(完整版)2014年浙江省高考数学试卷及答案(文科)

绝密★考试结束前

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（文科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式

121

()3

V h S S =

其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1

3

V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式

24S R π=

球的体积公式

34

3

V R π=

其中R 表示球的半径

如果事件,A B 互斥 ，那么

()()()P A B P A P B +=+

一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合}5|{},2|{≤=≥=x x T x x S ，则=T S

A. ]5,(-∞

B.),2[+∞

C. )5,2(

D. ]5,2[

2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD 。则“四边形ABCD 为菱形”是“A C ⊥BD ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A .72cm 3 B . 90 cm 3 C .108 cm 3 D . 138 cm 3

4．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像

A ．向右平移

12π个单位 B ．向右平移4π

个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4

π

个单位

5. 已知圆0222

2

=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 6. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面 A ．若m ⊥n ，n ∥α则m ⊥α

B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α

C ．若m ⊥β，n ⊥β, n ⊥α则m ⊥α

D ．若m ⊥n ，n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α

7. 已知函数c bx ax x x f +++=2

3)(,且3)3()2()1(0≤-=-=-c

8. 在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a

log )(),0()(=≥=的图像可能是

9.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64

10. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点沿墙面上的射线CM 移动。此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。若AB=15m ，AC=25m,∠BCM=30°.则tan θ的最大值是 A .

530 B . 10

30

C .

934 D . 9

3

5

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11. 已知i 是虚数单位，计算=+-2

)

1(1i i

____________.

12. 若实数y x ,满足 ，则y x +的取值范围是__________.

13．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是_______. 14. 在3张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖。甲、乙两人各取1张，两人都中奖的概率是________.

15. 设函数=)(x f ,若2))((=a f f .则 a =_______.

16.双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于______.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）

数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.

20.（本题满分15分）如图，在四棱锥P-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED

=90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2.

（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；

（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值若G是线段PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值.

[-的最小值记为g(a)

21.（本题满分15分）已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在]1,1

（Ⅰ）求g(a)；

[-是，恒有f(x)≤g(a)+4.

（Ⅱ）证明：当x∈]1,1

22.（本题满分14分）已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ： y x 42

=上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，FM PF 3=. （Ⅰ）若|PF |=3，求点M 的坐标； （Ⅱ）求△ABP 面积的最大值。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科数学

试题答案与解析

1. 解析 [)2,S =+∞，(],5T =-∞，[]2,5S

T =.故选D.

2. 解析 若四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，反之，若AC BD ⊥，则四边形ABCD 不一定是菱形，故选A.

3. 解析 由三视图可知，该几何体是由一个长方体和一个直三棱柱构成的组合体，如图，其体积为

1

643433902

??+???=3cm ，故选B.

4. 解析 因为ππsin3cos333412y x x x x ???

???=+=

-=- ? ?????????

，所以将y x =的图

像向右平移

π

12个单位即可得到πcos 312y x ????=- ???????

的图像，故选A.

5. 解析 将圆的方程化为标准方程为()()2

2

112x y a ++-=-，所以圆心为()1,1-，半径r =

圆心到直线20x y ++=的距离d ==224r d -=，即224a --=，所以4a =-，

故选B.

6. 解析 对于选项A 、B 、D ，均能举出//m α的反例；对于选项C ，若m β⊥，n β⊥，则//m n ，又n α⊥，所以m α⊥，故选C.

7. 解析 由 ()()()

01233f f f <=-=-，

得 0184227933a b c a b c a b c

<-+-+=-+-+=-+-+，

由1842a b c a b c -+-+=-+-+得370a b --=， ①

由12793a b c a b c -+-+=-+-+，得4130a b --=， ② 由①②，解得6a =，11b =，所以063c <-，即69c <，故选C.

8. 解析 因为0a >，且1a ≠，所以()a f x x =在()0,+∞上单调递增，所以排除A ；当01a <<或1a >时，B 、C 中()f x 与()g x 的图像矛盾，故选D.

9. 解析 2

2

2

2

2222cos t t t t θ+=+??+=+?+b a a a b b a a b b ，

设()22

22cos f t t θ=+?+a a b b ，则二次函数()f t 的最小值为1， 即

2222

22

44cos 14θ

-=a b a b a

，化简得2

2sin 1θ=b .

因为0>b ，0πθ，所以sin 1θ=b ，若θ确定，则b 唯一确定，而b 确定，θ不确定，故选B.

10. 解析 如图，过P 作PQ BC ⊥于Q ，则PQ ⊥平面ABC ，所以PAQ θ∠=， 设PQ x =m ，

则=

CQ m

，20BC ==m

，()

20BQ =m ，所以

AQ ==m ，

所以tan =

θ=

.设

25

t x

=，

则2

2

2625273325t t x ?+=-+=+ ?

?，所

以当t =

，即x =时

，2

6253x -+取得最小值27

25

，即tan

θ

9=，故选D. Q

M C

B A

P

11. 解析

()

()()()()

2

1i i 1i

1i 1i 11

i 2i 2i i 2221i -?-----====--?-+. 12. 解析 画出可行域如图，可行域为ABC △的内部及其边界，设x y t +=，则y x t =-+，t 的几何意义为直线y x t =-+在y 轴上的截距，当直线通过点A ，B 时，t 取得最小值与最大值，可求得A ，B 两点的坐标分别为()1,0和()2,1，所以1

3t

，即x y +的取值范围是[]1,3.

13. 解析 第一步：1i =，1S =，此时2i =；第二步：2i =，2124S =?+=，此时3i =；第三步：3i =，24311S =?+=，此时4i =；第四步：4i =，211426S =?+=，此时5i =；第五步：5i =，22655750S =?+=>，此时6i =；符合条件，所以输出6.

14. 解析 设A 为一等奖奖券，B 为二等奖卷，C 为无奖奖卷，则甲、乙两人抽取的所有可能结果为AB 、BA 、AC 、CA 、BC 、CB ，共6种，而甲、乙两人都中奖的情况有AB 、BA ，共2种，故所求概率为

2163

=. 15. 解析 若0a >，则()20f a a =-<，所以()()4

222f

f a a

a =-+，由()()2f f a =，得

42222a a -+=，解

得a =（舍负）.若0a

，则()()2

222110f a a a a =++=++>，所以

()()()22202f f a a a =-++<≠.

综上，a =16. 解析 因为2

2

2b a

bc + ，即()

()2

222222b c b c bc b c +++=+，

所以()

2

22

2

b c b c

++，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2

2

2

1a b c ++=，

得()

2

2

2

2

2

12

2

b c a

a b c

+-=+=，所以2

2

3

a

，所以6

33

a

-

. 故a 的最大值为

3

. 17. 解析 由30x y m b y x a -+=???=??得点A 的坐标为,33am bm b a b a ?? ?--??，由30

x y m b y x a -+=???=-??得点B 的坐标为,33am bm b a b a -??

?++??，则AB 的中点C 的坐标为2222

3,99a m b m b a b a ?? ?--??

，因为13AB k =，所以22223939CP

b m

b a k a m m b a

-==---，即()2222339b a b a =---，化简得224a b =，

即()

2224a c a =-，所以2245c a =，所以2

5

4

e =

，所以e =18. 解析 （I ）由已知得(

)21cos 4sin sin 2A B A B --+=????

化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=，故(

)cos A B +=，所以3π

4

A B +=， 从而π

4

C =

. （II ）因为1sin 2ABC S ab C =

△，由6ABC S =△，4b =，π

4

C =，

得a =.由余弦定理2222cos c a b ab C =+-

，得c =.

评注 本题主要考查两角和与差的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时

考查运算求解能力.

19. 解析 （I ）由题意知()()1123336a d a d ++=，将11a =代入上式解得2d =或5d =-.因为0d >，所以2d =.从而21n a n =-，()

2*n S n n =∈N . （II ）由（I ）得()()12211m m m m k a a a a m k k ++++++

+=+-+，

所以()()21165m k k +-+=.由*

,m k ∈N ，知21

11m k k +-+>，故2113

15

m k k +-=??

+=?，所以54m k =??=?. 评注 本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力. 20. 解析 （I ）连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =

，得BD BC ==

AC =2AB =，得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥.又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平

面BCDE .

（II ）在直角梯形BCDE

中，由BD BC ==

2DC =，得BD BC ⊥.又平面ABC ⊥平面BCDE ，

所以BD ⊥平面ABC .作//EF BD ，与CB 延长线交于F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC .所以EAF ∠是

直线AE 与平面ABC 所成的角.

F

E

D C

B

A

在Rt BEF △中，由1EB=，π

4

EBF ∠=，得EF =，BF =；

在Rt ACF △中，由AC 2CF =

AF =.

在Rt AEF △中，由2EF =

，AF =，得tan EAF ∠=.所以，直线AE 与平面ABC 所成的

角的正切值是

13

. 评注 本题主要考查直线与平面的位置关系、线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.

21. 解析 （I ）因为0a >，11x -，

所以（i ）当01a <<时，若[]1,x a ∈-，则()333f x x x a =-+，则()2330f x x '=-<，故()f x 在()1,a -上是减函数；若[]1,x a ∈-，则()333f x x x a =-+，()2330f x x '=-<，故()f x 在(),1a 上是增函数.所以()()3g a f a a ==. （ii ）当1a

时，有x

a ，则()333f x x x a =-+，()2330f x x '=-<，故()f x 在()1,1-上是减

函数，所以()()123g a f a ==-+.

综上，()3,01,=23, 1.

a a g a a a ?<

（II ）令()()()h x f x g a =-.

（i ）当01a <<时，()3g a a =，若[],1x a ∈，()3333h x x x a a =+--，得()233h x x '=+，则()h x 在(),1a 上是增函数.所以，()h x 在[],1a 上的最大值是()3143h a a =--，且01a <<，所以()14h .

故()

()4f x g a +；若[]1,x a ∈-，()3333h x x x a a =-+-，得()233h x x '=-，则()h x 在()

1,a -上是减函数，所以()h x 在[]1,a -上的最大值是()3123h a a -=+-.令()223t a a a =+-，

()2330t x a '=->，知()t a 在()0,1上是增函数.所以，()()14t a t <=，即()14h -<.故()

()4f x g a +.

（ii ）当1a

时，()23g a a =-+，故()332h x x x =-+，得()233h x x '=-，此时()h x 在()1,1-上

是减函数，因此()h x 在[]1,1-上的最大值是()14h -=.故()()4f x g a x +.综上，当[]1,1x ∈-时，

恒有()

()4f x g a +.

评注 本题主要考查函数最大（小）值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力.

22. 解析 （I ）由题意知焦点()0,1F ，准线方程为1y =-.设()00,P x y ，由抛物线定义知01PF y =+，得到02y =

，所以()P

或()

P -.由3PF FM =

，分别得2,33M ??-

? ???

或2,33M ??

? ???

. （II ）设直线AB 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，点()22,B x y ，()00,P x y .由2,

4y kx m x y =+??=?得

2440x kx m --=，于是216160k m ?=+>，124x x k +=，124x x m =-，所以AB 的中点M 的坐标

为()

22,2k k m +.由3PF FM =

得()()2

00,132,21x y k k m --=+-，所以02

06,463,

x k y k m =-???=--??由2

004x y = 得2

1

4515k m =-+

.由0?>，2

0k ，得1

433

m

-<.

又因为AB =()0,1F 到直线AB

的距离为d =

，

所以48ABP ABF S S m ==-=

△△记()3

2

1

435133f m m m m m ??=-++-

< ???

.令()2

91010f m m m '=-+=， 解得11

9

m =

，21m =. 可得()f m 在11,39??- ???

上是增函数，在1,19?? ???

上是减函数，在41,

3??

???

上是增函数. 又1256492433f f ??

??

=

> ? ?

????

，所以当19m =时，()f m 取到最大值

256243，此时15k =±.

所以，ABP △. 评注 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.