流体力学第三章作业

3.1一直流场的速度分布为：

U=(4x 2+2y+xy)i+(3x-y 3+z)j

(1) 求点（2,2,3）的加速度。 (2) 是几维流动？

(3) 是稳定流动还是非稳定流动？ 解：依题意可知，

V x =4x 2+2y+xy ,V y =3x-y 3+z ,V z =0

∴a x =

t V x

??+ v x X V x ??+v y Y V x ??+v z Z

V x ?? =0+(4x 2+2y+xy)(8x+y)+(3x-y 3+z)(2+x)

=32x 3+16xy+8x 2y+4x 2y+2y 2+x y 2+6x-2 y 3+2z+3 x 2-x y 3+xz 同理可求得，

a y =12 x 2+6y+3xy-9x y 2+3 y 5-3 y 2z a z =0

代入数据得， a x = 436,a y =60, a z =0

∴a=436i+60j

(2)z 轴方向无分量，所以该速度为二维流动

(3)速度，加速度都与时间变化无关，所以是稳定流动。

3.2 已知流场的速度分布为：

k z yj yi x 2223+-=μ

（1）求点（3，1，2）的加速度。

（2）是几维流动？

解：（1）由

z u z y

u y x

u x t

u x x x x x

u

u

u

a ????????+++=

z u z

y

u y

x

u x

t

u y y y y y u u u a ????????+++=

z u z y u y x u x t

u z z z z z u

u

u

a ????????+++=

得：0202

22+?+?+=x y x xy y x a x

0)3(300+-?-+=y a y

z z a z 420002

?+++=

把点（3,1,2）带入得加速度a （27,9,64）

（2）该流动为三维流动。

3-3 已知平面流动的速度分布规律为

()()

j y

x x

i y x y u 2

22222+Γ++Γ=ππ 解：()

()

2

22

22,2y

x x

u y

x y u y x +Γ=

+Γ=

ππ 流线微分方程：y

x u dy u dx = 代入得：

()()

2

22

222y x x dy

y x y dx +Γ=

+Γππ

C y x ydy xdx x

dy y dx =-?=-?=220

3.4 截面为300mm ×400mm 的矩形风道，风量为2700m 3／h ，求平均流速。如风道出口截面收缩为150mm ×400mm 求该截面的平均流速。 解：因为v=q A /A

所以v 1=q A /A 1=2700/(300x400x10-6)=22500m/h=6.25m/s

V 2=q A /A 2=2700/(150x400x10-6)=45000m/h=12.5m/s

3.5 渐缩喷嘴进口直径为50mm ，出口直径为10mm 。若进口流速为3m/s ，求喷嘴出口流速为多少？

已知：mm d 501= mm d 102= s m v /31= 求：喷嘴出口流速2

v

解:s

m A A v A q v v /75105035

21122=???

???=== 3.6

解：已知

s

m

q

v

3

01.0=，由连续性方程，得，

q A v A v ==2

2

1

1

如右图所示，列出方程，得

5

x

6801.082805-=

--=

-V A x 则

3.7 异径分流三通管如图3.35所示，直径d 1=200mm ，d 2=150mm 。若三通管中各段水流的平均流速均为3m/s 。试确定总流量q v 及直径d 。

解：(1) V(A 1+ A 2)= q v

∴ q v =3m/s ?（

4

2.02

?π+

4

15.02

?π）≈0.147m 3/s

(2) q v =V A=4

2

d πV

∴d=

V

q v

π4≈0.25m

3.8 水流过一段转弯变径管，如图 3.36所示，已知小管径

mm d 2001=，截面压力KPa p 701=，大管直径mm d 4002=，压力KPa p 402=，流速s m v /12=

。两截面

中心高度差m z 1=，求管中流量及水流方向。

解：（1）由s m v v A q d v /216.014

4.024

222

2

=?=

=

=?ππ

（2）

s m v d d v A v A q v /421122

211=∴===

g v g

P g

v g

P z z 2221222211

+

+

>+

+

ρρ 又

即水流的方向为从1到2，其过程中有能量的损失。

3.9 如图3.37所示，以一直立圆管直径mm d 101=，一端装有出口直径为mm d 52=的喷嘴，喷嘴中心距离圆管1-1截面高度H=3.6mm 。从喷嘴中排入大气的水流速度s m v /182=，不计流失损失，计算1-1处所需要的相对压力。

解：进口水流速度s m v d

d v /5.4185102

22

211=???? ??=???

? ??=

列1-1截面和2-2截面的能量方程

g

u g P z g u g P z a 222

222

111+

+=++ρρ 1-1处所需要的相对压力()

a a KP u u g P P P 1802.187216.3-212

21=-+

==ρρ相

3.10 如图3.38所示，水沿管线下流，若压力表的读数相同，求需要的小管径d ，不计损失。

解： g

v g P z g v g P z 222

222211

1++=++ρρ 又21P P =

则g

v z g v z 2222

2211+=+ 已知s m v v m z m z /3,3,0221====，代入上式得： s m v /24.8= 由连续性方程

2

22122??

?

??=??? ??d v D v ππ又D=0.2m

解得 d=0.121m

3.11 如图3.39所示，轴流风机的直径为d=2m ，水银柱测压计的读数为△h=20mm ，空气的密度为1.25kg ／m 3 试求气流的流速和流量。（不计损失） 解：取玻璃管处为过流断面1-1，在吸入口前的一定距离，空气为受干扰处，取过流断面0-0，其空气压力为大气压Pa ，空气流速近似为0，v 0=0。取管轴线为基准线，且h w0-1=0,则列出0-0，1-1两个缓变流断面之间的能量方程为： 0+Pa/ρg+0=0=P 1/ρg+v 12/2g 而P 1=Pa-hmmHg ，所以v=()32.6525.1/322

4.1332022/21=??==-空hmmHg g P P g a ρq v =v 1x3.14d 2/4=6

5.32x3.14x22=205.1m 3/s

3.12

解：取1和2 两个过流断面，2为基准面，由伯努利能量方程得

g

g g

g V

p

z V

p

z 222

2

2

21

1

1

+

+

+

+

=

ρρ 则

10

210100010

38.700101000109772

23

3

?+??+=+??+

V

解得

V

2

=17.867m/s

取2和3两个过流断面，3为基准面，由伯努利能量方程得

g

g g

g V

p

z V

p

z 223

3

3

22

2

2

+

+

+

+

=

ρρ 则

10

210100010970102867.171010001038.732

3323?+??+=?+??+V

解得

V

3

=14.142m/s

设收缩段的直径应不超过d ，由连续性方程得，

2

132

222

???? ??=?

??

? ?

?d V d V ππ 则 d =133.45mm

3.13 气体由静压箱经过直径为10cm ，长度为100m 的管流到大气中，高差为40m ，如图3.41所示测压管内液体为水。压力损失为92v ρ/2。当（1）气体为与大气温度相同的空气时：（2）气体密度为ρ=0.8kg/m 3的煤气时，分别求管中流速、流量及管长一半处B 点的压力。

解：（1）P 1g +（a ρ-ρ）g(z 2-z 1)+22

1v ρ= P 2g +222v ρ+2

92

2v ρ

水ρgh+0+0=0+5v 22ρ

v 22=

2

.15012

.0807.91000???=19.614

v 2=4.43m/s q v = v 2A=4.43?π?(

2

1.0)2

=0.0384 m 3/s P 3g +0+223v ρ= P 2g +222v ρ+2922v ρ?

21

P 3g +222v ρ= 222v ρ+2

922v ρ?

21

P 3g =4

92

2v ρ=

94

?1.2?(4.43)2=52.92N/ m 2

(2) P 1g +（a ρ-ρ）g(z 2-z 1)+22

1v ρ= P 2g +222v ρ+2

92

2v ρ

水ρgh+(1.2-0.8)?9.807?40+

2

8.0?=1000?9.807?0.012+0.4?9.807?40+0=5?0.8?v 22

v 2=8.28m/s q v = v 2A=8.28?π?(

2

1.0)2

=0.065 m 3/s

P 3g +（a ρ-ρ）g(z 2-z 1)+223v ρ= P 2g +222v ρ+2

922v ρ?21

P 3g +0.4?9.807?20+0=4

9

?0.8?8.282

∴P 3g =44.9 N/ m 2

3.14 如图3.42所示，高层楼房煤气立管B 、C 两个供气点

各供应s m q v /02.03=煤气量。假设煤气的密度为

3/6.0m kg =ρ，管径为50mm ，压力损失AB 断为

2/321v ρ，BC 断为2/42

2v ρ，C 点要求保持余压为

300Pa ，求A 点U 型管中酒精液面高度差。（酒精的密度为0.806Kg/m 3、空气密度为1.2Kg/m 3） 解：

()()212

22

12122

21

-++

=+

--+w v g v a g p p z z g p ρρρρ

即2

2

322

2

260807.096.022A c v C v A v v p p c

A ρρρρ+++

=+

??+ s m v d q c v

/2.102

2

05.002

.044≈=

=

??ππ

同理得

s m v A /4.20=

76.70560807.96.04.206.02.106.03002

22

5=??-?+??+==∴A p gh 酒ρ

mm

h g p A 6.44807

.980676

.705==

∴?酒ρ

3.15 如图3.43所示的管路流动系统中，管径mm d 150=，出口喷嘴直径mm d 501=。求A 、B 、C 、D 各点的相对压力和通过管道的流量。

解：g

u g P z g u g P z g u g P z g P z D a C

B A A a 22202

423221++=++=++=++ρρρρ 知:01=z m z 72-= m z 23= m z 44= 代入上式得

s m u D /86.8= s m d

d u u u u D C B A /98.02

2

1

=???

?

??===

通过管道的流量：s m d u q D v /0174.023

2

1=??

? ??=π

a A a A A

g KP u g P P P 169.68272,=-=-=ρρ 同理 a B B g P u P 4872

2,-=-=ρ

a C C

g KP u g P 1.202

22

,-=--=ρ

ρ 0,=D g P

3.16 水箱下部开孔面积为0A ，箱中恒定高度为h ，水箱断面甚大，其中流速可以忽略，如图3.44所示，求由孔口流出的水断面与其位置x 的关系。

解：由能量守恒定律 22

1

mv mgh =

得()x h g v +=

2

连续性方程 A

()x h g +2=gh A 20

所以 x h h A A +=0

3.17如图所示，闸门关闭时的压力表的读数为49kPa ，闸门打开后，压力表的读数为0.98kPa ，有管进口到闸门的水头损失为1m ，求管中的平均流速。 由伯努利方程得：49x103/ρg=0.98x103/ρg+u 2/2g+1

s

m u /74.8807.92110807.91098.010807.91049=????

?

??-??-??= 3.18

解：由连续性方程得

2

33222211222???

? ??=????

??=???? ??d V d V d V πππ

取0和1过流断面，列能量方程得

g g P

l V V 20022

221++=++

γ 取1与2过流断面，列能量方程得

g

g H V V 200202

32

2+

+=++

已知P=19.6kPa, s m V

/4.21

=, L=0.4m

mm d 502

= m H 6.0= ,把数据代入上式

公式，解得，

V

2

=7.3m/s

d

1

=87.2mm

V

3

=8.065

d

3

=47.57mm

3.19 有一水箱，水由水平管道中流出，如图3.47所示。管道直径D=50mm ，管道上收缩出差压计中h=9.8Pa,?h=40kpa,d=25mm 。阻力损失不计，试求水箱中水面的高度H 。

解：取断面0和断面1，有

gH u 22

1= 112

124u U A A u ==

gH u 322

2= 断面2和断面1得

g

u g P z 22

1

11

++ρ = g u g P z 22

222++ρ 08.49800

8

.9400001521=-=-=

g P P H ρm m H 272.015

08.4==

3.20 救火水龙头带终端有收缩喷嘴，如图3.48所示。已知喷嘴进口

处的直径mm d 751=，长度mm l 600=，喷水量为

s L q v /10=，喷射高度为m H 15=，若喷嘴的阻力损失O mH h w 25.0=。空气阻力不计，求喷嘴进口的相对压力和出

口处的直径2d 。

解：由

s m v H g

v /2.172222==

得

又

24

14

22

2

1v v q d d v ππ=

=

得s m v /3.21= mm d 21.272=

又g h g

v g

v g

p w z z ρρ+

+

+=+

+

222122210

2

2

221

22

v w v h gz p ρρρ-

++

=∴

()(

)2

32

3.22.171000/156100.1565.06.098072

2m kN N p =?=+

+?=∴-?3.21 如图3.49所示，离心式水泵借一内径d=150mm 的吸水管以q v =60m 3/h 的流量从一敝口水槽中吸水，并将水送至 压力水箱。假设装在水泵与水管接头上的真空计指示出现负压值为39997Pa 。水力损失不计，试求水泵的吸水高度Hs 。

解：由39997=s gH ρPa 得Hs=4.08m

3.22 高压管末端的喷嘴如图3.50所示，出口直径mm d 100=，管端直径mm D 400=，流量s

m q v /4.03=，喷嘴和管以法兰

盘连接，共用12个螺栓，不计水和喷嘴重量，求每个螺栓受力为多少? 解：由连续性方程

s m v d v D q v /4.022322

12=??

?

??=??? ??=ππ

得 s m v /512= s m v /17.31=

由g

v g P g v g P 222

22211+=+ρρ 把s m v /512= s m v /17.31=代入 得 a MP P 043

.21= 动量方程 ()()v a q v v F A P P ρ12110-=--- 得 KN F 144=

单个螺栓受力 KN F

F 1212

0==

3.23 如图3.51所示，导叶将入射水束作180°的转弯，若最大的支撑力是F 0，试求最高水速。

解：取向右为正方向，因水流经过叶片时截面积不变，所以流速大小不变 -F 0=ρv 0A 0(-v 0-v 0)=-2ρv π(D 02/2) 即2

02D F

v πρ=

3.24

解：由题意得，取1与2 过流断面，列连续性方程得

2

222

11

22???

? ??=????

??d v d v ππ

列能量方程，得

g

g

v

p

z v

p

z 2222

2

2

2

1

1

1

+

+

+

+

=

γ

γ

其中

z z 2

1

=

设螺栓所需承受的力为F ，列动量方程，得

()v v q d p d p v F 122

222

1122-=???

?

??+???

?

??+-ρππ 已知

p 1

=300Pa, d 1=300mm , v 1=2m/s , d 2=100mm,把它们代入以上各式，解得

F=25.13Kn

3.25 水流经由一份差喷嘴排入大气中（p a =101kpa ）如图 3.53所示。导管面积分别为A 1=0.01m 2，A 2= A 3=0.005m 2,流量为q v2 = q v3 =150 m 3/h ，而入口压力为p 1=140kpa ，试求作用在截面1螺栓上的力。（不计损失） 解：（当a KP P 1401=为绝对压力时） 由连续性方程 s m A q q v v v /33.81231=+=

s m A q

v v v /33.82

232=== 由动量方程：

()x a v v v F A P P v q v gq v gq --=---1111322330cos 30cos ρρροο 得： KN F x 7.1=

（当a KP P 1401=为相对对压力时） 由连续性方程 s m A q q v v v /33.81231=+=

s m A q

v v v /33.82

232=== 由动量方程：

x v v v F A P v q v gq v gq -=---1111322330cos 30cos ρρροο 得： KN F x 7.2=

3.26 如图3.54所示，一股射流以速度0v 水平射到倾斜光滑平板

上，体积流量为0qv 。求沿板面向两侧的分流流量1qv 与2

qv 的表达式，以及流体对板面的作用力。（忽略流体撞击损失和重力影响。） 解：由题意得

210v v v q q q +=

0cos cos 000201=-+-=∑v q v q v q F v v v x ρθρθρ

()θcos 1210

-=∴qv v q (

)θc o s 1220+=qv v q ()θρθρθρsin sin sin 021v v v y y q q q F F F =+=-=∑-=∴

3.27 如图所示，平板向着射流一等速v 运动，推导出平板运动所需功率的表达式。 解：v v v r

+=0

1v v v q q q =+下上

r r 1r cos cos 0x v v v F q v a q v a q v ρρρ∑=-+-=下上

()1

21cos qv v q a ∴=-下 ()121c o s qv v q a

=+上 ()()1

2

12

2

1cos cos 1cos cos v v q q r r v r a v a a v a q v F

ρρ

ρ+---=-

得：a v q F r

v 2

1sin ρ= 平板运动所需功率：

()a v v v q a v v q Fv P v r v 2

012

1sin sin +===ρρ

3.28 如图3.56所示的水射流，截面积为A ，以不变的流速v 0，水平切向冲击着以等速度v 在水平方向作直线运动的叶片。叶片的转角为θ。求运动的叶片受到水射流的作用力和功率。（忽略质量力和能量损失）

解：由题意知s m v v v r /250=-= 设叶片对水流的力分别为F x 和F y

()22

cos 2sin

2x x r r r r

F F v A v v v A θ

ρθρ∑=-=-=-

θ

ρsin r r y y v A v F F ?==∑

运动的叶片受到水射流的作用力:

2222sin

1250sin

2

2

x

y

r

F F F Av A kN

θ

θ

ρ=∑+∑==

运动的叶片受到水射流的功率:

22

2

2sin

18750sin

2

2

x r

p F v vAv A kN

θ

θ

ρ∴===

3.29 如图3.57所示，水由水箱1经圆滑无阻力的孔口水平射出冲击到一平板上，平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中水位高为1h ，水箱2中水位高为2h ，两孔口中心重合，而且221d d =，当1h 为已知时，求得高度2h 。 解：左

21v A F v q v ρρ== 其中 12gh v =

右 22'A gh F ρ=

F F '= 即2

22121222??

?

??=??? ??d gh gh d ρπρπ

得 122

1h h =

3.30 如图3.58所示放置的喷水器，水从转动中心进入，经转壁两端的喷嘴喷出。喷嘴截面

22106.0cm A A ==。喷嘴1和喷嘴2到转动中心的臂长分别为mm l 2001=和

mm l 3002=。喷嘴的流量s L q q v v /6.021==。求喷水器的转速n 。（不计摩擦阻力、流动

能量损失和质量力） 解：由连续性方程 s m A q v v v /10006

.010

6.0121=?=== 由动量矩方程

()()

02

221122112=+-+=wl wl q l v l v q M v v ρρ

解得： s rad w /62.384=

喷水器的转速n min /3675260r w

n ==π

3.31旋转式喷水器由三个均匀分布在水平平面上的旋转喷嘴组成（见图3.59），总供水量为q v ，喷嘴出口截面积为A ，旋臂长为R ，喷嘴出口速度方向与旋臂的夹角为θ。试求：（1）旋臂的旋转角速度ω；（2）如果使已经有ω角速度的旋臂停止，需要施加多大的外力矩。（不计摩擦阻力）

解：（1） A

q v v

3=

??sin sin 33

'A

q

A q v v v == ?ωsin 'AR

q R v v ==

（2） 因为不计算摩擦

A

q

R Rv q v R q M v v v 2

sin 3'33?ρρρ==?=

3.32 水由一端流入对称叉管，如图3.60所示，叉管以主管中心线为轴转动，转速为ω，

叉管角度为a ，水流量为qv ，水的密度为ρ，进入主管时无转动量，叉管内径为d ，并且l d <<，求所需转动力矩。 解：喷口的相对速度2

4

d q A q v v v r π==

牵引速度： a wl wR u sin ==

绝对速度切向分量：2

4

sin sin sin d

q a

a wl a v u v v

r a π

-=-=

所需转动力矩

?????

?

??-

==22

24sin 2sin 2d q wl a l q a l q M v v v πρρ