的激振动力多就是周期变化的;一般回转机械、往复式机械、交 流电磁铁等多会引起周期激振动。(195页) 7、作用于同一刚体的两个力偶,只要其力偶矩矢相等,则它们对刚体的作用等 效。这就是力偶最主要的性质,也称为力偶等效性质。(44页) 8、刚体作平面运动的充要条件就是:刚体在运动过程中其上任何一点到某固定 平面L0的距离始终保持不变。(105页) 9、质点就就是具有一定质量而其几何形状与大小尺寸可以忽略不计的物体。 (121页) 10、摩擦可以分为滑动摩擦与滚动摩擦。(32页) 二、选择题(2×10=20分) 1、两个力的合力的大小与其任一分力大小的关系就是( D )。 A、合力一定大于分力 B、合力一定小于分力 C、二者相等 D、不能确定 2、在研究点的合成运动时,( D )称为牵连运动。 A、动点相对动系的运动 B、动点相对定系的运动 C、牵连点相对定系的运动 D、动系相对定系的运动 3、一个弹簧质量系统,在线性恢复力作用下自由振动,今欲改变其频率,则( A )。 A、可改变质量或弹簧刚度 B、可改变初始条件 C、必须同时改变物体质量与初始条件 D、必须同时改变弹簧刚度与初始条件 4、点作平面曲线运动,若其速度大小不变,则其速度矢量与加速度矢量( B )。 A、平行 B、垂直 C、夹角为45° D、夹角随时变化 5、求解质点动力学问题时,初始条件就是用来( C )。 A、分析力的变化规律 B、建立质点运动微分方程 C、确定积分常数 D、分离积分变量 6、以下四种说法,哪一种就是正确的(A ) (A)力在平面内的投影就是个矢量; (B)力对轴之矩等于力对任一点之矩的矢量在该轴上的投影; (C)力在平面内的投影就是个代数量; (D)力偶对任一点O之矩与该点在空间的位置有关。 7、平移刚体上点的运动轨迹,(D ) (A) 必为直线; (B) 必为平面曲线; (C) 不可能就是空间曲线; (D) 可能就是空间曲线。 8、刚体作定轴转动时(D ) (A) 其上各点的轨迹必定为一圆; (B) 某瞬时其上任意两点的法向加速度大小与它们到转轴的垂直距离成反比; (C) 某瞬时其上任意两点的加速度方向互相平行; (D) 某瞬时在与转轴垂直的直线上的各点的加速度方向互相平行。 9、刚体作定轴转动时(B ) (A) 其上各点的轨迹不可能都就是圆弧; (B) 某瞬时其上任意两点的速度大小与它们到转轴的垂直距离成正比; (C) 某瞬时其上任意两点的速度方向都互相平行; (D) 某瞬时在与转轴垂直的直线上的各点的加速度方向都互不平行。 速运动。 10、质量相等的两质点,若它们在一般位置的受力图相同,则它们的运动情况(A ) (A) 必然相同;(B) 只有在所选坐标形式相同时才会相同; (C) 只有在初始条件相同时才会相同;

理论力学复习题答案

理论力学复习题1 一、 是非题 1、 力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ √） 2、 在理论力学中只研究力的外效应。 （ √） 3、 两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ × ） 4、 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。 （ √ ） 5、 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （× ） 6、 三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ × ） 7、 平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （√ ） 8、 约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ × ） 9、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（× ） 10、 用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x ，y 轴一定要相互垂直。 （ × ） 11、 一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （ × ） 12、 静摩擦因数等于摩擦角的正切值。 （ √ ） 13、 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（ × ） 14、 已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。 （× ） 15、 质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动量为零，则质点系中各 质点必都静止。 （ × ） 16、 作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。（ × ） 17、 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 （ √ ） 18、 在自然坐标系中，如果速度υ = 常数，则加速度α = 0。 （ × ） 19、 设一质点的质量为m ，其速度 与x 轴的夹角为α，则其动量在x 轴上的投影为mvx =mvcos a 。 （√） 20、 用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备：已知F1 和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √ ) 21、 某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( × ) 22、 图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P 由A 点传至B 点，其作用效果不变。( × ) 23、 作用在任何物体上的两个力，只要大小相等，方向相反，作用线相同，就一定平衡。( × )。 24、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（× ） 25、 加速度dt v d 的大小为dt dv 。 （×）

理论力学试题和答案

理论力学期终试题 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么 ____________。 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =， 30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩M 10kN F '=，20kN m O M =，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4

第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则 杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 3. 在图示机构中，已知m r B O A O 4.021===，AB O O =21，A O 1杆的角速度4rad ω=，角加速度22rad α=，求三角板C 点的加速度，并画出其方向。 O R F ' O M

理论力学试题及答案

一、选择题（每题3分，共15分）。） 1. 三力平衡定理是--------------------。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 2. 空间任意力系向某一定点O 简化，若主矢0≠'R ，主矩00≠M ，则此力系简化的最后结果--------------------。 ① 可能是一个力偶，也可能是一个力； ② 一定是一个力； ③ 可能是一个力，也可能是力螺旋； ④ 一定是力螺旋。 3. 如图所示，=P 60kM ，T F =20kN ，A , B 间 的静摩擦因数s f =0.5，动摩擦因数f =0.4，则物块A 所受的摩擦力F 的大小为-----------------------。 ① 25 kN ；② 20 kN ；③ 310kN ；④ 0 4. 点作匀变速曲线运动是指------------------。 ① 点的加速度大小a =常量； ② 点的加速度a =常矢量； ③ 点的切向加速度大小τa =常量； ④ 点的法向加速度大小n a =常量。 5. 边长为a 2的正方形薄板，截去四分 之一后悬挂在A 点，今若使BC 边保持水平，则点A 距右端的距离x = -------------------。 ① a ； ② 3a /2； ③ 6a /7； ④ 5a /6。 二、填空题（共24分。请将简要答案填入划线内。） T F P A B 30A a C B x a a a

1. 双直角曲杆可绕O 轴转动，图 示瞬时A 点的加速度2s /cm 30=A a ， 方向如图。则B 点加速度的大小为 ------------2s /cm ，方向与直线------------成----------角。（6分） 2. 平面机构如图所示。已知AB 平行于21O O ，且AB =21O O =L ，r BO AO ==21，ABCD 是矩形板， AD=BC=b ，1AO 杆以匀角速度ω绕1O 轴转动，则矩形板重心1C 点的速度和 加速度的大小分别为v = -----------------, a = --------------。（4分） （应在图上标出它们的方向） 3. 在图示平面机构中，杆AB =40cm ，以1ω=3rad/s 的匀角速度绕A 轴转动，而CD 以2ω=1rand/s 绕B 轴转 动，BD =BC =30cm ，图示瞬时AB 垂直于CD 。若取AB 为动坐标系，则此时D 点的牵连速度的大小为 -------------，牵连加速度的大小为 -------------------。（4分） （应在图上标出它们的方向） 4. 质量为m 半径为r 的均质圆盘， 可绕O 轴转动，其偏心距OC =e 。图示瞬时其角速度为ω，角加速度为ε。则该圆盘的动量p =--------------，动量矩 =o L ------------------------------------，动能T = -----------------------，惯性力系向O 点的简化结果 为----------------------------------------------------------。 （10分） （若为矢量，则应在图上标出它们的方向） m 3m 3m 4 03O A B A a B A ω D C 1O 2 O 1 C A B C D 1ω2 ωe C ε O

理论力学复习题及答案_(1)

理论力学自测复习题 静力学部分 一、填空题：（每题2分） 1、作用于物体上的力的三要素是指力的 大小 、 方向 和 作用点 。 2、当物体处于平衡状态时，作用于物体上的力系所满足的条件称为 平衡条件 ，此力系称为 平衡 力系，并且力系中的任一力称为其余力的 平衡力 。 3、力的可传性原理适用于 刚体 ，加减平衡力系公理适用于 刚体 。 4、将一平面力系向其作用面内任意两点简化，所得的主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则此力系简化的最后结果为 一个合力偶 5、下列各图为平面汇交力系所作的力多边形，试写出各力多边形中几个力之间的关系。 A 、 0321=++F F F 、 B 、 2341F F F F =++ C 、 14320F F F F +++= D 、 123F F F =+ 。 6、某物体只受三个力的作用而处于平衡状态，已知此三力不互相平行，则此三力必 并且 汇交于一点、共面 7、一平面力系的汇交点为A ，B 为力系作用面内的另一点，且满足方程∑m B ＝0。若此力系不平衡，则其可简化为 作用线过A 、B 两点的一个合力 。 8、长方形平板如右图所示。荷载集度分别为q 1、q 2、q 3、q 4的均匀分布荷载（亦称剪流）作用在板上，欲使板保持平衡，则荷载集度间必有如下关系： q 3＝q 1= q 4＝q 2 。 9、平面一般力系平衡方程的二力矩式为 ∑F x = 0、∑M A = 0、∑M B = 0 ，其适用条件是 A 、B 两 点的连线不垂直于x 轴 10、平面一般力系平衡方程的三力矩式为 ∑M A ＝0、∑M B ＝0、∑M C ＝0 ，其适用条件是 A 、B 、C 三点不共线 。 11、正方形平板受任意平面力系作用，其约束情况如下图所示，则其中 a b c f h 属于静定问题； d e g 属于超静定问题。 12、已知平面平行力系的五个力（下左图示）分别为F 1 = 10 N ， F 2 = 4 N ，F 3 = 8 N ，F 4 = 8 N 和F 5 = 10 N ，则该力系简化的最后结果为 大小0.4 N·m、顺时针转的力偶 。 13、平面力系如右图，已知F 1 =F 2 = F 3 = F 4 =F ，则：⑴力系合力的大小为 F F R 2= ； ⑵力系合力作用线距O 点的距离为 a d 2 12-= （合力的方向和作用位置应在图中画出）。 14、二力构件是指 只受两个力作用且处于平衡状态的轻质刚性构

理论力学试题及答案

东北林业大学 理论力学期终考试卷（工科） 、选择题（每题3分，共15分）。） 1. 三力平衡定理是 ----------------- ） ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡） 2. 空间任意力系向某一定点 0简化，若主矢R 0,主矩M 。0，则此力 系简化的最后结果 ----------------- ① 可能是一个力偶，也可能是一个力； ② 一定是一个力； ③ 可能是一个力，也可能是力螺旋； ④ 一定是力螺旋 3.如图所示，P 60kM, F T =20kN, A B 间的 静摩擦因数f s =,动摩擦因数f =，则物块A 所受的摩擦力F 的大小为 ------------------------------------------------------------------ O ① 25 kN :② 20 kN :③ 10 一 3 kN :④ 0 O 4.点作匀变速曲线运动是指 院 （系）： 班级： 20 级 姓名: 考试时间：150分钟 学号：

① 点的加速度大小a =常量； ② 点的加速度a =常矢量； ③ 点的切向加速度大小a 尸常量; ④ 点的法向加速度大小a n =常量。 5.边长为2a 的正方形薄板，截去四分 之一后 悬挂在A 点，今若使BC 边保 持水平，则 点 A 距右端的距离x= ④ 5 a/6。 、填空题（共24分。请将简要答案填入划线 内。） 1. ----- 双直角曲杆可绕0轴转动，图 示瞬 时A 点的加速度a A 30cm /s 2，方 向如图。 则B 点加速度的大小为 --- cm/s 2， 方向与 直线 --- 成 ----------- 角。（6 分） 2. 平面机构如图所示。已知 AB 平行于 0Q 2，且 AB= 0Q 2 =L ， AO 1 BO 2 r ， ABCD 是矩形板， AD=BC=b A 。!杆以匀角 速度s 绕O i 轴 转动，则矩形板重心C 1点的速 度和加 速度的大小分别为 v= , a = ------------ 。（4 分） （应在图上标出它们的方向） ① a ； ② 3a/2 ； ③ 6a/7