上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(1)
上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算：AB AC BC -+=________
2．如果向量(,1)a k =，(4,)b k =共线且方向相反，则k 等于 .
3．已知2
111n n a n n
=+，则lim n n a →∞
= . 4．已知||6a =，||4b =，则a b -的取值范围是________
5．若12
201102
x x -=-，则x =________
6．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________
7．若11223
PP PP =，则2P P =________1PP 8．已知矩阵0110A ??= ???,12B ??= ???
，则AB =______________ 9．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ?有最小值，则点P 的坐标为________
10．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ?=，||2AB =，2BC BD =，则AC AB ?=____
11．已知函数()1x f x x =+，在9行9列的矩阵11121319212223299192
9399a a a a a a a a a a a a ????? ???? ? ???????????????? ??????
中，()ij i a f j =，则这个矩阵中所有数之和为________ 12．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM
、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含
边界）运动，且OP xOA yOB =+，当12
x =-时，y 的取值范围是________
二、单选题
13．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 14．下列三阶行列式可以展开为a b
b c a c d
e e
f d f ++的是（ ） A ．111a b c d e f B ．111
a b c d e f
C ．111a b c d e f
D ．111
a b c d e f - 15．若||1OA =，||3OB =0OA OB ?=，点C 在AB 上，且30AOC ?∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则
m n 的值为（ ） A ．13 B ．3
C
D
16．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，
*n N ∈． 下列命题中真命题是 ( )
A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列
D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列
三、解答题
17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-?==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =.
（1）求证AB
AC ⊥，并求ABC ?的面积；
（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算()
,f AB AC 的值，并说明它与ABC ?面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义. 19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=??+-=+?
，并讨论说明解的情况. 20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N .
（1）用a ，b 表示向量MN ；
（2）设122a b MN ?==∈?，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.
21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.
（1）求11x y
+的值； （2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）； （3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11
[,1]3
x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．0
【分析】
根据向量的加减运算及运算律计算可得.
【详解】
解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-=
故答案为：0
【点睛】
本题考查向量的加减运算，属于基础题.
2．2k =-
【解析】
试题分析：(,1)a k =，(4,)b k =共线，
1(,1)(4,)44,12
a b k k k λλλλλ=?=∴==∴=±
，又(,1)a k =与(4,)b k =方向相反，1,22
k λ∴=-=- 考点：平面向量共线的充要条件
3．1-
【详解】 解：由题意可知22
22121lim 11(1)(1)
n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 4．[2,10]
【分析】
根据向量的三角形不等式可得.
【详解】 解：6a =，4b =
a b a b a b ∴-≤-≤+
6464a b ∴-≤-≤+
即[]2,10a b -∈
故答案为：[]2,10
【点睛】
本题考查向量的三角形不等式，属于基础题.
5．5-
【分析】
用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。 【详解】
解：12201102x x -=-
41x ∴--=
5x ∴=-
故答案为：5-
【点睛】
本题考查三阶行列式的计算，属于基础题．
6．
1,)22或1(,)22
-- 【分析】
设单位向量为(,)b x y =，由单位向量性质和平面向量(1,3)a =-与b 垂直，列出方程组能求出结果．
【详解】
解：设单位向量为(,)b x y =，则22
1x y +=． 平面向量(1,3)a =-与b 垂直， ∴(1,3)(,)30a b x
y x =-=-=，
联立2210
x y x ?+=??=??，得
12x y ?
=????=??或1
2x y ?=????=-??
，
∴31,2b ?? ? ???=或31,2b ??-- ??=??
．
故答案为：122?? ? ???或122??-- ? ???
．
【点睛】
本题考查与已知向量垂直的单位向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用.
7．52
- 【分析】
根据向量的线性运算法则计算可得.
【详解】
解：11223
PP PP = 21132
P P PP ∴=- ()
21111213522P P P P PP P P P P P P ∴+=-+--== 故答案为：52
-
【点睛】 本题考查向量的线性运算，属于基础题.
8．21?? ???
【分析】
将矩阵A 中的第一行各个数与B 中各个数对应相乘后加起来,就是乘法结果中第一行的数, 将矩阵A 中的第二行各个数与B 中各个数对应相乘后加起来,就是乘法结果中第二行的数即可得到矩阵AB .
【详解】
因为0110A ??= ???,12B ??= ???,
所以0112211021AB ?+?????== ? ??+?????
. 故答案为: 21?? ???
【点睛】
本题考查了矩阵的乘法,属于基础题.
9．(3,0)
【分析】
设(,0)P x ，利用两个向量的数量积化简AP BP 的解析式，再利用二次函数的性质求出AP BP 最小时的x 值，从而得到P 点的坐标． 【详解】
解析：设(,0)P x ，则(2,2)AP x =--，(4,1)BP x =--．
因此，22(4)(2)2610(3)1AP BP x x x x x =--+=-+=-+．
∴当3x =时，AP BP 取得最小值1，此时()3,0P ，
故答案为：()3,0．
【点睛】
本题考查两个向量的数量积的运算，利用二次函数的性质求函数的最小值，属于中档题． 10．4-
【分析】
由题意三角形ABC 中，0BA AD =，||2AB =，可将,AB AD 看作基向量，将AC 表示出来将0BA AD =，||2AB =代入，即可求得两向量的数量积.
【详解】
解：由题意，如图()AC AB AB BC BA =-
又2BC BD =
(2)(22)(2)AC AB AB BD BA AB BA AD BA A D AB B A ∴=-=+-=-
∴22AC AB AB AB AD =-+
又0BA AD =，||2AB =
∴4AC AB =-
故答案为：4-
【点睛】
本题考查向量在几何中的运用，考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，解题的关键是选定基向量，由于本题中已知0BA AD =，||2AB =，
选定,AB AD 看作基向量较为恰当．此也是本题的难点．
11．812
【分析】
先根据第i 行第j 列的元素()ij i
a f j =及函数()1x f x x =+计算出1ij ji a a +=，12
ii a =，然后分组：脚码之和依次为2，3，49?，注意上面的两个结果，可以计算出最后结果．
【详解】 解：()ij i a f j =， 111ij ji i j i j j
i a a i
j
i j i j
j i ∴+=+=+=++++，其中i ，1j =，2，3，?，9． 且12
ii a =． 从而脚码i ，j 之和依次为2，3，4，?，18的1ij ji a a +=，
则这个矩阵中所有数之和为：
1(12345678987654321)2
?++++++++++++++++ 812
= 故答案为：812
． 【点睛】
本小题主要考查数列的性质、数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
12．
13 (,) 22
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA
的反向延长线为两邻边，得到x的取值范围，当
1
2
x=-时，要使P点落在指定区域内，即P
点应落在DE上，得到y的范围．
【详解】
解：如图，//
OM AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且OP xOA yOB
=+，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
x 的取值范围是(,0)
-∞；
当
1
2
x=-时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，
1
2
CD OB
=，
3
2
CE OB
=，y
∴的取值范围是1(
2，
3
)
2
．
故答案为：
1
(
2
，
3
)
2
【点睛】
本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．
13．C
【分析】
a、b为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.
【详解】
解：a、b为两个非零向量，
()2
22222
2
a b a b a b a b a b
-=-=+-=+
20a b ∴=
a b ∴⊥，即充分性成立；
若a b ⊥，则0a b =
()2222222a b a b a b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立； 故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题. 14．D
【分析】
由二阶行列式和三阶行列式的求解方法直接计算即可.
【详解】 由题干二阶行列式a b b
c a c
d
e e
f d f ++=ae bd bf ce af cd -+-+-, 由AB 选项三阶行列式111a b
c d e f =111a b c d e
f =ae bf cd ce bd af ae bd bf ce af cd ++---≠-+-+-,则AB 选项不对;由C 选项三阶行
列式111a b
c af ce b
d cd a
e b
f ae bd bf ce af cd d e f
=++---≠-+-+-,则C 选项不对;
由D 选项三阶行列式1
11
a b
c d
e f ae bd bf ce af cd =-+-+--,则D 选项正确. 故选:D .
【点睛】 本题考查了二阶行列式和三阶行列式的运算法则,直接运算即可,属于基础题,要求熟练掌握运算法则及运算能力.
15．B
【解析】
【分析】
利用向量的数量积运算即可算出．
【详解】
解：30AOC ?∠= 3cos ,2
OC OA ∴<>= 32
OC OA OC OA ?∴= ()3mOA nOB OA mOA nOB OA +?∴=+222232m OA nOB
OA OA mnOA OB
n OB OA
+?=+?+1OA =，3OB =，0OA OB ?= 2
= 229m n ∴=
又C 在AB 上
0m ∴>，0n > 3m n ∴
= 故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．
16．A
【分析】
根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n
++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判
定，得到答案．
【详解】
由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈，
当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n
++=， 所以3211111123121
n n n a a a n a a a na a a a n -=????=????=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列．
当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11
n n a n a n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n a a a a
n a a a a a a n n
----=????=?-?-??-=， 所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列.
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．arccos
16π- 【分析】
利用向量的夹角公式cos ,||||
b c b c b c ?<>=，根据条件分别把,||,||b c b c ?三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案.
【详解】
因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -?=-?-=，
所以32123a c b c b c ?-?=??=-，
因为(2,2)c =-，所以||22c =，
所以cos ,16||||42b c b c b c ?<>===-?， 因为,[0,]b c π<>∈，
所以,b c π<>=-【点睛】 本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.
18．（1）证明见解析，ABC ?的面积为5（2）(),102f AB AC S ==， (),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积
【分析】
（1）利用向量的减法，求出,AB AC 的坐标，然后计算出0AB AC ?=，从而证明出
AB AC ⊥，再根据直角三角形的面积公式，求出ABC ?的面积；
（2）根据新定义的运算，计算出()
,f AB AC 的值，然后找到与ABC ?的面积的关系，得到答案.
【详解】
（1）因为()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =，
所以()2,1AB OB OA =-=-，()2,4AC OC OA =-=，
所以0AB AC ?=，
所以AB AC ⊥.
22AC ==，22AB ==11
522
S AB AC ==?= （2）因为()1221,f a b x y x y =-
而()2,1AB =-，()2,4AC =，
所以(
)(),221410f AB AC =?--?=，
所以(),2f AB AC S =
所以(),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积.
【点睛】
本题考查向量的减法的坐标表示，向量数量积的坐标表示，属于简单题.
19．当1m =时，无穷解；当14m =-时，无解；当1m ≠且14m ≠-时，有唯一解，441x m =+，8341
m y m +=-+. 【分析】
先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况．
【详解】
解：
3(31)484mx y m x my m -=??+-=+? 21431(41)(1)431m
m D m m m m m -∴+-==-+=+-++， 4443148x D m m
m -==--+， ()()238538311834y m D m m m m m m =
=--+++=-， ①当1m ≠且14
m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解， 即144(41)4(14)x D m x m D m m -===+++-，()()()()8318341141
y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当14m =-
时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】
本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．
20．（1）()2MN b a =-；（2）π2π33
θ
【解析】
【分析】
（1）A 为MS 的中点，B 为NS 的中点，可得
()()
222MN SN SM SB SA AB OB OA =-=-==-，即可得出答案；（2）由
2MN ?∈?，可得[]21228MN ∈，.结合（1）可得()212428b a -，即34127a b +-?，从而得到11a b -?，进而可求出夹角的取值范围.
【详解】
（1）依题意，A 为MS 的中点，B 为NS 的中点，所以22SN SB SM SA ==，. 所以()()()
2222MN SN SM SB SA AB OB OA b a =-=-==-=-.
（2）因为MN ?∈?，所以[]21228MN ∈，
.由（1）得()212428b a -， 所以22327b a a b +-?，所以34127a b +-?，所以11a b -?.
因为cos 2a b a b a b θ??==，所以11cos 22θ-.因为0θπ，所以π2π33
θ.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了向量的应用，属于中档题.
21．（1）4；（2）()41x f x x =-，1[,1]3
x ∈；（3）21(,][0,]36-∞-?. 【分析】
（1）表示出向量AM ，根据P 、M 、Q 三点共线，得到关于x ，y 的等式， （2）解出y 即()f x 的解析式；
（3）分别根据()f x ，()g x 的单调性，求出()f x ，()g x 的值域，结合集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解出即可．
【详解】
解：（1）过点M 的直线分别交两边AB 、AC 于P 、Q ，
01x ∴<，01y <， 又AP xAB =，AQ y AC =， ∴1111()2444AM AD AB AC AP AQ x y ==+=+， 又P 、M 、Q 三点共线， ∴
11144x y +=， 114x y
∴+= （2）由（1）知114x y
+= ()41
x y f x x ∴==-， 由0101x y
， ∴113x ， ()41x y f x x ∴==
-，1[3x ∈，1]； （3）114()41441
x f x x x ==+--在1[3，1]内是减函数， ()1[()]13min f x f ∴==，1[()]()13
max f x f ==， 即函数()f x 的值域为1[3
，1]， 22()330g x x a '=+，
()g x ∴在[0，1]内是增函数，
[()](0)2min g x g a ∴==，()2[()]1321max g x g a a ==++，
()g x ∴的值域为[2a ，2321]a a ++， 由题设得1[3
，1][2a ?，2321]a a ++， 则2123
3211
a a a ????++? 解得a 的取值范围是(-∞，2][03-，1]6
． 【点睛】
本题考查了向量共线问题，考查求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．